Modulo 2 L algebra dei polinomi Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni Prof. E. Castello
Introduzione Fino ad ora abbiamo operato prevalentemente con i numeri interi o razionali, utilizzando operazioni aritmetiche, ma abbiamo anche incontrato alcune regole scritte con l uso delle lettere. Tale formalismo richiama il linguaggio simbolico dell algebra, in quanto oltre ai numeri, compaiono anche simboli letterali. In questo modulo sarai condotto all interno del calcolo letterale, imparando ad operare con i monomi, i polinomi e le frazioni algebriche.
Mappa concettuale del modulo
Formule letterali: variabili e costanti Consideriamo un triangolo e chiamiamo b la base ed h l altezza. Come ben sapete l area del triangolo si calcola utilizzando la formula scritta a lato. In questa formula b ed h sono lettere che possono assumere diversi valori a seconda dei casi, possono dunque variare. Diremo dunque che b ed h sono variabili. Il numero 2 invece non cambia se variano la base e l altezza, per cui diremo che 2 è una costante. h A b b h 2
Assegnazione di valori alle variabili: dal caso generale al caso particolare Il concetto di variabile è un concetto fondamentale in matematica e viene utilizzato per esprimere proprietà generali, come ad esempio l area di un triangolo qualsiasi. Se dovessimo calcolare l area per un triangolo particolare, dovremmo assegnare dei valori precisi alle nostre due variabili. A b h 2 b = 3 h = 2 A 3 2 2 3 Proprietà generale Caso particolare
Formula letterale Caso generale Assegnazione di valori alle variabili Caso particolare
Linguaggio simbolico dell algebra Il linguaggio dell algebra è un linguaggio simbolico che ci permette di rappresentare in forma letterale proprietà generali. Studiare l algebra non significa quindi acquisire solo tecniche di calcolo, ma soprattutto affinare le proprie capacità di astrazione, sapendo riconoscere nell impostazione di un problema, le variabili fondamentali che entrano in gioco e le relazioni matematiche che le legano. Algebra Linguaggio simbolico (si manipolano lettere anziché numeri)
Nota storica Euclide di Alessandria d'egitto, attivo nel 300 a.c. Matematico greco formatosi probabilmente ad Atene presso l'accademia platonica, insegnò geometria ad Alessandria d'egitto, dove fondò una scuola di matematica. Nel suo capolavoro, gli Elementi le proprietà algebriche vengono trattate utilizzando segmenti e figure geometriche. Bisogna aspettare il Rinascimento per veder fiorire l algebra come disciplina autonoma. Raffaele Bombelli, (Bologna 1526 Roma 1572), matematico italiano, fu uno dei grandi algebristi del Rinascimento. Il suo contributo alla matematica è contenuto in un trattato di algebra in 3 volumi (il progetto originale ne prevedeva 5), pubblicato l anno della sua morte e intitolato Algebra. Il trattato comprende regole di computo per numeri negativi e relative dimostrazioni. Bombelli però, nel dimostrare proprietà generali, utilizzava ancora numeri, anziché lettere. La vera rivoluzione si ebbe invece nel 1600, grazie a Viète. François Viète, (Fontenay-le Comte 1540 - Parigi 1603), matematico e uomo politico francese. Conseguì il baccalaureato in diritto nel 1560. A partire dal 1602 lavorò alle sue prime opere scientifiche e fu autore di un sistema notazionale di simbolizzazione dell'algebra, grazie al quale fu possibile applicare il formalismo algebrico allo studio della geometria. Viète introdusse inoltre l'uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni.
