Paolo Siviglia La funione sinusoidale. Premessa I momenti più significativi della storia dell umanità sono rappresentati dalla nascita del linguaggio, della logica e della sciena moderna. Il primo favorì la comunicaione fra gli uomini; la seconda, sviluppatasi essenialmente presso la civiltà greca, condusse a una prima raionaliaione delle conoscene acquisite nei periodi precedenti; la tera, più recente, fornì una metodologia nuova e più efficace per lo studio del mondo fisico. Come si sa, l uomo primitivo di fronte a eventi come lampi, tuoni, pioggia, ecc. restava sbigottito e, non sapendo dare una spiegaione raionale, li attribuiva alla volontà di essere soprannaturali. Con il passare del tempo, però, egli non riusciva ad accontentarsi di tali giustificaioni. A un certo momento insomma l uomo, spinto sempre più dal desiderio di conoscere, ha cercato di descrivere, coordinare e spiegare raionalmente tutti i fenomeni del mondo circostante. Ciò si verificò principalmente presso la civiltà greca, il cui iniio risale al sesto secolo a. C. Si ebbe così la nascita della sciena riguardante tutti i fenomeni naturali, detta FISICA. La parola fisica in greco significa natura. ella cultura greca la fisica era soltanto un capitolo della filosofia, la quale si proponeva la ricerca della legge universale dei fenomeni indipendentemente dalle tradiioni mitologiche. a ogni sistema filosofico esprimeva una sua conceione del mondo. Si ha così una fisica platonica, una fisica stoica, una fisica aristotelica, ecc. La più consistente e organica fisica del tempo è quella aristotelica, il cui influsso si protrasse fino al XVI secolo. Essa fornisce una spiegaione di tipo qualitativo e non quantitativo dei fenomeni naturali. Fino a quando la fisica rimase soltanto un attività di tipo accademico e non applicativo, le conceioni aristoteliche erano più che sufficienti per soddisfare la curiosità dell uomo. el XVI secolo, sotto la spinta dei nuovi problemi, come per esempio quelli posti dalle recenti scoperte geografiche, si rese necessario indagare più approfonditamente sui fenomeni naturali. acque così la sciena moderna che fu impostata su basi sperimentali e matematiche. Il ETD SPERIETALE, introdotto da Galileo Galilei considerato il fondatore della sciena moderna, è basato sull osservaione di ogni fenomeno, sull esperimento e sulla costruione operativa di ogni suo elemento. La fisica cioè si assume il compito di descrivere, coordinare e spiegare quantitativamente, attraverso l osservaione, l esperiena e la misuraione, i fenomeni che si svolgono in natura o che vengono provocati artificialmente. E in questo quadro che la matematica acquista un importana fondamentale nella costruione della sciena moderna, di cui diviene la lingua ufficiale Galilei diceva, infatti, che per leggere il grande libro della natura bisogna conoscere la matematica. Così, a partire dal XVII secolo, matematica e sciena della natura procedono di pari passo, integrandosi vicendevolmente e realiando dei progressi superiori a ogni ottimistica aspettativa. Il compito della matematica consiste nel fornire alla fisica dei modelli rappresentativi della realtà, per approfondire con maggiore incisività Funione sinusoidale
l annoso problema della conoscena che i Greci avevano affrontato con strumenti basati soltanto sul ragionamento. Gli enti matematici detti funioni sono atti a rappresentare sinteticamente i fenomeni fisici. La funione sinusoidale, che sarà presentata in questo capitolo, è molto utile per lo studio di quei fenomeni aventi caratteristiche di periodicità. Il suo studio sarà introdotto dopo aver presentato alcune noioni di fisica: il moto rettilineo uniforme, il moto uniformemente accelerato, il moto circolare e il moto armonico.. oto rettilineo uniforme In fisica un corpo che si muove nello spaio, per semplicità, viene assimilato a un punto geometrico detto punto materiale. L insieme delle posiioni assunte da un punto in movimento costituisce una linea geometrica detta traiettoria. Se la traiettoria è una retta, si ha un moto rettilineo; se è una circonferena, si ha un moto circolare; ecc. In ogni unità di tempo un punto materiale in moto percorre un certo tragitto che viene detto semplicemente spaio percorso. DEFIIZIE 0 s 0 s s 0 0 s s vt Fig. 6. