VERIFICA DI MATEMATICA SIMULAZIONE GLI INTEGRALI DEFINITI - SOLUZIONI Problema : a) Rappresentiamo il quadrato ABCD e il punto P sul prolungamento del lato AB. Per determinare la posizione di P, affinché l angolo modo:se nel triangolo rettangolo APD, l angolo AP ˆ Dsia minore di, ragioniamo nel seguente AP ˆ D fosse uguale a, per i teoremi sui triangoli DA l rettangoli, avremmo che tg l ( ). AP l Poiché l angolo deve essere minore di, deve essere >l ( ). b) La funzione f() è data da PA f ( ), PD dove PA l e, per il teorema di Pitagora, PD l ( l ). Dunque: f ( ) l. l ( l ) l Il limite per vale lim. l ( l ) Tale risultato può essere interpretato geometricamente dicendo che le distanze di P da A e da D sono uguali, o che i punti A e D visti da un osservatore posto a distanza infinita sono indistinguibili. c) Ponendo l, dobbiamo rappresentare il grafico della funzione f ( ), ( ) nel suo dominio naturale indipendentemente dalle limitazioni geometriche del problema. Dominio: D R. Poiché f ( ) ( ) Segno: f ( ) > se >-. Intersezioni con gli assi: ; non ci sono simmetrie né rispetto all asse né rispetto all origine. e (-; ).
Limiti all infinito: lim ( ) e lim ( ) Le rette di equazioni e - sono rispettivamente asintoti orizzontale destro e sinistro per il grafico della funzione. Non esistono asintoti verticali. Derivata prima: ( ) ( ) ( ) f ( ). ( ) f ( ) [ ( ) ] D R f ( ) >, f () è crescente in tutto il dominio Derivata seconda: ( ) f "( ) 5 [ ( ) ] f () ha concavità rivolta verso l alto per <, verso il basso per > ; il punto ( ; ) è un flesso (con tangente obliqua). Tracciamo il grafico. d) Consideriamo le equazioni della simmetria con centro nel punto di flesso di coordinate ( ; ). Troviamo le equazioni della trasformazione inversa:. :
Sostituendo nell espressione analitica della funzione f() troviamo: ) ( ) ( ) (. Omettendo gli apici ritroviamo l espressione della funzione f() quindi il punto di flesso è centro di simmetria per λ. La traslazione τ che rende il grafico della funzione simmetrico rispetto all origine del sistema di riferimento è la traslazione che fa corrispondere l origine al centro di simmetria della funzione data, ovvero: : τ. Applicando tale trasformazione alla funzione f() e omettendo gli apici, troviamo la funzione g richiesta: ) ( g e) Posto g(), determiniamo la funzione inversa esplicitando la variabile rispetto a, dopo aver imposto le condizioni di esistenza. Abbiamo:, dove e sono concordi. Eleviamo al quadrato:. La positività del primo membro impone la condizione per il secondo: < <. Passando ai reciproci e estraendo la radice (tenendo conto che le variabili devono essere concordi) troviamo:. Scambiando infine con, otteniamo l espressione della funzione inversa richiesta:. ) ( g Il grafico di g - () è il simmetrico del grafico di g() rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Tracciamo il grafico di g - ().
Per le simmetrie del problema, l area richiesta è il doppio dell area delimitata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante, dalla retta e dal grafico di g(). Abbiamo quindi: [ ].. ) ( d d g d S Problema :
Quesito : Determiniamo la retta t richiesta imponendo che la retta tangente al grafico della funzione in un suo punto P ( o ; o ) passi per l origine. La derivata prima della funzione f ( ) è f ( ) ; ( ) l equazione della retta tangente in P ( o ; o ) è pertanto:
t: ( ); o ( ) o imponendo il passaggio per l origine si ha: ( ) ( ). o o o o Il punto di tangenza è allora P ;. Il volume V del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all asse delle ascisse della regione di piano delimitata dalla retta t, dal grafico della funzione e dall asse delle ascisse lo si ottiene sottraendo dal volume V del cono di raggio PH e altezza OH il volume V del solido ottenuto dalla rotazione dell arco della curva compreso tra i punti (; ) e H attorno all asse delle ascisse. Si trova: π V π PH OP π ; 4 / / 5 π V π f ( ) d π ( ) d π ( ). 5 π Il volume richiesto è: V V V. Quesito : Nelle ipotesi date, si hanno le seguenti risposte. a) L integrale d f può essere calcolato mediante il cambiamento di variabile t. Si ha: f d f ( t)dt f ( ) d 4; b) L integrale f ( ) d può essere calcolato per parti prendendo come fattor finito e f ( ) d come fattor differenziale.
In tal modo si ottiene: f ( ) d [ f ( ) ] f ( ) d f (). t Quesito : La funzione integranda f ( t) ln( t) è definita e continua per t > t, poiché in t si annulla il denominatore. La funzione integrale, avendo come primo estremo, deve contenere tale valore nel suo insieme di definizione; il più ampio insieme in cui può essere definita è pertanto l intervallo ( ; ). La funzione è integrabile in senso generalizzato in, e quindi la funzione integrale potrebbe essere definita in ( ; ). La derivata della funzione data è F( ) ln( ). Il segno della derivata prima è positivo in ( ; ) funzione è pertanto monotona strettamente crescente e quindi è invertibile. Poiché vale il teorema: G ( ), se F ( G( )), F ( G( )) essendo F ( ) e F (), troviamo che G () ln. ln F () Quesito 4: : la
Quesito 5: Quesito 6: Quesito 7:
Quesito 8: Quesito 9:
Quesito :