Coro di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 6/7 Eercizi volti ulla traformata di Laplace Marco Bramanti Politecnico di Milano January, 7 Eercizi A. Eercizi ul calcolo di traformate Eercizio Calcolare la traformata di Laplace delle eguenti funzioni, pecificando l acia di convergenza. a f t χ a,b t a < b < + b f t Sh at a > c f t Ch at a > d f t mt χ,a t per t, e f t per t, altrimenti Eercizio Calcolare la traformata di Laplace delle eguenti funzioni, enza calcolare eplicitamente integrali, ma fruttando la tabella delle traformate di funzioni elementari e le proprietà operatoriali della traformata linearità, formule del t-hift, -hift, ecc.. Specificare l acia di convergenza. a f t t 3 b f t co ωt + φ c f t te αt in ωt uare la formula delle derivate d f t e t a + a t + a t +... + a n t n e f t t 3 4 H t 3 Eercizio 3 Calcolare la convoluzione f t t t... t n volte
con il eguente procedimento: a calcolare la traformata di Laplace della convoluzione a partire dalla traformata di t; b antitraformare il riultato ottenuto. Eercizio 4 Calcolare la convoluzione f t e t e t... e t n volte con il eguente procedimento: a calcolare la traformata di Laplace della convoluzione a partire dalla traformata di e t ; b antitraformare il riultato ottenuto. Eercizio 5 Calcolare la convoluzione f t χ, t χ, t con il eguente procedimento: a calcolare la traformata di Laplace della convoluzione a partire dalla traformata di χ, t H t H t ; b antitraformare il riultato ottenuto. Eercizio 6 Calcolare le eguenti convoluzioni calcolando l integrale. Quindi, calcolarne la traformata di Laplace. a t χ, t b in t χ a,b t c e t Eercizio 7 Calcolare l antitraformata di Laplace delle eguenti funzioni, utilizzando il metodo dei reidui oppure metodi elementari baati ulla tabella delle traformate e le proprietà operatoriali della traformata. + 6 a F 6 b F 4 3 + 5 nπl c F L + n n, L > π 7 d F 3 e F 5 + 4 + 9
B. Eercizi ull applicazione delle traformate Riolvere i eguenti problemi di Cauchy, utilizzando il metodo della traformata di Laplace Eercizio 8 Eercizio 9 Eercizio Eercizio y + 9y χ,π t in t y y 4 y + 3y + y χ, t y y y + y χ, t t y y y 6y χ,4 t 48e t y 3 y 4 Eercizio y + 8y + 5y r t y y { in t e t, π con r t in t e t π Determinare la corrente i t nei eguenti circuiti elettrici Eercizio 3 Circuito RC Ri t + C q + i τ dτ v t dove R Ω, C F, q e a v t V per t.5,.6, nulla altrimenti. b v t e t <, v t t V e t >. c v t e t < 4, v t 4 6 e 3t V e t > 4. Eercizio 4 Circuito RL Li t + Ri t v t dove i e a R Ω, L.5H, v t t V per t,, nulla altrimenti. b R Ω, L H, v t 4 in t V e t > π, nulla altrimenti. c R 5Ω, L.H, v t 49e 8t V e t,, nulla altrimenti. 3
Eercizio 5 Circuito LC Li t + C q + i τ dτ v t dove i, q e a L H, C.5 F, v t t t 3 V per t,, nulla altrimenti. b L H, C F, v t 99 co t V per t π, 3π, nulla altrimenti. c L.5 H, C.5 F, v t 78 in t V per t, π, nulla altrimenti. Eercizio 6 Circuito LCR Li t + Ri t + C q + i τ dτ v t dove i, q e a R Ω, L H, C.5 F, v t V per t,, nulla altrimenti. b R 4 Ω, L H, C.5 F, v t 34e t V per t, 4, nulla altrimenti. Riolvere le eguenti equazioni integrali Eercizio 7 Eercizio 8 Eercizio 9 Eercizio y t y t + y t y t + y τ in t τ dτ t. y τ dτ. y τ co t τ dτ co t. t τ y τ dτ. 4
