MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Docente: Ana Millán Gasca a.a. 009-00 Complementi ed esercitazioni 6 (Tema II I numeri interi) Assiomi di Peano per i numeri naturali: Si consideri: un insieme N i cui elementi si chiamano numeri un elemento di N indicato con una funzione successore che associa ad ogni numero naturale un successore sc : N "# N per i quali si hanno i seguenti assiomi assioma ogni numero naturale ha un successore e uno solo, e inoltre due numeri diversi hanno successori diversi assioma l elemento non è il successore di alcun numero assioma 3 (induzione) Se a un sottoinsieme A di N appartiene l elemento privilegiato e anche il successore di ogni numero del sottoinsieme, vale a dire, se A verifica le seguenti due condizioni: (i) " A (ii)se k " A, allora k +" A allora A = N ) Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione dei numeri naturali, dimostri le identità notevoli: ( a + b) = a + b + ab ( a " b) = a + b " ab ( a + b) # ( a " b) = a " b ) Calcoli mentalmente, applicando le leggi dell aritmetica: (i) " 6 # 0" (ii) 77 + 33 (iii) 50 + (8 + 0) (iv) 4 " 9" 50 Ricordi la gerarchia nelle operazioni che serve a interpretare correttamente le espressioni aritmetiche e algebriche: le moltiplicazioni devono essere eseguite prima delle addizioni, e quindi quando si vuole dare priorità alle addizioni bisogna usare una parentesi. Ad esempio: 3" + 4 " 3 =8 3" ( + 4) " 3 = 54
3) Rifletta sul modello delle scatole di palline o bottoni per i numeri naturali (si veda materiale didattico, lezione 3) a) Si tratta di un modello che esprime un approccio ordinale oppure un approccio cardinale al numero naturale? Argomenti la sua risposta b) Questo modello può essere utile per mettere in evidenza la base intuitiva su cui si fondano le leggi fondamentali della aritmetica. Per moltiplicare a e b si forma una nuova scatola con a righe, ciascuna composta di b palline, ottenendo così anche b colonne, ciascuna composta di a palline. Proponga degli esempi di questo modello per verificare la proprietà commutativa della moltiplicazione e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. «Modelli geometrici analoghi alle nostre scatole di palline, quali l antico abaco, furono diffusamente utilizzati per il calcolo numerico fino al Medioevo avanzato, e vennero poi lentamente sostituiti da metodi simbolici molto superiori, basati sul sistema decimale.» (Courant, Robbins, Che cos è la matematica, p. 39) 4) Rifletta sui regoli colorati come modello concreto del concetto astratto di numero naturale. a) Si tratta di un modello che esprime un approccio ordinale oppure un approccio cardinale al numero naturale? Argomenti la sua risposta b) Anche questo modello può essere utile per mettere in evidenza la base intuitiva su cui si fondano le leggi fondamentali della aritmetica. Proponga degli esempi per illustrare la validità delle proprietà dell addizione dei numeri naturali. Tali esempi, costituiscono una dimostrazione delle proprietà? 5) Esplori le somme successive della successione dei numeri dispari:, 3, 5, 7, 9,, Ogni numero dispari è della forma " n # (si veda ESERCITAZIONI 5, n. 3b) Calcoliamo quindi + 3 + 3+ 5 + 3+ 5 + 7 («OK, disse Roberto, risparmiati le spiegazioni. Lo capisce anche uno stupido cosa succede. Sono tutti numeri saltellati, né più, né meno» Il mago dei numeri, La quinta notte.) Provi a ottenere una formula per la somma dei primi n numeri dispari, e quindi la dimostri usando il principio di induzione 6) Calcoli il valore delle somme delle potenze di due: le prime due, le prime tre, le prime quattro, e così via.
