Antonino Maria Ferro Esercizi di matematica per giovani e giovanissimi

Saggistica Aracne

Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-7160-1 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: maggio 2014

Ringrazio mio nipote Andrea per la sua collaborazione Dedico questo testo di matematica alle mie sorelle Maria Teresa e Manuela

Indice 9 Introduzione 11 Capitolo I Calcolo di alcune costanti di poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza ad un cerchio o una sfera 1.1. Generalità, 11 1.2. Formulario, 12 1.3. Rapporti aree poligoni, cerchio, 12 1.4. Rapporti perimetro quadrato, circonferenza, 14 1.5. Rapporti tra volumi del cubo e della sfera, 15 1.6. Rapporti tra triangolo e circonferenza, 18 1.7. Calcolo delle costanti ricavate dal rapporto tra un triangolo e la circonferenza, 18 1.8. Rapporti perimetro triangolo, circonferenza, 21. 23 Capitolo II Procedimento per il calcolo di alcune costanti di poligoni regolari, inscritti e circoscritti ad una circonferenza o un cerchi 2.1. Generalità, 23 2.2. Formulario, 24 2.3. Calcolo delle costanti dell esagono regolare inscritto e circoscritto ad una circonferenza o un cerchio, 26 2.4. Rapporti perimetro esagono regolare, circonferenza, 26 2.5. Rapporti area esagono regolare cerchio, 27 2.6. Calcolo delle costanti dell ottagono regolare, inscritto e circoscritto ad una circonferenza o un cerchio, 29 2.7. Rapporti tra perimetro ottagono regolare e circonferenza, 29 2.8. Rapporti tra aree ottagono regolare e cerchio, 31. 35 Capitolo III Formule per il calcolo del secondo nel giorno di un pianeta 3.1. Esempio di calcolo del secondo Marziano, 35. 37 Capitolo IV Il coefficiente temporale 4.1. Generalità, 37 4.2. Introduzione, 37 4.3. Esempio con i due gemelli, 38 4.4. Il coefficiente temporale, 38 4.5. Notazioni, 40 7

8 Indice 4.6. Simbologia, 40. 41 Capitolo V Esercizi di matematica 5.1. Generalità, 41. 67 Capitolo VI Risultati 81 Capitolo VII Esercizi delle tracce 83 Capitolo VIII Teorema delle decine e dei rapporti 8.1. Teorema F1 delle decine, 83 8.2. Teorema F2 dei rapporti, 83. 85 Capitolo IX Definizione dello spostamento di massa di un corpo quando aumenta o diminuisce di velocità e applicazioni alla meccanica dei solidi 9.1. Generalità, 85 9.2. Introduzione, 85 9.3. Spostamento di massa sp, 86 9.4. Applicazione teoriche alla meccanica dei solidi della formula T = M1/sp, 86 9.5. Moto uniformemente accelerato, 87 9.6. Moto uniformemente ritardato, 87 9.7. Impulso e quantità di moto, 88 9.8. Caduta di un corpo, 89 9.9. Simbologia, 90. 91 Capitolo X Proiezioni geografiche di Marte 10.1. Generalità, 91 10.2. Introduzione, 91 10.3. Marte quindi ha una forma tridimensionale quasi sferica, 92 10.4. Il geoide, 93 10.5. Misure fra meridiani e paralleli, 93 10.6. Misurazioni, 94 10.7. Misure dei paralleli e distanza tra meridiani nei diversi paralleli, 98 10.8. Reticolato, 101 10.9. Proiezioni convenzionali, 101 10.10. Direzioni, 102 10.11. Simbologia, 102. 105 Bibliografia

