Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Dualismo onda-particella
Relatività galileiana Principio di relatività: Le leggi della fisica rimangono inalterate in sistemi di riferimento inerziali (sistemi che si muovono a velocità costante uno rispetto all altro) Assunzioni: La lunghezza di un oggetto e gli intervalli di tempo sono grandezze assolute (valore non muta passando da un sistema di riferimento all altro) Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti! Anomalia: Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della luce sia costante (c=3 10 8 m/s)! Apparentemente esse non obbediscono al principio di relatività.
Teoria della relatività speciale Postulati di Einstein (1905) I postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali II postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce. Il primo è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo generalizza l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell'eccitazione si muove rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio, non essendovi l'etere, è omogeneo e isotropo. Il II postulato contraddice il senso comune : un osservatore che si allontana ed uno che sta fermo rispetto alla medesima sorgente luminosa, misureranno la medesima velocità della luce! (ricordare l esperimento di Michelson-Morley) La teoria è definita speciale per distinguerla dalla successiva, cosiddetta generale che tratta di sistemi di riferimento non inerziali, cioè soggetti ad accelerazioni.
Simultaneità Due lampi di luce colpiscono gli estremi di due treni in moto relativo. I punti A e B sono equidistanti per l osservatore O 2, fermo rispetto ad essi, e O 2 considererà i due eventi come simultanei poiché gli impulsi lo raggiungeranno allo stesso istante. Un osservatore O 1 in un diverso stato di moto, ovvero in un sistema di riferimento inerziale in moto rettilineo uniforme rispetto a quello in cui O 2, A 2 e B 2 sono fermi, in generale percepirà gli impulsi di luce. La simultaneità non è un concetto assoluto, ma relativo
Dilatazione dei tempi Sulla terra (v=velocità nave spaziale) 2L= v t eil percorso luce= 2 D + L 2 D + L 4D c = c = + v t 2 2 2 2 2 2 ( t) 2D t0 t = = c 1 v c c 1 v c 2 2 2 2 1 γ = c 1 v c 2 2 2 2 fattore di Lorentz Dentro la nave spaziale t = Dilatazione dei tempi 0 2D c Orologi in moto rispetto ad un osservatore sono visti (dall osservatore) muoversi più lentamente. Tempo proprio: tempo misurato in un sistema di riferimento solidale al fenomeno di cui si misura la durata.
Dalla terra t = Dentro la nave spaziale, il tempo proprio è t = t γ 0 Contrazione delle lunghezze L 0 v deve quindi essere L= v t = v t 1 v c = L γ 2 2 0 0 1 Contrazione delle lunghezze γ = c 1 v c La lunghezza di un oggetto è minore quando esso si muove rispetto all osservatore, rispetto al caso in cui è a riposo (la contrazione si osserva solo nella direzione del moto). L 0 =lunghezza propria: lunghezza di un oggetto determinata da osservatori a riposo rispetto ad essa. 2 2
Spazio-Tempo quadrimensionale In un certo senso la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze si controbilanciano : visto dalla Terra, un oggetto ciò che perde in dimensioni lo guadagna nella dilatazione della durata dell evento. Ciò conduce all idea di uno spazio-tempo quadridimensionale, ovvero lo spazio ed il tempo sono intimamente connessi. Questo non vuol dire che non vi è distinzione tra spazio e tempo, piuttosto la relatività mostra che la determinazione dello spazio e del tempo non sono tra loro indipendenti.
p Momento ed energia relativistici mv 0 = =γ 2 2 1 v c mc momento relativistico mc 0 m rel m 0 = =γ 2 2 1 v 2 0 2 2 2 2 KE = mc 0 = γmc 0 mc 0 = ( γ 1) mc 2 2 0 1 v c energia relativistica 2 2 mc 0 2 E = γmc 0 = = mc 2 2 0 + KE 1 v c energia della massa a riposo c massa relativistica m 0
Fisica Quantistica Su scala microscopica gli oggetti (corpi) si comportano in modo MOLTO diverso! L energia è discreta, non è più continua Si può calcolare solo la probabilità che un evento avvenga (non vale il determinismo Newtoniano) Le particelle sembrano essere in due posti contemporaneamente Se cerchiamo di misurare un fenomeno ne alteriamo totalmente lo stato Tutto ciò è contrario al senso comune (intuito), tuttavia l intuizione è basata sulla nostra diretta percezione, ma noi non abbiamo una diretta percezione del mondo microscopico...
