G6. Integrali indefiniti

G6 Integrali indefiniti G6 Introduzione Nel capitolo G4 si è visto come calcolare la derivata di una funzione data Quando si calcola la derivata di una funzione y=f() il risultato è un altra funzione indicata con y =f () In questo capitolo si vedrà come calcolare l integrale di una funzione data Quando si calcola l integrale di una funzione y=f() il risultato è un altra funzione indicata con F()= f()d L integrale è l operazione inversa della derivata Esempio G6: Trovare l integrale di f()= La funzione f()= ha derivata f ()= Poiché l integrale è l operazione inversa della derivata allora un integrale della funzione f()= è F()= Definizione: Data una funzione f() il suo integrale si indica con F()= f()d e F()si dice primitiva di f() Nell esempio G6 non si è detto: l integrale della funzione è, ma un integrale della funzione è Infatti y= non è l unica funzione che ha derivata y = Hanno la stessa derivata anche le funzioni y= +, y= +, y= -/, y= +π, y = e, ecc ecc, poiché la derivata di un numero è zero Si può dire quindi che tutte le funzioni del tipo y= +c, dove c è un numero, hanno derivata y= Quando si calcola l integrale bisogna quindi aggiungere questo +c al risultato derivata f()= f ()= integrale F()= +c f()= Fig G6 L integrale è l operazione inversa della derivata Esempio G6: Si calcoli l integrale di f()= Si è visto nell esempio G6 che una primitiva di f()= è F()= Per quanto detto nell osservazione precedente le infinite primitive di f()= sono F()= +c Si scrive d= +c Mentre per ogni funzione è possibile trovare la derivata, non per tutte le funzioni è possibile calcolare algebricamente tg l integrale Ad esempio la funzione y = non è la derivata di alcuna funzione, quindi non è possibile calcolarne l integrale Nel paragrafo G6 si vedrà come calcolare l integrale indefinito solo per le funzioni polinomiali Nei paragrafi successivi si vedranno le regole di derivazione per le altre funzioni G6 Calcolo dell integrale indefinito per le funzioni polinomiali La regola per il calcolo dell integrale indefinito delle funzioni polinomiali è: REGOLA - Teoria G6- nd = n+ +c n+

Esempio G6: 4d Con la regola appena mostrata si ottiene: 4 d = 5 +c 5 L integrale di f()= è F()=+c Infatti la derivata di f()=+c è f ()= Questo è un caso particolare della regola precedente con n=0 Infatti con n=0 la regola precedente diventa: 0 d= d = 0+ +c= +c L integrale di un numero f()=k è F()=k+c, in quanto la derivata di f()=k+c è f ()=k Infatti se si mette un numero davanti alla, sapendo che l integrale di è, si ha: ( ) 0+ kd= k d=k d = k+c Si sono quindi ricavate altre due regole per il calcolo dell integrale: Esempio G64: d REGOLA - REGOLA - d=+c kd=k+c Per la regola si ottiene d=+c Se la è al denominatore si deve scrivere la frazione senza denominatore con esponente negativo -n+ REGOLA 4 - -n d= d= +c= +c n -n+ (-n+ ) n- (n ) Poi si applica la regola Esempio G65: di d Si utilizza la regola 4 e si ottiene: - d = - d = +c = - +c - Se si deve calcolare l integrale d con la regola 4 si ottiene una contraddizione Infatti utilizzando la regola 4 si 0 otterrebbe - d = d = +c Ma è vietato dividere per zero! 0 E per questo che nella regola 4 è specificato n In questo caso si utilizza una regola differente Ricordando le regole di derivazione si sa che la derivata di f()= è f ()=ln Sapendo che l integrale è l operazione inversa dalla derivata si ricava la regola 5 REGOLA 5 - d =ln +c Se si deve calcolare l integrale di una radice la si deve trasformare in potenza ad esponente razionale Poi si utilizza la regola REGOLA 6 - Teoria G6- n m m n d= d=