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme se la traiettoria è una retta e se percorre spai uguali in intervalli di tempo uguali.. Lo spaio percorso da un punto materiale in movimento in una unità di tempo si chiama velocità. La velocità è una grandea fisica che esprime lo spaio percorso nell unità di tempo. Fig. 6. s vt t r Sia una retta orientata r la traiettoria di un moto rettilineo uniforme. Se all istante t 0 il punto è in s 0 e la velocità è v, nel generico istante t la posiione s del punto è data dalla formula: s s 0 vt Tale formula rappresenta la legge fisica riguardante un moto rettilineo uniforme. Se l origine dei tempi corrisponde all origine degli spai, si ha: s 0 0 e quindi la formula diviene: s vt La legge che descrive un moro rettilineo uniforme può essere rappresentata graficamente in un sistema di assi coordinati cartesiani ortogonali riportando i tempi sull asse delle ascisse e gli spai su quello delle ordinate. Il diagramma è una retta. La velocità v rappresenta il coefficiente angolare di tale retta.. oto uniformemente accelerato DEFIIZIE Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato se la traiettoria è una retta e se la sua velocità varia istante per istante della medesima quantità. A tale variaione istantanea di velocità si dà il nome di acceleraione. L acceleraione è una grandea fisica che esprime la variaione istantanea di velocità. In un moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità v in un generico istante t è data dalla relaione: v v 0 at dove v 0 è la velocità all istante t 0 (velocità iniiale) e a l acceleraione. Funione sinusoidale
Paolo Siviglia Per determinare lo spaio in un generico istante t, invece, si applica la formula: s s 0 v 0 t at dove s 0 è lo spaio all istante t 0, v 0 è la velocità all istante t 0 e a l acceleraione Il diagramma orario di un moto uniformemente accelerato è una parabola.. oto circolare uniforme DEFIIZIE r Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme se la traiettoria è una circonferena e se percorre archi uguali in intervalli di tempo uguali Il tempo che il punto materiale impiega a percorrere tutta la circonferena è detto periodo e si indica con T. Indicando con v la velocità, detta velocità periferica, e con r il raggio della circonferena, si ha: r T v Essendo, infatti, il periodo T un tempo, esso non può che essere uguale al rapporto fra lo spaio percorso, che in questo caso è dato dalla lunghea della circonferena, e la velocità. La velocità periferica di un moto circolare uniforme rappresenta l arco di circonferena descritto nell unità di tempo. Considerando l angolo al centro descritto nell unità di tempo, si ha la velocità angolare. TA Per ricavare le formule relative al moto circolare uniforme può essere utile avere presenti quelle riguardanti il moto rettilineo uniforme, che sono: s s s v t, v, t. t v La velocità angolare si indica con la lettera greca ω (omega). Poiché in un periodo T viene descritto un angolo giro, il quale misurato in radianti è uguale a, si ha: ω (spaio angolare diviso tempo) T T ω (spaio angolare diviso velocità angolare). Vettori rotanti Su un piano si considerino: una semiretta A di origine e un vettore P α ωt A P rotante in senso antiorario intorno al suo punto di applicaione con velocità angolare ω costante. L angolo α, che P forma al tempo generico t con la semiretta A, è detto angolo di fase o semplicemente fase di P al tempo t. Funione sinusoidale
Si ha: α ω t (spaio angolare uguale velocità angolare per intervallo di tempo) Il tempo che P impiega a compiere un giro completo si dice periodo e si indica con T. Si ha: T (tempo uguale spaio diviso velocità) ω Sia P un vettore di modulo r, rotante intorno al punto con velocità angolare costante ω. L estremo P del vettore P durante il moto descrive la circonferena di centro e raggio r con moto uniforme. La velocità angolare del moto circolare del punto P è uguale a quella del vettore rotante. Al moto circolare del punto P si può associare quello della sua proieione ortogonale sul diametro BD. Quando P descrive l arco AB di circonferena, percorre il raggio B da B verso B; quando P descrive l arco BC di circonferena, percorre P il raggio B da B verso ; quando P descrive l arco CD di circonferena, percorre il raggio D da verso D; infine, quando P α descrive l arco DA di circonferena, percorre il raggio D da D C A verso. Come si vede, al moto circolare uniforme del punto P corrisponde un moto di oscillaione del punto lungo il diametro BD. D Si dice che il punto oscilla attorno al centro della circonferena. Per C B D P β α tale motivo, il moto di è detto oscillatorio. Se il punto P si muove di moto circolare uniforme, il