Radiazione di Corpo Nero La potenza totale di radiazione emessa aumenta con la temperatura P =σ AeT Il picco della distribuzione delle lunghezze d onda si sposta verso lunghezze d onda più corte al crescere della temperatura (legge di Wien) 3 λmaxt = 2.898 10 mk 4
Radiazione di Corpo Nero Teoria classica (energia associata all intensità dell onda elettromagnetica) catastrofe ultravioletta in disaccordo con l esperienza Ipotesi di Planck (1900): energia associata ad oscillatori sulla superficie del corpo nero (cariche elettriche) che però è quantizzata (discreta) E n = n h n n numero quantico (n=1,2,...) h = costante di Planck f = frequenza di oscillazione dell oscillatore Gli oscillatori emettono e assorbono energia in quantità discrete, ovvero, un oscillatore irradia o assorbe solo quando cambia stato quantico Il modello funziona! (Ottimo accordo con l andamento sperimentale della emissione di corpo nero) Tuttavia Planck stesso lo considerò quasi un espediente matematico per risolvere una discrepanza. Solo anni più tardi l idea fu ripresa e sviluppata da Einstein
Radiazione di Corpo Nero Planck definì la funzione emissione spettrale R(λ), tale che il potere emissivo I(T) del corpo nero sia: ( ) ( λ, ) λ ( λ, ) I T = R T d essendo R T = 0 πch 5 λ e 2 2 1 hc λ kt 1 La costante h (6.63 10-4 J s)fu introdotta da Planck supponendo che l energia dei moti oscillatori degli atomi della parete interna della cavità fosse quantizzata con valore pari a multipli di hν., essendo n la frequenza della radiazione emessa e assorbita dagli oscillatori.
Effetto fotoelettrico Esperimento: luce incidente su superfici metalliche emissione fotoelettroni sia 1 l istante fuoriuscita elettrone sia 2 l istante arrivo sulla placca deve essere E 1 = E 2 cioè K 1 + U 1 = K 2 + U 2 K max + 0 = 0 + (-e) (- V a ) K max = e V a Potenziale di arresto V a
Effetto fotoelettrico Dipendenza energia cinetica fotoelettroni dall intensità di luce Esperimento: Energia cinetica max indipendente dall intensità (potenziale d arresto indipendente dall intensità) Previsione Classica: Energia elettroni Intensità luminosa Ritardo temporale emissione fotoelettroni Esperimento: praticamente istantaneo Previsione Classica: con luce debole ci deve essere un ritardo Dipendenza dell emissione di elettroni dalla frequenza della luce Esperimento: se ν < ν min nessuna emissione Previsione Classica:nessuna dipendenza specifica Dipendenza energia cinetica elettroni dalla frequenza della luce Esperimento: energia cinetica cresce con la frequenza della luce Previsione Classica: nessuna relazione (dipende solo dall intensità della luce)
Effetto fotoelettrico: modello di Einstein Ipotesi dei fotoni: la luce di frequenza ν può essere considerata come una corrente di quanti altrimenti detti fotoni che si muovono a velocità della luce c = 3.0 x 10 8 m/s Ciascun fotone ha una energia E = hν, h è la costante di Planck Nel modello di Einstein un fotone cede tutta la sua energia ad un singolo elettrone del metallo: l assorbimento non è un processo continuo! Gli elettroni saranno emessi con energia φ è l energia di estrazione del metallo Kmax = hν φ lunghezza d onda di taglio λ t = c c hc ν = φ h = φ t
Effetto Compton Secondo Einstein il fotone trasporta una quantità di moto E/c = hf/c Compton verificò impossibilità teoria classica di spiegare la diffusione di raggi X da parte di elettroni Diffusione di raggi X da elettroni
Effetto Compton Ipotesi di Compton: il fotone si comporta come una particella di energia hν e quantità di moto hν/c, l esperimento è descritto come un urto tra tra due particelle (elettrone/fotone) E = E hν + mc = hν + K 2 iniz fin rel hc λ hc λ mc 2 = + 2 1 1 ( vc) 1 p elettr mv = p 2 fot = 1 ( vc) h h mv asse x: = cosφ + cosθ λ λ 2 1 ( 1 cos ) ( vc) h mv asse y:0= sinφ+ sinθ λ 2 1 ( vc) eliminando veθ, erisolvendo h λ = λ λ = φ mc h λ
Effetto Compton Verifica sperimentale: h 0 1 cos mc ( ) ' λ λ = θ λ C h = = mc e e 0.00243 nm L effetto Compton comporta l analisi sia dell energia che del momento del fotone, costituendo un supporto ancora più solido alla teoria del fotone. Nel 1927 fu dimostrato che lo spostamento Compton poteva essere previsto senza introdurre il concetto di fotone.
