Università degli Studi di Teramo Faoltà di Sienze Politihe Corso di Laurea in Statistia Lezioni del Corso di Matematia a ura di D. Tondini a.a. 3/4
CAPITOLO II LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI. GENERALITÀ È opportuno sottolineare innanzitutto ome le equazioni differenziali ostituisano lo strumento più importante ed effiae he l Analisi Matematia possa offrire ad ogni ramo delle Sienze appliative per la soluzione dei relativi problemi. È faile verifiare, infatti, ome qualunque problema di Fisia, o anhe di Geometria, he non sia di arattere assolutamente elementare, presenti la neessità di esprimere una funzione a partire da una ben determinata ondizione, ui essa deve soddisfare insieme alla variabile indipendente e alle sue derivate. Da molti problemi riguardanti argomenti sientifii, quindi, nase proprio l esigenza di onsiderare grandezze di ui non si onosa il tasso di variazioni. Ad esempio, d l equazione = k rappresenta il deadimento radioattivo ( è la quantità di sostanza dt dr dr non deaduta all istante t); l equazione m = F tr,, dt rappresenta il moto di un dt punto di massa m soggetto ad una forza F dipendente dal tempo t, dalla posizione r e dalla dr veloità v = ; l equazione + k = rappresenta un moto armonio, tipio di una dt molla. Per risolvere uno dei problemi sopra esposti. pertanto, oorre risolvere le equazioni differenziali relative. L importanza dell argomento si aompagna ad imponenti sviluppi teorii e a non pohe, e molto spesso insuperabili, diffioltà analitihe he si frappongono al raggiungimento dell espressione della funzione inognita he risolve il problema. È sottinteso, omunque, he, tenuto presente il arattere del Corso ui sono dediate queste onsiderazioni preliminari, l argomento verrà affrontato solo per enni, evitando ogni approfondimento di arattere puramente teorio e limitando l esame a quei asi he interessano in partiolare le questioni più semplii. Per onludere queste premesse si ripeterà he le aennate diffioltà analitihe, he si inontrano nella soluzione (integrazione) di equazioni differenziali, risultano oggi insuperabili on l ausilio dei metodi del Calolo numerio ma attuabili, invee, per mezzo dell elaboratore elettronio.. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE È ben noto ome le equazioni matematihe possano essere lassifiate in due ategorie: numerihe, il ui oggetto è rappresentato proprio dalla determinazione di uno o più numeri,
e funzionali, il ui oggetto, invee, è insito nella determinazione di una o più funzioni (l elemento inognito delle equazioni funzionali non è altro he la funzione stessa!). A quest ultima ategoria appartengono le osiddette equazioni differenziali he, a loro volta, si distinguono in ordinarie e alle derivate parziali. Definizione. Si definise equazione differenziale ordinaria di ordine n ogni equazione nella =, della variabile, la funzione e tutte quale figuri ome inognita una funzione, le sue derivate fino alla ( n ) esima, ovvero un equazione della forma: on: () ( n) F(,,,,..., ) = ( n) ( n ) = f,,,,..., Osservazione. Dalla definizione segue he un equazione differenziale ordinaria di ordine n non è altro he una relazione esprimente un legame tra la variabile indipendente, la funzione e alune derivate della stessa. L ordine dell equazione è il massimo ordine delle derivate he in essa ompaiono. = ϕ è soluzione (o integrale) della () se, sostituendo nella (), al posto Una funzione di,,,, un identità, ioè se: ( n ) rispettivamente ϕ, ϕ, ϕ ( n ),, ( n ) ϕ si ottiene F, ϕ, ϕ, ϕ,..., ϕ Integrare un equazione differenziale signifia determinare tutte le sue soluzioni. L integrazione di un equazione differenziale, invee, è il omplesso di operazioni he oorre eseguire per pervenire alle soluzioni. Osservazione. L