moto della sua proieione sul diametro BD è detto oscillatorio armonico. Un moto oscillatorio armonico è periodico. Il periodo di un moto oscillatorio armonico rappresenta il tempo occorrente per una oscillaione completa; esso è uguale a quello del moto circolare uniforme cui esso è associato. La velocità angolare ω del moto circolare di P o del vettore rotante P si chiama pulsaione del moto armonico corrispondente. Il diametro BD rappresenta l ampiea di oscillaione del moto armonico del punto. La distana del punto dal centro si chiama elongaione. Per studiare il moto del punto, si riferisca il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali, come nella seguente figura. Indicando con la generica ordinata del P A punto in un istante generico t, si ha: (0; ) L ordinata è l elongaione del moto armonico. Considerando il triangolo rettangolo P, si ha: P cos P P cos (90 α) P sen α r sen ωt. La relaione r sen ωt si chiama equaione del moto del punto. Per meo di essa è possibile determinare la posiione del punto in ogni istante durante il moto. Si consideri ora un altro vettore P di modulo r rotante intorno al punto con la stessa velocità angolare ω di P. Sia α ωt β la fase di P. L angolo β indica lo sfasamento di P rispetto a P. Il moto della proieione di P sul diametro BD è oscillatorio armonico e ha la stessa pulsaione e lo stesso periodo del moto di. Funione sinusoidale
Paolo Siviglia L equaione del moto oscillatorio di è: r sen(ωt β). β I punti e passano per una stessa posiione sul diametro BD con sfasamento di tempo dato da: t 0. ω 6. La funione sinusoidale Dicesi funione sinusoidale ogni relaione del tipo: f() a sen (ω β) dove a, ω e β sono delle costanti con: a > 0, ω > 0 e β. La funione è periodica con periodo: T ω Infatti, si ha: f( T) a sen [ω( T) β] a sen ω β ω a sen [(ω ) β] a sen [(ω β) ] a sen (ω β) f(). Ricordando che si ha sempre: moltiplicando per a, risulta: sen (ω β) a a sen(ω β) a I valori della funione sinusoidale data sono tutti compresi nell intervallo di numeri reali i cui estremi sono i numeri a e a. Poiché la funione esiste per qualsiasi valore reale della variabile indipendente, si può affermare che il dominio della funione è l insieme dei numeri reali e il codominio è l intervallo [ a, a.]. Si ha, cioè:, a a. a α risolvere le due equaioni goniometriche: Si ha: a a Il diagramma della funione perciò è localiato nella striscia di piano delimitata dalle rette di equaione: a e a. I numeri a e a costituiscono rispettivamente il minimo e il massimo valore che la funione può assumere. I punti in cui la funione assume tali valori si dicono estremanti della funione. Una funione sinusoidale ha infiniti estremanti, essendo essa periodica. Per determinare gli estremanti della funione data, basta sen(ω β) sen(ω β) ω β k ω β k ω β k ω β k ( k) β ( k) β ω ω ω ω Funione sinusoidale
con k numero intero relativo. Indicando con e rispettivamente il minimo e il massimo della funione, si ha: ( k) β ( k ) ω ; a ω β ; a ω ω Poiché la funione sinusoidale è strettamente connessa al moto armonico, per essa viene adottata la medesima terminologia in uso per tale moto. Se la funione a sen(ω β) rappresenta un moto armonico, si dice che a è l ampiea di oscillaione, ω è la pulsaione, il tempo, β è la fase iniiale e è l elongaione. Per le funioni sinusoidali è più comodo assumere a come ampiea di oscillaione. Quindi, data la funione sinusoidale a sen(ω β), si dice che: a è l ampiea di oscillaione, ω è la pulsaione, β è la fase iniiale, è l ascissa di un generico punto e è la corrispondente ordinata. Se β 0, si dice che la funione è in fase; se β > 0, si dice che la funione è in anticipo di fase rispetto alla corrispondente in fase; se, infine, β < 0, si dice che la funione è in ritardo di fase rispetto alla corrispondente in fase. 7. Rappresentaione grafica delle funioni sinusoidali Sia a sen(ω β) una funione sinusoidale di periodo T. Per rappresentarla graficamente, data la sua periodicità, basta costruire prima il grafico relativo a un intervallo lungo il periodo T e successivamente traslarlo nella direione dell asse delle ascisse. Generalmente, come intervallo iniiale si prende quello di estremi 0 e T; cioè si considera il grafico per 0 T. Per semplicità, si consideri prima una funione in fase, come a senω. C B D P A H T T E T a T F a Si costruisca quindi la circonferena di centro e raggio a e siano AC e BD due diametri perpendicolari fra loro. Si prolunghi il diametro AC e sia un suo punto. Per il punto