Lzion 2 Richiami di arodinamica comprssibil In qusto corso si considrano acquisit alcun nozioni di bas di trmodinamica di gas arodinamica comprssibil quali i conctti di gas idal nrgia intrna ntalpia ntropia vlocità dl suono grandzza total flusso in un condotto con variazion di ara Inoltr poiché nllo studio di propulsori si fa spsso ricorso all approssimazion di gas idal con proprità costanti si assum ch l condizioni dl flusso all intrno di condotti varino soltanto lungo la dirzion dll ass dl condotto stsso si riprndono l quazioni ch dscrivono il moto di un flusso comprssibil nll ipotsi di flusso quasimonodimnsional 2 Gas idal Durant tutto il corso si assumrà smpr valida l ipotsi di gas idal cioè trmicamnt caloricamnt prftto In tal ipotsi il comportamnto dl gas è dscritto dall quazion di stato: 2 dov è la costant dl gas data dal rapporto tra la costant univrsal di gas idali molcolar dl gas considrato Si ha infatti Ad smpio pr l aria quindi ssndo si ha 22 Vlocità dl suono il pso Pr una gas idal la vlocità dl suono indicata con è dtrminata univocamnt dall proprità dl gas dalla sua tmpratura Si può quindi sprimr com una variabil di stato: dov è la tmpratura il rapporto tra i calori spcifici a prssion volum costant pari ad pr gas biatomici la costant dl gas 23 Grandzz totali 22 Si dfiniscono com condizioni di ristagno o totali l condizioni ch il fluido assum quando è dclrato fino ad una vlocità nulla Il procsso di dclrazion può ssr assunto:
64 4 4 2 Lzion 2 Richiami di arodinamica comprssibil 3 Adiabatico snza scambio di lavoro sotto qusta ipotsi si dfiniscono dl dq Adiabatico d in più isntropico ancora snza scambio di lavoro condizioni ch prmttono di dfinir Si ricordano l rlazioni tra grandzz totali grandzz statich numro di Mach: Pr quanto riguarda l ntalpia l nrgia intrna si ossrva ch l rlazioni trmodinamich prmttono di dfinirl a mno di una costant arbitraria Sia pr smpio il valor dll ntalpia alla tmpratura di rifrimnto sarà In tal caso si può ottnr l sprssion riportata sopra pr solo s si assum Un discorso analogo val pr l nrgia intrna Nl sguito si usrà frquntmnt la notazion ch prmtt di riscrivr l rlazioni riportat sopra in forma più concisa 24 Flussi quasimonodimnsionali stazionari Grazi all ipotsi di flusso monodimnsional si possono studiar in modo smplificato i flussi in condotti con variazion d ara con attrito o con scambio di calor con l strno L ipotsi di flusso quasimonodimnsional implica: Proprità costanti su ogni szion trasvrsal dl condotto normal all ass Proprità funzion di un unica variabil spazial l ascissa lungo l ass dl condotto 23 Tal ipotsi pur non ssndo smpr strttamnt vrificata rapprsnta in gnr in modo soddisfacnt i valori mdi dl flusso Si considra quindi la sola componnt assial dlla vlocità Si ossrva ch l ipotsi di flusso strttamnt monodimnsional implichrbb invc ch la szion trasvrsal dl condotto sia costant Pr scrivr l quazioni di consrvazion di massa quantità di moto d nrgia in forma diffrnzial pr un flusso quasimonodimnsional stazionario si considra lo schma di Fig 2 si noti ch tanto il calor ch il lavoro sono stati assunti positivi quando sono assorbiti dal fluido Consrvazion dlla massa In condizioni stazionari la massa di gas contnuta all intrno dl volum di controllo in Fig 2 riman costant Ciò impon la condizion ch la portata di gas ntrant nl A u p ρ dx A+dA u+du p+dp ρ+ dρ Figura 2: Volum di controllo pr lo studio di un flusso quasimonodimnsional volum di controllo portata massa ch attravrsa una suprfici normal alla vlocità nll unità di tmpo dv ssr pari alla portata uscnt massa ntrant massa uscnt Lo stsso principio di consrvazion può ssr scritto in forma logaritmica com: 24 costant 25 dov è stato portato