aggettivo ordinaria sta a riordare he la funzione inognita dipende dalla sola variabile. Osservazione. È possibile onsiderare anhe equazioni differenziali in ui la funzione inognita dipenda da due o più variabili, ovvero equazioni he stabilisano un legame tra queste variabili, la funzione inognita e le sue derivate parziali: tali equazioni sono dette equazioni differenziali alle derivate parziali. ESEMPI a) = + è un equazione differenziale del primo ordine (vi è solo la derivata prima della, ioè b) + = ). è un equazione differenziale del seondo ordine (figura anhe la derivata seonda di, ioè ). g) = + sin è anora un equazione differenziale del seondo ordine. 3
d) ( 5) 3 = è un equazione differenziale di ordine 5 ( ( 5 ) è la derivata quinta di ). 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Nel presente paragrafo verrà affrontato il problema della risoluzione di tutte quelle equazioni differenziali osiddette lineari, di notevole interesse nel ampo delle appliazioni. Definizione. Un equazione differenziale di ordine n si die lineare se la funzione inognita e le sue derivate,,,, ( 4 ),, ( n ), sono funzioni lineari, ovvero se l equazione differenziale è di primo grado nel omplesso della e delle sue derivate. L equazione differenziale lineare si potrà quindi srivere, nella forma più generale possibile, ome segue: ( n) () ( n ) ( n ) a + + a +... + an = f on,,...,, I. a a a f funzioni definite e ontinue in un medesimo intervallo ESEMPI a) L equazione differenziale è del seondo ordine (vi è il termine primo grado!). b) L equazione differenziale n + + 5 = sin ) lineare, essendo, + + 3 = os, è anora del seondo ordine ma non è lineare in quanto ompare il termine seondo grado!). g) L equazione differenziale è del primo ordine (vi è il termine sin = funzioni lineari (di (la è di ) ma non è lineare in quanto ontiene il termine he, nel omplesso, risulta di seondo grado. d) L equazione differenziale = è del terzo ordine (vi è il termine ) ma non è lineare in quanto ontiene il termine he, nel omplesso, risulta di quarto grado. Definizione. Se nella () la funzione f ( ), he rappresenta il termine noto, risulta identiamente nulla in I, allora l equazione differenziale della forma: ( n) () ( n ) ( n ) + a + a +... + an = 4
si dirà omogenea; in aso ontrario, invee, non omogenea. Risulta allora possibile, in una prima analisi, suddividere le equazioni differenziali lineari in due ategorie: (a) omogenee, ossia riduibili alla forma: + f = g (a) essendo f ( ) una funzione definita e ontinua in un intervallo I (limitato o illimitato). Poihé la (a) non è altro he un equazione differenziale a variabili separabili, si può srivere: d f d = d f ( d ) = log = f ( d ) + log = f ( d ) + log log f ( d ) = + f d e + = ( ) f d = e e = e fd on ostante arbitraria, positiva o negativa. Si osservi, però, he può essere anhe = poihé, in tal aso, si ottiene =, he è anora un integrale della (a). (b) non omogenee, ossia riduibili alla forma: + f = g (b) essendo f ( ) e g( ) funzioni definite e ontinue in un omune intervallo I (limitato o illimitato). Dei vari proedimenti he onduono alla determinazione dell integrale generale della (b), esporremo, in questo ontesto, solo il metodo della variazione delle ostanti arbitrarie. A tal proposito, onsideriamo, in primo luogo, l equazione omogenea assoiata alla (b), della forma: + f = il ui integrale generale, in virtù di quanto sopra desritto, è proprio: fd = e (g) dove non è più ostante ma è una funzione di. Ci si propone ora di determinare il valore di in modo tale he la (g) soddisfi la (b). Derivando la (g) si ottiene: f d fd = e + e f e sostituendo nella (b) si ha: fd f d e f e + f = g 5
