INTERSEZIONI DI SOLIDI Intersecare due solidi significa fonderli in un unico volume, che assume nuove caratteristiche spaziali. Quando i due solidi si intersecano determinano una compenetrazione che può essere completa o parziale. Nelle proiezioni ortogonali il procedimento consiste nel disegnare i due solidi e il loro confine reciproco detto linea di intersezione. 64
Intersezioni di due cubi ruotati fra loro. 3 F'" H'" B" B'"=C'" C" G'" A'"=D'" E'" A" D" O INTERSEZIONI DI SOLIDI F"= H" 2 E"= G" G'= H' LT Attraverso le proiezioni ortogonali possiamo individuare gli elementi caratteristici della compenetrazione dei due solidi. Proiettiamo quindi i due cubi, uno alla volta sui piani fondamentali. Avremo così in evidenza il nuovo volume, nonché le porzioni di spazio comuni ai due solidi. Viene a delinearsi nelle due proiezioni la linea di intersezione che limita il confine fra i due cubi. A'= B' C'= D' E'= F' 1 65
INTERSEZIONI DI SOLIDI F" G" E" H" 2 Intersezione di un prisma triangolare orizzontale con un parallelepipedo verticale. 2 E" B" C" E*= B* C* Le due superfici hanno gli assi che non si incontrano. LT 1 F' D" F" A" A*= F* A' B' E' C' D' 1 D* Con l ausilio della figura disegnata su un piano laterale (definibile anche piano ausiliario), che rappresenta la proiezione sopra un piano normale a p1 restituidce l immagine sul piano ausiliario, dei solidi visti da sinistra, si determinano, per punti, le proiezioni delle linee di intersezione delle due superfici. 66
documento didattico / appunti di GEOMETRIA DESCRITTIVA PROIEZIONI ASSONOMETRICHE: 67
ASSONOMETRIE generalità Il metodo delle proiezioni ortogonali di Monge, fornisce tutti gli elementi, metrici e quindi dell immagine, per una rappresentazione bidimensionale. L assonometria fornisce una proiezione che, a differenza delle proiezioni ortogonali, presenta una sola immagine dell oggetto, con alcune caratteristiche delle proiezioni ortogonali, ma con il sostanziale vantaggio di una rappresentazione tridimensionale. Il sistema fornisce un immagine dell oggetto con i rapporti proporzionali e ne descrive l aspetto spaziale, anche se con inevitabili effetti di distorsione ottica. Il quadro assonometrico (p), è il piano ideale su cui si forma la visione assonometrica. La sua inclinazione rispetto all oggetto è determinante per il tipo di rappresentazione che si vuole realizzare. 68
ASSONOMETRIE generalità Il termine assonometria deriva dal fatto che in essa vengono proiettate, insieme alla figura, anche gli assi di riferimento spaziali. I raggi proiettanti provengono da un punto all infinito e possono incidere il piano assonometrico ortogonalmente, originando le assonometrie ortogonali, si ha l assonometria obliqua se i raggi sono incidenti il quadro con angolo diverso da 90. Nel caso questi giungano in modo ortogonale, esiste un piano particolare su cui potere vedere tutti i piani ortogonali di Monge, in modo da potere ricomporre su questo piano particolare la figura. Un piano del genere risulta posizionato obliquo nel primo diedro. 69
ASSONOMETRIE generalità In questo piano particolare proiettiamo gli assi e ricomponiamo l immagine dell oggetto. 70
ASSONOMETRIA ORTOGONALE generalità La proiezione degli assi sul piano determina angoli ben precisi che mi consentono di ricostruire l oggetto con rapporto fisso lungo i 3 assi. In questo caso abbiamo assi inclinati di 120 o di 30 se riferiti ad una orizzontale. Questo è il caso dell assonometria ortogonale isometrica, ovvero con rapporto 1:1:1. 71
ASSONOMETRIA ORTOGONALE generalità POSIZIONE DEL QUADRO RISPETTO ALL OGGETTO Se il quadro assonometrico si trova dietro l oggetto le inclinazioni degli assi sono da riportare nella parte inferiore rispetto all orizzontale (fig. sx.), se posto avanti l oggetto, sono da orientare nella parte superiore (fig. dx.). 72
