Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 1/ 25

Rapporto incrementale e derivata direzionale Siano f : X R n R, x X, v R n, con v = 1. La quantità f (x + tv) f (x), t R\0 t si chiama rapporto incrementale nella direzione v di f in x. Siano f : X R n R, x X, v R n, con v = 1. Se la funzione φ v (t) = f (x + tv) è definita in un intorno di t = 0 ed è derivabile in t = 0 allora D v f (x) := φ v(0) = lim t 0 f (x + tv) f (x) t si dice derivata nella direzione v di f in x. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 2/ 25

Derivata direzionale destra e sinistra Analogamente si definiscono le derivate direzionali sinistre e destre. Siano f : X R n R, x X, v R n, con v = 1. Se la funzione φ v(t) = f (x + tv) è definita in un intorno di t = 0 ed è derivabile in t = 0 allora D ± v f (x) := lim t 0 ± f (x + tv) f (x) t si dice rispettivamente derivata destra (sinistra) nella direzione v di f in x. Nota. Si osservi che nel caso n = 1, v = 1, la derivata direzionale coincide con la usuale derivata f ; poichè le derivate direzionali sono state definite come derivate di una unica variabile, la t, si possono usare i metodi precedente introdotti per calcolarle. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 3/ 25

Derivata direzionali: esempio Esempio Calcolare la derivata di f (x, y) = e 2x+4y, lungo la direzione v = ( 2/2, 2/2), nel punto x = (0, 0). Svolgimento. Dalla definizione, f (x + tv) f (x) D vf (x) := lim t 0 t f ( = lim t 0 e 3 = lim t 0 2t, 2t 2 2 ) f (0, 0) = lim t 2t 1 (H) 3 2 e 3 2t = lim t t 0 1 f ((0, 0) + t( 2/2, 2/2)) f (0, 0) = lim t 0 t 2t/2+4 2t/2 1 t 0 e 2 = 3 2 t Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 4/ 25

Gradiente L insieme {e k } k=1,...,n, dove k {}}{ e k = ( 0,..., 0, 1, 0,..., 0) si chiama base canonica di R n. Ogni elemento x R n si scrive per certi x 1,..., x n R come x = n k=1 x ke k. Siano f : X R n R, x X, {e k } k=1,...,n la base canonica di R n. Se esiste la derivata nella direzione e k di f in x, tale derivata si dice derivata parziale rispetto a x k di f in x e si denota con f D ek f (x), f xk (x), (x), D xk f (x), xk f (x), D k f (x). x k Se esistono tutte le f x1 (x),..., f xn (x), la funzione si dice derivabile in x e il vettore le cui componenti sono le derivate parziali di f in x si dice gradiente di f in x e si indica con f (x) = grad f (x) = (f x1 (x),..., f xn (x)). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 5/ 25

Caso n = 2 Esempio Nel caso n = 2, si ha e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) e per x = (x, y) abbiamo f (x + t, y) f (x, y) f (x, y + t) f (x, y) f x(x, y) = lim, f y (x, y) = lim, t 0 t t 0 t che coincidono con le classiche derivate per le funzioni di una variabile x f (x, y), y f (x, y) rispettivamente. Nota. Dal punto di vista pratico, per calcolare le derivate parziali rispetto una variabile, si ritiene l altra come essere una costante, e si procede come per le derivate in R. Così se f (x, y) = 3x + 4y ricaviamo f x(x, y) = D x(3x + 4y) = 3D x(x) + 4D x(y) = 3 1 + 4 0 = 3; f y (x, y) = D y (3x + 4y) = 3D y (x) + 4D y (y) = 3 0 + 4 1 = 4. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 6/ 25

Caso n = 2 Esempio Sia Allora f (x, y) = x 2 3x + 4xy + 5. f x(x, y) = D x(x 2 3x + 4xy + 5) = 2x 3 + 4y; f y (x, y) = D y (x 2 3x + 4xy + 5) = 4x. Esempio Sia Allora f (x, y) = sin(4x + y). f x(x, y) = D x sin(4x + y) = D x(4x + y) cos(4x + 1) = 4 cos(4x + 1); f y (x, y) = D x sin(4x + y) = D y (4x + y) cos(4x + 1) = cos(4x + 1). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 7/ 25

