Esercizi di Macchine a Fluido

Università degli Studi di Udine Facoltà di Ingegneria Esercizi di Macchine a Fluido a cura di L. Casarsa Esercizi proposti nelle prove scritte dell esame di Macchine I e II modulo dai docenti G.L Arnulfi, P. Giannattasio e P. Pinamonti 1

Esercizi sulle Macchine Motrici Idrauliche 2

SCELTA TURBINA IDRAULICA (Appello del 04.12.2002, esercizio N 1) Testo In una centrale idroelettrica è installata una turbina collegata con un alternatore con p = 22 coppie polari. Il salto geodetico è H g = 14 m e la portata è Q = 70 m 3 /s. La turbina ha un diametro massimo della girante di D g = 3.5 m ed è attraversata da acqua con velocità meridiana uniforme pari a c m = 10 m/s. Supponendo che le perdite nelle tubazioni dell impianto siano di H perdite = 2 m e scegliendo dei valori opportuni per i rendimenti, si determini: tipo di turbina, potenza utile, diametro al mozzo, triangoli di velocità al diametro medio della girante (in particolare calcolare gli angoli palari). Svolgimento Tipo di turbina Per determinare il tipo di turbina è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina k definito come: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (1) dove ω è la velocità angolare, Q la portata volumetrica e H il salto netto. Dato il numero di coppie polari dell alternatore collegato alla macchina, è possibile calcolare il numero di giri della turbina: n = 120 f = 136 g/min con f = 50Hz (2) 2p e quindi la velocità angolare ω = 2πn = 14.28 rad/s (3) 60 Il salto netto è invece definito dalla differenza tra il salto geodetico e le perdite nelle tubazioni: H = H g H perdite = 12 m (4) Sostituendo nell equazione 1, si ottiene k = 3.34 che rientra nel campo delle turbina ad elica. Potenza utile La potenza utile P u è data dal prodotto della potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina (P th ) per il rendimento effettivo della macchina, dato dal prodotto dei rendimenti meccanico, volumetrico ed idraulico: P u = P th η e = ρgqh η m η v η id (5) Assumendo 0.98 per il rendimento meccanico e volumetrico e 0.92 come rendimento idraulico, si ottiene P u = 8240 KW. Diametro al mozzo Assunto il rendimento volumetrico, è possibile calcolare la reale portata che attraversa la macchina: Q = Q η v = 68.6 m 3 /s (6) La portata è inoltre calcolabile dall area di passaggio fra le pale della girante e la velocità meridiana, assunta uniforme come da ipotesi: Q = c m π 4 (D2 g D 2 m) (7) 3

dove D g e D m sono i rispettivamente i diametri della girante all estremità e al mozzo. Il diametro al mozzo risulta quindi pari a : D m = Dg 2 4Q = 1.875 m (8) πc m Triangoli di velocità I triangoli di velocità vanno calcolati al diametro medio: D = D g + D m 2 La velocità periferica al diametro medio è espressa da: (9) u = u 1 = u 2 = ω D 2 = 13.39 m/s (10) La componente periferica in ingresso, c 1u è calcolabile dal lavoro idraulico tramite la formula di Eulero (si assume che la velocità in uscita dalla turbina sia assiale): c 1u = gh id u = ghη id u = 8.09 m/s (11) La velocità assoluta in ingresso alla girante è quindi pari a (vedi fig.1): c 1 = c 2 1u + c2 m = 12.86 m/s (12) La componente tangenziale della velocità relativa è calcolabile come segue: w 1u = u c 1u = 5.3 m/s (13) da cui è possibile calcolare direttamente l angolo palare in ingresso: β 1 = arctan c m c 1u = 62.1 (14) La velocità relativa in uscita è data direttamente da (nell ipotesi di flusso assiale, vedi fig. 1): e quindi l angolo palare in uscita è pari a: w 2 = u 2 + c 2 m = 16.71 m/s (15) β 2 = arcsin C m W 2 = 36.8 (16) 4