si conduca la retta parallela al diametro BD. rientando le due rette come indicato in figura, esse costituiscono un sistema di assi coordinati cartesiani avente 6 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia come origine il punto. Il grafico della funione è nella striscia di piano delimitata dalle rette tangenti alla circonferena rispettivamente nei punti B e D. Le equaioni di tali rette tangenti sono rispettivamente a e a. Sull asse delle ascisse si consideri il segmento F di lunghea uguale a quella del periodo T. Si ha, cioè: (0; 0) e F(T; 0) Il diagramma di una funione sinusoidale si chiama sinusoide e il tratto compreso in un periodo si dice onda della sinusoide. La linea curva avente per estremi i punti ed F è il grafico della funione a sen ω nell intervallo 0 T, dove T. ω Tale grafico descrive un oscillaione completa del moto armonico del punto sul diametro BD. Essendo in fase la funione considerata, iniialmente il punto si trova nel centro. In un quarto di periodo raggiunge il punto B di massima elongaione a. Le ordinate dei punti dell arco H di curva rappresentano le elongaioni del moto armonico in tutti gli istanti del primo quarto di periodo. Si può dire che quando il punto P va da A a B sulla circonferena, la sua proieione va da a B sul diametro BD. Il massimo della funione sinusoidale corrisponde alla massima elongaione del moto armonico. el secondo quarto di periodo il punto P va da B a C sulla circonferena e la sua proieione va da B a sul diametro BD. Si può dire che dopo meo periodo il punto ritorna nella posiione iniiale. Le ordinate dei punti dell arco HE di curva rappresentano le elongaioni del punto durante tutto il secondo T T quarto di periodo, ossia dall istante all istante. el tero quarto di periodo il punto P va da C a D sulla circonferena e la sua proieione va da a D sul diametro BD. Le ordinate dell arco E di curva rappresentano le elongaioni del moto armonico durante il tero quarto di T periodo, ossia dall istante all istante T. ell istante T si ha la massima elongaione del punto, che corrisponde al minimo della funione sinusoidale perché opposta a quella precedente. ell ultimo quarto di periodo il punto P va da D ad A sulla circonferena e la sua proieione va da D a sul diametro BD. Le ordinate dell arco F di curva rappresentano le elongaioni del moto armonico durante l ultimo quarto di periodo, ossia dall istante T all istante T. Come si vede, il grafico di una funione sinusoidale diviene più intelligibile se associato al moto armonico di un punto. Se il punto compie un altra oscillaione, si ha un altra onda uguale a quella disegnata, compresa però nell intervallo T T. Il diagramma di una funione sinusoidale quindi si può ottenere prolungando la parte di grafico compresa in un periodo. Riepilogando, si può dire che la funione sinusoidale a sen ω: ) è in fase; ) ha periodo T ; ω ) ha ampiea di oscillaione uguale ad a; ) ha pulsaione uguale a ω; Funione sinusoidale 7
T ) interseca l asse delle ascisse nei punti: (0; 0), ; 0, (T; 0), T ; 0. T 9 6 ) assume il suo massimo valore a nei punti: ; a, T ; a, T ; a, 7 7 ) assume il suo valore minimo a nei punti: T; - a, T; - a, T; - a TA Si parla di onda perché questo tipo di funioni costituisce il modello più adatto per lo studio dei moti ondulatori come, ad esempio, quelli generati dalle oscillaioni di un corpo attorno a una posiione di equilibrio. Se un punto materiale di un meo elastico, come l aria o l acqua, è costretto a vibrare, tale vibraione si propaga nelle immediate vicinane del punto generando ciò che viene detta un onda. Un esempio tipico si ha gettando un sasso nell acqua di uno stagno. el punto in cui cade il sasso si produce una perturbaione: le molecole di acqua colpite dal sasso cominciano a oscillare coinvolgendo successivamente anche quelle che si trovano nelle immediate vicinane. Insomma, la perturbaione prodotta in un punto si propaga sulla superficie dell acqua. Tale propagaione costituisce un treno di onde. Un onda, quindi, rappresenta la propagaione di un moto oscillatorio o vibratorio, il più semplice dei quali è quello armonico. ESEPI. sen. Rappresentare graficamente la funione: Essendo una funione in fase, il massimo si ha dopo il primo quarto di periodo e il minimo dopo tre quarti di periodo. Il periodo è C Q B D P A 0 0, ω T e l ampiea di oscillaione è. Si ha, cioè: ; 0 ; 0 Il punto P descrive la circonferena di raggio con velocità angolare di radianti al secondo ( rad/s), se il tempo viene