U. Moisello MASSIMI. Analisi Statistica di Massimi Idrologici

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1 U. Moisello MASSIMI Analisi Statistica di Massimi Idrologici versione ampliata Pavia settembre 2011

2 CARATTERISTICHE GENERALI DEL PROGRAMMA Il programma (scritto in linguaggio FORTRAN) è destinato all'elaborazione statistica di una serie di osservazioni del massimo annuale di una grandezza idrologica. L'insieme delle osservazioni si assume contenuto, insieme con qualche altra informazione, in un apposito file dati; i risultati sono scritti in un file risultati. In fase di esecuzione si possono definire, rispondendo da tastiera a un certo numero di domande che appaiono sul video, le elaborazioni di cui si vuole l'esecuzione. Le elaborazioni si basano sull'assunzione che il massimo idrologico considerato si possa trattare come una variabile casuale, indicata con x, e che la serie di osservazioni costituisca un campione estratto dalla popolazione della x. Le elaborazioni possibili consistono nell'individuazione della legge probabilistica del tipo prescelto che si assume come adatta a interpretare le osservazioni del campione, nella determinazione dei valori assunti dalla variabile x per un certo numero di tempi di ritorno T assegnati e nella determinazione della distribuzione del massimo della x in un numero N di anni assegnato. Per determinare la distribuzione del massimo della x in N anni l'utente fissa un certo numero di valori diversi di N e della probabilità di non superamento P e il programma calcola, per ogni valore di P, il valore della variabile x che corrisponde a P per i diversi valori di N assegnati. Utilizzando questi risultati si può dare una rappresentazione grafica della distribuzione del massimo di x in N anni tracciando un fascio di curve, ciascuna delle quali rappresenta, per una data probabilità di non superamento P, la dipendenza del massimo della x dal numero N degli anni a cui il massimo si riferisce. L'utente può adoperare, per l'analisi statistica dei massimi annuali, la legge di Gumbel, la legge lognormale, la legge Gamma, la legge di Fréchet, la legge di Weibull e la legge loglogistica (tutte a due parametri). La stima dei parametri è effettuata con il metodo dei momenti. E` possibile escludere dalle elaborazioni un numero arbitrario di osservazioni. E` anche possibile escludere, a richiesta, il calcolo dei valori della x corrispondenti ad assegnati tempi di ritorno e quello del massimo della x in N anni. 1

3 DATI Dati contenuti nel file dati I dati di base per l'esecuzione del programma sono contenuti in un apposito file, che deve essere preparato in anticipo dall'utente. Il file dati è così costituito: a) una o più righe di commento, destinate a contenere le informazioni sui dati; ogni riga non deve superare gli 80 caratteri e deve essere delimitata da apici (per esempio 'xxxxxx'); il numero delle righe di commento è illimitato; b) una riga che contiene il codice '***', che è destinato a chiudere il commento (non ci devono essere altri caratteri, di nessun tipo, tra i due apici, i quali fanno parte del codice); c) una riga che contiene il codice numerico 0 (zero) oppure 1 (uno); il codice 0 si adopera quando le osservazioni sono senza etichetta, il codice 1 quando ogni osservazione è preceduta da un'etichetta; se il codice è minore di zero o maggiore di 1 sullo schermo compare la scritta ERRORE IN ASSEGNAZIONE CODICE ETICHETTA NEL FILE DATI; se ha luogo un errore durante la lettura dei dati sullo schermo compare la scritta ERRORE NELLA LETTURA DELLE OSSERVAZIONI; d) un insieme di righe, ciascuna delle quali corrisponde a un'osservazione; quando non c'è etichetta ogni riga contiene solo il valore numerico dell'osservazione (scritto adoperando il punto per i decimali, non la virgola); quando c'è l'etichetta, questa deve essere contenuta tra due apici, deve precedere nella riga il valore numerico ed essere separata da questa da un carattere TAB (oppure da uno spazio bianco oppure da una virgola); il numero delle righe che contengono le 2

4 osservazioni è al massimo uguale a 1000 (per aumentare questo massimo occorre intervenire sul programma, come è spiegato più avanti). Tra le righe che contengono i dati e dopo l'ultima può essere inserito un numero qualsiasi di righe bianche, che vengono trascurate dal programma. In qualche caso (a seconda del sistema operativo utilizzato) l'inserimento di un'ultima riga bianca può essere necessario. Esempi di file dati Un esempio di file dati con etichetta è il seguente: 'CHIESE A GAVARDO' 'Massimi annuali della portata al colmo (in m3/s)' '***' 1 '1951' 450 '1952' 213 '1953' 286 '1954' 182 '1955' 131 '1956' 223 '1957' 189 '1958' 247 '1959' 375 '1960' 368 Un esempio di file dati senza etichetta è il seguente: 'CHIESE A GAVARDO' 'Massimi annuali della portata al colmo (in m3/s)' '***'