In virtù della (g) risulta quindi: fd f d fd e f e + f e = g ossia: Dunque per: fd e = g = g e fd = g e d+ 3 fd la (g) soddisfa la (b). Sostituendo, infine, nella (g) il valore di trovato, si ottiene l integrale generale della (b). Preisamente: on 3 ostante arbitraria. ESEMPI a) = + f ( d ) f ( d ) = e g( e ) d+ 3 Si osservi innanzitutto he l equazione differenziale assegnata è: lineare (la e la sua derivata prima sono di primo grado) non omogenea g ( = ) In primo luogo oorre determinare l integrale generale dell omogenea assoiata, ovvero dell equazione: + = a variabili separabili. Pertanto si ha: d d = d d = d d = + = e = e e Osservazione. La ostante onsiderata è funzione di. Derivando ora la ( ), rispetto alla variabile, si ottiene: log = e (integrale generale dell omogenea assoiata) = e e = + 6
Sostituendo ora la ( ) e la = + determinati nell equazione di partenza, si ha: e e = e + e = = e = e d= e + = + e Ponendo, infine, il valore di trovato nell integrale generale dell omogenea assoiata si ottiene: = e = e + e = + e Dunque: b) = + e (integrale generale della non omogenea) = Si osservi innanzitutto he l equazione differenziale assegnata è: lineare (la e la sua derivata prima sono di primo grado) non omogenea g L equazione omogenea assoiata: è a variabili separabili. Ne segue he: d = d = e d d = ( = ) = d d = Derivando la ( ), rispetto alla variabile, si ottiene: = + Sostituendo ora la ( ) e la = + = log = log + = (integrale generale dell omogenea assoiata) determinati nell equazione di partenza, si ha: + = = 7
( ) = = d = + Ponendo, infine, il valore di trovato nell integrale generale dell omogenea assoiata si ottiene: Dunque: g) 3 + 4 = = ( ) = + = + = + (integrale generale della non omogenea) Si osservi innanzitutto he l equazione differenziale assegnata è: lineare (la e la sua derivata prima sono di primo grado) ( g = ) omogenea è a variabili separabili. Ne segue banalmente he: d 3 4 d + = 3 4 d) 4 log d d = d 3 4 d = = + 3 = 4 = e (integrale generale) Si osservi innanzitutto he l equazione differenziale assegnata è: non lineare (la non è di primo grado ma di seondo grado) non omogenea g ( = ) Dunque non è possibile utilizzare il metodo della variazione delle ostanti arbitrarie. 4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI Nel presente paragrafo i si limiterà a onsiderare un aso partiolare di equazioni differenziali lineari, spesso usate nelle appliazioni: si tratta delle osiddette equazioni differenziali lineari a oeffiienti ostanti (omogenee o non omogenee) del tipo: ( n) ( n ) ( n ) () a + + a +... + a n = f on a ed a, a,..., a n ostanti. Osservazione. È sempre possibile ridurre un equazione differenziale lineare a oeffiienti ostanti nella forma (), dividendo per il primo oeffiiente a. Definizione. Si die equazione omogenea assoiata alla () un equazione del tipo: () ( n) ( n ) ( n + a ) + a +... + a n = f. ottenuta, ioè, dalla () eguagliando a zero il termine noto 8
Ci si ouperà, almeno per il momento, della risoluzione delle equazioni differenziali lineari del seondo ordine, omogenee e non, a oeffiienti ostanti della forma: + a + a = f (*) on a ed a, a ostanti. Ne segue he se: (**) + a + a= è l equazione omogenea assoiata alla (*), risulta possibile determinare un suo integrale partiolare della forma: (a) = e α on α ostante. Dalla (a) segue infatti: α = α e = α e α da ui, sostituendo nella (**), si ha: α e α + aαe α + ae α = e, dividendo entrambi i membri per e α, si ottiene: ( ) α + aα + a = ovvero un equazione di seondo grado nella variabile α. Vieversa, se il numero α soddisfa la ( ) allora risulta evidente he la (a) sia un integrale partiolare della (**). E hiaro, dunque, he affinhé = e α sia un integrale partiolare della (**) è neessario e suffiiente he il numero α soddisfi la ( ), ovvero he sia una radie dell equazione