ASSONOMETRIA ORTOGONALE assonometria isometrica 120 x 0,82 O z 0,82 0,82 120 y Se la porzione del quadro assonometrico formata dall intersezione con p1, p2, e p3 è un triangolo equilatero, gli assi x, y e z, proiettati su di esso formano tra loro angoli uguali a 120. L assonometria che così si ottiene è detta assonometria isometrica (l unità di misura è uguale su tutti e tre gli assi). L unità di misura riportata su uno qualunque dei tre assi subisce un uguale rapporto di riduzione. 120 73
129 105 x x 0,57 0,91 z z 129 0,91 O 0,91 y 102 0,64 O 0,77 145 110 y ASSONOMETRIA ORTOGONALE assonometria dimetrica Se il quadro assonometrico forma con i piani di proiezione un triangolo isoscele, i tre assi x, y e z, proiettati su di esso avranno fra loro due angoli uguali e uno disuguale. L assonometria costruibile su un tale sistema di assi si dice assonometria dimetrica. I tre angoli formati dalla proiezione degli assi sul quadro sono due uguali e uno disuguale. L unità di misura in questo caso subisce lo stesso rapporto di riduzione sui due assi che delimitano l angolo differente e un diverso rapporto di riduzione su z. assonometria trimetrica Se l intersezione fra il quadro assonometrico e i piani di proiezione forma un triangolo scaleno, gli assi x, y e z proiettati su di esso formeranno tra loro angoli disuguali. L assonometria allora si dice trimetrica e cioè che l unità di misura è differente su i tre assi. In questo caso i tre angoli formati dagli assi sono differenti fra loro. E quindi, su ognuno di essi si ha un rapporto di riduzione diverso. 74
ASSONOMETRIA OBLIQUA Nelle assonometrie oblique, i raggi incidono il piano in modo obliquo quindi, in teoria, potremmo prendere qualsiasi piano su cui ricreare l immagine assonometrica dell oggetto. Questo ci permette di disporre il piano in modo arbitrario rispetto al diedro di Monge, ossia verticalmente oppure orizzontalmente o inclinato a piacere. Ovviamente per una rappresentazione utile, occorre prendere in modo idoneo l inclinazione del piano assonometrico, per scongiurare deformazioni tali degli oggetti la cui rappresentazione non risulterebbe giustificabile. Piano assonometrico dietro l oggetto. Piano assonometrico avanti l oggetto. 75
ASSONOMETRIA CAVALIERA di se g Quando un assonometria cavaliera è particolarmente ricca di annotazioni, può capitare che la rappresentazione appaia deformata, specialmente nelle linee dei contorni in un angolo del piano frontale. Progetto di J. Stirling per un isolato di Berlino. no po lib a g_ m on gi el lo Alle assonometrie oblique appartiene l assonometria cavaliera. Nell assonometria cavaliera il quadro assonometrico si assume parallelo ad uno dei piani fondamentali. Generalmente, per comodità si prende parallelo a p2. L obliquità dei raggi proiettanti assicura la necessaria inclinazione tra gli assi x, y e z. L assonometria ha la caratteristica di avere una faccia del solido parallela al piano del foglio con gli assi x e z rispettivamente orizzontale e verticale. L asse y può formare con x e z angoli uguali o diversi. Possono essere di tipo monometrica o dimetrica. Nella dimetrica la riduzione è operata lungo l asse Y. 76
assonometria obliqua cavaliera Assonometria cavaliera con l asse y inclinato di 60 (120 ) rispetto a x o z. Alla visione frontale di una faccia dell oggetto sul piano individuato dagli assi x e z riportata con misure reali si associa l asse y inclinato di 60 (120 ). Si usa la convenzione di ridurre le misure a 1/3 (x:y:z=1:1/3:1). 90 z 0,33 x 1 1 O 120 y Questa assonometria è ruotata a desta di 60, lungo la facciata longitudinale, e comprende diversi accorgimenti grafici. Progetto di J. Stirling per un isolato di Berlino. 150 77
90 z 0,5 assonometria obliqua cavaliera x 1 1 O 135 135 y Assonometria cavaliera con l asse y inclinato di 45 (135 ) rispetto a x o z. Per convenzione si dimezzano le misure sull asse y (x:y:z=1:1/2:1) e ciò facilita di molto l esecuzione dell assonometria. 90 z x 1 120 1 O 1 150 y Assonometria cavaliera con l asse y inclinato di 30 (150 ) rispetto a x o z. Alla solita visione frontale di una faccia giacente sul piano individuato dagli assi x e z, con misure non ridotte, si associa all intersezione degli assi l asse y inclinato di 30 rispetto a x o a z, a seconda che si voglia una visione dal basso o dall alto. 78
