A Grafici di particoari funzioni ineari Vogiamo tracciare i grafico dea funzione y ˆ jxj. x quando x 0 Sappiamo che jxj significa x quando x < 0 Possiamo aora riscrivere 'equazione di questa funzione in questo modo y ˆ x se x 0 x se x < 0 e disegnare (figura 1) a retta di equazione y ˆ x ne semipiano dee ascisse positive o nue a retta y ˆ x ne semipiano dee ascisse negative. Osserviamo che i grafico trovato si puoá ottenere anche con questa procedura (figura 2) si disegna a retta y ˆ x per intero si esegue una simmetria rispetto a'asse x dea soa parte negativa de grafico (in pratica si esegue un ribatamento dea parte de grafico che si trova sotto 'asse x). Infatti considerare i moduo di una quasiasi espressione significa in pratica far diventare positivo cioá che eá negativo. Figura 2 Figura 1 Figura 3 Questa procedura puoá essere generaizzata a una quaunque funzione di equazione y ˆ f x n si disegna i grafico di f x n si ribatano e parti di grafico che si trovano ne semipiano dee ordinate negative. Costruiamo seguendo questa procedura i grafico di y ˆ j2x 1j (figura 3) disegniamo a retta y ˆ 2x 1 disegniamo a simmetrica rispetto a'asse x dea soa parte negativa. Acune funzioni ineari possono essere definite da espressioni diverse in intervai diversi si para di funzioni ineari a tratti. Consideriamo per esempio a funzione y ˆ x 2 s e x < 1 3 2x se x 1 I piano cartesiano e a retta
Essa ha come dominio 'insieme R, ma ha due espressioni distinte a seconda che x sia maggiore o minore di 1. I suo grafico eá quindi formato da (figura 4) queo dea retta y ˆ x 2 disegnata soo per vaori di x piuá piccoi di 1 (in pratica consideriamo soo a semiretta a sinistra de punto di ascissa di 1) queo dea retta y ˆ 3 2x disegnata soo per vaori di x maggiori o uguai a 1 (in pratica consideriamo soo a semiretta a destra de punto di ascissa di 1). Funzioni di questo tipo sono i modeo di moti probemi reai; per esempio i costi dee teefonate, dove si paga in funzione dei minuti di conversazione ed i costo a minuto eá diverso a seconda dea unghezza dea teefonata. Una possibie funzione dei costi in funzione de tempo t potrebbe essere a seguente >< y ˆ 0,5 1 2 t se0< t 5 > 3 t 5 se t > 5 Figura 4 Figura 5 che ha questo significato si paga un costo fisso di 0; 5 euro piuá mezzo euro a minuto per teefonate di a massimo 5 minuti si paga un costo fisso di 3 euro (corrispondente a costo di una teefonata di 5 minuti) piuá 1 euro a minuto per teefonate piuá unghe di 5 minuti. I grafico di questa funzione eá in figura 5 dove su'asse dee ascisse eá rappresentato i tempo t (in minuti). ESERCIZI Comprensione 1 Indica quae tra i seguenti eá i grafico dea funzione y ˆ j1 2xj a. b. c. d. 2 La funzione i cui grafico eá in figura ha equazione a. y ˆ x se x 2 x se x < 2 c. y ˆ x se x 2 2 x se x < 2 b. y ˆ x 1 s e x 2 x 2 s e x < 2 d. y ˆ x 2 s e x 2 x se x < 2 I piano cartesiano e a retta
Appicazione Traccia i grafico dee seguenti funzioni. 3 a. y ˆ j4xj b. y ˆ j 2xj c. y ˆ j3xj 4 a. y ˆ j 6xj b. y ˆ 3jxj c. y ˆ 1 3 jxj 5 Disegna i grafici dee seguenti funzioni con i modui. Vogiamo disegnare a curva di equazione y ˆjx 2j. Disegniamo dapprima a retta come se non ci fosse i moduo y ˆ x 2 (prima figura). Eseguiamo una simmetria rispetto a'asse x dea semiretta negativa (seconda figura). I grafico di y ˆjx 2j eá evidenziato in coore rosso. 6 y ˆj2x 3j 7 y ˆj1 xj y ˆj1 3xj 9 y ˆ j2x 5j 10 y ˆ 1 2 x 4 11 y ˆ 3 2 x 1 12 y ˆ 1 3 x 2 3 13 y ˆ 6x 1 2 14 y ˆ 2 3 5 x Disegna i grafici dee seguenti funzioni ineari a tratti. 15 ( 3 x se x < 2 y ˆ 2x 3 2 se x 2 Dobbiamo disegnare a retta di equazione y ˆ 3 x soo ne semipiano a sinistra dea retta x ˆ 2 e a retta di equazione y ˆ 2x 3 2 ne semipiano a destra. 16 y ˆ x 1 s e x < 0 3x 2 s e x 0 1 y ˆ 5 s e x < 0 x 1 s e x 0 1 >< x se x < 1 2 20 y ˆ > 1 3 x 2 s e x 1 3 x se0 x < 10 17 y ˆ 2x 3 s e x 10 19 y ˆ 2x 2 s e x 4 x 3 s e x > 4 < 2 21 y ˆ 3 x 1 s e x 1 x 2 s e x > 1 I piano cartesiano e a retta
< x se x < 0 22 y ˆ x 2 s e 0 x < 1 x se x 1 1 >< 2 x se x < 2 24 y ˆ 2x se 2 x < 2 > 3 4 x 1 s e x 2 < x se x < 0 23 y ˆ 2x se0 x < 3 x 1 s e x 3 1 >< 3 x 1 s e x < 3 25 y ˆ 2 3 x se 3 x < 0 > 6x se x 0 Disegna i grafici dee seguenti funzioni con i modui trasformandoe in funzioni ineari a tratti. 26 Disegnamo ora i grafico dea curva di equazione y ˆ 1 2 x 3. Per a presenza di un termine esterno a moduo, dobbiamo considerare i seguenti casi a. se 1 2 x 0, cioeá se x 0, a curva ha equazione y ˆ 1 2 x 3 b. se 1 2 x < 0, cioeá se x < 0, a curva ha equazione y ˆ 1 2 x 3 L'espressione anaitica dettagiata eá aora 1 >< 2 x 3 s e x 0 y ˆ > 1 2 x 3 s e x < 0 I suo grafico eá queo dea figura a fianco, in cui i ramo di coore verde eá queo dea retta y ˆ 1 2 x 3 vautato soo per x 0, mentre i ramo di coor rosso eá queo dea retta y ˆ 1 x 3 vautato soo per x < 0. 2 27 Disegna a curva di equazione y ˆjx 1j 2 Distingui i due casi a. se x 1 0, cioeá x 1 a curva ha equazione... b. se x 1 < 0, cioeá x < 1 a curva ha equazione... x 1 La sua espressione anaitica dettagiata eá dunque y ˆ x < 1 2 y ˆj3 2xj 3 29 y ˆ 3 2 x 1 I piano cartesiano e a retta
30 y ˆ 1 2 x 2 3 2 31 y ˆ x 1 2 3x 1 32 y ˆjx 2j x 33 y ˆjxj jx 1j 34 y ˆj5 xj 4 35 y ˆjx 3j 2x I piano cartesiano e a retta