COMPORTAMENTO SISMICO DELLE STRUTTURE Durane un erreoo, le oscillazioni del erreno di fondazione provocano nelle sovrasani sruure delle oscillazioni forzae. Quando il erreoo si arresa, i ovieni della sruura proseguono soo fora di oscillazioni libere con periodo proprio T, e si aenuano più o eno rapidaene per effeo dello sorzaeno inerno ed eserno degli eleeni sruurali. sposaeni Fine del sisa epo Oscillazioni a periodo T cosane Oscillazioni a periodo variabile sruure perfeaene rigide (T): ogni puno della sruura ha lo sesso sposaeno assoluo del erreno e lo sposaeno relaivo è nullo; la forza di inerzia è F a () dove a() è l'accelerazione del erreno e la assa; sruure perfeaene flessibili (T ): lo sposaeno assoluo della assa della sruura (concenraa nel suo baricenro) è nullo soo l'azione della forza di inerzia, enre lo sposaeno relaivo in rapporo a quello del erreno è assio ed opposo ad esso; sruure correni (T ): lo sposaeno assoluo non è né uguale a quello del erreno né nullo.
Sruura perfeaene flessibile Sruura rigida u() T F a() T OSS. Le sruure reali hanno in genere pari più rigide e pari più flessibili, perciò il loro coporaeno è coplesso e non facilene riconducibile ad un unico odello. Tuavia, in generale, le cosruzioni correni (in paricolare gli edifici ulipiano) si possono considerare dei sisei dinaici deforabili, caraerizzai dalla disribuzione della loro assa, che può essere concenraa o diffusa (sisei discrei e sisei coninui) Forze di inerzia Nuero dei gradi di liberà Moo del erreno
OSCILLATORE SEMPLICE def. L'oscillaore seplice è un sisea ad un grado di liberà cosiuio da una assa,, connessa al suolo con una olla di rigidezza,, e con uno sorzaore viscoso, definio da un coefficiene, c. c c, c / / Se la assa è soggea ad una forza Q(), variabile nel epo, le forze che reagiscono al carico eserno sono: la forza di inerzia f e le forze che si sviluppano nella olla, f S, e nello sorzaore viscoso, f D e indicando con u() lo sposaeno della assa,, si può scrivere: f f f D S & c u () () () l equazione del oo del sisea, divena: () + c () + u() Q( ) c Q() f D f Q() f S
TIPI DI VIBRAZIONE L'equazione del oo dell oscillaore seplice è un equazione differenziale del secondo ordine, che, nell ipoesi che c e siano cosani può essere risola in fora chiusa, nei segueni casi fondaenali:. Vibrazioni libere non sorzae c Q(). Vibrazioni libere sorzae: c Q() 3. Vibrazioni forzae non sorzae: c Q() 4. Vibrazioni forzae sorzae: c Q() ) Vibrazioni libere non sorzae c Q() L equazione del oo è in al caso: () + u() e la sua soluzione, enendo cono delle condizioni iniziali (per u & u u ) è: u u & sin + u cos e può essere posa nella fora: u() u A sin ( + φ ) A u A φ u + u φ an π dove T rappresena la frequenza circolare naurale non sorzaa di vibrazione del sisea. OSS. La risposa del sisea è un oo aronico la cui apiezza A è cosane nel epo e dipende dallo sposaeno e dalla velocià iniziale
) Vibrazioni libere sorzae c Q() L equazione del oo è in al caso: () + c () + u() e inroducendo lo sorzaeno criico c c e il rapporo di sorzaeno: ξ c c c l equazione divena: + ξ + u u() e ha per soluzione (assuendo che per u & u u e ponendo d ξ, dea frequenza circolare naurale sorzaa delle oscillazioni libere): u e u + ξ u sin d + u cos d d ξ e ξ Decreeno logariico u n δ ln( ) πξ u n + u u n u n+ π d OSS. La risposa libera di un sisea sorzao è caraerizzaa da un oo oscillaorio con decadieno esponenziale dell apiezza dello sposaeno nel epo
3) Vibrazioni forzae non sorzae c Q() Assuendo che il carico sia una funzione aronica Q( ) Q sin l equazione del oo è in al caso: () + u() Q sin( ) la soluzione è daa dalla soa della soluzione dell equazione oogenea associaa, u c (), (vibrazioni libere non sorzae) che descrive la porzione della risposa del sisea dipendene dalle condizioni iniziali, e di una soluzione paricolare, u p (), che descrive la coponene della risposa dipendene dal carico eserno applicao: u () u() + u() c p Si assue che la soluzione paricolare sia della sessa fora e con la sessa fase rispeo al carico eserno applicao, e con un apiezza U : u p( ) U sin sosiuendo nell equazione del oo è possibile espliciare U e soando alla soluzione paricolare la soluzione oogenea associaa, dopo aver poso le condizioni al conorno (cioè assegnao un dao sposaeno iniziale, u, e una daa velocià iniziale, u( ) ) si oiene la soluzione dell equazione del oo: Q β Q / sin + u cos + sin β β β / dove è il rapporo ra la pulsazione del carico eserno applicao e la pulsazione naurale del sisea. Se inizialene il sisea è in condizioni di riposo (cioè per, ), si ha: u Q u( ) β ( sin β sin ) OSS. La risposa è la soa di due funzioni aroniche, una dipendene dal carico applicao (con la sessa frequenza circolare) e una cosiuia da una vibrazione libera dipendene dalle condizioni iniziali (avene la sessa pulsazione del sisea ).