Esistenza del Fotone Benchè il concetto di fotone fu introdotto nel 1905 la prova sperimentale (totalmente convincente) fu ottenuta solo nel 1986! Anticoincidenza 50% sorgente debole (fotoni singoli) Problemi di fluttuazioni d intensità della luce emessa dalla sorgente
Fotoni designati (1986) 50% sorgente debole (fotoni singoli)
Fotoni e onde Togliendo/inserendo il beamsplitter (divisore di fascio) si commuta tra comportamento corpuscolare e ondulatorio!!! Scelta differita: finchè la luce è un ente in transito non ha senso adottare un modello descrittivo (corpuscolare/ondulatorio), ma dipenderà solo dalla successiva interazione con uno o più oggetti.
La luce è un onda o una particella? Onda I campi elettrico e magnetico si comportano come onde Sovrapposizione, Interferenza e Diffrazione Particella Fotoni Collisioni con elettroni nell effetto fotoelettrico Quindi: tavolta Particella, talvolta Onda La teoria del fotone e la teoria ondulatoria della luce sono complementari!
Proprietà ondulatorie delle particelle Ipotesi di De Broglie: poichè i fotoni hanno caratteristiche ondulatorie e corpuscolari, forse tutte le forme di materia hanno sia proprietà ondulatorie che corpuscolari La relazione tra energia e quantità di moto per un fotone vale p = E/c quindi usando la relazione di Einstein si ha E hf hc h p = = = = c c cλ λ Poichè il modulo della quantità di moto di una particella non relativistica è p = mv, la lunghezza d onda di De Broglie della particella è λ = h = h e, in analogia con il fotone ( Einstein) f = E p mv h Nel 1927, tre anni dopo la formulazione dell ipotesi di De Broglie, Davisson e Germer riuscirono a misurare sperimentalmente la lunghezza d onda degli elettroni, confermando tale ipotesi, anche se lo scopo originario del loro esperimento non era questo. La natura ondulatoria di altre particelle, quali neutroni e atomi di elio e idrogeno fu anche osservata successivamente.
Doppia fenditura di Young d Sorgente di elettroni monoenergetici 2 fenditure separate da d L Schermo a distanza L
Doppia fenditura di Young
Natura Ondulatoria della Materia Anche se passa un solo elettrone alla volta si osservarà una figura di diffrazione Se osserviamo ( misuriamo ) da quale fenditura passa l elettrone (cioè le fenditure sono abbastanza separate) si distrugge la figura di interferenza (cioè l aspetto ondulatorio)
Conseguenze della teoria quantistica: Energia-Momento del Fotone + Dualismo Onda-Particella Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Principio di indeterminazione di Heisenberg Se si esegue una misura di posizione di una particella con indeterminazione x e una simultanea di quantità di moto con indeterminazione p x, allora il prodotto delle due indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2 x p x h È fisicamente impossibile misurare contemporaneamente la posizione esatta e la quantità di moto esatta di una particella Addio descrizione deterministica!!! 2
Principio di indeterminazione di Heisenberg Concetto di traiettoria: Infinito è il numero di traiettorie che congiungono A con B, però solo le onde che seguono cammini molto prossimi alla congiungente presentano interferenza costruttiva nel punto B.
Estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg Sostituendo x con t e p con ω (localizzazione nel tempo): ω = 2π ν e E = hν E t h 2π Non è possibile determinare contemporaneamente, con precisione illimitata, sia l energia sia la coordinata temporale di una particella. Mentre, in un atomo, lo stato fondamentale ha una energia ben precisa (il tempo di permanenza in tale stato è lunghissimo) l energia degli stati superiori ( eccitati ) è definita con minor precisione (tempo di esistenza più limitato). Tempo di misura finito indeterminazione DE (h/2p)/dt
Il gatto di Schroedinger un paradosso della meccanica quantistica ovvero quando il senso comune non ci aiuta a risolvere i problemi! veleno
Il gatto di Schroedinger Alcuni elementi sono instabili e decadono (si trasformano) in altri dopo un certo tempo Queste sostanze sono dette radioattive. esempio: 13 N (azoto) decade in 13 C (carbonio) + 1 elettrone + 1 antineutrino Il tempo caratteristico di queste reazioni è detto tempo di dimezzamento (half-life): tempo necessario perchè avvengano la metà degli eventi di decadimento Il tempo di dimezzamento di 13 N è 10 minuti! Se abbiamo un gran numero di atomi di 13 N, allora, dopo 10 min, vi è per un generico atomo una probabilità del 50% di essersi trasformato in 13 C (equivalente a giocare con una moneta a testa o croce).
