ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile Indirizzo Strutture D.I.S.T.A.R.T. Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, dei Trasporti, delle Acque, del Rilevamento e del Territorio Tesi di Laurea Triennale in Meccanica delle Strutture SUL COMPORTAMENTO DELLE VOLTE CILINDRICHE Studente: NICHOLAS FANTUZZI Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. ERASMO VIOLA Correlatore: Dott. Ing. FRANCESCO TORNABENE Anno Accademico 2005/2006
Sapevo già di avere un cuore ma non sapevo di avere anche un'anima. Nicholas Fantuzzi
Indice Prefazione iii Bibliografia vii Capitolo primo Deduzione delle equazioni indefinite di equilibrio e congruenza 1 1.1 Generalità 2 1.2 Equazioni indefinite di equilibrio 3 1.2.1 Equilibrio alla traslazione secondo la direzione della normale 5 1.2.2 Equilibrio alla traslazione secondo la direzione della tangente 6 1.2.3 Equilibrio alla traslazione secondo la direzione x delle generatrici 8 1.2.4 Equilibrio alla rotazione attorno all asse z 9 1.3 Equazioni di congruenza 11 1.3.1 Deduzione delle equazioni di congruenza attraverso il P.F.V. 11 1.4 Equazioni indefinite di equilibrio 18 1.4.1 Deduzione delle equazioni indefinite di equilibrio attraverso il P.S.V. 18 1.5 Schema delle teorie fisiche 21 1.5.1 Congruenza 21 1.5.2 Equilibrio 21 1.5.3 Equazioni di legame 22 1.5.4 Equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento 23 Capitolo secondo Integrazione delle equazioni degli sforzi 27 2.1 Equazioni generali 28 2.2 Travi di bordo e timpani 31 2.3 Le volte soggette a carichi verticali 35 2.3.1 Peso proprio 35 2.3.2 Carico uniforme orizzontale 36 2.4 Forme più frequenti di direttrice 37 2.4.1 Generalità 37 2.4.2 Direttrice semiellittica 39 2.4.3 Direttrice ad arco circolare 43 2.4.4 Direttrice ad arco cicloidale 46 2.4.5 Direttrice a catenaria 47 2.4.6 Direttrice ad arco parabolico 49 i
2.4.7 Osservazioni 50 2.5 Volta a sbalzo 54 2.5.1 Direttrice circolare con peso proprio e carico neve 54 2.6 Volta appoggiata con sbalzi 56 Capitolo terzo Calcolo delle isostatiche di tensione 57 3.1 Sforzi principali e linee isostatiche 58 Capitolo quarto Volte molteplici 61 4.1 Volte affiancate trasversalmente 62 4.1.1 Copertura 63 4.2 Volte continue longitudinalmente 64 4.2.1 Volte continue 65 Capitolo quinto Volte soggette a pressioni interne ed esterne 67 5.1 Volte a botte soggette a pressione normale 68 5.1.1 Tubo ellittico 70 5.2 Serbatoi ad asse orizzontale per liquidi 73 5.2.1 Tubo circolare 73 5.2.2 Tubo circolare in pressione 74 5.3 Volte a botte soggette all azione del vento 75 Capitolo sesto Applicazioni numeriche 79 6.1 Generalità 80 6.2 Confronto 81 6.2.1 Direttrice ad arco semiellittico 82 6.2.2 Direttrice ad arco semicircolare 87 6.2.3 Direttrice ad arco cicloidale 92 6.2.4 Direttrice a forma di catenaria 99 6.2.5 Direttrice ad arco parabolico 103 Appendice A Equazione fondamentale per la volta cilindrica a curvatura variabile 107 A.1 Equazione fondamentale 108 A.1.2 Equazioni di congruenza 108 A.1.3 Equazioni di legame 108 A.1.4 Equazioni indefinite di equilibrio 109 ii
Prefazione Il corso di meccanica delle strutture è terminato con lo studio dell arco a curvatura costante e con il calcolo delle equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza per l arco stesso. Nel seguente elaborato si sono trattate le volte sottili a direttrice generica in regime membranale, che rappresentano il passo successivo agli archi poiché esse sono formate da una direttrice ad arco (a curvatura costante o varabile) e una generatrice rettilinea che impone la lunghezza totale della volta. Tutto il lavoro è frutto di un apprendimento che va oltre il corso di meccanica delle strutture, poiché è stata studiata una teoria nuova, partendo dalla sola conoscenza della statica dell arco circolare. Nota la teoria (capitolo primo) si sono ricavate le equazioni indefinite di equilibrio, seguendo il modello statico del concio elementare. Successivamente, a partire da queste equazioni con il principio dei lavori virtuali nella forma delle forze virtuali, si sono ricavate le equazioni di congruenza. Come verifica inoltre è stato utilizzato il principio degli spostamenti virtuali per ricalcolare nuovamente le equazioni indefinite di equilibrio. In seguito si è calcolato e rappresentato lo schema delle teorie fisiche per il cilindro, utilizzando le equazioni di legame per unire i due aspetti (equilibrio e congruenza). In appendice è stato ricavato, per completezza, lo schema delle teorie fisiche per la volta a direttrice generica (con arco a curvatura variabile), quindi l equazione fondamentale ricavata è valida per