5 Dati forniti da tastiera A ogni esecuzione il programma pone all'utente un certo numero di domande. La risposta può consistere in un valore numerico o in una stringa alfanumerica (sempre senza apici), a seconda della domanda. Alcune domande implicano risposta affermativa o negativa. La risposta affermativa consiste nella lettera S (indifferentemente maiuscola o minuscola) e la risposta negativa nella lettera N (indifferentemente maiuscola o minuscola). In diversi casi di risposta errata la domanda viene ripetuta. Le domande vengono poste nella prima e nell'ultima fase di esecuzione del programma, nell'ordine che segue: Domanda n.1 NOME DEL FILE DELLE OSSERVAZIONI? Il programma a questo punto legge da tastiera il nome (non più lungo di 20 caratteri) del file che contiene i dati. Domanda n. 2 NOME DEL FILE DEI RISULTATI? Il programma a questo punto legge da tastiera il nome (non più lungo di 20 caratteri) del file destinato a contenere i risultati. Domanda n. 3 SCARTI QUALCHE DATO (S/N)? Se la risposta è positiva il programma passa alla domanda seguente. Se la risposta è negativa il programma passa alla domanda n. 6. Domanda n. 4 NUMERO DEI DATI DA SCARTARE? 4

6 La risposta alla domanda è il numero totale delle osservazioni che si vogliono escludere dall'elaborazione in corso. Il numero dei dati da scartare è limitato dalla condizione che nell'elaborazione si includano almeno 2 dati. (La limitazione naturalmente è del tutto formale, perchè un'elaborazione statistica significativa richiede un numero di dati ben maggiore di 2.) E` da notare che l'esclusione di dati dalle elaborazioni avviene senza modificare il file dati. Se la risposta è un numero minore di 1 la domanda viene ripetuta. Domanda n. 5 DATO DA SCARTARE NUMERO # NUMERO D'ORDINE? Questa domanda viene ripetuta tante volte quanti sono i dati da escludere dall'elaborazione (v. domanda precedente). Ogni dato è individuato dal suo numero d'ordine # (dove # è uguale a 1 per la prima osservazione, a 2 per la seconda, etc.). Le domande che seguono compaiono dopo la scritta LE DISTRIBUZIONI CONSIDERATE SONO TUTTE A DUE PARAMETRI Domanda n. 6 VUOI LA LEGGE DI GUMBEL (S/N)? In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge di Gumbel tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge di Gumbel non è presa in considerazione. Domanda n. 7 VUOI LA LEGGE LOGNORMALE (S/N)? 5

7 In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge lognormale (a 2 parametri) tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge lognormale non è presa in considerazione. Domanda n. 8 VUOI LA LEGGE GAMMA (S/N)? In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge Gamma (a 2 parametri) tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge Gamma non è presa in considerazione. Domanda n. 9 VUOI LA LEGGE DI FRECHET (S/N)? In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge di Fréchet (a 2 parametri) tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge di Fréchet non è presa in considerazione. Domanda n. 10 VUOI LA LEGGE D WEIBULL (S/N)? In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge di Weibull (a 2 parametri) tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge di Weibull non è presa in considerazione. Domanda n. 11 VUOI LA LEGGE LOGLOGISTICA (S/N)? In caso di risposta affermativa si eseguono per la legge loglogistica tutti i calcoli scelti nel corso dell'elaborazione. In caso di risposta negativa la legge loglogistica non è presa in considerazione. 6

8 Se si dà risposta negativa a tutte le domande che vanno dalla n. 6 alla n. 11 (comprese), cioè se non si sceglie nessuna legge di probabilità, il programma ritorna alla domanda n. 6. Domanda n. 12 VUOI I VALORI CORRISPONDENTI AD ASSEGNATI TEMPI DI RITORNO (S/N)? Se la risposta è positiva il programma passa alla domanda seguente. Se è negativa il programma esclude, per tutte le leggi probabilistiche scelte, questo tipo di calcolo e passa alla domanda n. 14. Domanda n. 13 QUANTI VALORI VUOI? La risposta consiste nel numero dei tempi di ritorno per cui si vogliono calcolare i valori della grandezza considerata. Se la risposta è un numero minore di 1 la domanda viene ripetuta. Il numero dei tempi di ritorno è al massimo uguale a 10 (per aumentare questo massimo occorre intervenire sul programma, come è spiegato più avanti). Domanda n. 14 TEMPO DI RITORNO NUMERO # VALORE? La domanda viene ripetuta (ponendo il valore di # inizialmente uguale a 1 e successivamente incrementandolo di un'unità per volta) tante volte quanti sono i tempi di ritorno per cui si vuole il calcolo (v. domanda precedente). Domanda n. 15 VUOI L'ANALISI DEI MASSIMI PER INTERVALLI DI TEMPO DI LUNGHEZZA ASSEGNATA (S/N)? 7

