La relazione tra altezza di precipitazione e durata Per area piccola importa sopra tutto la dipendenza dalla durata.

Relazione tra altezza di pioggia media h m, durata t e area A L'altezza di pioggia media h m dipende dalla durata t e dall'area A. L'intensità di pioggia media i m diminuisce al crescere della durata t e dell'area A. L'altezza (intensità) di pioggia media ha il carattere di una variabile casuale. La dipendenza dalla durata e quella dall'area si considerano separatamente. La relazione tra altezza di precipitazione e durata Per area piccola importa sopra tutto la dipendenza dalla durata. Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q. Q varia al variare di t, a parità di rarità della pioggia. Opportunità di assumere l'intensità i costante. La nozione di evento critico. Per una rete esistente si possono individuare la durata critica (figure), l'evento critico, l'altezza di precipitazione critica. Per una rete in progetto si effettua il dimensionamento in modo che l'evento critico abbia la rarità fissata. 1

Le curve segnalatrici di possibilità climatica Si considera la funzione h = f(t, T), oppure la funzione i m = f(t, T). Diversi nomi: curva segnalatrice di possibilità climatica, curva di possibilità climatica, curva segnalatrice di possibilità pluviometrica, curva di possibilità pluviometrica, curva di probabilità pluviometrica. Metodi di individuazione: il più comune è quello dell'analisi dei massimi annuali. Espressioni generali della curva di possibilità climatica. Espressioni particolari. Espressione monomia: utilità dell'espressione monomia; rappresentazione con una spezzata su carta logaritmica; costruzione della spezzata. Espressione generale: determinazione dei tre parametri; esempio Palazzo Marino. Opportunità di usare più stazioni con lo stesso regime pluviometrico. Curve di possibilità climatica della pioggia ragguagliata. La relazione tra l'altezza di precipitazione e l'area Curve di possibilità climatica della pioggia ragguagliata: necessità di una rete di stazioni, difficoltà di avere i dati. Coefficiente di riduzione (o di ragguaglio all'area) definizione. Formule per la modifica dei parametri della curva di possibilità climatica. 2

Relazioni tra altezza di pioggia, durata e area L'altezza di pioggia media osservata su una superficie in un assegnato intervallo di tempo dipende sia dalla durata sia dall'area della superficie. L'altezza di pioggia media (o pioggia ragguagliata) hr corrispondente a una data durata e a una data area si schematizza come una variabile casuale. La dipendenza dalla durata si considera per prima. 3

La relazione tra l'altezza di precipitazione e la durata Per i bacini di estensione limitata la dipendenza dell'altezza di pioggia dalla durata è più importante della dipendenza dall'area. Per i bacini di estensione limitata si può considerare l'altezza di precipitazione puntuale, relativa a una superficie di area nulla. A parità di rarità dell'evento l'altezza totale di precipitazione non cresce proporzionalmente al crescere della durata. E` opportuno vedere quali sono le ragioni pratiche per cui interessa conoscere il legame tra altezza di pioggia e durata. 4

La relazione tra la durata della precipitazione e la portata Si considera una sezione di una rete di drenaggio in occasione di un evento di pioggia. La portata varia nel tempo: inizialmente cresce, poi raggiunge un massimo e infine decresce, fino ad annullarsi. La portata massima osservata Q dipende dall'altezza totale e dalla durata della precipitazione. Si possono confrontare tra loro i valori assunti dalla portata massima Q al variare della durata della precipitazione, a parità di rarità dell'evento. Consideriamo eventi di pioggia a intensità costante, completamente individuati dalla durata e dall'altezza totale (oppure dall'intensità media) di precipitazione, che è una variabile casuale. 5

Eventi di pioggia a intensità costante con uguale tempo di ritorno ma con durata diversa producono sulla rete di drenaggio effetti diversi. La portata massima che - per eventi con un certo tempo di ritorno - si osserva nella sezione considerata è funzione della durata t. Un evento può produrre nella rete di drenaggio portate inferiori, uguali o superiori alla portata massima Q c ammessa nel canale, a seconda del tempo di ritorno. 6

