20. Rappresentazione del numero naturale e strumenti di calcolo Contesto Scuola secondaria di 1 grado, classe prima,1 quadrimestre Modulo: il numero Unità di apprendimento: il sistema di numerazione decimale, le operazioni Contenuti e conoscenze Il sistema di numerazione decimale Le operazioni con i numeri naturali, proprietà delle operazioni Cenni storici sul numero (sistemi di numerazione dei Sumeri, degli Egizi, dei Romani, indoarabico, degli Incas). Competenze Saper lavorare in gruppo Percepire, descrivere e rappresentare relazioni Saper ragionare, utilizzando i concetti e i linguaggi della matematica Verbalizzare le strategie scelte per la risoluzione dei problemi Processo di ragionamento prevalentemente induttivo Prerequisiti Conoscere la sequenza numerica Saper contare oggetti Saper leggere e scrivere i numeri Attività proposte : Lavoro di gruppo per la costruzione di: - Regoli: addizione e sottrazione, duplicazione, elevamento alla seconda - Nomogramma: addizione e sottrazione Esposizione orale Stesura di una relazione Navigazione su internet Modalità brain storming, lezione frontale, lezione dialogata lavoro in piccoli gruppi lavoro individuale con scheda di lavoro navigazione su internet Strumenti e materiali necessari Riga, righello, fogli di carta, fogli di cartoncino colorato, forbici, colla, carta millimetrata computer Tempi: 1 quadrimestre: da inizio scuola a fine ottobre 112
Fase 1: introduzione del lavoro Descrizione delle attività I concetti di numero e di operazione vengono introdotti facendo ricorso al brain-storming e alla lezione dialogata con frequenti richiami a quanto svolto nella scuola primaria. Viene proposto di utilizzare alcuni semplici strumenti di calcolo, quali regoli e nomogrammi costruiti dagli alunni, da utilizzare in alternativa alla calcolatrice. Fase 2: costruzione degli oggetti L insegnante forma i gruppi eterogenei per livello e nomina un referente per ogni gruppo. Gli alunni verranno divisi in 4 gruppi di 5-6 alunni ciascuno. Vengono distribuiti i modelli degli oggetti fig.1, fig.2, fig.3, fig.4, fig.5, i cartoncini e la carta millimetrata. Ogni alunno avrà con sé la riga e il righello e costruirà il proprio oggetto riproducendolo in base al modello fornito. L insegnante supervisiona il lavoro dei vari gruppi e controlla l esattezza delle misurazioni e delle riproduzioni. Fase 3: utilizzo degli oggetti costruiti per i calcoli e riflessioni sul lavoro svolto Una volta realizzati gli oggetti si distribuisce la scheda-lavoro. Si chiede ai vari gruppi di utilizzare gli oggetti per effettuare calcoli. Gli alunni inoltre devono verificare la proprietà commutativa. Si propone infine di riflettere sulle operazioni dirette e inverse. Fase 4: esposizione del lavoro del gruppo al resto della classe Successivamente si chiede ad ogni referente di spiegare al resto della classe a cosa serve e come si usa il proprio strumento. Il referente illustra l oggetto costruito dal proprio gruppo, propone gli esempi di operazione ed espone le riflessioni maturate. Può essere richiesto il contributo di altri componenti del gruppo. Fase 5: stesura delle relazioni Ogni alunno stenderà una relazione individuale sul lavoro svolto. Valutazione degli allievi Gli studenti vengono valutati in quattro momenti diversi: osservazione delle dinamiche del lavoro di gruppo correzione delle relazioni individuali verifica sulle operazioni e le loro proprietà (l esecuzione prevede anche l uso dei regoli e del nomogramma) discussione finale sull attività cercando di mettere a fuoco quanto l attività è stata seguita, quanto ha suscitato interesse e per quali motivi. Spunti per possibili approfondimenti riferimenti storici sugli antichi sistemi di calcolo; esempi di strumenti di misurazione analogici e digitali; visita alla mostra a Codroipo: DIAMO I NUMERI.. COME GLI ANTICHI Bibliografia : Istruzioni per la costruzione di regoli e nomogrammi: MATEMATICA1 Rosa Rinaldi Carini (Zanichelli); Sitografia: www.giocomania.org, nid.dimi.uniud.it/history/handouts/rivoluzione_scientifica.pdf, Vikipedia 113