di seondo grado: ( ) λ + aλ + a = detta equazione aratteristia della (**). Denotate, pertanto, on λ, λ le due radii della ( ), è possibile distinguere i seguenti asi: PRIMO CASO : > λ, λ R e λ λ λ λ Le funzioni e, e dato da: sono due integrali partiolari della (**) mentre l integrale generale è λ λ = e + e (b) Osservazione. Come risulta da immediata verifia, qualunque siano e, la è soluzione della (**); è inoltre sempre possibile determinare le ostanti e in modo he, in orrispondenza di un valore arbitrariamente prefissato di, la e la assumano rispettivamente i valori ed, pure fissati ad arbitrio. 9
È, infatti, suffiiente risolvere il seguente sistema lineare: λ λ = e + e λ λ = λe + λe dal quale è possibile riavare, in modo unio, i valori di e. SECONDO CASO : = λ, λ R e λ = λ L integrale generale della (**) diventa: (b ) e λ λ = + e ome risulta da onsiderazioni analoghe a quelle preedentemente esposte. TERZO CASO : < λ, λ C Avendo, in tal aso, la ( ) soluzioni omplesse oniugate anhe l integrale generale avrà forma omplessa. Risulta però possibile far assumere all integrale generale forma reale nel modo seguente: se, infatti λ = α+ iβ λ = α iβ utilizzando le formule di Eulero: λ ( α+ iβ) α e = e = e ( osβ+ isin β) λ ( α iβ) α e = e = e ( osβ isin β) la (b) diventa: o anhe: α α (b ) e ( osβ isin β) e ( osβ isin β) α = e ( + ) osβ+ i( ) sin β = + + = α α α = e os β+ sinβ = e os β + e sinβ avendo posto: + = i( ) = Dopo aver determinato l integrale generale dell equazione lineare omogenea a oeffiienti ostanti resta da analizzare il aso in ui l equazione assegnata non sia omogenea, ioè della forma : + a + a = f (*) Osserviamo innanzitutto he, indiata on f = una qualunque funzione he soddisfi la (*), o meglio un integrale partiolare della (*), e on l integrale generale dell omogenea assoiata, allora: = +
rappresenta proprio l integrale generale della (*). In altri termini l integrale dell equazione differenziale lineare a oeffiienti ostanti non omogenea è dato dalla somma di un suo integrale partiolare e dell integrale generale dell omogenea assoiata. Resta, quindi, da stabilire ome determinare un integrale partiolare della (*), avente al seondo membro una f non nulla. Tale determinazione esula, in generale, dalla nostra trattazione generia (dovrebbero esporsi, a riguardo, aluni metodi elebri suggeriti dall Analisi Matematia ma, riordando sempre il arattere del Corso, si rinunia a tale esposizione) in quanto nella maggioranza, per non dire nella quasi totalità, delle appliazioni he interessano l integrale partiolare in questione sarà failmente, o addirittura immediatamente, identifiabile., si può Per la determinazione dell integrale partiolare della non omogenea, riorrere al osiddetto metodo della variazione delle ostanti, dovuto a Lagrange, desritto dal seguente: due integrali linearmente indipendenti dell equazione Teorema. Siano ( ) ed differenziale omogenea assoiata alla (*). Siano inoltre γ e γ due funzioni tali he le loro derivate prime risolvano il sistema: γ + γ = γ + γ = f Allora, ome si prova, un integrale partiolare della (*) sarà una funzione della forma: = γ + γ ESEMPI a) 6 + 5 = Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare (non ompaiono i termini misti in e nelle sue derivate) del seondo ordine (figura il termine ) omogenea (il termine noto è nullo) a oeffiienti ostanti (, 6, 5 sono delle ostanti) L equazione aratteristia ad essa assoiata è data da: λ 6λ + 5 = le ui soluzioni: = λ λ, = 3± 9 5= 3 ± = 5 = λ sono reali e distinte, essendo >. Dunque un integrale generale dell equazione differenziale è della forma: λ λ 5 = e + e = e + e b) + = Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine
omogenea a oeffiienti ostanti L equazione aratteristia ad essa assoiata è data da: λ λ+ = ( λ ) = le ui soluzioni: λ, = sono reali e oinidenti, essendo =. Dunque un integrale generale dell equazione differenziale è della forma: λ λ e e = e + e g) + = = + Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine omogenea a oeffiienti ostanti L equazione aratteristia ad essa assoiata è data da: λ λ+ = le ui soluzioni: i = λ λ, = ± = ± i = + i = λ sono omplesse e oniugate, essendo <. Dunque un integrale generale dell equazione differenziale è della forma: α α e osβ e sin β = e os+ e sin dove: α = β = d) + 3 = = + è la parte reale è la parte omplessa Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine omogenea a oeffiienti ostanti L equazione aratteristia ad essa assoiata è data da: λ + 3 = le ui soluzioni: ± ± 3 3 i = λ λ, = = =± 3 i + 3 i = λ
sono omplesse e oniugate, essendo <. Dunque un integrale generale dell equazione differenziale è della forma: α α e osβ e sin β = os 3 + sin 3 dove: α = β = e) 3 = + è la parte reale è la parte omplessa 3 3 + = + Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine non omogenea (il termine noto è diverso da zero: è un polinomio di terzo grado) a oeffiienti ostanti Oorre determinare, in primo luogo, l integrale generale dell equazione omogenea assoiata: 3 + = alolando, le soluzioni della relativa equazione aratteristia: λ 3λ+ = Essendo, pertanto, λ = e λ =, ne segue he l integrale generale dell omogenea risulta della forma: = e + e Resta ora da determinare un integrale partiolare dell equazione differenziale non omogenea assegnata, al ui seondo membro figura un polinomio di terzo grado in, ioè: f = + 3 Per determinare on il metodo della variazione delle ostanti oorre erare una soluzione della forma: () = γ e + γ e on γ e γ soluzioni del sistema: γ e + γ e = 3 γ e + γ ( e ) = + Sottraendo alla seonda equazione la prima si ottiene: 3 γ e = + γ ( ) 3 γ = e e + e e sostituendo nella prima: 3 γ e ( e e e ) e γ 3 + + = 3 = + e = e e + e e e 3
3 γ ( ) 3 = + γ = e + e e e e e e Quindi: 3 γ 3 = e d+ e d e d γ = e + e e 3 γ = e e + e 3 γ = e d e d+ e d Utilizzando la formula di integrazione per parti si ha: 3 3 e d= e 3e 6e 6e + k e d = e e e + k e d= e + k 3 3 3 3 3 3 e d = e e e e + k 4 4 8 e d= e e e + k 4 e d = e + k 6 (formula di integrazione per parti appliata 3 volte) (formula di integrazione per parti appliata volte) 4 (formula di integrazione per parti appliata 3 volte) 5 (formula di integrazione per parti appliata volte) Ne segue he: 3 γ = ( e 3e 6e 6e ) + ( e e e ) ( e ) 3 3 3 3 γ = e e e e e e e + 4 4 8 4 + e 3 γ = e + 6e + e + e e e e + e 3 3 3 γ = e e e e + e + e + e e 4 4 3 4
3 ( 5 ) 3 = ( ) e γ = + + + e γ Pertanto la () diventa: = γ e + γ e ( 5 ) 3 3 = + + + e e + e e 3 3 3 = + 5 + + = + 4 + 9+ L integrale partiolare, quindi, è dato da: 3 = + 4 + 9+ per ui l integrale generale della non omogenea sarà: 3 = + = e + e + + 4 + 9+ z) = 3 Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine non omogenea a oeffiienti ostanti Oorre determinare, in primo luogo, l integrale generale dell equazione omogenea assoiata: = alolando, le soluzioni della relativa equazione aratteristia: λ = Essendo, pertanto, λ = e λ =, ne segue he l integrale generale dell omogenea risulta della forma: = e + e Per determinare un integrale partiolare dell equazione data on il metodo della variazione delle ostanti oorre erare una soluzione della forma: = γ e + γ e () on γ e γ soluzioni del sistema: γ e + γ ( e ) = γ e γ ( e ) = 3 Sottraendo alla prima equazione la seonda si ha: γ ( e ) 3 = 3 + γ = + e γ 3 3 = e e d e ed = 3 γ = e e 5