La nozione di evento critico Si può definire un certo valore T c del tempo di ritorno per il quale Q uguaglia Q c soltanto per una ben precisa durata dell'evento, che prende il nome di durata critica. L'evento che porta la rete al limite dell'insufficienza nella sezione considerata prende il nome di evento critico ed è individuato dalla durata (durata critica) e dall'altezza di precipitazione totale (altezza di precipitazione critica). L'altezza di precipitazione critica dipende dalle dimensioni dei canali. In sede di progettazione della rete di drenaggio si assegna il grado di rarità (tempo di ritorno) dell'altezza di precipitazione critica. 7

La rete deve essere progettata in modo che l'evento critico (la cui durata non è nota a priori) abbia il grado di rarità assegnato. 8

Q c Q T 3 T 2 T 1 t Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q per diversi valori del tempo di ritorno T dell'evento

Q c Q T c t Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q per il tempo di ritorno T c che fornisce l'evento critico

Curve segnalatrici di possibilità climatica La curva che fornisce la relazione tra durata t e altezza di precipitazione h con tempo di ritorno assegnato prende il nome di curva segnalatrice di possibilità climatica curva di possibilità climatica curva segnalatrice di possibilità pluviometrica curva di probabilità pluviometrica Intensità media di precipitazione: im = h t In alternativa si considera la curva che fornisce la relazione tra durata t e intensità media di precipitazione im con tempo di ritorno assegnato. 9

Costruzione della curva segnalatrice di possibilità climatica. Metodo dell'analisi dei massimi annuali. Legge probabilistica adoperata: Gumbel o lognormale. Il tempo di ritorno convenzionale della curva è quello comune ai singoli punti adoperati per costruirla. L'interpolazione dei punti che rappresentano le altezze di pioggia si può effettuare: graficamente, con un'espressione analitica. 10

Il grado di affidabilità dipende dalla dimensione dei campioni di altezze di pioggia. Poichè le dimensioni dei campioni sono generalmente ridotte (non più di 20 30 elementi) sarebbe opportuno derivare la curva da un insieme di dati rilevati a diverse stazioni. Curve di possibilità climatica delle piogge ragguagliate: per ricavare i massimi è necessario eseguire un'elaborazione preliminare delle registrazioni pluviometriche. 11

Espressioni analitiche generali i m (t) = a (t + c)b i m (t) = a tb + c 12

Per c uguale a zero si ottiene i m (t) = a tb h(t) = i m (t)t = at1-b = atn Per b uguale a 1 si ottiene i m (t) = a t + c

Altezze di precipitazione massime annuali registrate per diverse durate al pluviografo di Palazzo Marino (Milano) Anno Durata [h] 0,25 0,50 0,75 1 1,25 1,50 2 2,50 3 4 6 1931 12,0 12,0 12,0 12,0 13,7 15,2 17,1 19,0 20,4 24,6 32,0 1932 13,0 17,2 19,6 19,6 19,6 19,6 21,0 22,8 26,2 41,4 46,4 1933 18,7 20,3 20,6 20,6 20,6 20,6 21,6 21,8 21,9 21,9 34,6 1934 12,3 21,2 22,3 30,0 35,5 37,5 39,7 40,0 40,0 40,0 43,5 1935 30,5 37,5 41,5 41,8 42,1 42,1 42,2 44,3 50,2 51,1 52,1 1936 27,0 40,0 52,0 60,0 70,2 71,5 74,0 76,0 77,8 78,5 78,5 1937 18,0 27,5 32,0 35,5 38,0 43,3 48,3 49,0 49,0 49,0 49,0 1938 27,5 36,0 39,0 42,0 44,4 50,0 52,2 52,2 52,2 52,2 59,0 1939 15,5 24,6 24,9 30,0 44,5 48,3 50,0 52,2 60,0 81,3 93,0 1940 17,0 31,5 34,5 35,7 37,1 37,7 38,0 38,5 38,7 39,0 40,8 1941 21,0 30,0 33,0 38,9 43,6 46,2 47,0 47,3 47,4 47,4 48,8 1942 23,0 34,6 35,3 35,4 35,4 35,4 35,4 42,1 48,6 48,8 48,8 1943 7,3 9,0 9,7 12,1 13,1 15,0 17,8 17,9 17,9 17,9 19,4 osservazioni mancanti 1954 13,4 18,0 20,6 24,0 27,6 30,0 32,0 32,4 33,0 33,1 33,1 1955 20,0 33,0 37,2 43,3 46,3 47,9 49,2 49,8 51,0 54,4 57,9 1956 20,0 39,3 39,3 42,2 46,4 47,4 47,9 47,9 47,9 47,9 47,9 1957 11,1 19,8 22,2 22,6 23,0 23,6 24,6 27,2 28,8 29,1 38,1 1958 15,2 20,0 25,2 30,0 34,6 37,7 39,8 40,9 42,8 49,6 63,4 1959 34,5 43,2 60,5 66,0 66,4 71,6 75,7 76,1 76,2 76,3 78,3 1960 28,0 30,8 31,1 32,3 36,5 38,5 39,3 39,3 39,6 40,5 41,3 1961 16,0 23,7 25,7 26,2 28,0 28,8 31,4 33,6 35,6 37,7 38,9 1962 14,7 15,6 15,7 15,9 16,9 17,0 17,0 17,0 18,4 21,6 27,0 1963 17,0 26,2 27,7 27,8 28,6 28,6 28,9 34,9 36,5 37,2 38,5 1964 11,8 12,5 16,4 23,2 28,0 29,9 33,8 36,0 36,6 41,6 55,6 1965 20,0 29,0 34,2 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 36,0 1966 16,6 19,8 19,8 22,2 24,6 26,6 29,8 36,1 44,5 52,9 62,1 1967 23,2 26,3 29,3 29,3 29,3 30,4 36,0 39,8 41,0 41,9 42,5 1968 20,0 26,8 27,4 28,6 30,0 30,1 32,1 32,3 32,3 32,3 37,3 1969 17,0 21,3 22,9 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 26,4 1970 30,2 32,1 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,5 14