Il gatto di Schroedinger Domanda: quale è la differenza tra i due atomi di azoto? Risposta: uno è diventato 13 C, l altro no. (banale!!!) Domanda: quale è la differenza tra i due atomi, prima dei 10 min? Risposta (meccanica quantistica, scuola di Copenaghen): Nessuna Risposta (Einstein): Dio non gioca a dadi! (la meccanica quantistica o meglio le sue conseguenze sono errate!)
Il gatto di Schrödinger Immaginiamo che esista un apparato contenente atomi di 13 N ed un rivelatore che rivela quando uno degli atomi è decaduto radiativamente Connesso al rivelatore vi è un relè connesso ad un martello che, all atto del decadimento di un atomo, si attiva facendo cadere il martello che colpisce un ampolla contenente del gas velenoso. Tutto l apparato è posto in un contenitore insieme ad un gatto, ed aspettiamo 10 minuti Allo scadere esatto dei 10 min ci chiediamo: Il gatto è vivo o morto? Risposta (meccanica quantistica): è 50% vivo e 50% morto
Il gatto di Schrödinger Conclusioni: Fintantochè non apriamo la scatola non possiamo conoscere quale delle due possibilità si è verificate In gergo quantistico si dice che il sistema è collassato in uno stato È l interazione con l osservatore (misura) che fa collassare il sistema in uno dei due stati In un certo senso è una conclusione molto spiacevole perchè si perde il senso della certezza che un evento avvenga. Bisogna imparare a descrivere i fenomeni in termini di probabilità degli stessi!
Una interpretazione della meccanica quantistica Consideriamo le onde elettromagnetiche come particelle (fotoni): La probabilità di trovare un fotone in una certa regione dello spazio è 2 I E quindi La probabilità per unità di volume di trovare una particella associata con la radiazione (fotone) è al quadrato dell ampiezza dell onda Sulla base del dualismo onda-corpuscolo riteniamo che la stessa cosa debba valere anche per una particella Esisterà un onda associata ad ciascuna particella, la cui ampiezza è associata alla probabilità di trovarla in una certa regione dello spazio Chiamiamo questa onda: funzione d onda Y In generale potrà avere valori anche complessi ma Y 2 = Y * Y sarà sempre un numero reale positivo, proporzionale alla probabilità probabilità volume N fotoni V probabilità volume N E 2 fotoni V inoltre
Una interpretazione della meccanica quantistica Y(x) Riassumendo possiamo dire, in termini probabilistici, che 2 P x dx=ψ dx sotto la condizione + ( ) ab 2 Ψ dx= 1 b a 2 la particella deve trovarsi da qualche parte P = Ψ dx probabilità di trovare la particella in a x b Esiste una equazione (detta di Schrödinger) cui 2 2 h d Ψ deve soddisfare la funzione d onda Y + UΨ= EΨ 2 2m dx U x energia potenziale e E energia totale del sistema ( ) Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica Noto U e Y si ricava E l energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
Visualizzazione di effetti quantistici Microscopia a scansione ad effetto tunnel Microscopia a scansione ad effetto tunnel (Binnig e Rohrer, premio Nobel in Fisica 1985)
Visualizzazione di effetti quantistici atomi di Fe su superficie di Cu cristallino 1 2 3 4
Visualizzazione di effetti quantistici
Effetti quantistici La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico NON È totalmente deterministica (probabilistica) L osservazione stessa influisce sull esperimento Le particelle si comportano come onde e le onde come particelle Effetto Foto-elettrico»Elettroni espulsi dal metallo dai fotoni»fotoni di comportano come particelle Generalizzazione di De Broglie:»la materia si comporta come un onda»diffrazione elettronica»qualunque cosa possiede una lunghezza d onda λ=h/p Equazione di Schrödinger, per la descrizione della dinamica quantistica