I MODELLI DEI REGOLI Fig. 1 Nomogramma lineare Il nomogramma lineare è uno strumento molto semplice che permette di sommare due numeri. E' formato da tre scale lineari equidistanti. Con un righello si congiungono i due valori da sommare riportati sulle due scale esterne. Il punto in cui il righello taglia la scala intermedia fornisce la somma dei due numeri. Ad esempio, nella figura l asta congiungente i valori 8 e 5 (rispettivamente sulla scala superiore e su quella inferiore) taglia la scala intermedia nel valore 13, somma dei due valori esterni. Il principio di funzionamento di questo strumento è legato al concetto di punto medio: quando le tre scale sono equidistanti, il righello taglia sempre la scala intermedia nel punto medio m di due valori a, b scelti sulle scale esterne, ossia, in termini numerici, m = (a + b)/2. Se la scala centrale è doppia di quelle esterne, allora invece di fornire il valor medio di a e b, fornirà la somma a + b. Ovviamente, è possibile usare lo strumento anche per effettuare la differenza tra due numeri. Fig. 2 Regoli di duplicazione Una coppia di regoli dotati di opportune scale permette di effettuare diversi tipi di calcoli. In particolare, possiamo: fare il raffronto di due scale vicine fisse o muovere un righello rispetto all'altro. Questi sono i meccanismi basilari per la costruzione di diversi strumenti analogici impiegati nel passato. Consideriamo, ad esempio, una coppia di regoli fissi le cui scale siano una doppia dell altra: in questo caso è possibile moltiplicare o dividere per due un dato numero. Questo principio è ancora oggi alla base degli scalimetri (che vedremo tra poco). 114
Fig. 3 Regoli moltiplicatori I due righelli riportano le potenze di due. Usando un altro tipo di scala è possibile eseguire anche le moltiplicazioni. Il principio che permette di fare la moltiplicazione in questo caso è riconducibile alle proprietà delle potenze e, in particolare, all'additività degli esponenti con potenze con la stessa base. Questo principio opportunamente raffinato ha trovato larga diffusione nell'ambito dei regoli calcolatori, dove utilizzando scale di tipo logaritmico, si riesce ad eseguire operazioni più complesse dell addizione e della sottrazione. Fig.4 Regoli addizionatori Utilizzando due scale metriche uguali incise su due righelli liberi di scorrere l'uno rispetto all'altro, è possibile invece realizzare un semplicissimo strumento per effettuare somme e sottrazioni. Ad esempio, dovendo sommare 4 con 5, si sposta il righello mobile in modo che lo zero della sua scala coincida con il valore 4 nella scala del righello fisso; quindi, sempre nella scala del righello mobile si cerca il valore 5; infine, il risultato della somma (cioè 9) può essere letto sulla scala del righello fisso in corrispondenza del numero 5. Con un metodo inverso a quello descritto è possibile effettuare l'operazione di differenza. 115
Fig.5 Nomogramma per uso medico Se invece delle scale lineari si usano altre scale è possibile sfruttare lo strumento per eseguire altre operazioni. In campo medico i nomogrammi vengono spesso utilizzati per descrivere funzioni dipendenti da due parametri. 116
schede studente Scheda n 1 1. Risolvi le seguenti addizioni e sottrazioni usando il regolo calcolatore; spiega inoltre con precisione come usi lo strumento. 7 + 4 = 11 + 5 = 15 + 5 = 3 + 16 = 18-7 = 20 12 = 17-14= 12 9 = 2. Usando il regolo scrivi tutte le coppie additive la cui somma è uguale a 20. 3. Applica la proprietà commutativa (quando è possibile) nelle operazioni dell esercizio 1. Scheda n 2 1. Risolvi le seguenti addizioni e sottrazioni usando il nomogramma; spiega inoltre con precisione come usi lo strumento. 16 + 4 = 5 + 11 = 3 + 15 = 12 + 6 = 17-3 = 14 8 = 18 14 = 20 11 = 2. Usando il regolo scrivi tutte le coppie additive la cui somma è uguale a 20. 3. Applica la proprietà commutativa (quando è possibile) nelle operazioni dell esercizio 1). 117
Scheda n 3 1. Risolvi le seguenti moltiplicazioni usando il regolo calcolatore; spiega inoltre con precisione come usi lo strumento. 6 * 2 = 3 * 2 = 4 * 2 = 10 * 2 = 2. Usa lo stesso strumento per risolvere le seguenti operazioni: 4 : 2 = 16 : 2 = 10 : 2 = 18 : 2 = 3. Applica la proprietà commutativa (quando è possibile) nelle operazioni degli esercizi 1 e 2. Scheda n 4 1. Risolvi le seguenti potenze usando il regolo calcolatore; spiega inoltre con precisione come usi lo strumento. 2 3 2 1 2 0 2 2 2 4 2. Applica la proprietà commutativa (se possibile) nelle operazioni dell esercizio 1. 3. Risolvi: 2 3 + 2 1 2 1 + 2 4 2 0 + 2 2 118