misurato in secondi. All istante 0 il punto P coincide col punto A; muovendosi di moto circolare uniforme in senso antiorario, nel primo quarto di periodo descrive l arco AB, nel secondo l arco BC, nel tero l arco CD e nell ultimo quarto l arco DA. Dopo un periodo il punto P si trova nel punto A. Contemporaneamente la sua proieione Q sul diametro BD si muove di moto armonico percorrendo il raggio B nel primo quarto di periodo, il 8 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia raggiob nel secondo quarto di periodo, il raggio D nel tero quarto e il raggio D nell ultimo quarto di periodo. All istante 0 il punto Q è nel centro. Il punto P descrive tutta la circonferena in punto nello stesso tempo.. sen. Si ha: a (ampiea di oscillaione) ω secondi e il punto Q compie una oscillaione completa attorno al (pulsaione) β (fase iniiale) ω T (periodo) β ω t (sfasamento temporale) 0 Il grafico della funione è rappresentato dalla linea continua avente gli estremi nei punti E, E corrispondente all intervallo, 0. La linea tratteggiata, invece, rappresenta il grafico della corrispondente funione in fase C G F B D Q F P E E E H G A H 0 6 F R 0 S G H E sen. Poiché E A, all istante ero si ha che P coincide con E e la sua proieione ortogonale Q sul diametro BD coincide con E. Si divida il cerchio in quattro parti mediante i due diametri perpendicolari EG ed FH. el primo quarto di periodo il punto P descrive l arco EF di circonferena, mentre Q va da E a Funione sinusoidale 9
B e da B a F Le ordinate dei punti dell arco E F del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il primo quarto di periodo. el secondo quarto di periodo il punto P descrive l arco FG di circonferena, mentre Q va da F a G Le ordinate dei punti dell arco F G del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il secondo quarto di periodo. el tero quarto di periodo il punto P descrive l arco GH di circonferena, mentre Q va da G a D e da D a H Le ordinate dei punti dell arco G H del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il tero quarto di periodo. ell ultimo quarto di periodo il punto P descrive l arco HE di circonferena, mentre Q va da H a E Le ordinate dei punti dell arco H E del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto l ultimo quarto di periodo. Come si vede, la funione assume il valore massimo nel corso del primo quarto di periodo, ossia con un anticipo di rispetto alla corrispondente funione in fase la quale, come si sa, lo raggiunge invece esattamente dopo il primo quarto di periodo. Lo sfasamento temporale rappresenta il tempo che avrebbe impiegato il punto P per descrivere l arco AE di circonferena oppure quello del punto Q per portarsi da a E. Esso misura l anticipo con cui il punto Q raggiunge la massima distana dal centro di oscillaione partendo da E. Col medesimo anticipo avvengono le interseioni con l asse delle ascisse e il minimo della funione. Si ha, così: ; 6 0 0 0 ; - 0 0 0 0 R R ; 0 0 0 S S ; 0 E " E "' sen E " 0; sen E "' ; sen. sen. 7 Si proceda come nei casi precedenti, prendendo in consideraione il moto armonico che essa descrive. L ampiea di oscillaione è, la pulsaione è, la fase iniiale è, il ritardo di fase è, il periodo è T. 7 Si indichi con P il punto che descrive la circonferena di raggio con moto circolare uniforme e con Q il punto che in corrispondena si muove di moto armonico sul diametro BD della circonferena. All istante ero il punto P si trova in E e il punto Q in E. Si considerino i diametri EG ed FH perpendicolari fra loro. 0 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia el primo quarto di periodo il punto P descrive l arco EF di circonferena, mentre Q va da E a F Le ordinate dei punti dell arco E F del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il primo quarto di periodo. el secondo quarto di periodo il punto P descrive l arco FG di circonferena, mentre Q va da F a B e da B a G Le ordinate dei punti dell arco F G del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il secondo quarto di periodo. el tero quarto di periodo il punto P descrive l arco GH di circonferena, mentre Q va da G a H Le ordinate dei punti dell arco G H del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto il tero quarto di periodo. ell ultimo quarto di periodo il punto P descrive l arco HE di circonferena, mentre Q va da H a D e da D a E Le ordinate dei punti dell arco H E del grafico rappresentano le elongaioni del moto armonico durante tutto l ultimo quarto di periodo. B G G Q C E H H F F F D 7 E P A E R 0 G S 0 H E In questo caso il punto Q raggiunge la massima distana dal centro di oscillaione col ritardo di, E. Si ha, così: partendo da 7 9 9 ; 0 70 70 70 ; - 0 70 70 70 R 0 R 0 ; 7 8 8 S S ; 0 E" E "' sen,7 E (0;,7), E "' ;, 7 7 Funione sinusoidale