Derivabilità Teorema Siano f, g : X R derivabile in x 0 X. Allora è derivabile in x 0 X la funzione h = αf + βg per qualche α, β, ed è la funzione f g, ed è (αf + βg)(x 0 ) = α f (x 0 ) + β g(x 0 ); f g(x 0 ) = g(x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) g(x 0 ); il quoziente f /g nei punti x X in cui g(x) 0 ed è f g (x 0) = g(x 0) f (x 0 ) f (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 8/ 25

Derivabilità Teorema (Regola della catena) Siano X R n, I R aperti, e supponiamo che sia g : X R derivabile in x 0 X ; f : I R derivabile in g(x 0 ) I. Allora f g è derivabile in x 0 X ed è (f g)(x 0 ) = f (g(x 0 )) g(x 0 ). Esempio Sia F (x, y) = sin(2x + 4y). Da F x(x, y) = 2 cos(2x + 4y), F y (x, y) = 4 cos(2x + 4y), abbiamo F (x, y) = (2 cos(2x + 4y), 4 cos(2x + 4y)). Dalla regola della catena, per g(x, y) = 2x + 4y, f (t) = sin(t), g(x, y) = (2, 4), f (t) = cos(t) ricaviamo similmente, visto che α (x, y) = (α x, α y), F (x, y) = f (g(x, y)) g(x, y) = sin(2x + 4y) (2, 4) = (2 cos(2x + 4y), 4 cos(2x + 4y)). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 9/ 25

Caso n = 2 Nel caso X intervallo aperto, se la funzione è derivabile in x 0 allora è continua in x 0. Ci chiediamo se f è derivabile in x 0 R n allora f è continua in x 0? La risposta è negativa. Esempio Sia Osserviamo che f (x, y) = { 0, se x y = 0 1, altrimenti. la funzione non è continua in (0, 0), visto che lim (x,y) (0,0) f (x, y) non esiste in quanto lungo la retta y = 0 si ha f (x, y) = 0 e quindi lim x 0 f (x, y) = lim x 0 f (x, 0) = 0; lungo la retta y = x si ha f (x, x) = 1 per x 0 e quindi lim x 0 f (x, y) = lim x 0 f (x, x) = 1; Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 10/ 25

Caso n = 2 per quanto riguarda la derivata parziale in x f (t, 0) f (0, 0) 0 f x(0, 0) = lim = lim t 0 t t 0 t = 0, per quanto riguarda la derivata parziale in y f (0, t) f (0, 0) 0 f y (0, 0) = lim = lim t 0 t t 0 t = 0. Riassumendo le derivate parziali in (0, 0) esistono e quindi la funzione è derivabile (ma non continua!). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 11/ 25

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili Esempio Determinare le derivate parziali della funzione f (x, y, z) = 3x + 5y sin(z). Svolgimento. Si vede facilmente che f x(x, y, z) = f x(3x) + f x(5y sin(z)) = 3f x(x) + 0 = 3; f y (x, y, z) = f y (3x) + f y (5y sin(z)) = 0 + 5 sin(z) f y (y) = 5 sin(z); f z(x, y, z) = f z(3x) + f z(5y sin(z)) = 0 + 5y f z(sin(z)) = 5y cos(z). Esercizio Determinare le derivate parziali delle seguenti funzioni f (x, y) = x x 2 +y 2 +1 ; f (x, y, z) = y zx ; f (x, y, z) = arctan (xyz 2 ); f (x, y, z) = cosh (x yz); f (x, y, z) = y sin (zy). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 12/ 25

Differenziabilità Nel caso di un intervallo aperto X R, una funzione f : X R è derivabile in x 0 X con derivata m = f (x 0) se e solo se f (x) = f (x 0) + m (x x 0) + o(x x 0). Generalizziamo queste idee al caso in cui sia X R n aperto. Sia X R n aperto e f : X R. La funzione f si dice differenziabile in x 0 X se esiste a R n tale che f (x) = f (x 0 ) + (a, x x 0 ) + o( x x 0 R n) per x x 0, dove (, ) è il prodotto scalare di R n. Nota. Ricordiamo che se x = (x 1, x 2,..., x n), y = (y 1, y 2,..., y n), allora (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 13/ 25