Pluviografo di Palazzo Marino (Milano): parametri della distribuzione lognormale e altezze di precipitazione con tempo di ritorno di 10 anni t [h] µ(h) [mm] σ(h) [mm] µ(y) σ(y) h [mm] 0,25 19,1 6,5 2,8949 0,3311 27,6 0,50 26,0 8,8 3,2209 0,3306 37,6 0,75 28,8 11,1 3,2911 0,3722 43,3 1 31,3 12,1 3,3740 0,3732 47,1 1,25 33,8 13,3 3,4485 0,3795 51,2 1,50 35,4 14,1 3,4931 0,3838 53,8 2 37,1 14,4 3,5435 0,3746 55,9 2,50 38,6 14,3 3,5890 0,3586 57,3 3 40,2 14,7 3,6311 0,3543 59,5 4 42,7 15,9 3,6893 0,3603 63,5 6 46,8 16,5 3,7873 0,3423 68,5 15

Interpolazione con il metodo dei minimi quadrati Ponendo x = ln t, y = ln h, b = ln a, l'espressione monomia si trasforma nell'espressione lineare y = nx + b. Le stime dei parametri n e b della retta che interpola m punti, ottenute applicando il metodo dei minimi quadrati alle ordinate y e senza imporre ulteriori condizioni, sono fornite dalle espressioni n = m m xi y i - i = 1 m m x 2 i - i = 1 m m xi yi i = 1 i = 1 m xi 2 i = 1, b = m yi i = 1 i = 1 m x i 2 - m m x 2 i - i = 1 m m xi xi y i i = 1 i = 1 m xi 2 i = 1 Quelle ottenute imponendo il passaggio per il punto di coordinate (x 0, y 0 ) sono fornite dalle espressioni. n = mx 0 y 0 + m xi y i - x 0 i = 1 i = 1 m yi - y 0 m x 2 i + mx 2 0-2x 0 i = 1 i = 1 m xi i = 1 m xi, b = y 0 - nx 0. 16

100 50 h [mm] h = 48,4 t 0,194 h = 48,4 t 0,398 10 0,1 0,5 1 5 10 t [h] Miano, Palazzo Marino: curva di possibilità climatica ricavata dalle osservazioni del periodo 1931-1970

Stima dei parametri a, b e c Relazione i m (t) = a (t + c)b Si effettua la trasformazione ln i m (t) = ln a - bln(t + c) e si ricerca per tentativi il valore di c che consente l'interpolazione lineare migliore. Relazione i m (t) = a tb + c Si effettua la trasformazione tb + c = a/i m (t) tb = a/[1/i m (t)] - c e si ricerca per tentativi il valore di b che consente l'interpolazione lineare migliore. 17