ogni tipo di volta cilindrica. Concluso lo studio delle volte in regime membranale, si è deciso (capitolo secondo) di integrare le equazioni indefinite di equilibrio aggiungendo nuove semplificazioni al problema; si è appoggiata la volta ai bordi e caricata con un carico qualsiasi. Questo approccio è in parte riduttivo perché non prende in considerazione tutti gli aspetti del problema, ma può dare un idea di come gli sforzi si distribuiscano nella volta quando si applica una qualsiasi tipologia di carico (peso proprio, carico neve, pressione interna, vento, ecc...). Il regime membranale studiato è un comportamento teorico perché per trovarsi in questo regime la volta dovrebbe essere illimitata lungo i bordi, o meglio ciò che si verifica ai bordi non dovrebbe influenzare ciò che accade nella volta, quindi è molto importante lo studio degli elementi di bordo della volta stessa come le travi di bordo e i timpani. Questi ultimi influenzano nella realtà il comportamento statico della volta, ma date le sue dimensioni elevate tali elementi sono trascurati dal calcolo (infatti le equazioni degli sforzi dipendono solamente dal raggio di curvatura e dalla coordinata x in cui ci si trova nella direzione ortogonale alla direttrice). Note le equazioni generali degli sforzi si sono calcolate per il peso proprio e il carico neve le equazioni che governano gli sforzi al variare della direttrice e si sono tratte le opportune iii
conclusioni da questo calcolo. In questa tesi sono state integrate le equazioni per la volta appoggiata ai bordi ma sarebbe stato possibile risolvere, come è stato accennato alla fine del suddetto capitolo, una volta a sbalzo o una volta su più appoggi con sbalzi. Il passaggio da sforzi a tensioni è immediato (nota la definizione di entrambi), e quando si pensa alle tensioni il passo successivo sono i circoli di Mohr e le tensioni principali per l elemento strutturale che si sta studiando in quel momento. Si è quindi introdotto il concetto di isostatica di tensione (capitolo terzo) e l uso che si può fare di queste curve, poiché permettono di capire come le tensioni (di trazione o di compressione) si distribuiscono lungo la superficie della volta. Nella pratica questa distribuzione interessa per sapere dove è meglio disporre i ferri di armatura per una volta in cemento armato (il materiale che si è considerato in tutte le applicazioni numeriche). Studiata la singola volta sotto un carico qualsiasi, si può cercare di capire come più volte affiancate o continue influenzino gli elementi strutturali che stanno loro attorno, come travi di bordo e timpani. Le prime sono sollecitate da due forze taglianti da destra e da sinistra derivanti da due volte affiancate, mentre i secondi sono sollecitati da un momento flettente, derivato dalla schematizzazione di trave su più appoggi delle volte continue. Dopo aver studiato i carichi verticali più semplici si sono utilizzati modelli più complessi (capitolo quinto) che rappresentano la pressione interna, la pressione di un fluido in quiete e la pressione esterna del vento (che spira nella direzione della tangente y). Il vento è stato trattato in una duplice formulazione, poiché essendo una sollecitazione molto complessa vi sono vari modelli che ne descrivono il comportamento. Nella tesi si sono considerate le due leggi più usate e più semplici da trattare analiticamente. In conclusione, nel capitolo sesto, è stato svolto un semplice esempio applicativo per confrontare, a parità di dimensioni della volta, la variabilità degli sforzi per ogni singola direttrice studiata nei capitoli precedenti (ellittica, circolare, cicloidale, a catenaria e parabolica). Per rappresentare gli sforzi si è utilizzato il programma Matlab 6.5 che permette di vedere ogni singola equazione come una matrice e quindi di facile implementazione per un grafico, costruito per punti (al variare dell angolo e dell ascissa). Lo sviluppo successivo di questa tesi, può articolarsi secondo due percorsi. Si può risolvere l equazione fondamentale per la volta sottile a direttrice generica via G.D.Q., cioè esprimendo le derivate come somme di termini formati dal prodotto di un coefficiente di ponderazione per lo spostamento. Si può considerare la volta in regime flessionale, e quindi l aspetto completo, e calcolare come si è fatto nel capitolo primo le equazioni indefinite di iv
equilibrio e di congruenza e in conclusione l equazione fondamentale. Una strada non preclude l altra, ma la completa, facendo collimare l aspetto computazionale e quello teorico. v
Bibliografia Odone Belluzzi Scienza delle costruzioni (Volume III) Capitolo XXIX vii