. sen. Si ha: a (ampiea di oscillaione) ω (pulsaione) β (fase iniiale) ω Per trovare il minimo e il massimo della funione, si risolvono le equaioni seguenti: T (periodo) sen sen k k 6 8k 8k 8k 8k k k Per k 0,,,,, si ottengono i seguenti valori: 9 7,,,...,,,... B C E F H G A E H 6 F G E D 0 Poiché si considera l intervallo,, le soluioni accettabili sono rispettivamente: 7 7, Si ha, così: ; ; Funione sinusoidale
Paolo Siviglia Considerando il moto circolare uniforme di un punto P della circonferena di centro e raggio, essendo la fase iniiale, all istante iniiale ero esso si trova in E. uovendosi in senso antiorario, percorre gli archi EF, FG, GH e HE, rispettivamente in un quarto di periodo. Ripetendo le medesime consideraioni fatte negli esempi precedenti, si giustifica il grafico della funione data.. sen. 6 L ampiea di oscillaione è e il periodo è T, la fase iniiale è β. ω 6 Il diagramma può essere costruito in modo molto semplice. Si divide l intervallo 0, in quattro parti uguali e si considera il moto circolare uniforme del punto P che all istante ero si trova in E. ediante i due diametri perpendicolari EG ed FH si divide in cerchio in quattro parti uguali. Tenendo conto delle consideraioni fatte in precedena, si possono determinare immediatamente alcuni punti del diagramma della funione data.. C E H B A 0 6 E F F D G G H 0 La curva passa per i punti E, F, G, E. Il minimo della funione si ha durante il primo quarto di periodo e il massimo, invece, durante il tero quarto di periodo. Infatti, il punto P passa per D nel primo quarto di periodo e per B nel tero. Le ascisse dei punti estremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equaioni seguenti: sen 6 6 0 9 0 7 sen 6 6 0 0 8 E Funione sinusoidale
7 L ascissa trovata si riferisce al minimo compreso nell intervallo [T, T], cioè a quello che corrisponde al secondo passaggio del punto P per D. L ascissa del minimo disegnato si trova allora sottraendo un periodo dal valore trovato. 7 7 6 Si ha, così: Quindi: ;, ;. 6. cos. La funione può essere messa sotto la forma: cos sen Il periodo è: T. ω Il grafico si costruisce facilmente, seguendo le indicaioni degli esempi precedenti. B B B C A C D D 6 8 7. 6sen 8 cos 8. Ricordando le formule di duplicaione, la funione può essere messa sotto la forma: sen 6. L ampiea di oscillaione della funione è e il periodo 8 è T. Poiché la funione è in fase, essa raggiunge il suo massimo dopo il primo quarto di periodo e il minimo dopo tre quarti di periodo. Si ha, perciò: ; ; -. 8. f() sen cos. Funione sinusoidale
Paolo Siviglia La funione data può essere espressa mediante una funione sinusoidale di periodo. l ampiea di oscillaione e con β la fase iniiale, si può scrivere: sen cos a sen( β) Applicando le formule di addiione, si ha: sen cos a sen cosβ a sen β cos Affinché i due membri siano identici, si deve avere: asen β acos β Dividendo membro a membro, si ha: tg β β, β 6 6. T Indicando con a Elevando al quadrato i membri delle due equaioni del sistema e sommando membro a membro, si ha: a (sen β cos β) a a La funione data può assumere allora una delle due forme: f ( ) sen oppure f ( ) sen 6 Per decidere quale delle funioni trovate si debba prendere, si calcolino i valori delle tre funioni per 0. Si ha: f(0), f ( 0) sen, 6 f ( 0) sen. 6 f 0 f 0 si ha: f() sen cos sen 6 Essendo ( ) ( ), A questo punto il diagramma può essere costruito facilmente. Le ascisse dei punti estremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equaioni seguenti: Si ha: sen sen 6 6 k 6 k 6 k k ; ; 6 Funione sinusoidale