Utilizzando il metodo di integrazione per parti si ottiene: Quindi: ed= e e + e 3 3 3 γ = e ed= e e e + e = e e + 3e 3e = ( 3 + 6 5 ) e = Sostituendo ora tale valore nella prima equazione del sistema risulta: γ = γ e e = γ e γ γ γ 3 3 3 = e + e = + e e = + e 3 3 = e + e d e e d = + Utilizzando il metodo di integrazione per parti si ottiene: Quindi: γ e d = e e e 3 3 e e d e ( e e e ) ( 3 6 5) e + + = + = + = Ponendo infine i valori di γ e γ = γ e + e γ trovati nella () si ha: ( 3 6 5) ( 3 6 5) e + + e + = e + e 3 6 5 3 + 6 5 3 6 5 3 + 6 5 6 = + = = = = 3 5 Dunque, l integrale generale della non omogenea è: = + = e + e 3 5 6
h) + = os Osserviamo innanzitutto he l equazione assegnata è: lineare del seondo ordine non omogenea a oeffiienti ostanti Osserviamo innanzitutto he per l equazione omogenea assoiata: + = l integrale generale è della forma: α α = e osβ+ e sinβ = os+ sin essendo <, α = e β =. Per determinare un integrale partiolare dell equazione data on il metodo della variazione delle ostanti oorre, quindi, erare una soluzione del tipo: = γ os+ γ sin () on γ e γ soluzioni del sistema: γ os+ γ sin= γ sin + γ os = os Dalla prima equazione si ha: sin γ os = γ sin γ = γ = γ tg os Sostituendo ora tale valore nella seonda equazione si ottiene: γ tg sin+ γ os = γ γ γ Dunque: os sin + os = os os Integrando rispetto ad si ha: γ γ = tg γ = sin + os = os os os = os γ = log os γ = e sostituendo tali valore nella (): = γ os+ γ sin = logos os+ sin Dunque, l integrale generale della non omogenea diventa: = + = os+ sin+ log os os+ sin γ = 7
5. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI Nel presente paragrafo i si ouperà eslusivamente di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, o meglio di quelle equazioni nelle quali ompare la variabile, la funzione inognita e la derivata prima della funzione. Una tale equazione è quindi della forma: F,, = () Osservazione. Nella () può non omparire la o la o entrambe ma deve neessariamente figurare la se si vuole parlare di equazione differenziale del primo ordine. Converrà sottolineare, a tal proposito, ome l operazione di integrazione indefinita rappresenti già l integrazione dell equazione differenziale della forma: = ϕ () nella quale mana la. La (), om è ben noto, propone il problema della riera della ϕ, problema risolto attraverso l integrazione indefinita: primitiva della (3) ϕ = d+ essendo una ostante arbitraria. Si ha dunque una famiglia di soluzioni, ossia di urve, he differise per una ostante additiva. La (3) rappresenta il osiddetto integrale generale dell equazione (). Qualora, invee, si onsideri una partiolare soluzione orrispondente ad un valore omunque assegnato alla ostante la (3) fornirà un integrale partiolare della (). Per mettere in risalto il signifiato geometrio di quanto sopra esposto basta osservare ome la (3) rappresenti una famiglia di urve, dette urve integrali, e ome un integrale partiolare orrisponda ad una urva speifia appartenente a tale famiglia, ottenuta supponendo he l integrale generale soddisfi una speifia ondizione imposta dal problema stesso. L esempio più elementare he si possa offrire a riguardo è quello dato dall equazione differenziale: (4) = m on m = ostante ipotizzando he la urva relativa al problema passi per un punto assegnato di oordinate,. La soluzione della (4) si ottiene, quindi, determinando tutte quelle urve, on pendenza ostante al variare di, ioè una famiglia (fasio) di rette parallele. Infatti, integrando la (4) si ha: = m+ ovvero l equazione di infinite rette, di eguale pendenza m, ottenute dagli infiniti valori assumibili dalla ostante arbitraria. Si osservi, inoltre, he, imponendo il passaggio della P =,, la ostante genererà un integrale partiolare: retta per un punto assegnato ponendo = ed =, infatti, dall integrale generale si otterrà il seguente valore della ostante: = m 8