assonometria Questo progetto di Mark Lintott, rappresenta l interno di un negozio la cui pianta è ruotata di 45. E stata praticata una sezione a livello della copertura per permettere l analisi della struttura interna, mentre la soluzione della facciata assume un significato secondario rispetto all elaborato. Inoltre la decisione di ruotare la pianta verso destra dipende dalla necessità di descrivere l ubicazione della scala. In questo tipo di assonometria, generalmente viene utilizzata la base dalla quale viene proiettata, secondo i tre assi principali, l altezza relativa agli elementi che costituiscono la composizione, senza rapporto di riduzione. Qui la pianta è ruotata di 30 e 60 rispetto all orizzontale. Lo scorcio di destra assume particolare importanza e la proiezione descrive soprattutto i dettagli costruttivi relativi alla soluzione d angolo. A. Sartoris, progetto Nostra Signora del faro, 79 Losanna 1931.
ASSONOMETRIA OBLIQUA monometrica convenzionale z x 90 y 120 x 1 O z 1 150 Questo tipo di assonometria si definisce monometrica convenzionale in quanto, per praticità, non viene applicato alcun rapporto di riduzione. Le misure su ognuno dei tre assi si riportano invariate. Ciò che ne risulta è un immagine leggermente deformata in altezza, per cui forse sarebbe opportuna una lieve riduzione. E tuttavia il tipo di rappresentazione assonometrica più usato perché fornisce una visione asimmetrica, senza occasioni di coincidenza di vertici o spigoli, e di forte effetto di tridimensionale. Il quadro assonometrico è parallelo al piano di riferimento p1 e gli assi x, y e z formano fra loro angoli di 90, 120 e 150. 90 1 y 80
assonometria obliqua monometrica Assonometrie dello stesso edificio con piani di riferimento diversi, progetto IMA a Ferrara di C. Aymonino, 1982. 81
assonometria obliqua monometrica Essendo uno strumento efficace per comprendere le relazioni fra i diversi componenti oggetti di un singolo spazio o fra le diverse componenti di un singolo oggetto, le assonometrie vengono spesso proposte dai progettisti con l intendo di studiare i dettagli delle proprie soluzioni. Questo spaccato assonometrico è tratto dal progetto del teatro della Compagnia di Firenze di A. Natalini, 1987. 82
assonometria obliqua monometrica Spaccati assonometrici di due rilievi architettonici di P. Portoghesi la chiesa di S. Eustachio e la chiesa di S.Carlino del Borromini a Roma. 83
L USO E LA SCELTA DELL ASSONOMETRIA. Passate in rassegna quasi tutte le tipologie delle assonometrie di uso più comune, daremo qualche cenno ai criteri di scelta di tale sistema di rappresentazione. Bisogna affermare intanto che, nel disegno architettonico, l'assonometria ha quasi sempre funzione complementare, servendo per illustrare particolari significativi o per dare un'idea d'insieme dell'oggetto architettonico. Le viste assonometriche vengono fatte quasi sempre a posteriori cioè dopo la rappresentazione in proiezioni ortogonali dell'oggetto, e possono risultare utili per verificare alcune scelte di progetto o per controllare la completezza dei dati di rilievo. Infine l'assonometria, come abbiamo cercato di dimostrare, non è affatto un metodo particolare di rappresentazione, ma si pone piuttosto come la scelta di guardare un oggetto da un punto di vista più scomodo per ottenerne un'immagine, per certi versi più rappresentativa. Essendo l assonometria strettamente derivata dalle proiezioni ortogonali, anche qui è possibile misurare l oggetto ritratto, infatti, pur essendo l immagine assonometrica non in vera grandezza, conoscendo i fattori di riduzione applicati è possibile ricavare l immagine in vera grandezza. 84
