Cinematica Angolare!
Movimento angolare! ü Si definisce movimento angolare qualsiasi movimento di rotazione che avviene rispetto ad un asse immaginario! ü In un movimento angolare tutto il corpo/soggetto sperimenta lo stesso angolo di rotazione! ü La cinematica angolare studia il movimento angolare dei corpi attraverso le seguenti grandezze:! Spostamento angolare! Velocità angolare! Accelerazione angolare!
Movimenti angolari! Movimento di rotazione! degli arti calciando una palla! Movimento di rotazione! degli arti e della mazza! colpendo una pallina!
Angoli di rotazione! ü L angolo è definito come lo spazio derivato dall intersezione di due linee rette (segmenti corporei) in un punto detto vertice (punto di rotazione)! ü Gli angoli possono essere classificati in:! Angoli assoluti: distanza tra un asse orizzontale (fisso) e il punto più lontano del segmento corporeo in esame.! Angoli relativi: la distanza tra due segmenti corporei, giunti in un vertice, calcolata rispetto all asse longitudinale del corpo.!
Angoli di rotazione! Asse longitudinale Anca angolo del ginocchio (angolo relativo) Ginocchio angolo della coscia (angolo assoluto) Asse orizzontale (fisso) Caviglia angolo della caviglia (angolo relativo)
Spostamento angolare! ü Come per il movimento lineare, anche per il movimento angolare è possibile descriverlo attraverso due grandezze:! Distanza: grandezza scalare! Spostamento: grandezza vettoriale! ü Lo spostamento angolare può essere misurato utilizzando due diverse grandezze, correlate fra loro:! Gradi! Radianti!
Radianti e segni! ü Un radiante è definito come una porzione di cerchio pari a 57,3! Cerchi con centro O! Rotazione! Oraria(-)! Rotazione! Oraria(-)! ü Lo spostamento, essendo un vettore, avrà un segno:! Positivo: verso antiorario! Negativo: verso orario! Quale distanza e quale spostamento?
Esempio: Calcio al pallone! ü L effetto della rotazione si manifesta sull oggetto da colpire! ü La velocità d uscita è determinata come risultante d e l l e componenti orizzontali e verticali!
Velocità angolare! ü La velocità angolare è espressa come la variazione dello spostamento angolare nell unità di tempo! ü La velocità angolare, ad esempio, di un arto, è esattamente la stessa per ogni parte dell arto interessato! ü Simbolicamente la velocità angolare si esprime con la lettera greca omega:! ω = spostamento _ angolare tempo = gradi(rad) sec
Esempio: calcio! Posizione 1! Posizione 2! Asse Anca! Rotazione! anti-oraria (+)! ü Rappresentazione del movimento della coscia in un calcio (t=0.5s)! Asse! ginocchio! Anca! Anca! Anca! Tempo! Ginocchio! Ginocchio! Ginocchio! ω = 30 0.5s = 60 / s =1.05rad / s
Accelerazione angolare! ü L accelerazione angolare è espressa come la variazione di velocità al variare del tempo! ü Come per la velocità si ha che:! L accelerazione sperimentata è la stessa per ogni parte del corpo accelerato! L accelerazione è indipendente dal punto di rotazione! ü L accelerazione angolare è matematicamente indicata con la lettera greca alpha! α = Δvelocità Δtempo = ω 2 ω 1 t 2 t 1 = grad s 2 = rad s 2
Esempio: calcio! ü Calcolare l accelerazione associata all esempio precedente! Anca! Anca! Anca! Tempo! Ginocchio! Ginocchio! Ginocchio! ω = 30 0.5s = 60 / s =1.05rad / s Velocità Angolare! α = 60 / s 0 0.5s 0 =120 / s2 = 2.09rad / s 2 Accelerazione! Angolare!
Esempio: accel. Gamba inferiore! Anca! Anca! Rotazione! anti-oraria(+)! Caviglia! Ginocchio! Ginocchio! Rotazione! anti-oraria(+)! Caviglia! Coscia e gamba sperimentano! la stessa rotazione?!