Esempio G66: 5 d Con la regola 6 e poi la regola si ottiene: (/5)- -/5 5 /5 5 d = d = +c = +c = - +c 5 (/5)- -/5 Se si deve calcolare l integrale di una somma di monomi basta calcolare l integrale di ogni monomio per conto suo REGOLA 7 - Esempio G67: - + + d f()+g()d= f()d+ g()d= Utilizzando le regole viste finora, e integrando ogni monomio per conto proprio si ottiene: -/ - (/)- - / - - + + d = - d+ d+ d = + + +c= - (/)- = - - + +c= - - - +c -/ G6 Altre regole Si ricorda che la derivata di y=f n () è y =nf n- ()f () Invertendo tale regola di derivazione si ottiene la regola seguente: REGOLA 8 - n+ n f () +c n+ f () f'()d= Si noti che non c è alcuna regola che permetta di integrare y=f n (), è sempre necessario che il fattore f n () sia moltiplicato per la derivata f () della funzione f() Allo stesso modo, ricordando che la derivata del logaritmo naturale è /, si ottiene la regola seguente: REGOLA 9 - f'() d=ln f()+c f() E necessario mettere il valore assoluto perché il logaritmo di un numero negativo non esiste Anche in tal caso non è possibile integrare /f() E necessaria la presenza del fattore f () al numeratore Utilizzando tali regole è possibile calcolare numerosi integrali, come mostrato nei seguenti esempi ESEMPIO G68: 4 cos sen d Si utilizza la regola 8 con f()=cos, n=4, f ()=sen 5 4 cos cos sen d= +c 5 ESEMPIO G69: 0+ d 5 + Si utilizza la regola 9 con f()=5 +, f ()=0+ 0+ d=ln 5 ++c 5 + ESEMPIO G60: cos cotgd cos cotgd= d= d=ln sen +c sen sen Teoria G6-

ESEMPIO G6: + d ( +) ( +) ( +) ( +) + + d= + d= + d= + +c= = +c= +c= +c 9 9 ESEMPIO G6: d ln d= d=ln ln +c ln ln ESEMPIO G6: + d - +4 + +-5+5-5 d= d= d= d+ d = d+5 d =+0ln -+c - - - - - - Ricordando le regole di derivazione delle funzioni goniometriche è possibile ricavare le analoghe regole di integrazione REGOLA 0 - send=-cos+c REGOLA - sen( f() ) f'()d=-cosf()+c REGOLA - cosd=sen+c REGOLA - cos( f() ) f'()d=senf()+c REGOLA 5 - REGOLA 4 - d=tg+c cos REGOLA 6 - d=-cotg+c sen f'() d=tg f() +c cos f() f'() d=-cotg f() +c sen f() REGOLA 7 - ESEMPIO G64: cos +5 d cos +5 d= cos +5 d= sen +5 +c ESEMPIO G65: e d cose e cos e d=tge +c Nel capitolo sulle derivate non si sono viste le regole di derivazione delle funzioni goniometriche inverse perché non capita spesso di utilizzarle Le corrispondenti regole di integrazione sono invece molto utilizzate: f'() REGOLA 8 - d=arctg+c REGOLA 9 - d=arctg ( f() ) +c + +f () REGOLA 0 - d=arcsen+c REGOLA - - f'() d=arcsen f() +c=-arccos f() +c -f () ESEMPIO G66: e d +e Teoria G6-4

e +e ESEMPIO G67: d=arctg e +c 8 d -6 4 4 4 8 d= d= d= arcsen 4 +c 4-6 - 4-4 ESEMPIO G68: d +9 + + d= d= d= arctg +c +9 ESEMPIO G69: d 4- d= d= d= d=arcsen +c 4-4 - - - 4 ESEMPIO G60: d m + m + + m m m d= d= d= arctg +c m + m m m Quest ultimo esempio sarà molto utile per l integrazione delle funzioni razionali fratte, pertanto è opportuno inserirlo tra le regole: REGOLA - d= arctg +c +m m m Tale regola può essere generalizzata al caso in cui al posto di c è f() Si ottiene così la regola La regola 4 è un caso particolare della, molto utile, con f()=+k REGOLA - f'() d= arctg f() +c +k REGOLA 4 - d= arctg +c f ()+m m m +k +m m m ESEMPIO G6: d +5 d= arctg +c +5 5 5 ESEMPIO G6: d + +9 + d= arctg +c + +9 Teoria G6-5

