TESTI DI ESAME a.a

TESTI DI ESAME a.a. 2002-03 1. Il costo mensile per il noleggio di un auto dipende dal chilometraggio percorso. Un utente ha speso 380 euro per aver percorso 480 Km in maggio e 460 euro per aver percorso 800 Km in giugno. a) Esprimere il costo mensile in funzione della distanza percorsa, assumendo una dipendenza lineare e disegnarne il grafico. b) Usare il grafico per predire quanto costerà usare la macchina per 1500 Km in un mese. c) Qual è la pendenza del grafico e cosa rappresenta? d) Qual è l intercetta sull asse y e cosa rappresenta? 2. Un manager di un caseificio sa che produrre 75 Kg di parmigiano reggiano in un giorno costa 1300 euro, mentre produrne 200 Kg costa 2000 euro. a) Esprimere il costo in funzione della quantità di formaggio prodotta in un giorno assumendo che la relazione tra le variabili sia lineare e disegnarne il grafico. b) Qual è la pendenza del grafico e cosa rappresenta? c) Qual è l intercetta sull asse y e cosa rappresenta? d) Usare il grafico per predire quanto costa produrre 400 Kg di formaggio in un giorno. 3. La tabella seguente illustra la spesa annuale per gli istituti di detenzione 1

di tutti gli Stati Uniti (t = 0 rappresenta l anno 1990): Anno, t Spesa (milioni di dollari), S(t) 0 16 1 18 2 18 3 20 4 22 5 26 6 28 7 30 (a) Quale delle seguenti funzioni rappresenta meglio i dati forniti? (Nessuna corrisponde esattamente ai dati, ma una vi si avvicina più delle altre). i. S(t) = 0.2t 2 + t + 16 ii. S(t) = 0.2t 2 + t + 16 iii. S(t) = t + 16 (b) Disegnate il grafico della funzione che avete scelto e utilizzatela per prevedere la spesa per gli istituti di detenzione del 1998, assumendo che la tendenza rimanga invariata. (c) Presentate nel suo C.E. più ampio la funzione scelta (codominio, biiettività, invertibilità, monotonia, limitatezza). 4. Poco dopo aver ingerito una compressa, un paziente ha assorbito 300 mg di aspirina. Se la quantità di aspirina nel sangue diminuisce esponenzialmente dimezzandosi ogni due ore, calcolate quanto tempo occorre perchè tale quantità si riduca a meno di 100 mg. Modellate il processo individuando l algoritmo iterativo, disegnate il grafico della funzione esponenziale e risolvete la disequazione esponenziale. 5. L acidità di una soluzione è misurata dal suo ph, che è dato dalla formula ph = log 10 (H + ) dove H + misura la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. Il ph dell acqua pura è 7. Una soluzione è definita acida se il suo ph è minore di 7 e basica se il ph è maggiore di 7. 2

Disegnare il grafico della funzione che rappresenta il ph. Calcolare il ph del caffè: 1.2 10 7 moli/litro. Quante moli di ioni idrogeno sono contenute in un litro di pioggia acida avente ph 3.0? Completare la seguente frase: se il ph di una soluzione diminuisce di 2.0, allora la concentrazione di ioni idrogeno... 6. Assegnata la funzione f(x) = log(x + 3) determinare: - dominio e codominio di f(x); - segno di f(x); - intervalli di crescenza di f(x); - disegnare il grafico di f(x) ; - stabilire il numero di soluzioni dell equazione f(x) x + 1 = 0; - disegnare il grafico di f( x ). 7. Se 1 f(x) x 2 + 2x + 2 per ogni x C.E., trovare lim f(x) = x 1 (Suggerimento: disegnare i grafici delle tre funzioni in uno stesso piano cartesiano e usare il Teorema dei carabinieri). 8. Acquisizione del linguaggio. La percentuale p(t) dei bambini in grado di pronunciare almeno singole parole entro l età di t mesi può essere approssimato con la legge p(t) = 100(1 12, 196 ) t 8, 5 t4,478 3

Calcolare lim p(t) = t 12 lim p(t) = t + e interpretare i risultati. Disegnare un grafico che approssimi l andamento di p(t). 9. Acquisizione del linguaggio. La percentuale q(t) dei bambini in grado di pronunciare frasi di cinque o più parole entro l età di t mesi può essere approssimato con la legge Calcolare q(t) = 100(1 5, 2665 1017 t 12 ) t 30 lim q(t) = t 36 lim q(t) = t + e interpretare i risultati. Disegnare un grafico che approssimi l andamento di q(t). 10. (a) La derivata della funzione f(x) = e ( x2 +3x) nel punto x = 2 vale I) 12e 2 II) e 2 III) +5e 2 IV) 8e 2 (b) L equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = x 3 2 nel punto di ascissa x = 2 è I) y = 24x 30 II) y = 4x + 4 III) y = 12x 18 IV) y = 8x 11 4