TA 8 8 Una funione lineare in seno e coseno del tipo m sen ω n cos ω può essere messa sotto la forma : a sen (ω β), dove: a m n, n β arctg. m 9. f() sen sen cos cos. oltiplicando il per sen cos, la funione diviene: f() 6 sen sen cos cos Applicando le formule di biseione del seno e del coseno e tenuto conto della formula di duplicaione del seno, si ha: f ( ) cos cos 6 sen Eseguendo i calcoli e semplificando, si perviene alla funione: Posto: f() sen cos. acos β asen β e risolvendo il sistema, si trova: tg β β,07 rad, β,0 rad; a. La funione data può essere espressa nel modo seguente: Posto: sen (,0). Il grafico si ottiene traslando di verso l alto il diagramma della funione sinusoidale sen (,0). Per determinare l ascissa del massimo, si risolve l equaione: L ordinata del massimo è: sen (,0),0,0,7,60,80. 6 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia 6,6 Si ha, quindi: (,80; ). Per determinare l ascissa del minimo, si risolve l equaione: sen (,0),0,0,7 0,6 0,. L ordinata del minimo è:,76,76 Si ha, quindi: (0,; ). Il periodo della funione è T. 0. f() sen cos. La funione può essere messa sotto la forma: sen cos cos0 sen 0. L ampiea di oscillaionee è, la fase iniiale è, il periodo è: T ω 0 Il grafico si costruisce facilmente, seguendo le indicaioni degli esempi precedenti.. cos. 6 0 0 0 La funione, essendo in ritardo di fase di, Funione sinusoidale 7 parte dal minimo e raggiunge il massimo dopo meo periodo. Si ha: (0; ) ; ; 0
Si ha: C cos sen sen 6 6 L ampiea di oscillaione è ; il periodo è T ; ω la fase iniiale è β ; la curva passa per i punto E, allo iniio del periodo; per H, dopo il primo quarto di periodo; per G, dopo meo periodo; per F, dopo il tero quarto di periodo; per E, alla fine del periodo. Le ascisse dei punti stremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equaioni seguenti: Poiché Si ha: F E Si ha, così: B D sen sen k k 9 k k k k 7 k 7 k >, l ascissa del minimo nel primo periodo, si ottiene per k. Interseione con l asse. G A H E 8 7 ;, ; - H sen 0; k ; L ; 0, Q ; 0. 6 L G F Q 8 k 6 E 8 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia 8. Rappresentaione vettoriale delle funioni sinusoidali β P funione sinusoidale considerata. Sia data la funione sinusoidale: a sen(ω β). Essa è caratteriata dai tre parametri: a, ω, β. Si consideri un vettore rotante P e siano: ω la velocità angolare con cui il vettore ruota attorno al punto ; a il modulo; β la fase iniiale o anomalia del vettore. Il vettore P risulta così caratteriato dagli stessi parametri della P costituisce la rappresentaione vettoriale della funione sinusoidale data. Si dice che il vettore Si può stabilire così una corrispondena biunivoca fra l insieme dei vettori rotanti e l insieme delle funioni sinusoidali. ESEPI A. Rappresentare vettorialmente la funione sen( 60 ). P 60 A Il vettore rappresentativo della funione data è P, il quale ruota con velocità angolare ω rad/s. Il modulo del vettore è e la sua fase iniiale, o anomalia, è uguale a 60.. Trovare la funione sinusoidale rappresentata dal vettore P, sapendo che la sua velocità angolare è ω 7 rad/s, il modulo è uguale a e la fase iniiale è β 0. P 0 A La funione è: sen(7 0 ).. Date le funioni: sen e sen, 6 funione. costruire il grafico della I periodi delle due funioni date sono uguali fra loro. Perciò la loro somma è una funione periodica avente lo stesso periodo delle due funioni componenti, il quale è: T. Per la rappresentaione grafica della funione, è conveniente farne prima la rappresentaione vettoriale. Funione sinusoidale 9
P P P A 6 Se P e P sono vettori rappresentativi delle due funioni date, quello del vettore della loro somma è: P P P Poiché i vettori P e P ruotano con la medesima velocità angolare, il loro angolo di sfasamento P P è costante durante il moto. Ciò significa che il modulo del vettore somma P è costante. A tale vettore pertanto rimane associata la funione sinusoidale avente lo stesso periodo delle due funioni date, perché anche P ruota con la stessa velocità angolare di P e P, ampiea di oscillaione uguale al modulo di P e fase iniiale uguale all angolo P A. Approssimativamente, il grafico della funione è quello rappresentato in figura. 9. Rappresentaione simbolica delle funioni sinusoidali Come si è visto nel paragrafo precedente, ad ogni funione sinusoidale a sen(ω β) si può associare un vettore rotante P di modulo a, fase iniiale β e velocità angolare ω. Poiché ad ogni vettore P può essere associato il numero complesso: a e iβ a(cos β i sen β) p qi e viceversa, si può dire allora che una funione sinusoidale è rappresentabile anche mediante un numero complesso. Il numero complesso associato a una funione sinusoidale si dice rappresentaione simbolica di questa. La rappresentaione simbolica di una funione sinusoidale è molto utile e comoda per la risoluione di svariati problemi che si presentano soprattutto in campo tecnico. 