SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI Manca di mentalità matematica tanto chi non sa riconoscere rapidamente ciò che è evidente, quanto chi si attarda nei calcoli con una precisione superiore alla necessità QUESITO N 1: Carl Friedrich Gauss Divido la figura con un segmento orizzontale AB in modo da avere sopra un semicerchio e sotto una parte del ciondolo che posso inscrivere in un rettangolo che ha un lato coincidente con AB. Calcolo l area del semicerchio di diametro AB: Calcolo l area del rettangolo di lato AB: All interno di tale rettangolo riconosco due settori circolari che sono esattamente una quarto di cerchio. Di conseguenza sommati hanno la stessa area del cerchio sovrastante. Sottraggo all area del rettangolo la somma delle aree dei due settori circolari: ottenendo così l area del resto del ciondolo L area complessiva del ciondolo: QUESITO N 2: Costruisco un triangolo unendo i due centri A e B delle circonferenze date e uno dei due punti, chiamiamolo O, d intersezione. Poiché Il triangolo ABO ha i tre lati pari al raggio delle circonferenze date, è un triangolo equilatero. La sua area sarà: Ricavo l area del settore circolare, che ha centro in A ed è limitato dall arco OB, con una proporzione: Ricavo l area del segmento circolare sotteso dalla corda OB sottraendo all area del settore circolare quella del triangolo: Per ricavare l area totale dell intersezione fra le due circonferenze moltiplico per quattro l area del segmento circolare e sommo due volte l area del triangolo: ( ) ( ) ( ) QUESITO N 3 Per prima cosa denomino il lato del quadrato L. Il raggio del settore circolare maggiore K. Il raggio del settore circolare minore L-K. Calcolo il perimetro del settore circolare maggiore con una proporzione:
Svolgo lo stesso procedimento con il settore circolare minore ottenendo Calcolo il perimetro del quadrato, che risulta 4L Svolgo il rapporto ( ) QUESITO N 4 Calcolo l area che la capra può compiere muovendosi verso sinistra per formare un settore circolare con angolo di 90 che poi torni verso il punto A: Svolgo la stessa operazione muovendomi verso destra: Descrivo un altro settore circolare muovendomi verso destra e poi verso il basso: Descrivo un altro settore circolare muovendomi a destra, poi verso il basso e infine verso sinistra: Descrivo l ultimo settore circolare muovendomi verso sinistra e poi verso il basso: Come ultima operazione calcolo l area del rettangolo che serve per completare la figura: Sommo tutte le aree ed ottengo un estensione QUESITO N 5 Calcolo mediante il teorema di Pitagora un cateto del triangolo rettangolo isoscele che è circoscritto all occhio del gigante: Calcolo il perimetro di tale triangolo: ( ) e la sua area ( ) Calcolo il raggio del cerchio inscritto: Calcolo l area del cerchio: ( ) ( ) QUESITO N 6 Calcolo l area del semicerchio di diametro AB:
Calcolo l area del semicerchio di diametro AC, che è uguale a quella del semicerchio di diametro DB : Calcolo l area del semicerchio di diametro DC: Calcolo l area della saliera: QUESITO N 7 Calcolo la lunghezza del segmento AB: e quindi l area del semicerchio di diametro AB: ( ) Calcolo area del settore circolare di centro C : Calcolo l area del triangolo ABC: L area del segmento circolare, individuato dalla corda AB, sarà data dalla differenza fra l area del settore circolare e l area del triangolo ABC sopra calcolate: Calcolo l area della lunula sottraendo all area del semicerchio l area del segmento circolare: QUESITO N 8 Per prima cosa unisco i tre centri delle circonferenze in modo da formare un triangolo ABC di base AB=60m e lati CA=CB=50m. Sia CH la sua altezza relativa alla base AB. Unisco i tre punti di tangenza in modo da formare il triangolo, di cui cerchiamo l area, ZKH con la base ZK parallela ad AB. Sia FH la sua altezza relativa alla base ZK. Ricavo la lunghezza del segmento CH= I triangoli AHC e CFZ sono simili (hanno gli angoli congruenti) per cui risulta: CH:CF=AC:CZ CF=16 Ricavo ZK= Ricavo FH= Ricavo l area del triangolo ZKH è pari a