Differenza tra espressione letterale e valore dell espressione Espressione Valore dell espressione con a = 3 3 a 5 3 3 a 2 3 5 2 1 3 2 1 Caso generale Caso particolare
Se cambia il valore della variabile Cambia il valore dell espressione
Esempi esplicativi 1. Consideriamo l espressione letterale 3 + a 2 b Diciamo che a e b sono variabili, mentre 3 e 2 sono costanti. 2. Consideriamo l espressione letterale x + 2 y. Il valore di tale espressione per x = 1 e y = 5 è: 1 + 2 * 5 = 1 + 10 = 11
Convenzione di scrittura Indicheremo generalmente le variabili con le lettere minuscole Al posto di x * y Scriveremo xy 2 * x 2x 3 * (x + y) 3(x + y)
monomi Espressione in cui compare solo l operazione di moltiplicazione 2x 3 y 4 4xy 5 z ab 3 5ax 2 yb 5
Grado di un monomio Somma degli esponenti dei fattori letterali x xy x 2 y 3 z 5 x 0 5 1 1+1=2 2+3+5=10 0 0
Analizziamo un monomio Coefficiente numerico 3 x 2 y b 5 Parte letterale Grado: 2+1+5 = 8
Esercitazioni 1. Scrivi le espressioni algebriche che indicano le seguenti operazioni: a. Sommare alla metà di a il doppio di b. b. Sottrarre al triplo di a il cubo di b. 2. Calcolare il valore numerico delle seguenti operazioni letterali, assegnando alle lettere i valori indicati: a. -5a+2b+3ab con a = -2 e b = 4 R: [-6] b. 3a 2-6a+3 con a = 3 R: [12] 2x 1 3x 2 x 1 2 c. con x = 2 R: [-3] d. x 2 +3y-z con x = -5; y = -3; z = 6 R: [10]
Esercitazioni 1. Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono monomi: x 2 y; a + b; 3 x 3 y 2 z; 5a 4 b; x(-y)(z 3 a 4 b 2 ); 4(x-y) 5 2. Per ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente, la parte letterale e il grado: xyz 2 ; 5x 3 y 4 z; 2abc; 8; -a 2 b 4 xy 5 3. Scrivi un monomio di ottavo grado che abbia come parte letterale solo tre variabili. 4. Scrivi un monomio di sesto grado che sia di quarto rispetto alla lettera y e che abbia coefficiente uguale ad 1.
Monomi simili Hanno la stessa parte letterale Monomi simili: Monomi non simili: 2x 3 yz 2 5x 3 yz 2 4xy 7 3x 2 y
Somma algebrica di monomi Monomi simili: Monomi non simili: 2x 3 yz 2 5x 3 yz 2 4xy 7 3x 2 y La loro somma restituisce un unico monomio: 2x 3 yz 2 + 5x 3 yz 2 = (2+5) x 3 yz 2 = = 7 x 3 yz 2 La loro somma non è un unico monomio ma un polinomio 4xy 7 + 3x 2 y L insieme dei monomi non è chiuso rispetto alla somma
La somma di due monomi simili è un nuovo monomio che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e come parte letterale la stessa parte letterale 5xy + 3xy = (5 + 3)xy = 8xy La somma di due monomi simili di grado n è ancora un monomio di grado n 5xy ha grado 2 3xy ha grado 2 (5 + 3)xy = 8xy ha grado 2
Moltiplicazione di monomi 1. Si moltiplicano i coefficienti numerici 2. Si moltiplicano tra loro i fattori letterali 3. Se ci sono fattori letterali comuni: si applicano le proprietà delle potenze Esempio: 5b 2 *4b 3 = = (5 * 4) b 2 * b 3 = 20 b 2+3 = = 20 b 5 Grado = somma dei gradi 5 = 2 + 3 L insieme dei monomi è chiuso rispetto alla moltiplicazione
Potenza di monomi La potenza di un monomio è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori (-2x 2 yz 3 ) 2 = (-2) 2 (x 2 ) 2 (y) 2 (z 3 ) 2 = 4x 4 y 2 z 6 Grado = grado del monomio base * esponente Grado (-2x 2 yz 3 ) 2 = grado (-2x 2 yz 3 ) * 2 = = (2 + 1 + 3) * 2 = 6 * 2 = 12
Esercitazioni 1. Indica tra i seguenti gruppi di monomi quelli simili: a. 3ab 2 ; ab; -b 2 a; a 2 b; 5ab; 3a 3 b. 5 xy; 5ac; -xy; -x 2 y; axy; 8ac 2. Calcola le seguenti somme di monomi simili ed indica il loro grado: a. 5ab 3 + 3ab 3 = grado = b. 10xy + (-11xy) = grado = c. -7ac 2 + 7ac 2 = grado = 3. Calcola i seguenti prodotti ed indica il grado del monomio risultante: a. -4a 2 b(-3ab 2 ) = grado = b. 3xyz(-x 2 z)(3z 2 ) = grado =
Esercitazioni
Esercitazioni 1. Calcola le seguenti potenze ed indica il grado del monomio risultante: a. (3xy 2 ) 3 = grado = b. (-2a 3 bc 4 ) 5 = grado = c. [-(-3x 2 ) 3 ] 2 = grado = 2. Esegui le seguenti moltiplicazioni dopo aver sommato i monomi simili: a. 1 5 6 ac ac ac a bc R: 8 4 3 11 7 2 2 3 13 4 2 2 2 2 b. ax ax ax xy 2xy xy R: 5 4 20 3 3 5 a 3 bc 4 3 4 2 ax 2 y 3