a scondo mmbro il trmin nlla variazion dll ara trasvrsal dl condotto pr vidnziar ch sso è un trmin forzant cioè sul qual è possibil agir conformando opportunamnt il condotto pr far variar nl modo dsidrato l grandzz lungo il condotto Consrvazion dlla Quantità di Moto Analogamnt la variazion dlla quantità di moto ch subisc il fluido attravrsando il volum di controllo nll unità di tmpo quindi la diffrnza tra quantità di moto uscnt quantità di moto ntrant nll unità di tmpo è pari alla risultant dll forz applicat sul fluido qdi m uscnt variazion dlla quantità di moto qdi m ntrant 2 3 Risultant forz applicat La risultant dll forz applicat è costituita dalla somma dll forz di prssion agnti sul contorno dl volum di controllo szion di ingrsso szion di uscita part dll forz di attrito agnti sull parti: 2 3 forz di prssion in 7 56 7 5 84 forz di prssion srcitat dall parti in dirzion forz di attrito 26 27 28 Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial
4 Lzion 2 Smplificando trascurando gli infinitsimi di ordin suprior dov indica il primtro dl condotto: 29 Richiami di arodinamica comprssibil 5 dov è stato scritto splicitamnt il lavoro dll forz di prssion nll szioni Qust ultimo infatti è pari alla forza pr lo spostamnto quindi il lavoro compiuto nll unità di tmpo potnza è Sostitundo 22 ricordando ch nlla 2 si ottin: dividndo pr si ha: 2 & & 23 Nll sprssion dllo sforzo di part pr attrito indica il fattor d attrito di Darcy funzion dl numro di Rynolds ma ch tnd ad un asintoto pr valori di molto alti dlla rugosità rlativa dll parti dl condotto Consrvazion dll nrgia Analogamnt ai principi di consrvazion di massa quantità di moto pr il principio di consrvazion dll nrgia si può dir ch la variazion di nrgia ch subisc il fluido attravrsando il volum di controllo nll unità di tmpo quindi la diffrnza tra nrgia uscnt nrgia ntrant nll unità di tmpo è pari alla somma dl lavoro compiuto dall forz applicat al fluido dl calor fornito al fluido dall strno Si considra in qusto caso il condotto illustrato in Fig 22 L nrgia pr unità di massa ch ntra nl condotto è pari alla somma di nrgia intrna spcifica 2 x Ricordando il lgam tra nrgia intrna ntalpia : & & oppur la dfinizion di ntalpia total 24 avndo introdotto calor lavoro forniti pr unità di massa Il risultato è quindi ch fornir calor o compir lavoro su un flusso comporta una variazion dlla sua ntalpia total ch rapprsnta quindi il contnuto nrgtico dl flusso Vicvrsa una diminuzion dll ntalpia total indica raffrddamnto dl flusso o lavoro compiuto dal fluido su una palttatura Il risultato ottnuto con la 24 può ssr applicato anch all lmnto infinitsimo di Fig 2 Nlla diffrnziazion di 24 bisogna prò far attnzion ricordar ch pr calor lavoro non si può parlar di diffrnziali satti inoltr ch non ha snso considrar la prsnza di una palttatura o di un organo in grado di scambiar lavoro con il fluido all intrno di un volum infinitsimo Nlla forma diffrnzial si trascurrà il contributo di si considrrà il diffrnzial non satto di indicato con : 25 Figura 22: Condotto quasimonodimnsional Equazioni dl flusso monodimnsional L quazioni di consrvazion di massa quantità di moto di nrgia in forma diffrnzial prmttono di scrivr il sistma ch dtrmina lo stato dl flusso: nrgia cintica spcifica Poiché nll unità di tmpo ntra nl condotto la massa fluida pari alla portata poiché nll ipotsi di flusso stazionario l condizioni in in non variano la portata è costant lungo il condotto la variazion di nrgia subita dal flusso attravrso il condotto è: nrgia uscnt variazion di nrgia nrgia ntrant & & Lavoro + Calor 2 26 d è quindi pari alla somma di lavoro compiuto sul fluido calor fornito al fluido nll unità di tmpo Indicando con il