Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13 Programma di Analisi matematica 1 - A13106 Anno accademico 2015-2016 Prof. Giulio Starita 1 - Insiemi, logica, numeri I concetti primitivi. Parti di un insieme, insieme vuoto, insieme delle parti. Inclusione. Intersezione, unione, complemento e loro proprietà. Le leggi di De Morgan. Prodotto cartesiano. Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori. I numeri naturali, interi, razionali e reali. Somma, prodotto, ordinamento e loro proprietà. Intervalli. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Estremi di un insieme. Assioma di continuità. Il simbolo di sommatoria e le sue proprietà. Il fattoriale, il coefficiente binomiale e i loro significati combinatori. Il triangolo di Tartaglia. Il valore assoluto e le sue proprietà. Potenze, logaritmi e loro proprietà. Le grandezze trigonometriche e le loro proprietà. Insiemi induttivi e principio di induzione. Somma dei primi n numeri naturali. Disuguaglianza di Bernoulli (p. 33). La formula del binomio di Newton (p. 33). Numeri complessi. Somma e prodotto di numeri complessi. Unità immaginaria. Forma algebrica dei numeri complessi. Coniugato. Modulo e sue proprietà. Argomento. Forma trigonometrica di un numero complesso. Formule di De Moivre. Radici n sime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell algebra. 2 - Funzioni Relazioni tra insiemi. Grafico di una relazione. Funzione. Dominio e codominio di una funzione. Funzioni limitate, inferiormente limitate, superiormente limitate. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotòne. Restrizione e prolungamento di una funzione. Somma, prodotto, composizione di funzioni. Operazioni sul grafico di una funzione. 1
Funzioni invertibili. monotòne. Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente Equazioni e disequazioni. Soluzione di equazioni e disequazioni relative a funzioni strettamente monotòne. Le funzioni costante, identità, valore assoluto, parte intera, parte decimale, segno, caratteristica. Funzione potenza di esponente naturale. La funzione radice. La funzione potenza di esponente reale. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Risoluzione di equazioni e disequazioni coinvolgenti le funzioni dei due punti precedenti. 3 - Limiti delle successioni Successione di numeri. Successioni limitate, inferiormente limitate, superiormente limitate. Proprietà definitivamente soddisfatte. Successioni convergenti e limite di una successione. Teorema di unicità del limite (p. 89 90). Successioni divergenti. Successioni regolari. La retta numerica ampliata. Limitatezza delle successioni convergenti e non limitatezza di quelle divergenti (p. 90 91). Successioni irregolari. Successioni monotòne. Teorema di regolarità delle successioni monotòne (p. 93 94). La progressione geometrica; limite della progressione geometrica per i differenti valori della ragione. ( Convergenza della successione 1 + n) 1 n (p. 101 102). Il numero di Nepèro. Teoremi relativi all agebra dei limiti (con dimostrazione per la somma e il prodotto, p. 96 97). Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Le forme indeterminate. Limite delle successioni polinomiali e rapporti di polinomi. Teorema di permanenza del segno (1 a e 2 a forma), p. 97 98. Teoremi di confronto (p. 99). Criterio del rapporto per le successioni (p. 106 107). Ordine di infinito e di infinitesimo. Gerarchie di infinito e infinitesimo con applicazione alle successioni log a n, n α, a n, n!, n n (p. 105 107). 2
4 - Limiti delle funzioni e continuità Intorno di un numero reale, di +, di. Definizione successionale di limite. Il Teorema di unicità del limite. Definizione topologica di limite di una funzione e relative forme (ε, δ). Asintoti orizzontali. Teorema di regolarità per confronto (p. 121 122). Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti. Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Forme indeterminate. Teorema di cambiamento della variabile nel calcolo dei limiti (p. 122 123). Continuità della funzione composta di funzioni continue. ( 1 + x) 1 x 1 cos x, lim x 0 x 2 (p. 128 129). Li- sin x Limiti notevoli: lim x 0 x, lim x ± f(x) miti notevoli lim x 0 x con f(x) data da ex 1, log(1+x), (1+x) α 1, arcsin x, tan x, arctan x. Limiti negli estremi del dominio delle funzioni elementari, dei polinomi, delle funzioni razionali (p. 126). Limite destro e limite sinistro. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della somma di funzioni continue, del prodotto di una funzione continua per una costante, della composizione di funzioni continue. Funzioni non continue: discontinuità eliminabili, di prima specie, di seconda specie. Teorema degli zeri (p. 136 137). Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi (p. 140). Esistenza della radice n sima. Proprietà delle funzioni monotòne in un intervallo. 5 - Calcolo differenziale e sue applicazioni Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata di una funzione e suo significato geometrico. Retta tangente al grafico di una funzione. Continuità di una funzione derivabile (p. 159 160). Funzioni non derivabili: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi. Derivata della somma, del prodotto, del rapporto (p. 161 162). della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivata Derivata delle funzioni costante, identità e quadrato; derivata della potenza di esponente naturale; derivate delle funzioni trigonometriche; derivata dell esponenziale e del logaritmo; derivata della potenza di esponente reale (p. 154 155). 3
Estremi globali e locali di una funzione. Teorema di Fermat (p. 173). Punti stazionari. Teorema di Lagrange del valore medio (p. 174 175). Teorema di Rolle. Teorema di de l Hôpital (p. 187 188). Relazione tra le proprietà di monotonìa di una funzione e il segno della sua derivata (test di monotonìa) (p. 176 177). Caratterizzazione delle funzioni con derivata nulle in un intervallo (p. 177). Ricerca dei minimi e dei massimi delle funzioni derivabili. Funzioni convesse e concave. Relazione tra le proprietà di concavità di una funzione e il segno della sua derivata seconda. Differenziale di una funzione. Teorema del differenziale. Approssimazione lineare di una funzione. La notazione o piccolo. Polinomio di Taylor. Resto del polinomio di Taylor nella forma di Peano e nella forma di Lagrange. 6 - Serie numeriche Somme parziali di una successione numerica. Serie numerica. Carattere di una serie. Somma di una serie. La serie geometrica (p. 231). Una condizione necessaria per la convergenza di una serie (p. 232). Serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie a termini positivi. Criterio di confronto (p. 233, 237). Criterio di confronto asintotico. Criterio della radice (p. 236, 237). Criterio del rapporto (p. 236, 238). Serie assolutamente convergenti e criterio dell assoluta convergenza. Serie a termini alterni. Criterio di Leibniz (p. 240 241). 7 - Calcolo integrale Somme di Cauchy Riemann. Integrale di una funzione limitata in un intervallo chiuso. Interpretazione geometrica dell integrale. Classi di funzioni integrabili. Linearità dell integrale rispetto alla funzione integranda. Additività dell integrale rispetto all intervallo di integrazione. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Teorema della media integrale (p. 265). Teorema fondamentale del calcolo integrale (p. 267 268). 4
Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per sostituzione (prima e seconda forma). Integrazione per parti. Integrali immediati. Integrali delle funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali per decomposizione in fratti semplici. Sostituzioni razionalizzanti per l integrazione di alcune classi di funzioni irrazionali (cenni). Integrali impropri: integrale di una funzione non limitata e integrale su un intervallo non limitato. Integrabilità delle funzioni x α. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Determinazione del carattere della serie armonica generalizzata. 8 - Equazioni differenziali Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni del primo ordine in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari. Equazioni del tipo di Bernoulli. Equazioni differenziale di ordine superiore. Equazioni lineari: forma dell integrale generale. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. 9 - Successioni e serie di funzioni Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza in distanza e convergenza uniforme. Proprietà delle successioni di funzioni uniformemente convergenti. Serie di funzioni. Convergenzaa puntuale e convergenza uniforme delle serie di funzioni. Convergenza totale di una serie di funzioni. Derivabilità e integrabilità termine a termine di una serie di funzioni totalmente convergente. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Criterio del rapporto per le serie di potenze. Proprietà delle serie di potenze. Serie di Taylor di una funzione. Serie di Taylor dell esponenziale, del seno e del coseno. Testo di riferimento M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli (punti da 1 a 7). M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli Note Per gli argomenti riportati in carattere inclinato è richiesta la conoscenza delle relative dimostrazioni. 5