0.1 1 10 100 50 h [mm] h(t) = 60,1t t 0,91 + 0,256 10 0,1 0,5 1 5 10 t [h] Milano, Palazzo Marin: curva di possibilità climatica ricavata dalle osservazioni del periodo 1931-1970

La relazione tra l'altezza di precipitazione e l'area Le piogge di elevata intensità si concentrano in aree piccole: a parità di durata e a parità di tempo di ritorno l'altezza di precipitazione decresce al crescere dell'area. L'altezza di precipitazione media h r su una superficie di area A assegnata si schematizza come una variabile casuale. La distribuzione di probabilità dell'altezza di precipitazione media h r dipende dalla durata t e dall'area A. L'elaborazione dei massimi annuali delle altezze di pioggia ragguagliate richiede la presenza sull'area in esame di una rete di strumenti ed è particolarmente gravosa. 18

Si determina l'altezza di precipitazione ragguagliata h r relativa a un'assegnata durata t e a un assegnato tempo di ritorno T moltiplicando l'altezza di precipitazione puntuale h relativa alla stessa durata e allo stesso tempo di ritorno per un opportuno coefficiente di riduzione (o coefficiente di ragguaglio all'area) R. Il coefficiente di riduzione R non è una variabile casuale ed è funzione, in linea di principio almeno, del tempo di ritorno T, della durata t e dell'area A. Il coefficiente di riduzione dipende anche dalla forma della superficie considerata; in pratica non se ne tiene conto. Il coefficiente di riduzione consente di trasferire l'informazione da una zona all'altra. 19

Il concetto di coefficiente di riduzione implica che il regime delle precipitazioni puntuali sia ovunque lo stesso. La condizione viene meno quando l'area è molto grande e quando il rilievo è accentuato. Il concetto di coefficiente di riduzione si può estendere anche al caso di disuniformità del regime pluviometrico. Nelle normali applicazioni idrologiche si utilizzano per le elaborazioni i valori del coefficiente di ragguaglio reperibili nella letteratura tecnica. 20

h h r pioggia puntuale pioggia ragguagliata L'altezza di precipitazione puntuale è una variabile casuale la cui distribuzione dipende dalla durata t: h = f(t, T) L'altezza di pioggia ragguagliata è una variabile casuale la cui distribuzione dipende dalla durata t e dall'area A: h r = f(t, A, T) 21

Coefficiente di riduzione (o di ragguaglio all'area) R Il coefficiente di riduzione coincide, secondo la definizione, con il rapporto Quindi R = h r(t, A, T) h(t, T) R = f(t, A, T) E poichè la dipendenza da T è molto debole: R = f(t, A) 22

Grafici, tabelle e formule per il coefficiente di riduzione Molti autori hanno fornito grafici, tabelle di valori e formule per il coefficiente di riduzione. Italia Massari (1910), nell'ambito degli studi per il progetto della fognatura di Milano. Columbo (1960), indagine sul territorio milanese. I valori proposti si dovrebbero utilizzare congiuntamente a una curva segnalatrice di possibilità climatica ricavata dai massimi annuali selezionati tra quelli di più stazioni vicine (così da potersi ritenere osservati ogni volta nel centro di scroscio). Coefficiente di riduzione delle altezze di pioggia, in funzione della durata e dell'area (Columbo, 1960) Durata Area [ha] [h] 100 300 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000 0,25 0,968 0,917 0,884 0,835 0,804 0,782 0,750 0,722 0,685 0,50 0,970 0,919 0,888 0,840 0,813 0,791 0,759 0,733 0,704 0,75 0,972 0,925 0,890 0,844 0,818 0,798 0,767 0,740 0,714 1 0,973 0,922 0,892 0,846 0,821 0,803 0,772 0,746 0,721 2 0,974 0,924 0,894 0,850 0,827 0,811 0,783 0,757 0,732 3 0,974 0,926 0,896 0,853 0,831 0,815 0,789 0,765 0,741 4 0,974 0,928 0,898 0,857 0,835 0,821 0,796 0,773 0,750 6 0,974 0,930 0,902 0,863 0,843 0,831 0,808 0,788 0,757 12 0,976 0,941 0,916 0,884 0,868 0,858 0,844 0,830 0,816 24 0,982 0,961 0,944 0,923 0,916 0,906 0,900 0,894 0,886 23