(c) L approssimazione lineare di e 1/100 vale I) 2/100 II) 201/200 III) 1/100 IV) 1 + 1/100 11. (a) La derivata della funzione f(x) = e ( 3x+2x2 ) nel punto x = 2 vale I) 12e 2 II) e 2 III) +5e 2 IV) 8e 2 (b) L equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = x 2 + 8 nel punto di ascissa x = 2 è I) y = 24x 30 II) y = 4x + 4 III) y = 12x 18 IV) y = 8x 11 (c) L approssimazione lineare di log 102/100 vale I) 2/100 II) 201/200 III) 1/100 IV) 1 + 1/100 12. (a) La derivata della funzione f(x) = e ( x3 +10) nel punto x = 2 vale I) 12e 2 II) e 2 III) +5e 2 5

IV) 8e 2 (b) L equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = 2x 2 3 nel punto di ascissa x = 2 è I) y = 24x 30 II) y = 4x + 4 III) y = 12x 18 IV) y = 8x 11 (c) L approssimazione lineare di sin 1/100 vale I) 2/100 II) 201/200 III) 1/100 IV) 1 + 1/100 13. (a) La derivata della funzione f(x) = e ( 2x2 +10) nel punto x = 2 vale I) 12e 2 II) e 2 III) +5e 2 IV) 8e 2 (b) L equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = 2x 3 + 2 nel punto di ascissa x = 2 è I) y = 24x 30 II) y = 4x + 4 III) y = 12x 18 IV) y = 8x 11 (c) L approssimazione lineare di 101/100 vale I) 2/100 II) 201/200 6

III) 1/100 IV) 1 + 1/100 7

14. In figura è tracciato il grafico della funzione f(x). 4 3 y 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x 1 2 3 4 (a) Presenta il seguente numero di punti di non derivabilità I) 2 II) 1 III) sempre derivabile IV) 3 (b) Per x > 0 la sua derivata f (x) è I) positiva II) negativa III) positiva per 0 < x < 1 e negativa per x > 1 IV) negativa per 0 < x < 1 e positiva per x > 1 (c) Per x > 0 la sua derivata seconda f (x) è I) positiva II) negativa III) positiva per 0 < x < 1 e negativa per x > 1 IV) negativa per 0 < x < 1 e positiva per x > 1 (d) Il grafico della derivata f (x) è... 8

(e) Al contrario, il grafico della funzione che ammette f(x) come derivata è... 15. In un frutteto di 50 piante il rendimento di ciascun albero è di 100 chili l anno. Per ragioni di affollamento, il rendimento diminuisce di 1 chilo a stagione per ogni albero in più piantato nel frutteto. Quanti alberi in più andrebbero piantati per rendere massimo il rendimento annuo totale? 16. In un frutteto di 180 piante il rendimento di ciascun albero è di 60 chili l anno. Per ragioni di affollamento, il rendimento aumenta di 3 chili a stagione per ogni albero che viene tolto dal frutteto. Quanti alberi andrebbero tolti per rendere massimo il rendimento annuo totale? 17. La percentuale P (t) delle persone che raggiungevano l età di t anni nell antica Roma può essere approssimata con P (t) = 92e 0.0277 t. Calcolate P (22) e spiegate che cosa indica. Disegnate il grafico di P (t) e quello di P (t). 18. Si supponga di non conoscere una formula per g(x), ma di sapere solo che g(2) = 4 e che g (x) = x 2 + 5 per ogni x. (a) Usare un approssimazione lineare per stimare g(1.95) e g(2.05). (b) Le stime in (a) sono per eccesso o per difetto? 9

TESTI DI ESAME a.a. 2003-04 1. Giornale universitario. La domanda relativa al giornale universitario è di 2000 copie alla settimana se la distribuzioe è gratuita, mentre scende a 1000 copie la settimana se il prezzo per copia è 0,10 euro. Tuttavia, l Università è in grado di fornire gratuitamente solo 600 copie la settimana, mentre può fornirne 1400 a 0,20 euro per copia. (a) Scrivete le funzioni lineari di domanda e di offerta e rappresentatele graficamente in uno stesso piano cartesiano. (b) Nella funzione di domanda, qual è il significato del coefficiente angolare? E quello del termine noto? (c) A quale prezzo dovrebbe essere venduto il giornale universitario per non avere eccedenze (nè positive, nè negative)? 2. Nella vendita di un bene, il ricavo si ottiene moltiplicando il numero delle unità vendute per il prezzo unitario, cioè ricavo = funzione domanda prezzo unitario di vendita. Relativamente alla vendita del giornale universitario dell esercizio precedente, (a) determinare la funzione ricavo e rappresentarla graficamente. (b) A quale prezzo l Università deve vendere il giornale per avere il massimo ricavo? 3. (a) Presentare la funzione log(x) (campo di esistenza, codominio, biiettivita, inversa, monotonia). (b) Disegnare il grafico della funzione log(x) e individuarne il relativo C.E. e codominio. (c) Determinare il numero delle soluzioni dell equazione log(x) x 2 = 0. (d) Disegnare il grafico della funzione log x e individuarne il relativo C.E. e codominio. 4. Temperature. Confrontando le scale termometriche Celsius e Fahrenheit si osserva che hanno origine e unità di misura diverse. Risulta infatti: 0 0 C = 32 0 F 100 0 C = 212 0 F. 10