9 Se la risposta alla domanda è positiva il programma passa alla domanda seguente. Altrimenti passa alla domanda n. 20. Domanda n. 16 QUANTI INTERVALLI DI TEMPO CONSIDERI? La risposta alla domanda consiste nel numero totale dei valori diversi del numero N di anni per ciascuno dei quali si vuole calcolare il valore della grandezza x che ha un'assegnata probabilità di non superamento nella distribuzione del massimo annuale in N anni. Se la risposta consiste in un numero inferiore a 1 la domanda viene ripetuta. Il numero degli intervalli di tempo è al massimo uguale a 10 (per aumentare questo massimo occorre intervenire sul programma, come è spiegato più avanti). Domanda n. 17 INTERVALLO NUMERO # QUANTI SONO GLI ANNI DELL'INTERVALLO? La domanda è ripetuta (ponendo il valore di # inizialmente uguale a 1 e successivamente incrementandolo di un'unità per volta) tante volte quanti sono i valori diversi di N che si è deciso di considerare (v. domanda precedente). La risposta consiste, ogni volta, nel diverso numero N di anni di cui ogni intervallo è costituito. Domanda n. 18 QUANTE CURVE VUOI COSTRUIRE? I risultati di una parte dell'elaborazione sono destinati a permettere la rappresentazione in forma grafica della distribuzione del massimo in N anni per mezzo di curve (parametrate con la probabilità di non superamento P) che forniscono x in funzione di N. La risposta alla 8

10 domanda è il numero di queste curve. Il numero delle curve è al massimo uguale a 10 (per aumentare questo massimo occorre intervenire sul programma, come è spiegato più avanti). Domanda n. 19 CURVA NUMERO # QUAL'E' LA PROBABILITA'? La domanda è ripetuta (ponendo il valore di # inizialmente uguale a 1 e successivamente incrementandolo di un'unità per volta) tante volte quante sono le curve che si vogliono costruire (v. domanda precedente). La risposta consiste, ogni volta, nel valore della probabilità di non superamento P assunto a caratterizzare la curva. Domanda n. 20 HAI FINITO (S/N)? La domanda è posta alla fine dell'elaborazione in corso. Se la risposta è negativa il programma passa alla domanda seguente, se è positiva il programma termina l'esecuzione. Domanda n. 21 VUOI CAMBIARE IL FILE DELLE OSSERVAZIONI? Se la risposta è positiva (cioè se si vuole elaborare un altro insieme di osservazioni) il programma torna alla domanda n. 1. Se è negativa (cioè se si vuole eseguire un'ulteriore elaborazione sull'insieme già considerato) il programma torna alla domanda n. 2. 9

11 RISULTATI I risultati dell'esecuzione del programma sono scritti nel file risultati creato all'inizio dell'esecuzione e chiamato con il nome scelto dall'utente. Il file risultati è costituito da una successione di scritte, per lo più in forma di tabelle, che corrispondono alle diverse elaborazioni scelte. Le scritte che compongono il file risultati sono le seguenti: Scritta n.1 La scritta contiene innanzi tutto i commenti del file dati. OSSERVAZIONI contiene poi la tabella delle osservazioni, nello stesso ordine in cui compaiono nel file dati. Ogni osservazione è preceduta dall'etichetta (se esiste) e dal numero d'ordine con cui compare nella lista originale. Scritta n. 2/a Nel file risultati compare la scritta PER L'ANALISI STATISTICA SONO STATE ADOPERATE TUTTE LE OSSERVAZIONI se si è data risposta negativa alla domanda n. 3. Scritta n. 2/b La scritta compare nel file risultati se si è data risposta positiva alla domanda n. 3 (cioè se si è scartato qualche dato). Consiste in una tabella, che ha titolo OSSERVAZIONI ADOPERATE PER L'ANALISI STATISTICA 10

12 e contiene le osservazioni effettivamente adoperate nell'elaborazione, ciascuna preceduta dalla propria etichetta e dal numero d'ordine con cui compare nella nuova lista. Scritta n. 3 OSSERVAZIONI IN ORDINE CRESCENTE NUMERO D'ORDINE, FREQUENZA, VALORE compaiono le osservazioni ordinate in ordine crescente, accanto alle relative frequenze di non superamento. Scritta n. 4 PARAMETRI CALCOLATI DALLE OSSERVAZIONI UTILIZZATE compaiono i valori della media aritmetica m(x) (MEDIA) e dello scarto quadratico medio s(x) (corretto contro la distorsione) (SQM) calcolati dall'insieme di osservazioni considerate nell'elaborazione. Scritta n. 5/1 DISTRIBUZIONE DI GUMBEL compaiono i valori dei parametri α (ALFA) e u (U) della distribuzione, la cui probabilità di non superamento è P(x) = e -e -α(x - u), calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO 11