Esercizio! Anca! Anca! ü Calcolare la cinematica Caviglia! Tempo trascorso! Ginocchio! Gamba superiore! Ginocchio! della gamba inferiore.! Gamba inferiore! Caviglia! Posizione 1! Posizione 2! ω = 105 = 210 / s = 3,66rad / s 0.5s Gamba 210 / s 0 α = 0.5s 0 = 420 / = 7,33rad / s 2 inferiore s2
Esercizio! Anca! Anca! ü Calcolare la cinematica della Caviglia! Tempo trascorso! Gamba superiore! coscia.! Ginocchio! Ginocchio! Gamba inferiore! Caviglia! Posizione 1! Posizione 2! ω = 30 0.5s α = 60 0.5s = 60 / s =1.05rad / s =120 / s = 2,09rad / s Coscia
Principio della somma delle velocità! ü Quale sarà la velocità angolare complessiva del calcio?! ω = 105 +30 0.5s = 270 / s = 4,71rad / s Principio di somma delle velocità
Relazione tra Cinematica Lineare e Angolare!
Punti di rotazione! Linee di rotazione Oggetto Asse di rotazione θ ü In biomeccanica si è soliti valutare gli!! spostamenti in almeno 2 punti interni degli arti coinvolti! ü Stesso spostamento Lin/Ang?! ü Stessa velocità Lin/Ang?! ü Stessa accelerazione Lin/Ang?!
Componenti lineari e angolari! ü I movimenti possono essere decritti attraverso le loro grandezze cinematiche lineari e angolari! ü Le grandezze lineari e angolari sono legate da opportune relazioni matematiche! ü Riepilogando:! Lineari spostamento = L velocità = dis tan za tempo Angolari ω = spostamento = θ spostamento _ angolare tempo a = v t = m s 2 α = Δvelocità Δtempo = ω t
Grandezze lineari e angolari! ü Qualsiasi spostamento angolare, come il calcio di un pallone o il tiro con una mazza da golf, influenza la traiettoria lineare dell oggetto colpito! Asse di rotazione Posizione 1 Posizione 2
Spostamento! ü Si definisce corda una linea diritta che congiunge due punti di una curva! ü La lunghezza di una corda è definita come la lunghezza lineare (spostamento lineare) di uno spostamento angolare definito in radianti! A r θ Corda (spostamento lineare) s = θ * r B 1 B 2 Lunghezza traiettoria ( S )
Esercizio! ü Calcolare le distanze coperte dai punti A e B del braccio in un lancio (baseball)?! O = Asse di rotazione θ (angolo anti-orario)= 22 θ s A = θ * r A = 0,38*0,46 = 0,175m s B = θ *r B = 0,38*0,67= 0,255m Più elevata è la distanza dall asse di rotazione Maggiore sarà la distanza lineare prodotto ü La corda (spostamento lineare) è determinata attraverso relazioni trigonometriche dell angolo descritto!
Relazione Velocità lineare e angolare! s = θ * r v = s t Distanza lineare! Velocità lineare! ω = θ t Velocità angolare! v = s t = θ *r t = ω *r Relazione velocità lineare-angolare!
Relazione Accelerazione! v = ω * r Relazione velocità! lineare-angolare! a = v t Accelerazione lineare! α = ω t Accelerazione angolare! a = v t = ω *r t = α *r Relazione accelerazione lineare-angolare!
Velocità e accelerazioni istantanee! ü Le relazioni esposte in precedenza sono sempre basate su stime medie delle grandezze coinvolte! ü A volte potrebbe essere necessario parlare di velocità e accelerazioni istantanee, cioè limitate ad un preciso istante! ü Matematicamente queste si indicano con il limite della grandezza che tende a zero o, più spesso, come il rapporto differenziale tra due grandezze! ü Geometricamente si descrivono come la tangente in un punto alla curva, tangente che si trova a 90 rispetto all asse di rotazione e ha la stessa inclinazione della curva in quel punto!
Considerazioni! ü In biomeccanica può essere importante calcolare i valor istantanei in modo tale da poter descrivere, in funzione delle grandezze coinvolte, il risultato di un movimento (es. golf)! ü Capire la relazione sussistente tra le grandezze lineari e angolari può aiutare a capire meglio le risultanze del movimento umano!
Esercizio! ü Riprendendo l esempio sul calcio di un pallone, determinare la lunghezza percorsa dalla palla, la velocità d uscita e l accelerazione sperimentata dalla palla sapendo che la gamba misura, complessivamente 1,35m.!