Figura 1: Triangoli di velocità al diametro medio ella girante ANALISI DIMENSIONALE TURBINE IDRAULICHE (Appello del 22.7.96, esercizio N 1) Testo Due turbine idrauliche simili e funzionanti in condizioni di similitudine fluidodinamica hanno le seguenti caratteristiche: I turbina : n 1 = 250 g/min; H 1 = 20 m; η e1 = 0.87; Q 1 = 25 m 3 /s II turbina : H 2 = 20 m; diametro pari a metà di quello della I turbina Determinare il numero caratteristico di macchina, la potenza utile delle due turbine, la velocità di rotazione e la portata della seconda. Svolgimento Numero caratteristico di macchina É possibile calcolare il numero caratteristico di macchina delle due turbine direttamente dai dati della prima: k = ω Q0.5 = 2.5 (17) (gh) 0.75 Potenza utile delle due turbine La potenza utile è definita come: P e = η e ρgqh Per la prima turbina vale quindi: P e1 = η e1 ρgq 1 H 1 = 4.27 MW (18) Poichè le due turbine simili ammettono lo stesso salto utile e medesimo rendimento effettivo (le due macchine simili lavorano in condizioni di similitudine fluidodinamica), allora vale la seguente relazione fra le potenze utili delle due macchine: P e2 P e1 = Q 2 Q 1 = D2 2 D 2 1 5

Pertanto, la potenza utile della seconda turbina vale: P e2 = P e1 D2 2 D 2 1 = 1.07 MW (19) Velocità di rotazione e portata della seconda turbina Consideriamo la definizione di cifra di potenza: λ = P e ρω 3 D 5 Per le due macchine simili vale: λ 1 = λ 2. Esprimendo la velocità angolare ω in funzione del numero di giri ω = 2πn/60, si ha: P n 2 = n 1 3 e2 D1 5 P e1 D2 5 = 500 g/min (20) La portata della seconda macchina si può ottenere dall eguaglianza delle cifre di flusso ϕ = Q ωd 3 : Q 2 = Q 1 ω2 ω 1 D 3 2 D 3 1 = Q 1 n2 n 1 D 3 2 D 3 1 = 6.25 m 3 /s (21) TURBINA PELTON (Appello 20.03.2003, esercizio N 1) Testo Si consideri una turbina Pelton operante con caduta netta H = 500 m, portata Q = 4 m 3 /s e con due induttori, i = 2. La turbina sia collegata ad un alternatore otto coppie polari, 2p = 16. Ipotizzando un rapporto u/c 1 = 0.48 e scegliendo opportuni valori per i rendimenti/coefficienti di perdita, calcolare: numero caratteristico di macchina, potenza utile, diametro dei getti, diametro medio della girante, triangoli della velocità. Svolgimento Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: Il numero di giri di rotazione della macchina: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (22) n = 120 f 2p = 375 g/min f = 50Hz (23) e quindi la velocità angolare: ω = 2πn = 39.27 rad/s (24) 60 Sostituendo quindi in eq. 22, si ottiene k = 0.134, valore che appartiene al range tipico per le turbine Pelton. 6

Diametro dei getti Il diametro dei getti dei due induttori può essere calcolato dall espressione della portata: Q = i c 1 πd2 4 dove c 1 è la velocità in uscita dall induttore, espressa da: (25) c 1 = ϕ 2gH (26) Assumendo 0.97 come valore per il coefficiente di perdita ϕ, si ottiene c 1 = 96.1 m/s e quindi, dall eq. 25, si calcola d pari a: 4Q d = = 0.163 m (27) c 1 π i Diametro medio della girante Poichè dai dati di macchina risulta che u/c 1 = 0.48, la velocità periferica u vale u = c 1 0.48 = 46.13 m/s. Il diametro medio della girante si ricava dall espressione della velocità periferica: D = 2u ω = 2.349 m (28) Triangoli di velocita Per definire completamente il triangolo di velocità in ingresso rimane da calcolare solo la velocità relativa w 1 (vedi fig. 2): w 1 = c 1 u = 50 m/s (29) La velocità periferica in uscita è calcolabile da quella in ingresso assumendo un opportuno valore per il coefficiente di perdita ψ: w 2 = ψ w 1 = 48 m/s ψ = 0.96 (30) Assumendo che la velocità assoluta in uscita c 2 non abbia componente periferica (c 2u = 0, vedi fig. 2): c 2 = w2 2 u = 13.2 m/s (31) mentre l angolo relativo di uscita: β 2 = arcsin w 2 u = 16.3 (32) Potenza utile La potenza utile è definita dal prodotto della potenza teorica P th trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo η e dato dal prodotto dei rendimenti idraulico, volumetrico e meccanico: P u = P th η e = ρgqh η id η v η m (33) 7