P = (, ) O α A questo punto, rinuniando al più stretto rigore matematio, risulta possibile affermare he, in generale, un equazione differenziale ordinaria del primo ordine () ammette un integrale generale della forma: f (,, ) = ontenente una ostante arbitraria, determinabile tramite una ondizione posta dal partiolare problema he si tratta. Ci si limiterà, nel presente paragrafo, ad analizzare il aso di un equazione differenziale elementare, ottenuta espliitando, rispetto ad, la (), della forma: = g(, ) in ui la g(, ) si presenti ome rapporto di due funzioni, una della sola e l altra della sola : si tratta, ioè, di un equazione osiddetta a variabili separabili. Se si onsidera pertanto l equazione differenziale: ϕ ψ on: risulta: ovvero: = on ψ d = d ϕ ψ = ψ = ϕ d (4) ψ ϕ d = d La (4) rappresenta proprio un equazione differenziale a variabili separabili (al primo membro ompare solo la e al seondo membro solo la ). Si è ottenuta osì quella he viene omunemente detta separazione delle variabili. d 9
L integrale generale, quindi, si ottiene subito integrando ambo i membri della (4) ed aggiungendo al seondo membro una ostante arbitraria, ovvero ponendo: (5) ψ ϕ d= d+ Risolvendo ora la (5) risulta determinata la funzione inognita, ioè l equazione assegnata è risolta. ESEMPI a) Consideriamo l equazione differenziale: = k Effettuando il proedimento sopra desritto si ha: d d d = k = k d da ui, integrando ambo i membri si ottiene: d d = k ln ln ln = k + ln = ln k + ln ovvero, passando all esponenziale: k (a) = Osservazione. Si è onsiderato il ln ome ostante per pura omodità formale. Osservazione. Per k = la (a) offre una famiglia di rette per l origine on pendenza generia. Per k =, invee, la (a) rappresenta una famiglia di parabole = aventi per asse l asse e parametro variabile on. Per k =, infine, si ottiene una famiglia di iperboli equilatere riferite agli asintoti =. b) Consideriamo l equazione differenziale: = k ossia: Separando le variabili si ottiene: da ui integrando: d = k d d= k d d = k d
ovvero: (b) = k + Osservazione. Per k = si ottiene una famiglia di iperboli equilatere riferite agli assi: = Per k =, invee, si ha una famiglia di erhi, on il entro C nell origine degli assi e raggio r =, di equazione: + = In tal aso, hiaramente, per ottenere erhi reali oorrerà assumere positiva. g) Consideriamo l equazione differenziale: = ossia: Separando le variabili si ottiene: da ui integrando: ovvero: d d = d d = d = = + d = + he rappresenta proprio un iperbole equilatera avente ome entro il punto C = (, ) e, ome asintoti, l asse e la retta parallela all asse di equazione =. d) Consideriamo l equazione differenziale: e = ossia: d d ovvero: = e e d d = d e d= e = + = ln + e = +
e) Consideriamo l equazione differenziale: tg = ossia: d tg d = d d = tg ovvero: Se ora poniamo ossia: d os = d sin ln = ln sin + ln = sin (integrale generale) π = ed = si trova: 6 = = = = 4 = 4 sin π sin 6 = 4sin (integrale partiolare) z) Risolvere la seguente equazione differenziale: = e determinare l integrale he verifia la ondizione iniziale =. Oorre determinare, in primo luogo, l integrale generale, soluzione dell equazione assegnata. Supposto, separando le variabili, si ottiene: d d = d = d d = d = + = + ovvero: = (integrale generale) + Si osservi ora he l equazione differenziale ha ome soluzione partiolare anhe =, ottenuta dall integrale generale ome limite per, ioè, ome suol dirsi, dando a il valore infinito. Per ottenere l integrale partiolare rihiesto, invee, basta determinare il =. Dall integrale generale, ponendo =, segue: valore di tale he ossia: = = = = + + = (integrale partiolare) h) È istruttivo proporre ora il seguente problema geometrio. Si rierhi, a tal proposito, la urva he in ogni punto taglia, sotto angolo ostante, la semiretta usente dall origine degli assi e passante per quel punto.