Differenziabilità Nota. I concetti di differenziabilità e derivabilità coincidono se n = 1. Non sono invece equivalenti nel caso n > 1 in cui la nozione di differenziabilità è più forte. Teorema Sia X R n aperto e f : X R. Se la funzione f è differenziabile in x 0 X, allora f è continua in x 0 ; esistono le derivate parziali di f in x 0 e f (x) = f (x 0 ) + ( f (x 0 ), x x 0 ) + o( x x 0 R n). per ogni vettore v tale che v R n = 1, esiste la derivata direzionale D vf (x 0 ) ed è D vf (x 0 ) = ( f (x 0 ), v). Teorema Sia X R n aperto e f : X R. Se la funzione f ammette derivate parziali continue in un intorno di x 0 X allora f è differenziabile in x 0. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 14/ 25

Differenziabilità Nota. Si osservi che una funzione derivabile in X R n non è necessariamente continua, mentre una funzione differenziabile lo è. Nota. Si supponga che f abbia derivate in ogni direzione v (con v = 1). Se f non è differenziabile, non si può dire che per ogni vettore v tale che v R n = 1, sia D vf (x 0 ) = ( f (x 0 ), v). Nota. Sia f : X R 2 R. Il grafico di f (x) = f (x 0 ) + ( f (x 0 ), x x 0 ) = f (x 0 ) + f x(x 0, y 0)(x x 0) + f y (x 0, y 0)(y y 0) rappresenta il piano tangente al grafico di f in (x 0, y 0, f (x 0, y 0)). Il piano tangente ha equazione z = f (x 0, y 0) + f x(x 0, y 0)(x x 0) + f y (x 0, y 0)(y y 0) Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 15/ 25

Piano tangente Esempio Calcolare il piano tangente alla funzione f (x, y) = 3x 2 + 4xy + 5y, nel punto (3, 1). Svolgimento. Osserviamo che f x(x, y) = 6x + 4y, f y (x, y) = 4x + 5. Le due funzioni f x, f y sono polinomi in due variabili e quindi continue in R 2. Di conseguenza f è differenziabile in (3, 1) in quanto possiede derivate parziali continue in un intorno del punto (3, 1). Di conseguenza esiste il piano tangente e da f (3, 1) = 3 3 2 + 4 3 1 + 5 1 = 27 + 12 + 5 = 44 f x(3, 1) = 6 3 + 4 1 = 22; f y (3, 1) = 4 3 + 5 = 17; ricaviamo che il piano tangente verifica z = 44+22(x 3 {}}{ x 0 )+17(y 1 {}}{ y 0 ) = 22x +17y +44 66 17 = 22x +17y 39. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 16/ 25

Differenziabilità Teorema Siano f, g : X R differenziabili in x 0 X. Allora è differenziabile in x 0 X la funzione h = αf + βg per qualche α, β, ed è la funzione f g, ed è (αf + βg)(x 0 ) = α f (x 0 ) + β g(x 0 ); f g(x 0 ) = g(x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) g(x 0 ); il quoziente f /g nei punti x X in cui g(x) 0 ed è f g (x 0) = g(x 0) f (x 0 ) f (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 17/ 25

Differenziabilità Teorema Siano X R n, I R aperti, e supponiamo che g : X R differenziabile in x 0 X ; f : I R differenziabile in g(x 0 ) I. Allora la funzione f g è differenziabile in x 0 X ed è (f g)(x 0 ) = f (g(x 0 )) g(x 0 ). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 18/ 25

Teorema del differenziale totale Teorema (del differenziale totale) Sia X R n aperto, x X. Se esiste un intorno U di x nel quale f è derivabile; se le derivate parziali f x1,..., f xn sono continue nel punto x; allora f è differenziabile in x. Siano X R n aperto, f : X R ed E X. La f si dice derivabile in E se è derivabile in ogni x E. differenziabile in E se è differenziabile in ogni x E. Siano X R n aperto, f : X R ed E X. Se f è derivabile in E e se le n derivate parziali f xk con k = 1,..., n sono continue in E, allora f si dice di classe C 1 in E e si scrive f C 1 (E). Corollario Siano X R n aperto, f : X R. Se f C 1 (X ) allora f è differenziabile in X. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 19/ 25

Derivate di ordine superiore Siano f : X R, con X R n aperto; v, w R n, tali che v R n = w R n = 1. Allora cioè D 2 w, v := D w (D vf (x)) Dw, 2 D vf (x + tv) D vf (x) v = lim. t 0 t Sia f : X R, con X R n aperto. Sia {e j } j=1,...,n la base canonica di R n. Allora D 2 e j e k è la derivata parziale del secondo ordine (lungo le direzioni e j, e k ). Tale quantità a volte si indica con f xj,x k (x), 2 f (x) x j x k, D xj,x k f (x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 20/ 25