Svolgimenti Eercizio. a b Lf + b a [ e e t t dt ] b Lf e t eat e at dt { [e ] a t + [ e a+t + a a + a a + c + Lf e t eat + e at dt { [e ] a t + [ e a+t a a + a + a + d Lf m m a { a e a a ] a {[t e t e t tdt m + [ ] e t a } m e a e b { + ] + e a t dt } con σ [f]. + } e +at dt a a a, con σ [f] a. a { + ] + e a t dt + } + } e +at dt a, con σ [f] a. a a + e t { a e a } dt } + e a + con σ [f]. Non otante il denominatore,, la traformata è regolare. grafico di Lf per reale è: Ad eempio il 5
Eercizio. Calcolare la traformata di Laplace delle eguenti funzioni, enza calcolare eplicitamente integrali, ma fruttando la tabella delle traformate di funzioni elementari e le proprietà operatoriali della traformata linearità, formule del t-hift, -hift, ecc.. Specificare l acia di convergenza. a b Lf L t 4 6t + 9 L t 4 6L t + 9L 4! 5 6 3 + 9 4 5 3 + 9, con σ [f]. L co ωt + φ L co ωt co φ in ωt in φ c Poiché ricordando l identità i ha co φl co ωt in φl in ωt co φ + ω in φ ω + ω co φ ω in φ + ω, con σ [f]. L e αt in ωt L te αt in ωt d d ω α + ω, d Lf L tf t d ω α + ω ω α [ α + ω ], con σ [f] α. d Ricordando l identità L e at f t L f a i ha L e t a + a t + a t +... + a n t n L a + a t + a t +... + a n t n + n a j L t j n j! + a j + j+ j j a + + a + + a + 3 +... + n!a n + n+, con σ [f]. e Ricordando l identità L f t t H t t e t L f i ha L t 3 4 H t 3 e 3 L t 4 3 4! e 5. 6
Eercizio 3. a L t t... t L t n n n b Ricordando l identità L t k k!, per k + n i ha k+ t n n L, n! da cui t t... t }{{} n volte tn n! per n, 3,... Eercizio 4. a L e t e t... e t L e t n n + + n b Ricordando l identità L t k k!, per k + n i ha k+ t n n L, n! da cui, per la formula di -hift L e at f t L f a, t n + n L + L e t t n per n, 3,... n! n! e infine e t e t... e t }{{} n volte e t t n n! per n, 3,... Eercizio 5. a L χ, t L H t H t e e. L χ, t χ, t L χ, t e e + e. 7
b Dalle identità L th t L f t t H t t e t L f i ha e + e e + e L th t L t H t + L t H t da cui χ, t χ, t th t t H t + t H t t per t [, ] t t per t [, ] t t + t per t > t per t [, ] t per t [, ] per t > Eercizio 6. a Se t <, t χ, t t τ χ, τ dτ. Se t, t τ χ, τ dτ t τ dτ t t τ χ, τ dτ t τ dτ t τdτ t t t. τdτ t. 8
Quindi t χ, t { t per t < t per t L t χ, t L t L χ, t dove i è uato l Eercizio a. b Se t < a, Se a < t < b, in t χ a,b t in t τ χ a,b τ dτ Se t b, e in t τ χ a,b τ dτ in t τ χ a,b τ dτ a e 3. in t τ χ a,b τ dτ. dτ. in t τ dτ [co t τ] t a co t a. b a in t τ dτ [co t τ] b a co t b co t a. per t < a in t χ a,b t co t a per a < t < b co t b co t a per t b 9
grafico per a, b c L in t χ a,b t L in t L χ a,b t + e a e b. e t e t τ dτ e t e τ dτ e t e t e t. L e t L e t L +. Eercizio 7. Riolviamo utilizzando i metodi elementari. a + 6 F 6 3 4 + 4 L 3e 4t e 4t. b c F d Poiché F 4 3 + 5 3 + 5 L 3t + t4 L 3t + t4. 4! nπl L + n π L nπl + nπ L G 3 L t nπ L + nπ L, nπ L in L t.
e 7 F 3 7L e t t 7 L t e t. Eercizio 8. 5 F + 4 + 9 5 + + 5 5 3 + + 5 3L e t in 5t L 3e t in 5t. y + 9y χ,π t in t y y 4 Ponendo Y L y t, g t χ,π t in t, G L g t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: Y y y + 9Y G Y + 9 G + 4 Ora, poiché + 9 3 3 + 3 in 3t L in 3t L 3 3 in 3t in 3t Y L g t + 4L L 3 3 y t χ,π t in t Calcoliamo Per t < π, Per t > π, in 3t 3 Y G + 9 + 4 + 9. + 4 in 3t. 3 in 3t g t + 4 3 3 in 3t χ,π t in t in 3t in 3 t τ χ,π τ in τdτ. in 3 t τ χ,π τ in τdτ in 3 t τ χ,π τ in τdτ in 3 t τ in τdτ in3 t. π in 3 t τ in τdτ.