Le ultime regole riguardano l integrazione delle funzioni esponenziali Si ricavano facilmente dalle corrispondenti regole di derivazione REGOLA 5 - REGOLA 7 - e d=e +c REGOLA 6 - a d= a +c REGOLA 8 - lna ( f() ) ( f() ) e f'()d=e +c ( f() ) ( f() ) a f'()d= a +c lna ESEMPIO G6: e -4 - d -4-4 e - d= e 4-4 d= e -4 +c ESEMPIO G64: 4 4 d d= +c ln G64 Integrazione delle funzioni razionali fratte Per integrare una funzione razionale fratta è necessario che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore Se così non è allora si deve dividere il numeratore per il denominatore, con il metodo della divisione dei polinomi, in maniera da abbassare il grado del numeratore Si ricorda che 7:=5 con il resto di Infatti 5+=7 Analogamente si può ragionare con il numeratore e il denominatore di una funzione razionale fratta Sia N =Q D con il resto di R Allora DQ+R=N Si sostituisca DQ+R al posto di N e si ottiene: DQ+R DQ R R = + =Q+ D D D D Per integrare N D lo si scrive nella forma R Q+ D Q è un polinomio, quindi è facilmente integrabile con le prime regole di questo capitolo Per integrare la seconda parte R D si mostreranno delle tecniche apposite in questo paragrafo ESEMPIO G65: + d + Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, quindi si deve effettuare la divisione di polinomi + + + + - + 9 " - + - - " + + 9 " + 7 9 Si è trovato che Q=- + 9, R= 7 Si può ora procedere a integrare 9 7 + 9 7 7 d= - + d+ d= - + + d= - + + ln + +c + 9 + 6 9 9 + 6 9 7 L integrazione del fattore R D non è stata in questo caso molto difficoltosa, come invece certe volte avviene In questo paragrafo si presenteranno d ora in poi sempre casi in cui il denominatore ha un grado maggiore del numeratore E sempre possibile, come si è visto, ricondursi a questi casi con il procedimento appena descritto Teoria G6-6

I - IL DENOMINATORE HA GRADO UNO Se il denominatore ha grado uno, visto che si trattano casi in cui il numeratore ha grado minore del denominatore, allora il numeratore avrà grado zero Questi casi sono tutti risolubili, come già si è visto, con la regola 9 II - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE Se il denominatore ha grado due il numeratore avrà grado zero o uno e si è in uno dei seguenti casi: q a +b+c oppure p+q a +b+c A seconda del numero delle radici del trinomio di secondo grado al denominatore varia il procedimento risolutivo Vedremo quindi dapprima il caso in cui ci siano due radici, poi il caso con una sola radice e infine il caso in cui non ci sono radici IIA - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e >0 Si devono dapprima determinare le radici e, in maniera da scomporre il denominatore a +b+c=a(- )(- ) Si deve poi scrivere la frazione nella forma A - B + - primo grado Si svolge un esempio per chiarire meglio il procedimento ESEMPIO G66: + d --8 Risolvendo l equazione di secondo grado --8=0 si ottiene =- e =4 Il denominatore si scompone --8=(+)(-4), infine integrare i due termini che al denominatore sono di A B Si vuole scrivere la funzione da integrare nella forma + Per trovare A e B si procede come segue: -4 + A+B +A-4B ( +)( -4) ( +)( -4) ( +)( -4) A B A + +B -4 A+A+B-4B + + = = = = -4 + --8 Per il principio di identità dei polinomi i numeratori sono uguali se A+B= e A-4B= Si risolve il sistema e si trovano A e B A A B A B A B A B A = B = = + = = = = A 4B ( B) 4B 4 B 4B 6B B = = = = = = B 6 = = 6 Si può procedere a integrare sostituendo al posto della funzione razionale fratta la somma di funzioni equivalenti di primo grado al numeratore: + -4 + + d= + d= d+ d= d+ d= ln -4 + ln + +c --8-4 + -4 + -4 + IIB - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e =0 In questo caso c è una sola radice dell equazione a +b+c, quindi il denominatore è scomponibile come un quadrato di un binomio Se il numeratore è di grado zero si deve portare il denominatore al numeratore cambiando il segno dell esponente, e poi utilizzare la regola 8 Se il numeratore ha grado uno si deve spezzarlo in due parti con la proprietà distributiva della divisione La parte con al numeratore il termine di primo grado si risolve con la regola 9, la parte con al numeratore il termine di grado zero si risolve, come detto precedentemente, portando il denominatore al numeratore cambiando il segno dell esponente, e utilizzando la regola 8 Si svolgono due esempi per chiarire il procedimento ESEMPIO G67: d -4+4 L equazione -4+4=0 ha una sola soluzione =, pertanto il denominatore si scompone -4+4=(-) Teoria G6-7