(a) Tenuto conto che il legame tra le scale è lineare, esprimere la temperatura in gradi Celsius f(x) come funzione della temperatura in gradi Fahrenheit x. (b) Cosa rappresenta il coefficiente angolare? (c) Cosa rappresenta il termine noto? (d) Trovare la funzione inversa ed interpretarla. 5. Flash. Quando si scatta una fotografia con un flash, le batterie ricominciano immediatamente a caricare il condensatore del flash con una carica elettrica f(t) espressa in funzione del tempo dalla seguente funzione f(t) = Q 0 (1 e t/2 ) (Q 0 è la massima capacità di carica). (a) Disegnare in successione i seguenti grafici: - f 1 (t) = Q 0 e t/2 ; - f 2 (t) = Q 0 e t/2 ; - f(t). (b) Determinare quanto tempo è necessario per ricaricare il 90% della capacità. (c) Calcolare lim t + f(t) 6. Medicine. Ad un paziente è prescritta la seguente terapia medica: una compressa di medicina A da 300 mg ogni giorno alle otto del mattino una compressa di medicina B da 100 mg ogni giorno alle otto del mattino. La quantità di entrambe le medicine nel sangue diminuisce esponenzialmente, ma la A si riduce del 50% ogni due ore, mentre la B solo del 10% ogni due ore. (a) Calcolate quanto tempo occorre perchè la quantità di medicina A nel sangue risulti inferiore a quella della B. (b) Modellate i due processi individuando gli algoritmi iterativi, disegnate il grafico delle funzioni esponenziali e risolvete la disequazione esponenziale. 11

7. Elettrodomestici. Una piccola industria di elettrodomestici spende 9000 euro per produrre 1000 tostapane in una settimana; incrementando la produzione a 1500 tostapane per settimana, il costo passa a 12000 euro. (a) Esprimere il costo di produzione sostenuto dall azienda, assumendo sia lineare e disegnarne il grafico. (b) Qual è il significato del coefficiente angolare? (c) Cosa rappresenta il termine noto? 8. Libri Per rappresentare le vendite settimanali il consulente matematico della casa editrice dell esercizio precedente ha costruito la funzione il cui grafico è f(x) = 6053 + 4474 1 + e 0.55(x 4.8) 10000 9000 8000 7000 0 20 40 60 80 100 x (a) Utilizzando questa funzione stimate il tasso di crescita delle vendite settimanali all inizio della settima settimana (x = 6) Arrotondare la risposta all unità più vicina. (b) Qual è la previsione a lungo termine per le vendite settimanali? (c) Qual è la previsione a lungo termine per il tasso di variazione delle vendite settimanali? 9. Abbonamenti. Una società sportiva può contare su 20000 abbonati se il costo dell abbonamento è 200 euro. Poichè prevede di acquisire 100 12

nuovi abbonati per ogni riduzione di 10 euro sul prezzo dell abbonamento, individuare il prezzo che determina il massimo ricavo. (a) Disegnate il grafico della funzione ricavo e descrivetene le principali proprietà. 10. Batteri. Si supponga che una popolazione di batteri cresca secondo la legge f(x) = 200 x, ove x rappresenta le ore. (a) Poichè il modello è attendibile almeno per le prime 100 ore, usate un approssimazione lineare (equazione della retta tangente) per predire la popolazione dopo 85 ore. (b) La stima è per eccesso o per difetto? (c) Visualizzate graficamente l approssimazione lineare. 11. T-shirt. Le vendite mensili di t-shirt si riducono del 5% ogni mese. Se attualmente si vendono 1000 magliette al mese (a) modellare il processo individuando l algoritmo iterativo e disegnare il grafico della funzione esponenziale. (b) Quante t-shirt si venderanno fra 7 mesi? (c) Se in magazzino avete 50000 magliette, prevedete di poterle vendere tutte? 12. Disegnare il grafico della funzione e determinare: f(x) = 2e x2 (a) il campo di esistenza e il codominio; (b) gli eventuali asintoti; (c) punti di massimo o di minimo relativo, punti di flesso, concavità e convessità. (d) Disegnare il grafico della funzione derivata. 13