lavoro fornito dall strno attravrso una palttatura ch potrbb ssr prsnt lungo il condotto ossrvando ch l forz applicat all parti solid non compiono lavoro ssndo nulla la vlocità dl fluido a part si ha: & & & 22 I trmini a scondo mmbro sono trmini noti dtrminano quindi la particolar soluzion dl flusso Il flusso in una dtrminata szion all ascissa è noto s sono not du variabili di stato la vlocità o quivalntmnt il numro di Mach È prtanto convnint riscrivr il sistma in trmini di tr variabili incognit cosa ch può ssr fatta ricorrndo all quazioni di stato In particolar si vuol riscrivr il sistma in funzion dl numro di Mach di gruppi incogniti Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial
Richiami di arodinamica comprssibil 7 indica il dtrminant dlla matric di cofficinti: Calcolo di Dtrminanti 22 è il dtrminant dlla matric ch si ottin dalla matric di cofficinti sostitundo alla prima colonna la colonna di trmini noti: 222 è il dtrminant dlla matric ch si ottin sostitundo alla sconda colonna la colonna di trmini noti: 223 è il dtrminant dlla matric ch si ottin sostitundo alla trza colonna la colonna di trmini noti: 224 Il risultato è quindi ch ciascuna dll incognit può ssr sprssa com la somma di tr trmini ciascuno rlativo all fftto di uno di tr trmini sorgnt variazion d ara attrito flusso di calor Pr comodità la soluzion In gnral il trmin sorgnt compar moltiplicato pr una funzion di può ssr riportata in una tablla Tab 2 Nlla tablla oltr all variabili ch sono stat utilizzat pr risolvr il sistma sono riportat anch l variazioni di prssion total vlocità ch possono Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial 6 Lzion 2 Adottando drivazion logaritmica si ricavano facilmnt l sgunti rlazioni diffrnziali: Equazion di stato: Vlocità dl suono: 27 Numro di Mach: Entalpia Total: Il sistma da risolvr è quindi: dov 28 ch può ssr riscritto in forma matricial com: 29 3 ch possono ssr facilmnt la cui soluzion può ssr sprssa in funzion di dtrminanti 3 calcolati: 22 Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial
8 Lzion 2 ssr sprss in funzion di di trmini sorgnt Qusto prché la prssion total rivst un particolar intrss in quanto è una misura dlla capacità dl flusso di compir lavoro quindi la possibilità di utilizzarlo ai fini propulsivi si ricorda ch l ntalpia total è invc una misura dll nrgia total dl flusso Richiami di arodinamica comprssibil 9 Il trmin diminuir l opposto in caso suprsonico In ogni caso l fftto dll attrito è qullo di avvicinar l condizioni dl flusso a qull critich è smpr positivo quindi l fftto dll attrito è in campo subsonico di aumntar La prssion total diminuisc smpr a causa dll attrito Variabil Rlazion Ara Attrito Calor La prssion total diminuisc a causa dll adduzion di calor mntr può aumntar quando vin sottratto calor al flusso in qust ultimo caso l fftto può ssr contrastato da qullo dll attrito mntr nl prcdnt può ssr saltato L fftto dll adduzion di calor è simil a qullo dll attrito dlla riduzion d ara: fa avvicinar l condizioni dl flusso a qull critich L fftto dll incrmnto d ara dlla sottrazion di calor allontana l condizioni dl flusso da qull critich 24 Grandzz critich Oltr ai valori totali dll grandzz sono di intrss i valori critici ch sono i valori assunti dall variabili quando L rlazioni tra l grandzz critich qull totali possono ssr ddott dall 23 sostitundo si ha così: 225 Tablla 2: Cofficinti dlla soluzion gnral pr flussi quasimonodimnsionali stazionari Commnti Si possono quindi ossrvar l analogi tra gli fftti dovuti ai divrsi trmini forzanti variazion d ara attrito scambio di calor: Pr tutti tr i trmini noti considrati la variazion di prssion assum sgno opposto a sconda ch si considri un flusso