Regno Unito DEWC (1981), per aree fino a 100 km 2 R = 1 - at b. (il tempo t è misurato in ore e a e b sono due parametri che dipendono dall'area A del bacino). a = 0,0394A 0,354 ; b = 0,40-0,0208 ln(4,6 - ln A) (area A inferiore a 20 km 2 ) b = 0,40-0,00382ln(4,6 - ln A) 2 (area A compresa tra 20 e 100 km 2 ). NERC Coefficiente di riduzione delle altezze di pioggia, in funzione della durata e dell'area (NERC, 1975) Durata Area [km 2 ] 1 5 10 30 100 300 1000 3000 10 000 30 000 1 min 0,76 0,61 0,52 0,40 0,27 - - - - - 2 min 0,84 0,72 0,65 0,53 0,39 - - - - - 5 min 0,90 0,82 0,76 0,65 0,51 0,38 - - - - 10 min 0,93 0,87 0,83 0,73 0,59 0,47 0,32 - - - 15 min 0,94 0,89 0,85 0,77 0,64 0,53 0,39 0,29 - - 30 min 0,95 0,91 0,89 0,82 0,72 0,62 0,51 0,41 0,31-60 min 0,96 0,93 0,91 0,86 0,79 0,71 0,62 0,53 0,44 0,35 2 h 0,97 0,95 0,93 0,90 0,84 0,79 0,73 0,65 0,55 0,47 3 h 0,97 0,96 0,94 0,91 0,87 0,83 0,78 0,71 0,62 0,54 6 h 0,98 0,97 0,96 0,93 0,90 0,87 0,83 0,79 0,73 0,67 24 h 0,99 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86 0,83 0,80 48 h - 0,99 0,98 0,97 0,96 0,94 0,91 0,88 0,86 0,82 96 h - - 0,99 0,98 0,97 0,96 0,93 0,91 0,88 0,85 192 h - - - 0,99 0,98 0,97 0,95 0,92 0,90 0,87 25 d - - - - 0,99 0,98 0,97 0,95 0,93 0,91

Francia Desbordes et al. (1982) R = A -ε, (A è l'area, misurata in ettari, ed ε è un parametro, generalmente assunto uguale a 0,05). Debordes et al. (1984) ε = (0,04-0,0332logt)(A 0,105-0,73), (t è la durata della precipitazione, misurata in ore, e A è l'area, misurata in ettari). L'espressione è valida per aree non superiori a 400 ha, per durate non superiori a 1 h e nell'ipotesi che la curva di possibilità climatica sia desunta dall'elaborazione statistica dei massimi annuali scelti tra quelli osservati nei diversi pluviografi dell'area in esame. Stati Uniti USWB (1960), curve. 25

Formule per la modifica dei parametri della curva di possibilità climatica La curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata è rappresentata dall'espressione h r (t) = at n R(t, A) h r (t) = a't n' I valori dei parametri a' ed n' dipendono dai valori dei corrispondenti parametri a ed n della curva delle altezze di pioggia puntuali h e dal valore dell'area A. Alcuni autori hanno proposto delle formule per ricavare direttamente i valori dei parametri a' ed n' relativi alle altezze di pioggia ragguagliata da quelli dei parametri a ed n relativi alle altezze di pioggia puntuale e dell'area A. Massari (1910)(area A è espressa in ettari): a' = a 1 + A 5000 per aree non superiori 1000 ha; a' = a 8 4,2 + A per aree non inferiori a 5000 ha. L'esponente n' si assume coincidente con l'esponente n. 26

Puppini (1932) (durata t espressa in ore, area A in ettari): a' = a 1-0,052 A 100 + 0,002 A 100 2 n' = n + 0,0175 A 100 Le espressioni sono valide per aree non superiori a 1300 ha e per durate non superiori a 24 h. Si presuppone che la curva segnalatrice di possibilità climatica sia stata derivata da osservazioni effettuate nel centro di scroscio. Puppini (1931), dai dati della Bonifica Renana (durata t espressa in giorni, area A è in kilometri quadrati): a' = a 1-0,084 A 100 + 0,007 A 100 2 n' = n + 0,014 A 100 Le espressioni sono valide per aree non superiori a 600 km 2. Marchetti (1964), dai dati di Columbo (area A in ettari): a' = a 1-0,06 A 100 n' = n + 0,003 A 100 0,4 0,6 Le formule sono valide per aree comprese tra 100 e 5000 ha. 27