13. Cristalliera a base triangolare. Avendo a disposizione una lastra di vetro temperato di 6m 2, si vuole costruire una cristalliera a forma di prisma retto avente per base un triangolo rettangolo isoscele e con due ripiani intermedi equivalenti alle basi. Individuare le dimensioni del mobile in modo che il suo volume sia massimo. 14. Secchiello. Si versa della sabbia in un secchiello a forma di tronco di cono che si allarga verso l alto. La sabbia scende in modo costante; il volume occupato dalla sabbia nell unità di tempo è costante. (a) Disegnare il grafico che rappresenta l altezza raggiunta dalla sabbia nel secchiello in funzione del tempo. (b) Disegnare il grafico della derivata di tale funzione. 15. Hardware. Il seguente grafico mostra il numero di nuovi dipendenti per anno a partire dal 1984 (x = 0) presso una azienda che produce hardware. 10.6 10.4 10.2 10 9.8 9.6 0 20 40 60 80 100 x 14

(a) Interpretare il grafico e stimare lim f(x) x + (b) Tracciare il grafico della funzione derivata, calcolare e interpretare le risposte. 16. Assegnate le funzioni lim f (x) x + f(x) = 1 + ln(x), g(x) = 1/x (a) determinare il loro campo di esistenza e disegnarne il grafico in uno stesso piano cartesiano. (b) Risolvere graficamente l equazione f(x) g(x) = 0 (c) Determinare l angolo formato dalle rette tangenti ai grafici nel loro punto di intersezione. 17. Recinto per cani. Si vuole costruire lungo il lato della casa un recinto rettangolare diviso in due box per i propri cani. Avendo a disposizione 100 metri di rete, determinare le dimensioni in modo che il recinto abbia area massima, tenendo conto che un lato del recinto è costituito dal muro della casa e la rete usata per la divisione è posta perpendicolarmente a tale muro. 18. Medicina. 10 ml di una medicina sono iniettati per endovena ad un paziente in 5 minuti. Durante la somministrazione la quantitá di medicina nel sangue cresce esponenzialmente, appena si cessa la somministrazione essa diminuisce con la velocità dell iperbole asintotica agli assi cartesiani. (a) Individuare la legge che meglio rappresenta l andamento della quantitá di medicina nel sangue in funzione del tempo e tracciarne il grafico. (b) Descrivere le proprietà caratterizzanti il grafico individuato ( C.E., codominio, asintoti, continuità, derivabilità, punti di massimo o minimo relativo, concavità). (c) Determinare la legge e/o il grafico della derivata prima. Chiarire il significato della derivata prima in termini di concentrazione della medicina nel sangue. 15

19. Libri. Una casa editrice ha visto le vendite settimanali aumentare come mostrato nella seguente tabella Settimana 1 2 3 4 5 6 Vendite (libri) 6500 7000 7200 7800 8500 9000 (a) Qual è stato il tasso medio di crescita delle vendite settimanali nel periodo? (b) Durante quale intervallo di una settimana il tasso di crescita delle vendite ha superato quello medio? (c) Durante quale intervallo di due settimane le vendite settimanali sono salite al massimo tasso medio e quale è stato tale tasso? 20. Dimostrare e rappresentare graficamente che la retta tangente al grafico della funzione f(x) = ln x nel punto di ascissa x = e taglia l asse delle ascisse nell origine. 21. Descrivere le proprietà caratterizzanti il grafico seguente ( C.E., codominio, asintoti, continuità, derivabilità, punti di massimo o minimo relativo, concavità). 1.4 1.2 1 y 0.8 0.6 0.4 0.2 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 0.2 x 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4. 16

22. Trovare l approssimazione lineare della funzione f(x) = 1 x in x 0 = 0 (equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa nulla). (a) Approssimare i numeri 0.9 e 0.99 (b) Illustrare graficamente disegnando f e la retta tangente. 23. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 2 delle seguenti funzioni: f 1 (x) = 5 f 2 (x) = 4x + 7 f 3 (x) = 3x 2 5 f 4 (x) = x +2 24. Pollaio In un pollaio di 100 galline, il rendimento di ciascuna gallina è di 20 uova al mese. Per ragioni di affollamento, tale rendimento aumenta di due uova al mese per ogni quattro galline che vengono tolte dal pollaio. Quante galline andrebbero tolte per rendere massimo il rendimento mensile del pollaio? 25. Determinare in quale punto la curva grafico della funzione f(x) = [ln(x + 4)] 2 ha tangente orizzontale. Visualizzare il risultato graficamente. 26. Container. Un container rettangolare con apertura superiore deve avere un volume di 10m 3 e le dimensioni della sua base sono una il doppio dell altra. Se il materiale per la base costa 10 euro al metro quadro e il materiale per i lati 6 euro al metro quadro, calcolare le dimensioni del container in modo da minimizzare i costi. 17