Trattandosi di una turbina ad azione, il rendimento volumetrico si assume unitario; il rendimento meccanico si stima pari a 0.97, mentre il rendimento idraulico può essere calcolato direttamente dalla sua definizione e dall espressione del salto idraulico secondo Eulero: η i = H id H = u c 1 1 g H Pertanto, la potenza utile risulta pari a P u = 17.13 KW = 0.90 (34) NOTA Per il calcolo della potenza utile, il rendimento idraulico poteva anche essere assunto. Così facendo, la velocità di uscita dagli induttori c 1 doveva essere calcolata non dalla eq. 26 ma dalla definizione del salto idraulico secondo Eulero: H id = u c 1 g = η id H (35) Figura 2: Triangoli di velocità all ingresso (sx) e all uscita (dx) della girante TURBINA FRANCIS (Appello del 04.12.96, esercizio N 1) Testo Effettuare il dimensionamento di massima di una turbina Francis che debba elaborare una portata Q = 21 m 3 /s, fornendo una potenza all albero P e = 40 MW. Disegnare in scala i triangoli di velocità e le sezioni meridiana e trasversale della macchina. Allegati: diagrammi 3-7; tabella 1. Svolgimento La potenza utile all albero è definita come: P e = η e ρghq (36) 8

dove η e è il rendimento effettivo dato dal prodotto del rendimento idraulico η id per quello volumetrico η v e meccanico η m. Assumendo η id = 0.94; η v = 0.98 e η m = 0.95 (η e = 0.875), si può calcolare H dall equazione (36): H = P e = 222 m (37) η e ρgq Dal diagramma in fig. (3) si può quindi determinare il numero di giri caratteristico riferito alla potenza n p = 105. Dalla definizione di n p, esprimendo la potenza utile in CV (P e = 40 MW = 54.348 CV ) si può risalire al numero di giri della turbina: n = n ph 1.25 Pe = 386 g/min (38) La velocità di sincrono inferiore più vicina si ha per 8 coppie polari (2p = 16): n = 120f 2p = 375 g/min f = 50 Hz (39) Il nuovo valore di n p sarà quindi: mentre il numero caratteristico di giri riferito alla portata: n p = n P e = 102 (40) H1.25 n q = nq0.5 = 30 (41) H0.75 valore che appartiene al range tipico delle turbine Francis (20-120). Dal grafico in figura (4) è possibile determinare i diametri della sezione meridiana, essendo i parametri k i definiti come: k i = u i = πd in 2gH 60 (42) 2gH Per la turbina considerata si ottiene: D = D 1 = 2.218 m; D 2 = 1.815 m e D 3 = 1.244 m (vedi fig. 8). Dal grafico in fig. (5) si ricavano gli altri parametri geometrici: B/D = 0.13 B = 0.288 m P/D = 0.105 P = 0.233 m La posizione del punto A si determina dall equazione della portata una volta nota la velocità c 2m I triangoli di velocità vanno calcolati lungo la linea di flusso media. Bisogna quindi prima calcolare i diametri e le velocità medie: D 1 = D + D 1 2 = 2.218 m u 1 = πd 1n 60 = 43.55 m/s D 2 = D 2 + D 3 2 = 1.530 m u 2 = πd 2n 60 = 30 m/s 9

La velocità meridiana in ingresso si calcola direttamente dall espressione della portata, assumendo per il coefficiente di ingombro palare ξ 1 = 0.95: c m1 = η vq πd 1 Bξ 1 = 10.8 m/s (43) In uscita, per porsi nelle condizioni di massimo rendimento della macchina, si assume c 2u = 0, ovvero c 2m = c 2. Dal grafico in fig. (6), noto il valore di n p, si possono determinare le velocità assolute in ingresso e uscita dalla girante: k ce = 0.69 c 1 = k ce 2gH = 45.5 m/s k cu = 0.14 c 2 = k cu 2gH = 9.24 m/s Per il triangolo della velocità in ingresso vale (vedi fig. 20): c u1 = c 2 1 c2 m1 = 44.2 m/s w 1 = c 2 m1 + (c u1 u 1 ) 2 = 10.82 m/s α 1 = arcsin c m1 = 13.7 β 1 = 90 + arccos c m1 = 93.5 c 1 w 1 Per il triangolo in uscita si ha invece: w 2 = u 2 2 + c2 2 = 31.4 m/s β 2 = arctan c 2 = 17.1 u 2 Dal diagramma (7) si valuta il range di variazione del numero di pale della girante Z g : Z gmax = 21; Z gmin = 13. Assumiamo Z g = 17. Il diametro della circonferenza dei perni palari del distributore è: D cp = 1.3D = 2.883 m. Dalla tabella 1, per il valore di D cp in questione, si ha che il numero di pale del distributore è Z d = 24. In fine, è possibile verificare il rendimento idraulico assunto: η id = H id gh = u 1c 1 gh = 0.88 che è un valore troppo basso. Si dovrebbe quindi procedere con una successiva iterazione del dimensionamento utilizzando il valore appena calcolato nell equazione (37). D cp 800mm Z d = 12 D cp = 900 1500mm Z d = 16 D cp = 1500 2400mm Z d = 20 24 D cp 2400mm Z d = 24 Tabella 1: Numero di pale del distributore in funzione del diametro dei perni palari 10