Derivate di ordine superiore: esempio Esempio Si calcolino le derivate del secondo ordine di f (x, y) = 3e xy 2 + x sin(y 3). Svolgimento. Osserviamo che D xf (x, y) = D x(3e xy 2 + x sin(y 3)) = 3y 2 e xy 2 + sin(y 3); D y f (x, y) = D y (3e xy 2 + x sin(y 3)) = 6xye xy 2 + x cos(y 3). Le derivate parziali sono continue nell intorno di un punto qualsiasi, e la funzione è derivabile ovunque. Le suddette derivate sono differenziabili, in quanto combinazione o composizione di funzioni differenziabili. Possiamo calcolare le derivate successive. D x,xf (x, y) = D x(3y 2 e xy 2 + sin(y 3)) = 3y 4 e xy 2 ; D y,xf (x, y) = D y (3y 2 e xy 2 + sin(y 3)) = (6y + 6xy 3 )e xy 2 + cos(y 3); D x,y f (x, y) = D x(6xye xy 2 + x cos(y 3)) = (6y + 6xy 3 )e xy 2 + cos(y 3). D y,y f (x, y) = D y (6xye xy 2 +x cos(y 3)) = (6x +12x 2 y 3 )e xy 2 x sin(y 3). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 21/ 25

Derivate di ordine superiore: Teorema di Schwarz Una funzione f : X R, con X R n aperto, x X, si dice due volte differenziabile in x, se è differenziabile in un intorno di x, le derivate parziali f xk, k = 1,..., n, sono differenziabili in x. Teorema (di Schwarz) Siano f : X R, con X R n aperto; x X ; f differenziabile due volte in x. Allora f xi,x j (x) = f xj,x i (x). per ogni i j. Teorema (di Schwarz, variante) Se le due derivate miste f xi,x j, f xj,x i, i j esistono in un intorno di x 0 e sono continue in x 0 allora in tale punto esse coincidono. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 22/ 25

Derivate di ordine superiore: matrice hessiana Sia f : X R, con X R 2 aperto; x X ; f possieda tutte le derivate parziali in x. La tabella si chiama matrice Hessiana di f in x. Nota. ( ) fx1,x H f (x) = 1 (x) f x1,x 2 (x) f x2,x 1 (x) f x2,x 2 (x) Se le due derivate miste f xi,x j, f xj,x i, i j esistono in un intorno di x 0 e sono continue in x 0 allora i termini misti f xi,x j, f xj,x i coincidono. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 23/ 25

Derivate di ordine superiore: matrice hessiana Esempio Si calcoli la matrice hessiana di Svolgimento. Abbiamo facilmente f (x, y) = x sin(x + 2y). f x(x, y) = sin(x + 2y) + x cos(x + 2y); f y (x, y) = 2x cos(x + 2y); da cui f x,x(x, y) = 2 cos(x + 2y) x sin(x + 2y); f x,y (x, y) = 2 cos(x + 2y) 2x sin(x + 2y); f y,x(x, y) = 2 cos(x + 2y) 2x sin(x + 2y); f y,y (x, y) = 4x sin(x + 2y). Notiamo che le derivate seconde miste f x,y (x, y), f y,x(x, y) coincidono come asserito dal teorema di Schwarz. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 24/ 25

Derivate di ordine superiore: matrice hessiana Svolgimento. Da f x,x(x, y) = 2 cos(x + 2y) x sin(x + 2y); f x,y (x, y) = 2 cos(x + 2y) 2x sin(x + 2y); f y,x(x, y) = 2 cos(x + 2y) 2x sin(x + 2y); f y,y (x, y) = 4x sin(x + 2y). abbiamo che f x,x(0, 0) = 2 cos(0) 0 sin(0) = 2; f x,y (0, 0) = 2 cos(0) 2 0 sin(0) = 2; f y,x(0, 0) = 2 cos(0) 2 0 sin(0) = 2; f y,y (0, 0) = 4 0 sin(0) = 0, e quindi H f (0, 0) = ( 2 2 2 0 ). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. 25/ 25