Rifletta sull andamento di questa fila di numeri e provi a ottenere una formula per la somma delle prime n potenze di, con n un numero naturale scelto a piacere. Dimostri la formula applicando il principio di induzione. 7) Le parole numerali, i simboli numerici e il concetto astratto di numero. N.B. Prepari un breve schema del tema da svolgere e scriva quindi la risposta in modo chiaro e conciso in una cartella circa. 8) Calcoli il valore delle prime somme dei cubi dei numeri naturali: 3 3 + 3 3 + 3 + 3 3 3 + 3 + 3 3 + 4 3... Dimostri che la somma dei cubi dei numeri naturali da a n è uguale al quadrato della somma dei numeri da a n, vale a dire ( ) " 3 + 3 + 3 3 +...+ n 3 = n n + % $ ' # & (Si tratta quindi di dimostrare la formula 3 + 3 + 3 3 +...+ n 3 = n ( n +) principio di induzione). 9) Dimostri la proposizione geometrica seguente: 4, applicando il Tracciando n rette in un piano non si può dividere il piano in più di n parti. 0) Dimostri la proposizione geometrica seguente: La somma degli angoli di un poligono convesso di n + lati è n angoli piatti. ) La successione o fila dei numeri P n, così come i numeri triangolari, i pari o i dispari, sono progressioni aritmetiche: a partire da un numero iniziale, tutti i successivi si ottengono sommando al precedente un numero fisso detto differenza. (i) (ii) Provi a costruire la progressione aritmetica con primo elemento è differenza 3 e proponga una formula esplicita per calcolare i termini. Provi a costruire la progressione aritmetica con primo elemento 4 è differenza 0 e proponga una formula esplicita per calcolare i termini. ) Dimostri la seguente formula per la somma di n termini consecutivi di una progressione aritmetica di primo termine e differenza 4 + 5 + 9 +...+ ( 4n +) = n + 3n + 3
3) Scriva il numero miletrecentocinquanta nei sistemi di numerazione che conosce e indichi per ognuno di essi la decomposizione del numero usata per rappresentarlo. 4) Descriva per estensione o per comprensione due sottoinsiemi finiti e due sottoinsiemi infiniti di N. 5) Consideri i seguenti due sottoinsiemi dell insieme dei numeri naturali N: A è l insieme dei multipli di 3 e B è l insieme dei numeri naturali che danno resto nella divisione per 3 A = { 3" k,k # N} B = { 3" k +,k # N} (i) Indichi tre elementi di ognuno di questi insiemi (ii) Rappresenti graficamente gli insiemi A, B e l insieme dei numeri naturali N con un diagramma di Eulero-Venn (iii) A e B sono disgiunti? (iv) L insieme dei multipli di 9 è un sottoinsieme di A? 6) Consideri l insieme A dei numeri naturali che danno resto 3 nella divisione per 4 e risponda ai quesiti seguenti. (a) Scriva questo insieme per estensione e per comprensione. (b) Trovi un sottoinsieme di A. (c) Sia B l insieme dei multipli di 4. Trovi A " B. 7) Definizione e proprietà della relazione essere maggiore o uguale nell insieme dei numeri naturali 8) Scriva simbolicamente l insieme dei divisori di 0 e trovi, se esiste, l elemento minimo e l elemento massimo. Trovi minimo e massimo, se esistono, per l insieme dei numeri dispari; per i numeri quadrati; per un segmento iniziale di lunghezza l? Quale è l elemento minimo di N? Quale è l elemento minimo di Z? E di N "{ 0}? 9) In una progressione aritmetica di primo termine a e differenza d si può sempre calcolare la somma dei primi n termini con la formula seguente: ( n +) " (a + nd) Verificare la formula in alcuni casi delle progressioni costruite nell esercizio. 0) Dimostrare, con il principio di induzione la seguente uguaglianza: " + " 3 + 3" 4 +...+ n " n + ( ) = n n + (Per gli esercizi 8 e, ricordare le identità notevoli, come ( a + b) = a + ab + b.) 4