( -) - ( -) d= d= - d= +c=- +c -4+4 - - ESEMPIO G68: - + d 9 +6+ L equazione 9 +6+=0 ha una sola soluzione =-/, pertanto il denominatore si scompone 9 +6+=(+) + 9 + 8+7-+ 8+6 d= d= d= d+ d = 9 +6+ 9 9 +6+ 9 9 +6+ 9 9 +6+ 9 +6+ ( +) ( +) ( ) - - = ln 9 +6+ + d = ln + + + d = ln + +7 + d = 9 9 9 = ln + +7 9 - IIC - IL DENOMINATORE HA GRADO DUE e <0 - ( ) 7 +c= ln + -7 +c= ln + - +c 9 + 9 9 + In questo caso non si può scomporre il denominatore Se al numeratore c è un polinomio di grado uno si devono utilizzare le tecniche viste nell esempio precedente per scomporre l esercizio in due integrali, uno integrabile con la regola 9 e l altro con un termine di grado zero al numeratore Il termine con grado zero al numeratore si integra, dopo opportuni accorgimenti, con la regola 4 ESEMPIO G69: d -+ L equazione -+=0 non ha soluzioni, pertanto il denominatore non è scomponibile Per risolvere l integrale bisogna ricondursi alla regola 4 I primi passaggi servono a ricondursi a tale regola d= d= d= -+ - + - + Il denominatore deve essere scritto nella forma (+k) +m Si sviluppa tale denominatore: (+k) +m = +k+k +m Per il principio di identità dei polinomi k = e k + m = Si ricava k = dalla prima e si sostituisce nella seconda; 4 + m = m = = 7 m = ± 7 = ± 7 6 6 6 6 4-4 4 4- = d= arctg +c= arctg +c 7 7 7 7 7 ( - ) + 4 6 4 ESEMPIO G60: + d ++ L equazione ++=0 non ha soluzioni, pertanto il denominatore non è scomponibile Teoria G6-8

( ) Teoria G6-9 + + +4-+ + d= d= d= d+ d = ++ ++ ++ ++ ++ = ln ++ + d = ln ++ + d = ++ + + 4 + = ln ++ + arctg +c= ln + ++ + arctg +c III - IL DENOMINATORE HA GRADO O PIU Si deve cercare di ricondursi ai casi in cui il denominatore è di primo secondo grado Si presenta un esempio svolto ESEMPIO G6: - - +- d Considerando che - +-= ( +)( -) si pone: - A B+C - + A + + B+C - A+B + -B+C +A-C A +A+B -B+C-C = + = = = + - + - + - + - Per il principio di identità dei polinomi si ha: A+B=0 A=-B A=-B A=-B A=-B - A=- = 5 5-6 4 -B+C= -B+C= C=+B C=+B C=+B C=+ =+- = 5 5 5 A-C=- -B-C=- -B-( +B ) =- -B-4-4B=- 5B=- - B= 5 L integrale si trasforma dunque in: - -+4 d= d+ d= ln -+ - d+4 d = ( +)( -) 5-5 + 5 5 + + = ln -+ - ln + +4arctg + +c 5 5 G65 Integrazione per parti Si ricorda la regola per il calcolo della derivata del prodotto: y=f()g() => y =f ()g()+ f()g () Si indichi l integrale di f() con F()= f()d Con dei semplici passaggi algebrici si ottiene: y'=f'()g()+ f()g'() f'()g()=y'-f()g'() f'()g()= f()g() '-f()g'() E possibile integrare ambo i membri, ricavando così la regola di integrazione per parti ESEMPIO G6: REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI - sen d f'()g()= ( f()g() )'-f()g'() f'()g()=f()g()- f()g'() f()g()=f()g()- F()g'() f()g()=f()g()- F()g'()

Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f()=sen e g()=: sen d= - cos - sen d= - cos +cos +c ESEMPIO G6: e d Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f()=e e g()=: e d=e - e d= e -e +c ESEMPIO G64: ln d= ln d Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f()= e g()=ln: ln d= ln d=ln- d=ln-+c ESEMPIO G65: sen d= sen sen d Si utilizza la regola di integrazione per parti ponendo f()=sen e g()=sen: sen d= sen sen d=sen -cos - cos -cos d=sen -cos + cos cos d= =-sen cos+ -sen d=-sen cos+ d- sen d=-sen cos+- sen d Si considerano il primo e l ultimo termine dell espressione come primo e secondo membro di un equazione G66 Integrazione per sostituzione sen d=-sen cos+- sen d sen d=-sen cos+ -sen cos+ sen d= +c In alcuni casi è utile effettuare una sostituzione di variabile per semplificare il calcolo dell integrale riconducendosi a casi già noti La sostituzione non è, come visto nella risoluzione delle equazioni trinomie, una semplice sostituzione senza alcuna conseguenza; se ne spiega di seguito il motivo Data la funzione y=f ( ), di cui si vuole calcolare l integrale f d, si vuole sostituire la variabile con una certa variabile t La è dunque espressa in funzione di t; si pone =g( t - ), per cui Se si deriva =g( t) ambo i membri si ottiene d=g' ( t) dt t=g Sostituendo nell integrale di partenza si ha: f d= f ( g( t) ) g' ( t) dt Se questo integrale è più semplice da calcolare allora si utilizza tale regola, detta di integrazione per sostituzione Al termine dell integrazione basta sostituire nuovamente la t con g- ( ) La scelta della corretta sostituzione non è sempre facilmente intuibile Dapprima si mostrano alcuni esempi e successivamente si suggeriscono dei metodi per scegliere la giusta sostituzione ESEMPIO G66: - d La sostituzione da effettuare è t=- Da ciò segue Sostituendo si risolve l integrale: t+ t = = + Derivando si ottiene d= dt t - d= t dt= t dt= +c= t +c= t t+c= ( -) -+c Teoria G6-0

ESEMPIO G67: sen d La sostituzione da effettuare è t= Da ciò segue =t Derivando si ottiene d=tdt Sostituendo si risolve l integrale: ESEMPIO G66: a - d, con a R, a>0 La sostituzione da effettuare è =asent Da ciò segue Si consideri inoltre che: Sostituendo si risolve l integrale: sen sen t d= t dt= sen t dt=- cos t +c=- cos +c t t=arcsen Derivando si ottiene d=a cost dt a a - a - =cost=cos arcsen = -sen arcsen = - = - = a a a a a ( ) ( ) a a - d= a -a sen t acost dt= a -sen t acost dt= a -sen t acost dt= t+sent cost a - ( ) =a -sen t cost dt = a cos t cost dt=a cos t dt = a +c= a a = arcsen +sen arcsen cos arcsen +c= arcsen + a a a a a a = arcsen + a - +c= arcsen + a - +c a a a Tale esempio è servito a ricavare la seguente regola: a +c= a a - d= arcsen + a - +c a Si suggeriscono alcune sostituzioni che possono essere utili: Se la funzione contiene un termine del tipo a +b+c con a>0 si può sostituire: a +b+c =t- a Se la funzione contiene un termine del tipo a +b+c con a<0 si può sostituire a +b+c=t -α, in cui α è una radice del trinomio a +b+c Teoria G6-