def. Il faore di aplificazione, MF, esprie il rapporo ra l apiezza della risposa oenua nel caso in cui venga applicao il carico aronico di apiezza Q e pulsazione, e l apiezza della risposa che si oerrebbe nel caso in cui il carico di apiezza Q venga applicao saicaene (caso sazionario), cioè Q /: A MF Q / M F β RISONANZA A Q / A Q / β 4) Vibrazioni forzae sorzae c Q() Assuendo sepre che il carico sia una funzione aronica, l equazione del oo è in al caso: + c + u Q sin () () () ( ) e può essere espressa nella fora: Q &+ ξ + u sin la cui soluzione è daa dalla soa della soluzione dell equazione oogenea associaa, u c (), (vibrazioni libere sorzae), e di una soluzione paricolare, u p (), che viene assuna della fora: u p ( ) C 3 sin + C 4 cos dove le cosani C 3 e C 4 si oengono sosiuendola nell equazione del oo.
La soluzione paricolare assue così la fora: Q / u sin p ( ) β ξβ cos β + ξβ ( ) ( ) [( ) ] Quindi la soluzione generale può essere espressa nella fora: ξ u( ) + e ( C sin + C cos ) d Q ( ) [( ) ] / ( ) β sin ξβ cos β + ξβ dove le cosani C e C dipendono dalle condizioni iniziali. d Risposa oale Risposa sazionaria Sposaeni Risposa ransioria epo OSS. La risposa è la soa di due erini: un erine di decadieno che descrive la risposa ransioria dell'oscillaore e un erine che a parire dal oeno in cui cessa il suo effeo sul oo, fornisce la risposa sazionaria
La risposa sazionaria può anche essere espressa nella fora: u( ) A sin( + φ ) dove: Q A ( β ) + ( ξβ ) ξβ φ an β Il faore di aplificazione, MF, che esprie il rapporo ra l apiezza della risposa sazionaria, A, e l apiezza della risposa nel caso saico, Q /, dipende dal rapporo β e dal rapporo di sorzaeno ξ: A MF RISONANZA Q / 3 MF ax ξ ξ ξ. ξ. β ξ ξ.4 ξ.77 β OSS. Le curve si appiaiscono all auenare del rapporo di sorzaeno (inore aplificazione a disribuia su più api capi di frequenza) enre presenano un picco sepre più elevao al diinuire dello sorzaeno (aggiore aplificazione a concenraa su liiai inervalli di frequenza). La risonanza si raggiunge solo per sorzaeno nullo e β
Risposa dell oscillaore seplice in condizioni di carico periodico qualunque Le soluzioni che si oengono nel caso di un oscillaore seplice sooposo a carichi Q() aronici possono essere uilizzae per oenere la risposa del sisea per condizioni di carico periodico di fora qualunque. Applicando il eorea di Fourier, un carico periodico può essere infai scoposo in una serie di carichi aronici. La risposa del sisea in erini di sposaeno, u(), è oenua ediane il principio di sovrapposizione degli effei coe soa delle rispose alle singole aroniche. a) noazione rigonoerica: b) noazione esponenziale: Q () a + ancos n+ bsin n n u Q( ) n q* n e in ) u + * i n u ( ) + u ( ) u( ) H ( )q ne ( n,cos n, sin n dove i due erini che copaiono nella noazione rogonoerica, u n,cos () e u n,sin () espriono la risposa, rispeivaene a ciascun erine coseno e seno della serie di Fourier in cui è sao scoposo il carico Q(), enre u è la risposa al carico cosane. La quanià H( n ) che copare nella noazione esponenziale è la funzione di rasferieno, e rappresena la relazione che esise fra un paraero relaivo al sisea (per esepio lo sposaeno) e il carico eserno. / ξβ n H( n ) exp i an β + ξβ β n ( ) ( ) Se indichiao con F i ( n ) lo spero di Fourier del carico, Q(), in erini di apiezza o equivaleneene in erini di fase, la risposa può essere oenua nel doinio delle frequenze coe spero di Fourier dello sposaeno, F ( n ), (rispeivaene in erini apiezza o di fase). Tra le due grandezze esise la seguene relazione: F ( ) H ( ) F ( ) n n S n n