QUESITO N 9 Denomino r il raggio della circonferenza interna e R il raggio della circonferenza esterna. L area della ciambella è uguale a Calcolo R in funzione di r: Sostituisco: QUESITO N 10 Per calcolare l area del giardino devo calcolare l area di 6 cerchi e da questa togliere l area A delle parti di piano ottenute intersecando tali cerchi. Siano AC e CB due lati consecutivi dell esagono, M e N rispettivamente i loro punti medi e O il punto d intersezione, interno all esagono, delle due circonferenze di diametro AC e CB. Calcolo l area del settore circolare di centro N e che insiste sull arco CO, mediante una proporzione: Calcolo l area del triangolo NCO: Calcolo l area del segmento circolare individuato dalla corda CO e dall arco della circonferenza di centro N delimitato dai punti C e O, sottraendo dal settore circolare l area del triangolo sopra calcolate. L area A cercata sarà: ( ) Calcolo l area totale di tutti i cerchi sommati insieme: [ ] Per cui l area del giardino è: [ ( )] ( ) QUESITO N 11 Calcolo l area del cerchio maggiore: Calcolo l area dei sette biscotti: [ ] Eseguo la differenza fra le due aree: Per trovare il numero dei biscotti, divido il risultato trovato per l area di uno dei biscotti: QUESITO N 12 Indichiamo con AB la base della vetrata, contenuta nel quadrato ABCD, e indichiamo con O il punto d intersezione dei due archi AC e BD. Calcolo l area totale del triangolo equilatero (ha tutti i lati pari al raggio dei quarti di cerchio tracciati) : Calcolo l area del settore circolare di centro A e limitato dall arco OB (che sottende un angolo di 60 ) mediante una proporzione:
Sottraggo all area del settore circolare quella del triangolo e la moltiplico per due; ottengo così l area dei due segmenti circolari limitati dalle corde OB e OA: ( ) L area cercata sarà data da: ( ) ( ) QUESITO N 13 Indichiamo con A, B e C i vertici del triangolo equilatero che sono anche i centri degli archi di circonferenza disegnati in figura. Indico con O il punto medio dell arco AB e con M il centro del simbolo magico. Calcolo l area del settore circolare di centro M che insiste sull arco AO mediante una proporzione: Calcolo l area del triangolo equilatero AOM: Sottraendo le due aree calcolate trovo l area del segmento circolare delimitato dalla corda AO, che è pari all area della parte di cerchio delimitata dalla corda OM e da uno degli archi OM; moltiplicandola per sei trova l area della parte bianca in figura: ( ) L area cercata si ottiene sottraendo A dall area totale del cerchio: ( ) QUESITO N 14 Indichiamo con C il centro della moneta di oro, di raggio r, e con G e O i centri di due delle monete d argento tangenti tra loro, entrambe di raggio R. Deve essere r<r. Il triangolo GCO è un triangolo rettangolo con cateti CG=CO=r+R e ipotenusa OG=2R. Applicando il Teorema di Pitagora si ha: Sviluppando si ottiene l equazione: ossia da cui si ottiene QUESITO N 15 Calcolo l area dell esagono come somma di 6 triangoli equilateri di lato 20cm: ( ) Calcolo l area di una delle sei parti di cerchio, avente il centro in un vertice dell esagono, mediante una proporzione: Per determinare l area della parte centrale, sottraggo 6A
all area dell esagono: ( ) QUESITO N 16 Indichiamo con O il centro del quadrifoglio e tracciamo da O due rette perpendicolari tra loro, passanti per A e per B, fino ad incontrare i lati del quadrato. Sia S il punto in cui la stessa retta AO incontra, sotto O, la base del quadrato. Sia P il vertice del quadrato, allineato con S e alla sua sinistra. Il triangolo APS è rettangolo in S e ha l angolo di vertice P di 60, perché le rette PB e PA trisecano l angolo retto in P. Per cui risulta e. Per cui Poichè il triangolo OAB è rettangolo isoscele ( ) QUESITO N 17 Indichiamo con O il centro del rettangolo e con A, B, C e D i suoi vertici, ponendo BC=0,6m. Il triangolo OBC è equilatero per cui la sua area è: ( mentre l area del settore circolare di centro O che insiste sul minore dei due archi BC è: L area del segmento circolare individuato dal lato BC e dal minore dei due archi BC è: L area del semicerchio di diametro BC è: Per cui l area della prima lunula Il triangolo COD ha area : ( ) mentre l area del settore circolare di centro O che insiste sul minore dei due archi DC è: L area del segmento circolare individuato dal lato CD e dal minore dei due archi CD è: L area del semicerchio di diametro DC è: ( ) Per cui l area della seconda lunula L area delle quattro aiuole è: ) QUESITO N 18 Indichiamo con C il centro della semicirconferenza T 1 di diametro AB, con R e S i due punti d intersezione delle due semicirconferenze T 1 e T 2, e con H il punto medio di RS.
Per costruzione risulta Di conseguenza l angolo ; per cui l area del settore circolare di centro C e che insiste sull arco RS della semicirconferenza T 1, posso calcolarla con una proporzione L area del triangolo SRC è: ( ) Per cui l area del segmento circolare individuato dalla corda RS e dall arco RS della semicirconferenza T 1 lo calcolo come differenza delle due aree appena calcolate: L area dell occhio del sultano è il doppio: UN ULTIMO PROBLEMA Risolvilo tu!