) Le frazioni del tipo,, 3, 4, 5,... si chiamano frazioni unitarie. L insieme delle frazioni unitarie ha un elemento minimo? Ha un elemento massimo? Considerare il numero 0,35 e trovare una frazione unitaria minore di questo numero decimale. ) Riscriva gli assiomi di Peano prendendo come elemento privilegiato lo 0. 3) Enunci la definizione matematica di contare (e di insieme finito) 4) Risponda alle seguenti domande giustificando la sua risposta sulla base delle definizioni matematiche opportune: a) l insieme delle vocali italiane è un insieme finito? b) l insieme dei numeri dispari è un insieme numerabile? 5) Risponda alle seguenti domande giustificando la sua risposta sulla base delle definizioni matematiche opportune: (a) L insieme dei multipli di 5 è un insieme numerabile? Giustifichi la risposta. (b) L insieme dei divisori di 00 è un insieme finito? Giustifichi la risposta. 6) Calcolare: (i) 8-0; (ii) 56-35; (iii) 75" (#); (iv) 43" 3; (v) (-5) " (#4); (vi) 6" 5 # ; (vi) (- +4) " (#) 7) Spieghi le proprietà di cui godono le operazioni con i numeri naturali e come le loro limitazioni portano ad ampliare il sistema dei numeri della matematica 8) Consideri l insieme degli opposti dei numeri pari. Ha un minimo? Ha un massimo? 9) Compili un riepilogo di regole per lo zero: sc(0) = ; n + 0 = ; 0 + 0 = ; n " 0 = ; n " n = ; 0 " 0 = ; 0 n =; 0 = 30) Dimostri che, dati z,l " Z, se z # l, allora $ l # $z. 3) Compili un elenco completo delle proprietà delle operazioni di addizione e di moltiplicazione nell insieme Z. 3) Quale proprietà ha l addizione di numeri interi che non ha l addizione di numeri naturali? Dia l enunciato e proponga un esempio. 33) Per ognuna di queste affermazioni semplici prepari un riepilogo schematico della teoria sviluppata nella lezione: (i) i numeri naturali sono infiniti 5
(ii) i numeri naturali si possono confrontare fra di loro (iii) i numeri naturali si possono addizionare e moltiplicare 34) Per ognuna delle affermazioni dell esercizio 8, indichi qualche semplice esperienza elementare del bambino, intorno alla realtà fisica. 35) Per ognuna delle affermazioni dell esercizio 8, progetti qualche semplice esperienza elementare del bambino che può essere proposta prima della scuola dell obbligo 36) Per ognuna delle affermazioni dell esercizio 8, progetti qualche semplice esperienza elementare del bambino che può essere proposta nel primo mese della classe prima. 37) Sia C l insieme delle cifre che servono a scrivere il numero cento quaranta mila duecento sei e consideri il segmento iniziale I 3 di N. Determinare: (a) l insieme intersezione di C e I 3 (b) l insieme unione di C e I 3 38) Il matematico può, almeno in certo grado, prescindere dalle questioni propriamente filosofiche che qui si riattavano: se, e fino a che punto e in qual senso, l idea di un oggetto in generale e della sua identificazione e discriminazione da altri oggetti, resulti da esperimenti; e se ancora da esperimenti fisici e psicologici rilevi la corrispondenza che poniamo fra oggetti e oggetti, in cui altri vede piuttosto la consapevolezza delle facoltà associative dello stesso pensiero. Sebbbene accade pure di scorgere un qualche influsso del presupposto filosofico sull indirizzo della critica matematica, per esempio nella preferenza che alcuni critici danno al numero ordinale sul cardinale, perché quello, a differenza di questo, sembra riflettere l idea del tempo, e perché venga ritenuto come primo nell acquisto psicologico F. Enriques, Questioni riguardanti la matematica elementare. Parte I. Critica dei principi, vol., La serie infinita dei numeri, 3 edizione, 94, p. 35. Secondo lei, la scelta degli assiomi di Peano è dettata da una preferenza del numero ordinale sul cardinale o viceversa? E invece la definizione di numero per astrazione a partire dall idea di corrispondenza biunivoca fra insiemi? 39) Consideri la proprietà dei numeri naturali descritta in notazione simbolica nel modo seguente: + +...+ n = n " ( n +) #n $ N (a) Enunci a parole la proprietà descritta da questa formula. (b) Verifichi la validità della formula per il numero naturale 5. (c) Che numeri si ottengono applicando questa formula? (d) Dimostri la proprietà. 6