Introduzione Il seguente testo è stato realizzato, allo scopo di migliorare e provare le attitudini dei giovani studenti. Nel capitolo I e II, vengono calcolate delle costanti geometriche di alcuni poligoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza o un cerchio. Nel capitolo III, viene descritto come calcolato il secondo di un pianeta, con l esempio di calcolo del secondo Marziano, mediante delle equazioni di primo grado. Nel capitolo IV, vengono descritti le formule, per il calcolo del coefficiente temporale, viene anche descritto l esempio dei due gemelli e quindi dell effetto della dilatazione del tempo. Questo capitolo è importante per comprendere in maniera semplice cosa significa, dilatazione del tempo. Nel capitolo V, vi sono riportati alcuni esercizi di matematica, allo scopo di migliorare le capacità matematiche degli studenti. Nel capitolo VI, vi è riportato delle tracce. Nel capitolo VII, vi è riportato l esercizio delle decine e dei rapporti. Gli esercizi di matematica, sono molto importanti per la formazione mentale degli individui, ad esempio qualità importante, il calcolo mentale in un incrocio, in cui si deve dare la precedenza a una macchina che si avvicina ha una certa velocità e compie un determinato spazio, quindi bisogna sapere quando attraversare. Nel capitolo VIII, viene spiegato cosa succede se un corpo viaggia a velocità molto elevate, in particolar modo l aumento di massa, quindi una nuova unità di misura. Nel capitolo IX, viene fatto un esempio di come calcolare le proiezioni geografiche di un pianeta, nell esempio quello di Marte. Per approfondimenti sull Autore: http://www.ferroantoninomaria.com. 9

Capitolo I Calcolo di alcune costanti di poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza ad un cerchio o una sfera 1.1. Generalità «Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligono aventi tutti i suoi vertici sulla circonferenza. Tale poligono si dice inscritto nella circonferenza e la circonferenza risulterà circoscritta al poligono» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 236). «Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligono aventi tutti i lati tangenti alla circonferenza. Tale poligono si dice circoscritto alla circonferenza che risulterà inscritta nel poligono» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 236). «Un poligono regolare è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 240). Vogliamo verificare che il rapporto delle aree, dei perimetri, dei poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza è sempre costante. A un poligono irregolare che abbia tutti i vertici appartenenti alla circonferenza si possono applicare le formule del rapporto. A un poligono irregolare che abbia tutti i lati appartenenti alla circonferenza si possono applicare le formule del rapporto. Per formule di rapporto si intende il calcolo delle costanti che legano le dimensioni del poligono (aree o perimetri) con l area o la lunghezza della circonferenza. Nell insieme dei valori calcolati si ritrovano anche le dimensioni che legano le superfici e i volumi dei cubi e delle sfere, con il calcolo delle loro costanti. 11

12 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi 1.2. Formulario Poligono Triangolo Quadrato somma degli angoli interni 180 360 Nel caso delle aree servirsi delle seguenti formule. Area quadrato: Aq = l 2 Area triangolo: At = 1/2bh Area cerchio: Ac = π r 2 Figura 1.1. Figura 1.2. 1.3. Rapporti aree poligoni, cerchio 1.3.1. Esempio 1. Area quadrato, inscritta nel cerchio Figura 1.1. Supponiamo AB = 10. Area quadrato: Aq = 10 10 = 100, da cui si calcola l ipotenusa = diagonale. Per il teorema di Pitagora: Diagonale D = 10 2 + 10 2 = 100 + 100 = 200 = 14.142136. Raggio cerchio: r = D/2 = 14.142136/2 = 7.0710678. Area cerchio: Ac = π 7.0710678 7.0710678 = π 50 = 157.07963. Calcoliamo le costanti K1 e K2: K1 = Aq/Ac = 100/157.07963 = 0.6366197, K2 = Ac/Aq = 157.07963/100 = 1.5707963.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 13 Si deduce che se si conosce, il valore dell area del quadrato o del cerchio, posso trovare, mediante le costanti K1 o K2, il valore dell area conseguente, utilizzando le formule inverse. Esempio Aq = Ac K1, oppure Ac = Aq/K1; Aq = Ac/K2, oppure Ac = Aq K2. 1.3.2. Esempio 2. Area quadrato, circoscritta al cerchio Figura 1.2. Supponiamo AB = 10. Area quadrato: Aq = 10 10 = 100. Dalla figura, raggio r = AB/2 = 10/2 = 5. Area cerchio: Ac = 5 5 π = 25 π = 78.539816. Calcoliamo le costanti K3 e K4: K3 = Aq/Ac = 100/78.539816 = 1.2732396, K4 = Ac/Aq = 78.539816/100 = 0.7853981. Si deduce che se si conosce, il valore dell area del quadrato o del cerchio, posso trovare, mediante le costanti K3 o K4, il valore dell area conseguente, utilizzando le formule inverse. Esempio Aq = Ac K3 Ac = Aq/K3, Aq = Ac/K4 Ac = Aq K4. Figura 1.3. Figura 1.4.