Chiarito he l angolo formato da due urve nel punto di intersezione è proprio l angolo P, il punto generio della formato dalle rispettive tangenti nello stesso punto, e detto urva, si deve imporre he sia ω ostante. w w r a w j P O j Dalla figura si ottiene subito he: e quindi: Osservando he, se f ed anhe: da ui disende subito: ω = α ϕ tgα tgϕ tgω = tg ( α ϕ) = + tgαtgϕ = è l equazione della urva, si ha: tg α = tgϕ = tgω = = ostante + Se poi, per omodità, si india la ostante on si ottiene l equazione differenziale: k k = + ossia: (g) k( d d) = d+ d 3
Questa equazione potrà essere integrata immediatamente separando le variabili, qualora si passi dalle oordinate artesiane a quelle polari riordando he: + = ρ () ϕ = artg Differenziando le () si ottiene: d+ d= ρdρ dϕ = d + da ui, tenendo presente he, per la regola di derivazione di un quoziente: d d d = segue: d+ d= ρdρ ( ) d d dϕ = + In base a queste ultime relazioni la (g) diventa: kρ dϕ = ρdρ da ui, separando le variabili, si ha: dρ = kdϕ ρ ovvero: Ponendo infine: dρ = k dϕ ρ ln ρ = kϕ+ kϕ+ kϕ ρ = e = e e e = si ottiene: k (d) ρ = e ϕ La (d) rappresenta, dunque, l equazione di una urva nota on il nome di spirale logaritmia. 4
Gli esempi sopra riportati sono ritenuti suffiienti per dare un idea preisa sul ome si debba operare quando si inontri un equazione differenziale della ategoria fino ad ora onsiderata. Se per qualhe equazione differenziale partiolare dovessero oorrere speifii artifii si preferise, per motivi di neessaria brevità, rimandare la loro esposizione nel momento in ui apiti la neessità dell integrazione. In questo paragrafo, inoltre, i si è limitati eslusivamente alla onsiderazione di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Per quelle di ordine superiore al primo, invee, si aenna soltanto ome il loro integrale generale ontenga tante ostanti arbitrarie indipendenti quant è il loro ordine. È hiaro he in tal aso il problema impostato rihiederà he siano soddisfatte altrettante ondizioni da porre per la funzione e per le derivate suessive fino alla n esima, se n è l ordine dell equazione. Saranno osì determinabili le ostanti arbitrarie e sarà pertanto identifiato l integrale partiolare he risolve lo speifio problema onsiderato. In questo ontesto, invee, i si limiterà a onsiderare solamente un tipo di equazione, abbastanza frequente nelle appliazioni, di ordine generio n, ontenente sempliemente la derivata n esima della funzione inognita e la variabile indipendente. Una tale equazione, espliitata rispetto alla derivata, si presenterà nella forma: ( n) = f avendo indiato on ( n) la derivata n esima di. Risulterà allora possibile pervenire alla funzione attraverso n integrazioni suessive, ome sarà hiarito dal seguente semplie esempio, assai importante per le appliazioni. ESEMPIO Sia data la seguente equazione differenziale del quarto ordine: ( 4 ) = k on k ostante. Integrando una prima volta si ottiene: () ( 3 ) = k+ ed integrando una seonda volta: () = = k + + e proedendo allo stesso modo per altre due volte si ottiene: (3) 3 = k + + + 6 4 3 3 (4) = k + + + 3 + 4 (integrale generale) 4 6 Le quattro ostanti arbitrarie osì introdotte potranno essere determinate tramite altrettante ondizioni da imporre per far aderire l integrale ottenuto al partiolare problema he si tratta. 5
Per onludere l esempio, quindi, supponiamo he, per una funzione valida nell intervallo, l, le quattro ondizioni da porre siano le seguenti: [ ] per = deve essere (a) = (a ) = per = l deve essere (b) = (b ) = Sostituendo le ondizioni (a) ed (a ) rispettivamente nelle equazioni (4) e (3), si ottiene: (5) 4 = = 3 Sostituendo, invee, le (b) e (b ) rispettivamente nelle equazioni (4) e (), si ha: Per le (5) la (6) diventa: (6) (7) 4 3 kl l l + + + l+ = 4 6 3 4 kl + l+ = 4 3 + + = l l l (6 ) k 4 6 he, insieme alla (7), fornise il seguente sistema di due equazioni nelle due inognite e : da ui: l + = kl 4l + = kl kl 5kl = e = 8 8 Con i valori osì individuati per le quattro ostanti l integrale partiolare he risolve lo speifio problema proposto sarà: 4 3 4 4 3 k 5kl kl kl 5 (4 ) = + = 4 8 6 8 8 3 l + 6 l l (integrale partiolare) 6