RADICALI QUADRATICI E NON Applicazione geometrica 1 (lato di un quadrato) Se un quadrato ha l'area di 25 mq, qual è la misura del suo perimetro? E se l'area vale 30 mq? Table 1 Risoluzione 1 Poichè l'area si trova con la formula (2.1) se l'area è 25 mq, sarà 5 m. la misura del lato e 20 m. quella del perimetro, ma se l'area vale 30 mq, occorre trovare quel numero che elevato alla seconda dia 30. Tale numero è la radice quadrata di 30 (2.2)
e, dato che 30 è maggiore di 25, ma minore di 36 true (2.3) dunque Infatti, se calcoliamo con Maple: at 5 digits 5.4772 Il perimetro allora del nostro quadrato di area 30 sarà (2.5) at 5 digits 21.909 (2.6) (2.7) Applicazione geometrica 2 (diagonale di un quadrato) Quale sarà la misura della diagonale nei due quadrati? Table 2 Risoluzione 2 Applicando il teorema di Pitagora, troviamo: d = cioè
d = assuming non-negative (4.1) (4.2) Dunque se l = 5, d = at 5 digits (4.3) 7.0710 (4.4) se invece l = (4.5) d = simplify = at 5 digits (4.6) (4.7) 7.7460 (4.8) IL "SAPER VEDERE" IN MATEMATICA (un esempio antico) Platone riferisce di come Socrate riesca ad aiutare uno schiavo, privo di cultura, a comprendere il teorema di Pitagora, invitandolo a trovare risposta ad un quesito di geometria. Socrate disegna sul terreno un quadrato di 2 piedi per lato e chiede allo schiavo di trovare la misura del lato del quadrato che abbia area doppia di quello dato. Dapprima Socrate fa notare allo schiavo come risulterà l'area, se venisse raddoppiato il lato.
L'area risulterebbe non doppia (come lo schiavo aveva detto a prima vista), ma quadrupla, come Socrate mostra, disegnando sul terreno 4 quadrati (uguali a quello di partenza), quadrato di lato 4 piedi e di area 16 piedi. Lo schiavo viene incoraggiato a pensare e a guardare la figura ottenuta. Il ragazzo riconosce che il quadrato di partenza è la quarta parte del quadrato così ottenuto. A questo punto riconosce anche che il quadrato ottenuto tracciando una delle 2 diagonali di ciascuno dei 4 quadrati disegnati per formare quello col lato uguale a 2 piedi è quello cercato, ossia quello che ha area uguale a 8 piedi (e dunque doppia di quella del quadrato iniziale, che avendo lato 2 ha area uguale a 4). Osservare figure al punto successivo "Riflettere e osservare" Socrate si dimostra soddisfatto perchè, solo pensando e osservando, lo schiavo è giunto a questa conclusione da solo, ha solo avuto bisogno di dentro di lui. (... esperimento maieutico: tentativo di dimostrazione della fondatezza della teoria dell'anamnesi) Riflettere e osservare...... e, come visto nell'applicazione geometrica 2, per trovare il lato BC del quadrato, di area doppia di quello iniziale, basterà moltiplicare il lato iniziale AC per...
OPERAZIONI CON I RADICALI Addizione si procede come per i monomi simili (7.1) La somma di due radicali con stesso indice e stesso radicando dà luogo ad un radicale dello stesso tipo, che ha per coefficiente la somma algebrica dei rispettivi coefficienti. Attenzione: il software trasforma i radicali (di indice diverso da 2) in potenze con esponente una frazione che ha come numeratore l'esponente del radicando e come denominatore l'indice del radicale. In effetti possiamo verificare come le due espressioni e siano equivalenti, elevandole allo stesso esponente (7.2)
Prova tu... (7.1.1) Se i radicali hanno indici e/o radicandi diversi, non è possibile esprimere la loro somma con un unico radicale, come per esempio oppure (7.3) (7.4) Moltiplicazione (e divisione) 1 caso - Radicali con lo stesso indice (8.1) Poichè i due fattori sono potenze con lo stesso esponente, otteniamo che Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice, che ha per radicando il prodotto dei radicandi. (8.2)
true (8.3) 2 caso - Radicali con indici diversi Esaminiamo la moltiplicazione seguente Consideriamo i due fattori, nel formato di potenze con esponente frazionario, e trasformiamo i rispettivi esponenti in modo che abbiano lo stesso denominatore. Otterremo: cioè true (8.4) Elevamento a potenza (ed estrazione di radice) Vediamo come procedere per calcolare: e La potenza è un prodotto fra tanti fattori, tutti uguali alla base, ripetuti tante volte quante indicate dall'esponente,dunque Quindi elevando ad un certo esponente un radicale si ottiene un radicale con
lo stesso indice e con l'esponente assegnato al radicando. La radice di un radicale invece è equivalente ad un radicale che ha come indice il prodotto dei due indici mentre il radicando non cambia. Si può darne una giustificazione utilizzando i radicali espressi come potenze con esponente una frazione. Razionalizzazione Quanto fa? e quanto Poichè at 20 digits (10.1) 2.2360679774997896964 (10.2) è un numero decimale illimitato, non periodico, nei calcoli si è obbligati ad approssimazioni che aumentano l'incertezza dei risultati soprattutto se i radicali sono presenti nelle espressioni al denominatore (dunque come divisore in una divisione). L'errore che si commette può in parte diminuire se si trasformano tali espressioni in altre equivalenti in cui non compaiano radicali al denominatore. Come ottenere ciò? 1 caso (al denominatore è presente un'espressione monomia) si procede moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per quella stessa radice
ottenendo 2 caso (al denominatore è presente una somma/differenza e almeno un termine è un radicale) si procede moltiplicando numeratore e denominatore per la differenza in modo da poter ottenere a denominatore il prodotto notevole "somma di due monomi per la loro differenza" il cui risultato è la differenza fra i quadrati dei due monomi