Il rischio di un portafoglio

Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a b ρ assume valori compresi tra 1 e -1 1 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è uguale ad 1 2 Il coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente Esprime valori compresi tra -1 e 1 Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un titolo aumenta, anche l altro titolo aumenta Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un titolo aumenta l altro diminuisce Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell altro) 3

La covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli E la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno: ² p = a² ² +b² ² +2 a b 1 = (a +b ) 2 p = a +b allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità 4 La covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli E la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli Se il coefficiente di correlazione è inferiore ad uno: ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ es. = 0 es. = -1 il terzo addendo assume valore zero il terzo addendo assume valore negativo allora lo SQM è inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità 5 E possibile costruire una pluralità di portafogli combinando i due titoli Se la correlazione tra i titoli e è perfetta (pari ad 1) i portafogli si dispongono su una retta Il rendimento del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti Il sigma del portafoglio è la media ponderata dei sigma dei due titoli Molto titolo, poco titolo Solo titolo Molto titolo, poco titolo 50%titolo, 50% titolo Solo titolo 6

Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità L investitore X, molto avverso al rischio, non sceglie più un portafoglio composto dal solo titolo, ma uno nel quale è compresa una quota del titolo Coerentemente con la propria avversione al rischio sceglie un portafoglio composto soprattutto da (titolo poco rischioso) X Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (può raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) 7 Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità nche Y, poco avverso al rischio, sceglie un portafoglio composto sia dal titolo, sia dal titolo Coerentemente con la propria minor avversione, il portafoglio è composto soprattutto da (titolo più rischioso ma con maggior rendimento atteso) Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (consente di raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) Y 8 Se la correlazione è inferiore ad uno ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Si riduce la covarianza es. se il coeff. = 0,5 il terzo addendo si dimezza es. se il coeff. = 0 il terzo addendo si annulla es. se il coeff. = - 0,5 il terzo addendo si dimezza e si sottrae Il rischio del portafoglio non è più pari alla media ponderata delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore Si realizza l effetto di portafoglio La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non perfettamente correlati consente di ridurre il rischio complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi 9

Se i titoli non sono perfettamente correlati è L insieme dei portafogli per i quali non si può fare una scelta secondo il criterio media-varianza (ma si deve ricorrere alle curve di indifferenza) è detto frontiera efficiente dei portafogli possibili a parità di rendimento il rischio si riduce con ρ < 1 con ρ = 1 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 10 Se i titoli non sono perfettamente correlati è Per ogni singolo portafoglio costruibile con i titoli e si riduce il rischio a parità di rendimento L insieme dei portafogli possibili si sposta verso sinistra (a parità di rendimento atteso, minor rischio) ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 11 Se i titoli non sono perfettamente correlati è La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente nord non esistono portafogli; a sud esistono portafogli dominati F D E C D domina C F domina E ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 12

Se i titoli non sono perfettamente correlati è La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente 13 Se i titoli non sono perfettamente correlati è Per l investitore X cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Coerentemente con la propria avversione, sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l aumento del rendimento X X ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 14 Se i titoli non sono perfettamente correlati è nche per l investitore Y cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Y sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l incremento del rendimento atteso Y Y ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 15

Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a zero l effetto di è molto forte Quando il coefficiente di correlazione diventa nullo o negativo si riduce fortemente il rischio a parità di rendimento: quando un titolo va male, l altro va bene Frontiera Efficiente con ρ < 0 L effetto della covarianza sul rischio da incrementativo diventa decrementativo ² p = a² ² +b² ² - 2 a b ρ con ρ < 0 16 Ipotesi : tre titoli,, C : Frontiera efficiente titoli e. C: Frontiera efficiente titoli e C. 17 µ C Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e 18

µ C D Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e 19 Se si considera il portafoglio D del tratto, è possibile costruire un altra frontiera efficiente DC tra il titolo C e il portafoglio D. 20 µ C D 21

Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili combinazioni di titoli e portafogli danno vita alla frontiera C relativa ai tre titoli. 22 µ C D 23 con N titoli Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (µ,²) individuate dalle seguenti formule E(R p ) = i E(R i ) X i ² p = i X i ² ²(R i )+ i j X i X j (R i ) (R j ) ρ i,j con i,j=1, 2,..n 24

con N titoli 0Rendimento Rischio () maggiore è il numero di titoli, maggiore è il vantaggio della : si riduce la varianza dei portafogli poiché le correlazioni non perfette fra i titoli riducono le covarianze 25