LE SUPERFICI. Generalità Generalmente per superficie intendiamo quell elemento che delimita esternamente un corpo solido. Nella geometria elementare le superfici sono considerate, per astrazione, quali entità prive di spessore o di spessore infinitamente piccolo, sono classificate come luogo geometrico di punti che soddisfano determinate condizioni e, in quanto tali, studiate con i metodi della geometria analitica. Esse possono essere considerate anche come generate dal movimento nello spazio di una linea retta o curva. le superfici possiamo considerarle geometricamente come generate da una linea retta o curva (generatrice) che si sposta nello spazio secondo una direzione definita da un altra linea, retta o curva(direttrice) o che ruota intorno ad un asse (asse della superficie). 85
SUPERFICI. Classificazioni Possiamo classificare le superfici sia con riferimento al tipo della linea generatrice che al tipo di movimento che essa compie. Avremo, pertanto, in base ad un primo criterio di classificazione: le Superfici Rigate, quando la linea generatrice è una linea retta; le Superfici Curve, quando la linea generatrice è una linea curva; In base a modalità di formazione avremo un secondo criterio di classificazione: le Superfici di Traslazione, quando la linea generatrice si muove parallelamente a sé stessa lungo una linea direttrice; le Superfici di Rotazione, quando la linea generatrice ruota intorno ad un asse rettilineo; le Superfici Elicoidali, quelle generate da un movimento della linea generatrice che ruota intorno ad una retta, spostandosi contemporaneamente secondo la direzione della stessa retta. 86
SUPERFICI DI TRASLAZIONE. Esempi Le Superfici di TRASLAZIONE sono generate dal movimento nello spazio di una linea retta o curva, lungo una o più linee curve. La linea che la origina si chiama "generatrice"; la curva o le curve lungo la quale essa compie il movimento di traslazione si chiama "direttrice". La stessa superficie può essere generata dal movimento di traslazione della curva direttrice, assunta come "generatrice", lungo una linea assunta come direttrice. Semicilindro circolare retto 87
35. SUPERFICI DI ROTAZIONE. meridiano principale r" O" r' parallelo estremo parallelo gola Le Superfici di ROTAZIONE si ottengono dalla rotazione intorno ad un asse (asse della superficie) di una linea retta o curva (generatrice). Ogni punto della generatrice descrive, con movimento di rotazione intorno all'asse, una circonferenza che si chiama parallelo. Le sezioni determinate dai piani passanti per l'asse si chiamano meridiani. Tutti i meridiani sono eguali, essendo costituiti da sezioni fatte secondo l'asse. I paralleli generati dai punti della generatrice più distanti dall'asse di rivoluzione, prendono il nome di paralleli equatoriali, quelli più vicini di paralleli gola. Il numero dei paralleli dipende dalla forma della generatrice. O' 88
SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esempi Esempi di superfici di Rotazione sono: Si chiama superficie torica una superficie generata da una circonferenza, contenuta in un piano verticale, che ruota con movimento di rivoluzione intorno ad un asse verticale. Il parallelo massimo è A B, quello minimo è C D. A" C" D" B" O1" O1" A' O1' C' D' O1' B' 89
SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esempi Sono esempi di superfici di ROTAZIONE anche: l' ellissoide, il paraboloidie e l' iperboloide, In quanto la linea generatrice è sghemba rispetto all asse di rotazione. 90
SUPERFICI ELICOIDALI. Si chiama Superficie ELICOIDALE o ELICOIDE quella superficie generalmente considerata come generata da una linea passante per l'asse e per i punti di un'elica (direttrice). La retta che ruota intorno l asse ha un moto anche lungo questo che descrive il passo dell elicoidale. 91
SUPERFICI ELICOIDALI. Esempi Quando a ruotare intorno ad un asse è una figura piana, questa genera nello spazio un solido. 92