Università degli studi di ergamo Facoltà di Ingegneria Corso di elettrotecnica Soluzione tema d esame del 16 giugno 1998 Esercizio n 1 Data la rete in figura determinare le correnti I 1,I 2,I,I 5 e la potenza erogata da ciascun generatore. Dati: - R 1 ; - R 2 - R 3 - R - R 5 - E 1 =100V ; - E 2 =100V; - A=10; - L 6 =10H Soluzione: Applico il principio di sovrapposizione degli effetti. - Lascio acceso solo il generatore di corrente e sostituisco i due generatori di tensione con due cortocircuiti. In questo caso le resistenze R 1 e R 2, la resistenza R e la R 3 risultano cortocircuitate, circola quindi corrente solo nel seguente circuito: 1
Quindi: I 1 =0; I 2 =10A; I =0; I 5 =I 2 =10A - Lascio acceso solo il generatore di tensione E 2 sostituendo ad E 1 un cortocircuito e ad A un circuito aperto. In questo caso il circuito si riduce al seguente a causa dell induttanza che, in corrente continua, è da considerarsi come un corto: Quindi: I 1 =0; I 2 =0; I =0; I 5 =0. - Infine lascio acceso solo il generatore di tensione E 1. ll circuito si riduce a: Quindi conosco già: I 5 =0. Ora calcolo la serie di R 1 e R 2 e poi il parallelo tra queste e R ottenendo il seguente circuito equivalente: La corrente I 2 che circola in tale circuito è : I 2 =V/R=100V/50 2
Faccio ora un partitore di corrente per calcolare I 1 e I. Dato che le due resistenze in parallelo sono entrambe da 100 2 si ripartisce in maniera equivalente; quindi: I 1 =I =2A/2=1A. Ora sommo i risultati trovati nei 3 casi: I 1 = 0 + 0 + 1 = 1 A I 2 = 10 + 0 + 2 = 12 A I = 0 + 0 + 1 = 1 A I 5 = 10 + 0 + 0 = 10 A Le potenze erogate da ciascun generatore sono rispettivamente: P E1 = V E1 I 2 = 100V x 12A = 1200 W P A = R 5 I A 2 2 = 5000W P E2 = V E2 50W Esercizio n 2 Dato il circuito in figura determinare i moduli delle cadute di tensione sulle due impedenze di linea A e. Dati: - E 1 =E 2 =E 3 =terna simmetrica, diretta, valore efficace 15KV - Z A - Z - Z C - Z D Soluzione: Trasformo il triangolo di impedenze Z D in una stella di impedenze Z D =Z D /3 = 0.3 + j0.3 come nella figura seguente: 3
Il circuito trifase è nel nostro caso simmetrico ed equilibrato, quindi posso considerare il circuito monofase equivalente come indicato nella figura seguente: Ora calcolo la Z EQ riducendo il circuito considerando che la serie di Z e Z D è in parallelo a Z C e che tale parallelo è poi in serie a Z A. Quindi la Z EQ sarà data da: Z EQ ' D ) ' D Z C ( Z + Z = Z A + = 0.3857 + j0.3857 Z + Z + Z C E il circuito si è ridotto a: Quindi la corrente I indicata nella figura precedente è data da: I = E 1 /Z EQ = 15000V / (0.3857+j0.3857) = 195.2 j195.2v Quindi la caduta di tenzione sull impedenza Z A è data dal prodotto tra la corrente I e il valore di Z A, cioè: V Za = (0.1+j0.1)x(195.2 j195.2) = 3889.0V
Per calcolare la tensione ai capi di Z calcolo prima la caduta di tensione ai capi di Z C che è uguale alla caduta di tensione ai capi della serie di Z e Z D e faccio poi un partitore di tensione: V Zc = E 1 V Za (kirchoff alla maglia) = 15000V 3889.0V = 11110.96V V Zb = Z Z + Z C V Zc = 999.986V = 1000V Esercizio n 3 Data la rete in figura determinare l andamento della corrente i E (t) nell intervallo -10s<t<+ sapendo che l interruttore commuta nelle posizioni 2, 3, in successione per t = 0, per t = 1 ms, per t = 2 ms; disegnare poi, qualitativamente, l andamento nel tempo. Dati: - - - e( t) = 210 cos( ω t + ) - E = 10V Soluzione: Supponendo che il circuito si trovi nella posizione indicata in figura da molto tempo, il generatore E ha caricato completamente il condensatore quindi nell intervallo tra t = -10s e t = 0 non circola corrente nella maglia, cioè i E (t)=0. Quando, per t = 0, l interruttore commuta nella posizione 2, la corrente che circola nella maglia è costante nel tempo dato che il circuito è un normale circuito in corrente continua ed il suo valore è dato da: Quando poi, per t = 1, l interruttore commuta nella posizione 3, la corrente sarà in questo caso variabile nel tempo e sarà data da: i(t) = [i(0)-i( )] e t τ +i( ) con: - i( ) = 0 (perché in corrente continua il condensatore si comporta da circuito aperto) ; -τ -6 F = 1x10-6 s. Per calcolare i(0) considero che la tensione sul condensatore è l unica grandezza che non varia istantaneamente (v(0 - ) = v(0 + )), coincide quindi con la caduta di tensione sulla resistenza indicata con R, che è pari a 5V. Il condensatore, per un intervallo di tempo infinitesimo, si comporta come un generatore di tensione da 5V con verso opposto a E. Quindi E TOT = 10V - 5V = 5 V. Quindi la corrente che circola i(0)= 5 A. 5
t 10 6 i(t) = 5 e A Infine quando, per t = 2, l interruttore commuta nella posizione, applico il principio di sovrapposizione degli effetti: - se spengo il generatore di tensione alternata sostituendolo con un cortocircuito, la corrente che circola è costante ed è data da i 1 - se spengo il generatore di tensione continua e passo ai fasori trovo: E = 10e. Quindi la j corrente che circola sarà: I = E / R =-10e i 2 =- 210 cos( ω t + ). La corrente totale è data dalla somma delle due i = 10-210 cos( ω t + ). Riassumendo: j 0 per -10<t<0 i E (t) = 5A per 0<t<1 t 10 6 5 e per 1<t<2 10-210 cos( ω t + ) per 2<t<+ Il grafico qualitativo di i E (t) sarà quindi: i E t 6
- Il valore di i E (t) per t=2 dipende dallaω del generatore. Nel disegno si considera ω =1. - I punti di massimo e di minimo della cosinusoide si ottengono considerando che cos( ω t + ) assume al massimo valore 1 e al minimo valore -1, quindi: pto di minimo: 10-210 = -.1A pto di massimo: 10+ 210 =2.1A 7