Quindi { y t 6 in3 t + 4 3 in 3t per t < π in 3t per t > π 4 3 Eercizio 9. y + 3y + y χ, t y y Ponendo Y L y t, g t χ, t, G L g t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: Y y y + 3 Y y + Y G Ora, ia K +3+ Quindi e Y + 3 + G Y e calcoliamone l antitraformata. G + 3 +. + 3 + + + + + L e t e t. y t e t e t χ, t Y L e t e t g t e t τ e t τ χ, τ dτ.
Per t <, e t τ e t τ χ, τ dτ Per t >, e t τ e t τ χ, τ dτ e t τ e t τ dτ e t e τ dτ e t e τ dτ e t e t e e t t e t e t e t + e t. e t τ e t τ dτ e t e τ dτ e t e τ dτ e e t e e t. { y t e t + e t per t < e t e e t e per t Eercizio. y + y χ, t t y y Ponendo Y L y t, g t χ, t t, G L g t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: Y y y + Y G Y + G Y G L g t L in t + L g t in t. 3
Quindi Per t <, Per t, y t tχ, t in t in t τ τχ, τ dτ in t τ τχ, τ dτ y t in t τ τχ, τ dτ. τ in t τ dτ t in t. τ in t τ dτ co t in t in t. { t in t per t < co t in t in t per t Eercizio. y 6y χ,4 t 48e t y 3 y 4 Ponendo Y L y t, g t χ,4 t 48e t, G L g t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: Ora: Y y y 6Y G Y 6 G + 3 4 Y 4 L + 4 G 6 + 3 4 6. e 4t e 4t 6 4 + 4 8 8 3 4 6 3 4 4 + 4 4 + + 4 L e 4t + e 4t.. 4
Quindi e Ora Per t < 4, e 4t e 4t Y L g t + e 4t + e 4t 8 y t e4t e 4t 8 χ,4 t 48e t + e 4t + e 4t. e 4t e 4t χ,4 t 48e t 6 e 4t e 4t χ,4 t e t 8 6 e 4t τ e 4t τ e τ χ,4 τ dτ 6e 4t e τ χ,4 τ dτ 6e 4t e 6τ χ,4 τ dτ. 6e 4t e τ χ,4 τ dτ 6e 4t e 6τ χ,4 τ dτ 6e 4t e τ dτ 6e 4t 3e 4t 4e t + e 4t. Per t 4, e 6τ dτ 6e 4t e t 6e 4t e τ χ,4 τ dτ 6e 4t e 6τ χ,4 τ dτ 4 4 6e 4t e τ dτ 6e 4t 3 e 8 e 4t e 4 e 4t. e 6τ dτ 6e 4t e 8 6e 4t e6t 6 6e 4t e4 6 { 3e y t 4t 4e t + e 4t + e 4t + e 4t per t < 4 3 e 8 e 4t e 4 e 4t + e 4t + e 4t per t 4 { 4e 4t 4e t + 3e 4t per t < 4 4 3e 8 e 4t + 3 e 4 e 4t per t 4 Eercizio. y + 8y + 5y r t y y con r t { in t e t, π e t π Ponendo Y L y t, R L r t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: Y y y + 8 Y y + 5Y R Y + 8 + 5 R + 9 5
Ora + 8 + 5 + 5 + 3 + 8 + 5 Perciò e Ora: R Y + 8 + 5 + + 8 + 5. + 5 + 3 + 3 + 5 5 + 3 3 L + 5 L Y L e 3t e 5t r t + 5e 3t 3e 5t y t e 3t e 5t r t + e 3t e 5t r t Se t < π e 3t τ e 5t τ r τ dτ 3 Se t π y t e 3t τ e 5t τ r τ dτ { 3 3 5e 3t 3e 5t. e 3t τ e 5t τ r τ dτ. π e 3t e 5t 5e 3t 3e 5t e 3t τ e 5t τ in τdτ 5e 5t + 3e 3t 8 co t + 4 in t. e 3t τ e 5t τ in τdτ e π e 5t e 6π e 3t. 3 5 5e 5t + 3e 3t 8 co t + 4 in t + 5e 3t 3e 5t per t < π e π e 5t 5 e 6π e 3t + 5e 3t 3e 5t per t π. Eercizio 3. Ponendo I L i t, V L v t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: RI + I C V I V R + V C R + C V R + R + R C V R R CR + 6
Ora R CR + CR + R CR + I L CR v t CR e t CR v t i t v t CR e t CR v t CR v t e t τ CR v τ dτ v t e t e τ v τ dτ L CR e t CR dove nell ultimo paaggio i ono otituiti i valori numerici di R, C. Ora otituiamo cao per cao la funzione v t aegnata. a v t V per t.5,.6, nulla altrimenti. e t t dτ per t <.5 i t e t t.5 eτ dτ per t.5,.6 e t.6.5 eτ dτ per t >.6 per t <.5 e t e t e 5 per t.5,.6 e t e 6 e 5 per t >.6 per t <.5 9 + e 5 e t per t.5,.6 e 6 e 5 e t per t >.6 7