0 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia ESEPI. Determinare la rappresentaione simbolica della funione sen. La funione è rappresentata vettorialmente dal vettore P avente modulo, fase iniiale β e 6 velocità angolare ω. Il numero complesso associato al vettore P è: i e 6 cos isen i i. 6 6 Il numero complesso trovato è la rappresentaione simbolica della funione sinusoidale data.. Determinare la funione sinusoidale rappresentata simbolicamente dal numero complesso i e sapendo che la pulsaione è. Si determina il modulo del numero complesso che, com è noto, rappresenta l ampiea di oscillaione della funione sinusoidale. Si ha: a 9. Si trova ora l anomalia del vettore associato al numero complesso, la quale rappresenta la fase iniiale della corrispondente funione. Si ha: tg β β 0,98 rad Risulta, così: sen( 0,98) Date le funioni sinusoidali: sen e sen. 6 funioni: f() e g(). Indicando rispettivamente con e le rappresentaioni simboliche delle due funioni date, si ha: 6, determinare le i e cos isen i i i 6 e cos isen i i. 6 6 Si trovano ora la somma e la differena dei due numeri complessi e. Si ha: I loro moduli sono, rispettivamente: ( i) ( i) ( ) ( )i ( i) ( i) ( ) ( )i ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Indicando con β e β le anomalie della somma e della differena dei due numeri complessi e, si ha: Funione sinusoidale
Risulta: ( )( ) 6 8 0, 06 ( )( ) 6 8, tg β tg β β 0,06 rad oppure β 6 6 β, rad oppure β 0 6 Si ha, così: f ( ) sen ( 0,06 ), g ( ) sen(,). Data la funione sinusoidale f(), rappresentata simbolicamente dal numero complesso i, determinare la funione sinusoidale g(), sfasata di 0 rispetto a f() e di uguale ampiea. Vettorialmente, il problema si risolve nel modo seguente: Sia P il vettore rappresentativo del numero complesso i e, quindi, della funione f(). Ruotando questo vettore di 0 in senso positivo, si ottiene il vettore P il quale costituisce la rappresentaione vettoriale della funione g() cercata. Simbolicamente, per ottenere il vettore P, bisogna applicare un operatore di rotaione al vettore P. Poiché gli operatori di rotaione sono i numeri complessi, per ottenere la rappresentaione simbolica del vettore P basta moltiplicare il numero complesso i per il numero complesso di modulo e di anomalia 0 : e i0 cos 0 i sen 0 i. L operatore deve avere modulo perché del vettore ossia non si desidera alterare il modulo. Si ha, cioè: i0 e Indicando con il numero complesso associato al vettore, si ha: P si vuole realiare semplicemente una rotaione, i 0 e i Poiché i vettori e hanno lo stesso modulo, si ha: ( i) i 9. Si calcoli l anomalia del vettore Si ha: Si trova, così: tgβ rappresentato dal numero complesso. β 0,6 rad. ( )( ) 9 0,9 Funione sinusoidale
Paolo Siviglia. Il vettore g() sen(ω 0,6). Trovare la funione sinusoidale g() sfasata di f ( ) sen e di ampiea doppia. 6 P P rispetto alla funione P è la rappresentaione vettoriale della funione data f(), mentre il numero complesso i e 6 cos isen i i ne è la rappresentaione simbolica. Il 6 6 vettore rappresentativo della funione g() che si deve trovare si ottiene operando sul vettore numero complesso di modulo e anomalia 6. e i, ossia l operatore: cos isen i P con un i. P e con Indicando rispettivamente con la rappresentaione vettoriale e simbolica della funione g() cercata, si deve avere: i i P e e e i P ( i)( i) i i i. Essendo trovato e il suo modulo, la funione g() è: g ( ) sen. l anomalia del numero complesso Decomporre la funione sinusoidale: sen(7 0 ) in due altre aventi fasi iniiali 60 e 0. Sia P il vettore rappresentativo della funione data. Per il punto si conducano le rette r e s inclinate rispetto all asse rispettivamente 60 e 0. Siano P e P i punti che si ottengono, rispettivamente su tali rette, conducendo le parallele alle stesse dal punto P. Risulta: P P P () I vettori P e P costituiscono, rispettivamente, le rappresentaioni vettoriali delle due funioni da trovare. Di tali vettori si conoscono soltanto le anomalie che sono rispettivamente 60 e 0. Indicando con e i numeri complessi associati ai vettori P e P e con p e q i loro rispettivi moduli, si ha: Funione sinusoidale
Funione sinusoidale 0 60 0 r s 8 P P P p e i60 p(cos 60 I sen 60 ) pi p i p q e i(0 ) q[cos( 0 ) i sen ( 0 )] qi q i q Indicando con il numero complesso associato al vettore P, si ha: e i0 (cos 0 i sen 0 ) i i Per la (), si ha: i qi pi p ssia: i i q p q p Per la relaione di uguagliana di due numeri complessi, si ha il sistema: q p q p Risolvendo il sistema, si trova: p e q 8. Perciò, si ha: e i60 e 8 e i(0 ) I due numeri complessi trovati sono le rappresentaioni simboliche delle due funioni sinusoidali: sen (7 60 ) e 8 sen (7 0 ). In cui viene decomposta la funione data secondo le direioni r e s.