subsonico o suprsonico Pr tutti tr i trmini noti considrati la variazion dl numro di Mach dlla vlocità assum sgno opposto a sconda ch si considri un flusso subsonico o suprsonico Fornir calor al fluido comporta gnralmnt un aumnto di tmpratura ma non nl campo dov il cofficint di risptto a ha sgno ngativo 242 Equazioni intgrali L quazioni di consrvazion possono ssr scritt anch in forma finita intgrando qull diffrnziali o ricavandol dirttamnt Qust ultim assumono form più o mno complicat a sconda di casi Pr smpio: Flusso isntropico: Di qui si ricava una lgg smplic lgg dll ar ch mtt in rlazion rapporto tra l ar di du szioni i valori di in ss di consgunza tutt l variabili vdi 243 Flusso in un condotto a szion costant con attrito snza scambio di calor flusso di Fanno: Lo sviluppo dl calcolo di tal flusso non è qui riportato Flusso in un condotto a szion costant snza attrito con scambio di calor flusso di Rayligh: Lo sviluppo dl calcolo di tal flusso non è qui riportato Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial
Lzion 2 243 Lgg dll ar E smplic ottnr com visto in arodinamica una lgg ch consnt di mttr in rlazion ar numro di Mach nl caso di flusso isntropico assnza di attrito scambi di calor lavoro con l strno poiché l grandzz totali rstano costanti quazion di continuità 226 avndo ricordato 227 228 229 23 2 A partir dall rlazioni ottnut pr in funzion di Esrcizi svolti Richiami di arodinamica comprssibil discutr il sgno dll variazioni di 2 Vlocità dl suono Calcolo dlla vlocità dl suono alla tmpratura ambint di sgunti gas: Aria Idrogno Anidrid Carbonica Si ricorda ch Aria Idrogno Anidrid Carbonica : : : Domand di vrifica 2 Ricavar la lgg dll ar 22 Ricavar l quazion di consrvazion dlla massa in forma diffrnzial pr il gnrico flusso monodimnsional con variazion d ara scambio di calor attrito 23 Ricavar l quazion di consrvazion dlla quantità di moto in forma diffrnzial pr il gnrico flusso monodimnsional con variazion d ara scambio di calor attrito 24 Ricavar l quazion di consrvazion dll nrgia in forma diffrnzial pr il gnrico flusso monodimnsional con variazion d ara scambio di calor attrito 25 La prssion total di un flusso subsonico in un condotto adiabatico a szion costant è costant? 26 L adduzion di calor comporta smpr un aumnto di tmpratura? 27 Il numro di Mach di un flusso suprsonico a cui vin fornito calor in un condotto a szion costant è costant aumnta o diminuisc? 28 Il numro di Mach di un flusso subsonico a cui vin fornito calor in un condotto a szion costant è costant aumnta o diminuisc? 29 La prssion total di un flusso subsonico a cui vin fornito calor in un condotto a szion costant è costant aumnta o diminuisc? 2 La prssion total di un flusso suprsonico a cui vin fornito calor in un condotto a szion costant è costant aumnta o diminuisc? 22 Tmpratura total Si considra un aroplano in volo a 92 nlla zona di ristagno sull ala? alla quota di dov Alla quota la tmpratura dll aria è quindi L aumnto di tmpratura causato dall impatto è prciò di Qual è la tmpratura dll aria Pr calcolar si ossrva ch 23 Prssion total Si considra la prsa d aria dl motor di un aroplano in volo a 92 alla quota di Qual è la prssion massima ch si può avr nlla prsa d aria schmatizzabil com un condotto divrgnt? Non ssndoci scambio di calor né di lavoro con l strno la prsa d aria può solo trasformar l nrgia dl flusso Il valor massimo di prssion lo si può ottnr rallntandolo fino a vlocità nulla supponndo ch non si vrifichino prdit di nrgia mccanica flusso isntropico In qusto caso il valor dlla prssion è pari a qullo dlla prssion total: A la tmpratura dll aria è si ossrva ch la prssion è Quindi Pr calcolar 24 Consrvazion dll nrgia Si dtrmini la vlocità di fflusso dll aria ch fluisc in un condotto adiabatico in cui non vin Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial
2 Lzion 2 scambiato lavoro con l strno L aria ntra nl condotto ad una vlocità di ad una tmpratura di n sc alla tmpratura di Scondo il principio di consrvazion dll nrgia costant quindi: Il valor di pr l aria è noto si ricava ricordando ch con si può ricavar: 25 Grandzz critich Calcolar il rapporto tra grandzz totali critich cioè pr pr l aria con Quindi 26 Grandzz critich Calcolar l sprssion dl rapporto dov è l ara dlla szion critica cioè qulla in cui in funzion dl valor dl numro di Mach nlla szion di ara 27 Lgg dll ar Si prnda di nuovo in considrazion il flusso studiato nll srcizio n24 si considri trascurabil l fftto di attrito Qual è la forma dl condotto? Qual è il rapporto tra l ara dlla szion di uscita qulla dlla szion di ingrsso? Supponndo ch la prssion in corrispondnza alla szion sia ch il diamtro dlla szion di ingrsso di forma circolar sia qual è la portata d aria nl condotto? Qual è la szion di ara minima? Ed il suo diamtro? Innanzitutto bisogna accrtar s il flusso è subsonico o suprsonico Poiché si ha quindi Essndo il flusso subsonico la forma dl condotto pr acclrar il flusso dv ssr convrgnt Tuttavia si ossrva ch infatti vdi srcizio n25 Pr acclrar il flusso a valori suprsonici il tratto convrgnt dv ssr sguito da un tratto divrgnt Pr applicar la lgg dll ar dv ssr noto anch Qust ultimo è dato da: Dalla lgg dll ar si ricava La portata è data da dai dati dl problma si possono ricavar quindi L ara minima è l ara critica il cui valor si ottin dalla lgg dll ar: quindi Esrcizi proposti Richiami di arodinamica comprssibil 3 28 L aro SR7 è in grado di volar ad una vlocità pari a 3 volt qulla dl suono In tali condizioni di volo la tmpratura dll aria sull parti strn dll aro può raggiungr in alcun rgioni valori lvati Qual è la grandzza ch prmtt di valutar tal incrmnto di tmpratura? Qual è l incrmnto di tmpratura s l aro è in volo nlla stratosfra? R 29 Si considri un flusso di aria in un condotto convrgnt Il flusso può ssr considrato isntropico Sia Qual è la dirzion dl flusso dalla szion vrso la 2 o vicvrsa? S qual è il valor di? Qual è il diamtro dlla szion supposta circolar dl condotto in 2 s? R 2 Si calcolino l prdit di prssion total in un combustor considrato com un condotto lungo il qual vin fornito calor al fluido in cui l condizioni di flusso siano tali ch Sapndo ch si calcoli la riduzion prcntual di quando si passa dalla szion alla szion 2 Ch forma gomtrica dovrà avr il condotto prché sia costant? si considri com gas l aria R 2 I gas prodotti dalla combustion in un assgnato ndorattor chimico sono carattrizzati da Quali sono i rapporti tra l grandzz critich qull totali pr tal gas? Si considrino l grandzz R 22 Studiar l andamnto dl rapporto tra prssion critica prssion total al variar di il campo di valori di comprsi tra 23 Calcolar la vlocità dl suono dll Elio a tmpratura ambint R in condizioni critich sapndo ch la tmpra 24 Calcolar la vlocità dl suono dll Acqua tura total dl gas è R 25 Si considri il condotto adiabatico illustrato in figura: Si considri Macchina Ls 2 Siano not l condizioni nlla szion di ingrsso ch il lavoro compiuto dalla macchina sull aria ch fluisc nl condotto sia Supponndo il condotto tal ch nlla szion il l aria fluisc a qual è la tmpratura dll aria nlla szion? Nll ipotsi di flusso isntropico si calcoli la prssion nlla szion il rapporto tra i diamtri dll szioni dl condotto a szion circolar in in la portata nl caso in cui il diamtro dlla szion di ingrsso sia pari a R Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial Univrsità di Roma La Sapinza Corso di Propulsion Arospazial