b v t e t <, v t t V e t >. { e i t t t eτ dτ per t < t e t t eτ τ dτ per t { per t < 9t 79 e t per t c v t e t < 4, v t 4 6 e 3t V e t > 4. { e i t t t eτ dτ per t < 4 4 6 e 3t e t t eτ 4 6 e 3τ dτ per t 4 { per t < 4 6 6e 3t + e.t 4 per t 4 Eercizio 4. Ponendo I L i t, V L v t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: L I i + RI V I L + R V I V L + R. 8
Ora L + R L + R L I L L L e R L t v t L e R L t i t L e R L t v t. a R Ω, L.5H, v t t V per t,, nulla altrimenti. Quindi: i t e t v t e t e τ v τ dτ. { 4e i t t t eτ τdτ per t < 4e t eτ τdτ per t { t + e t per t < e t + 39e 4 per t. Eercizio 5. Ponendo I L i t, V L v t e traformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: L I i + q + I V C LI + I C V I L + V C I V L +. C 9
Ora L + C L + LC L co I L L L co t v t LC i t t L co v t. LC t LC a L H, C.5 F, v t t t 3 altrimenti. V per t,, nulla i t co t v t t co t τ τ τ 3 dτ per t < co t τ τ τ 3 dτ per t { 3 t + co t in t + 3 in t per t < co t 3 co t + 5 in t + in t per t 5 3 b L H, C altrimenti. F, v t 99 co t V per t π, 3π, nulla i t co t v t per t < π 99 co t τ co τdτ per t π, 3π π 99 3π co t τ co τdτ per t 3π π per t < π 33 in t + 4 co t per t π, 3π per t 3π
c L.5 H, C.5 F, v t 78 in t V per t, π, nulla altrimenti. i t co t v t { 56 co t τ in τdτ per t < π 56 π co t τ τ τ 3 dτ per t π { 5 co t co t per t < π 4 co t per t π Eercizio6. Li t + Ri t + C q + i τ dτ v t dove i, q e Eercizio Ponendo I L i t, V L v t e traformando l equazione
differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali i ha: L I i + RI + q + I V C LI + RI + I C V I L + R + V C V I L + R +. C Ora L + R + C L + R L + LC a R Ω, L H, C.5 F, v t V per t,, nulla altrimenti. L + R + C + 4 + + + + + + + + L e t co t in t. I L e t co t in t v t i t e t co t in t v t { e t τ co t τ in t τ dτ per t < e t τ co t τ in t τ dτ per t { e t in t per t < e t in t + e in t per t b R 4 Ω, L H, C.5 F, v t 34e t V per t, 4, nulla
altrimenti. L + R L + LC + 4 + + + 4 + + + 4 4 + + 4 L I L e co t 4t in 4t v t e t co 4t in 4t. i t e t co 4t in 4t v t { 34 e t τ co 4 t τ in 4 t τ e τ dτ per t < 4 34 e t τ co 4 t τ in 4 t τ e τ dτ per t 4 { e t + e t co 4t + 9 in 4t per t < 4 e t e 4 co 4 t 4 + co 4t + 9e 4 in 4 4 t + 9 in 4t per t 4 Eercizio 7. Ponendo Y L y t, g t t, G L g t e traformando l equazione integrale i ha: Y Y L in t G Y G + Y G + Y G + L g t + g t t y t t + t t t + t τ τdτ t + t3 6. 3
Eercizio 8. Ponendo Y L y t e traformando l equazione integrale i ha: Y Y L L Y Y L e t y t e t. Eercizio 9. Ponendo Y L y t e traformando l equazione integrale i ha: Ora, Y + Y L co t L co t Y + + + Y + + + + + L te t te t L L te t + + Y L e t t y t e t t. Eercizio. Ponendo Y L y t e traformando l equazione integrale i ha: Y + Y L t L Y + Y L co t + y t co t. 4