Risposa di una sruura ai carichi sisici Supponiao di scheaizzare una sruura flessibile con un oscillaore seplice sooposo un ovieno della base, u b (). u g () u b () u(), c u b ( ) Q( f D f s ) u b c u( & ) u( ) ( ) Applicando il secondo principio della dinaica ( Q ( ) c ( ) u( ) ( ) ), si oiene l equazione del oo della assa, che in erini di frequenza circolare e sorzaeno ξ, risula: &( ) + ξ ( ) + u ( ) & ( ) Considerando la funzione di carico, non periodica, coe una sequenza di ipulsi reangolari di duraa infiniesia dτ e uilizzando la soluzione di Dirac per il caso di ipulso reangolare, la risposa in erini di sposaeno è daa dall'inegrale di Duhael: u( ) v( ) u( ) d u & b ( ) e a( ) u( ) ξ ( τ ) sin ( τ ) dτ d OSS. Il valore dello sposaeno dipende quindi solo dall'accelerazione del oo alla base, dalla frequenza circolare (e quindi dal periodo proprio, T), e dal rapporo di sorzaeno, ξ della sruura. b
SPETTRO DI RISPOSTA Uilizzando la soluzione precedene, assegnao un accelerograa alla base, è possibile calcolare in erini di sposaeno, velocià e accelerazione, la risposa della sruura, idealizzaa con un oscillaore seplice, definio dalla assa, dalla rigidezza,, e dal rapporo di sorzaeno, ξ,. Facendo variare e ξ per ua la gaa di valori possibili si può quindi ricavare la risposa di ui i possibili oscillaori seplici per quel deerinao oo del erreno. Per diensionare una sruura non è però sepre necessaria la conoscenza di ua la risposa del sisea u() al oo della base u b (); in genere è sufficiene il valore assio dello sposaeno u ax, della velocià v ax e dell accelerazione a ax Se indichiao con: S D u ax lo sposaeno relaivo assio, la velocià assia (denoinaa pseudovelocià sperale) e l'accelerazione assia (denoinaa pseudoaccelerazione sperale) possono essere oenue per derivazione. S S S V S D A D def. Lo spero di risposa rappresena la risposa assia in accelerazione (velocià o sposaeno) di ui i possibili oscillaori seplici, aveni uguale sorzaeno, ad uno sesso accelerograa assegnao alla base. Si oiene riporando in ordinae i valori della pseudoaccelerazione, S a, o della pseudovelocià, S V, o dello sposaeno assio, S D che si oengono facendo variare la rigidezza (e quindi il periodo) riporao sull asse delle ordinae, per un dao valore di ξ. Al variare di ξ, si oengono dei grafici analoghi, con valori di S a decresceni al crescere di ξ
S a ξ 5% ξ % ξ % Tπ/ Accelerazione sperale Accelerazione assia 4 3 Deposii di erreni coesivi di consisenza edio-bassa e incoereni scioli -5 records- Deposii di erreni incoereni profondi (profondià > 5 f) -3 records- Deposii di erreni consiseni (profondià < f) -3 records- Roccia -8 records-.5.5.5 3 Periodo [s]