13 compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). Scritta n. 5/2 DISTRIBUZIONE LOGNORMALE A 2 PARAMETRI compaiono i valori dei parametri a (A) e b (B) della distribuzione della variabile trasformata u = a ln x + b, la cui probabilità di non superamento è P(u) = - u 1 2π exp - u2 2 du, calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO 12

14 compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). Scritta n. 5/3 DISTRIBUZIONE GAMMA A 2 PARAMETRI compaiono i valori dei parametri α (ALFA) e γ (GAMMA) della distribuzione, la cui probabilità di non superamento è P(x) = α γ x γ-1 e -αx dx, Γ(γ) 0 x calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire 13

15 il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). Scritta n. 5/4 DISTRIBUZIONE DI FRECHET A 2 PARAMETRI compaiono i valori dei parametri k (K) e u (U) della distribuzione, la cui probabilità di non superamento è P(x) = exp - x u -k, calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a 14

16 convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). Scritta n. 5/5 DISTRIBUZIONE DI WEIBULL A 2 PARAMETRI compaiono i valori dei parametri k (K) e u (U) della distribuzione, la cui probabilità di non superamento è P(x) = 1 - exp - x u k, calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). 15

17 Scritta n. 5/6 DISTRIBUZIONE LOGLOGISTICA A 2 PARAMETRI compaiono i valori dei parametri α (ALFA) e β (BETA) della distribuzione, la cui probabilità di non superamento è P(x) = x β α β + x β, calcolati con il metodo dei momenti; sotto il titolo TEST CHI QUADRO compaiono i risultati dell'esecuzione del test χ 2. Nella tabella compaiono: il numero k di classi in cui il campione di osservazioni adoperate è stato suddiviso (seguendo il criterio dell'equiprobabilità) per eseguire il test; il valore calcolato della grandezza X 2 (X2); la distribuzione del χ 2 a (k-1) gradi di libertà (P1) (a convenzionale -2 se k non è superiore a 1); la distribuzione del χ 2 a (k-3) gradi di libertà (P2) (a convenzionale -1 se k non è superiore a 3 e il valore convenzionale -2 se k non è superiore a 1); il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi di provenienza del campione dalla distribuzione considerata (valor medio di P1 e di P2). Scritta n. 6 VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI 16

18 compaiono i valori scelti del tempo di ritorno (T) e i corrispondenti valori calcolati della grandezza (X). La tabella compare solo se si è data risposta positiva alla domanda n. 9 e compare per tutte le leggi di probabilità scelte (cioè dopo ciascuna delle scritte 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5 e 5/6). Scritta n. 7 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA compaiono i valori delle osservazioni incluse nell'elaborazione e i valori corrispondenti della probabilità di non superamento calcolati con la legge di probabilità scelta (la tabella viene scritta per ognuna delle leggi di probabilità scelte). Scritta n. 8 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEI MASSIMI IN N ANNI compaiono le coordinate (N, X) dei punti da adoperare per tracciare le curve corrispondenti alle probabilità assegnate. Prima dell'insieme dei valori relativi a ciascuna curva è indicato il valore della probabilità corrispondente (indicata come PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO). 17

19 MODIFICHE AL PROGRAMMA SORGENTE Per cambiare i formati di stampa dei valori numerici occorre modificare le corrispondenti istruzioni # FORMAT(...) nel programma sorgente (che è in FORTRAN). I numeri (#) delle istruzioni FORMAT che possono essere cambiate (135, 136, 149 e 1508 del programma principale; 35 e 36 della subroutine DATI) sono elencati in un'apposita istruzione commento in testa al programma, per facilitarne la ricerca. Per cambiare il numero massimo dei tempi di ritorno (nel calcolo dei valori corrispondenti a tempi di ritorno assegnati), il numero massimo degli intervalli di tempo e il numero massimo delle curve (nell'analisi dei massimi per intervalli di tempo di lunghezza assegnata) occorre assegnare il valore voluto al parametro NNN (che definisce contemporaneamente i tre valori massimi e che è posto inizialmente uguale a 10) nell'istruzione PARAMETER(NNN=10, MMM=100). Per cambiare il numero massimo delle osservazioni occorre assegnare il valore voluto al parametro MMM (che è posto inizialmente uguale a 1000) nella stessa istruzione.. Avvertenza Quantunque questo programma sia stato provato e controllato con cura, come di consuetudine l'autore non può formulare alcuna garanzia nè espressa nè implicita per quanto riguarda le sue prestazioni o la sua idoneità per qualsiasi particolare scopo. L'utilizzatore si assume l'intero rischio per quanto riguarda qualità e prestazioni. 18