H max 400 300 200 100 0 0 100 200 300 400 n p Figura 3: Caduta massima k i 1.2 1 k 2 k 0.8 k 1 0.6 0.4 k 3 0.2 0 0 100 200 300 400 n p Figura 4: Dimensioni sezione meridiana 11

0.5 0.4 B/D 0.3 0.2 P/D 0.1 0 0 100 200 300 400 n p Figura 5: Dimensioni sezione meridiana 0.8 0.6 0.4 K ce K cu 0.2 0 0 100 200 300 400 n p Figura 6: Velocità specifiche di ingresso e uscita macchina 12

Z g 26 24 Max 22 20 18 16 14 12 Min 10 8 0 100 200 300 400 n p Figura 7: Numero di pale della girante Figura 8: Sezione meridiana 13

TURBINA AD ELICA (Appello del 20.12.01, esercizio N 1) Testo Si esegua il calcolo di una turbina idraulica tipo elica con i seguenti dati funzionali: caduta netta H = 20 m; portata Q = 18 m 3 /S. Scegliendo un opportuna velocità di rotazione si calcolino in particolare la potenza utile, il numero caratteristico di macchina, i diametri esterno e interno della girante e i triangoli di velocità al diametro medio (u, c m, c 1u, β 1, β 2 ). Allegato: diagramma statistico parametri di progetto. Svolgimento Scelta velocità di rotazione Assumiamo che la girante della turbina sia collegata ad un alternatore con otto coppie polari (2p = 16). Il numero di giri della macchina è quindi: n = 120f 2p = 375 g/min f = 50Hz (44) Potenza utile Per calcolare la potenza utile è necessario stimare i valori dei rendimenti: η id = 0.96 η v = 0.99 η m = 0.89 Il rendimento effettivo della macchina risulta quindi pari a: η e = η id η v η m = 0.89 (45) La potenza utile è quindi ora calcolabile attraverso la potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo: P u = P th η e = ρgqh η e = 3143 KW (46) Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: k = ω Q0.5 2πn = (gh) 0.75 60 Q 0.5 = 3.18 (47) (gh) 0.75 valore che ricade nel range tipico per le turbine ad elica. Diametri di mozzo ed estremità Dal diagramma statistico allegato si possono ricavare i parametri di progetto per il mozzo (k um ) e per l estremità palare (k ug ): k ug = 1.75 u g = k ug 2gH = 34.67 m/s k um = 0.7 u m = k um 2gH = 13.87 m/s 14

Dalle velocità periferiche, noto il numero di giri, è quindi possibile calcolare i diametri: D g = u g 60 πn = 1.766 m D m = u m 60 πn = 0.706 m Triangoli di velocità al diametro medio Per prima cosa, calcoliamo il diametro e la corrispondente velocità periferica: D = D g + D m 2 = 1.236 m u = u 1 = u 2 = πdn = 24.27 m/s 60 Calcoliamo poi le componenti meridiane della velocità assoluta: c m = c m1 = c m2 = 4Qη v π Dg 2 Dm 2 = 8.66 m/s (48) Assumendo che la velocità in assoluta in uscita dalla macchina non assuma componente periferica (c 2u = 0), allora è possibile calcolare la componente periferica della velocità assoluta in ingresso c 1u dall espressione del lavoro idraulico euleriano: c 1u = gh id u Gli angoli palari risultano quindi (vedi fig. 9): = ghη id u = 7.76 m/s (49) c m β 1 = arctan( ) = 19.6 u c 1u β 2 = arctan( c m u ) = 27.7 Figura 9: Triangoli di velocità al diametro medio 15

Figura 10: Diagramma statistico parametri di progetto turbina ad elica 16