Problemi di Fisica per l ammissione alla Scuola Galileana 014-015 Problema 1 Nella regione di spazio interna alla sfera S 1, centrata in O 1 e di raggio R 1, è presente una densità di carica di volume uniforme ρ. Sia r il raggio vettore che origina in O 1. 1. Determinare il campo elettrostatico E( r) sia per r R 1 che per r > R 1, dove r = r.. Determinare il potenziale elettrostatico V ( r) in tutto lo spazio, scegliendo la costante additiva arbitraria in modo tale che all infinito questo sia nullo. Si consideri ora una distribuzione di carica che differisce dalla precedente solo per l assenza di carica all interno di una sfera S, centrata in O e di raggio R, tutta contenuta nella sfera S 1. Sia E ( r) il campo elettrostatico generato dalla nuova configurazione di carica. La sua forma è naturalmente descritta in tre differenti regioni: all interno di S, all esterno di S ma interno a S 1, all esterno di S 1. 3. Si dimostri che all interno di S E ( r) = ρ 3ϵ 0 d, dove d è il raggio vettore che origina in O 1 e termina in O. 4. Determinare E ( r) nella rimanente regione di spazio interna a S 1. 5. Si dica, giustificando la risposta, se esiste un campo magnetico tale che sia nulla l accelerazione istantanea di una carica posta all interno di S e la cui velocità sia v = kd, dove k è una costante non nulla.
Soluzione Problema 1 1. Sia ˆρ ρ 3ϵ 0. Poiché la distribuzione di carica ha simmetria sferica, segue che V ( r) e il modulo di E( r) dipendono solamente da r. Dalla legge di Gauss segue E( r) = ˆρ r, r R 1, E( r) = ˆρ R 3 1 r 3 r, r R 1.. Si ha dv ( r) r E( r) = dr r. (1) Quindi, esternamente e sulla superficie di S 1 il potenziale elettrostatico è V ( r) = ˆρ R3 1 r + c, dove c è una costante arbitraria. La relazione (1), e quindi anche la condizione di continuità per V ( r) sulla superficie di S 1, necessaria perché essa sia derivabile, implica V ( r) = ˆρ (3R 1 r ) + c, r R 1. La richiesta che V ( r) sia nullo all infinito implica c = 0. 3. Scriviamo l ovvia relazione tra il campo elettrostatico E( r) generato dalla originaria distribuzione di carica, quello generato dalle cariche originariamente presenti nella sfera S, E ( r), e quello generato dalla nuova distribuzione di carica, E ( r) E( r) = E ( r) + E ( r). () Si osservi che r d è il raggio vettore che origina in O e termina nel punto dove termina r. All interno e sulla superficie di S si ha E ( r) = ˆρ( r d). Dalla relazione () segue che nella stessa regione di spazio 4. Poiché esternamente a S si ha E ( r) = ˆρ r ˆρ( r d) = ˆρ d. E ( r) = ˆρR 3 r d r d, 3 segue che internamente a S 1, ma esternamente a S, si ha E ( r) = ˆρ r ˆρR 3 r d r d. 3 5. La forza agente su una particella di carica q, dovuta al campo elettrico E ( r) e a un campo magnetico B( r), è F ( r) = q( E ( r) + v B( r)). Poiché all interno di S 1 il campo elettrostatico E ( r) è parallelo a v, si ha che la forza di Lorentz è sempre perpendicolare a E ( r). Segue che per qualsiasi B( r) si ha F ( r) 0.
Problema Un razzo di massa m è in orbita circolare di raggio R intorno ad un pianeta di massa M. 1. Determinare la velocità v del razzo.. Il modulo della velocità di fuga v f = v f corrisponde al modulo della velocità che deve avere il razzo affinché questo raggiunga asintoticamente l infinito con energia cinetica nulla. Si supponga che i motori abbiano effettivamente impartito al razzo l incremento istantaneo di velocità v f v nella direzione parallela e concorde a v. Deteminare v f e il modulo del momento angolare del razzo, rispetto al centro del pianeta, nell istante in cui il razzo ha velocità v f. Dopo la prima accensione dei motori, il razzo giunge ad una distanza R 1 dal pianeta. A tale distanza vengono riaccesi i motori per far tornare istantaneamente il razzo in orbita circolare. 3. Determinare la nuova velocità orbitale v 1 del razzo. 4. Dopo aver determinato il modulo della velocità v 1f del razzo immediatamente prima della seconda accensione dei motori, si determini l angolo β tra v 1 e v 1f. 5. Determinare v 1 v 1f.
Soluzione Problema 1. Si ha cioè mv R v = = GMm R, GM R.. La velocità di fuga v f si ricava dalla conservazione dell energia meccanica richiedendo che nello stato finale la particella si trovi all infinito con energia cinetica nulla. Quindi cioè mv f v f = = GMm R, GM R. Il modulo del momento angolare del razzo rispetto al centro del pianeta nell istante immediatamente successivo all accensione dei motori è mv f R. 3. Si ha v 1 = GM R 1. 4. Utilizzando la conservazione dell energia meccanica si ha v 1f = GM R 1. La conservazione del momento angolare implica mrv f = mr 1 v 1f sin(90 o + β), cioè β = arccos Rv f R = arccos. R 1 v 1f R 1 5. v 1 v 1f = v1 + v1f v 1v 1f cos β = GM R 1 ( ) R 3. R 1
Problema 3 Un termometro commerciale al platino modello Pt100 è collegato, tramite due fili conduttori, ognuno di resistenza R filo = 90 Ω, a una batteria di forza elettromotrice E = 1.0 V. La resistenza del termometro varia con la temperatura T secondo la relazione R term = R 0 + A(T T 0 ), dove R 0 = 100 Ω, T 0 = 73 K e A = 0.40 Ω/K. La tensione ai capi del termometro è V = 0.10 V. 1. Calcolare la corrente i erogata dalla batteria.. Calcolare la temperatura T rilevata dal termometro.
Soluzione Problema 3 1. Il termometro è collegato in serie alla batteria attraverso i due fili conduttori. Applicando la seconda legge di Kirchhoff a questa maglia, si ottiene E = R filo i + V, quindi i = E V R filo = 1.0 0.10 90 A = 5.0 ma.. La resistenza del termometro è R term = V/i = 0 Ω. Quindi T = 73 K + R term 100 Ω 0.40 Ω/K = 73 K.
Problema 4 Una particella sferica di silice di densità ρ sil =.0 g/cm 3 e raggio R = 1.0 10 6 m è lasciata cadere in acqua. Il liquido, che ha densità ρ H O = 1.0 g/cm 3 e viscosità µ = 0.0010 Pa s (1Pa = 1N/m ), esercita una forza d attrito data dalla legge di Stokes, per cui il modulo di tale forza è F att = 6πµRv, dove v è il modulo della velocità istantanea della particella. Determinare la velocità asintotica di caduta della particella.
Soluzione Problema 4 All equilibrio si ha F g + F A + F att = 0, dove F g = mg è il modulo della forza gravitazionale, F A = ρ H OV g è il modulo della forza di Archimede e V il volume del corpo immerso. Sia F A che F att hanno verso opposto alla forza di gravità. Segue che la velocità asintotica di caduta, diretta verso il centro della Terra, ha modulo v 0 = V g(ρ sil ρ H O) 6πµR = R g 9µ (ρ sil ρ H O) = 10 1 9.8 9 10 3 10 3 m/s =. 10 6 m/s.
Problema 5 Un cilindro d alluminio, di raggio R = 5.0 cm e massa m = 4.0 kg, è appoggiato su di una scalanatura a V che ha, come riportato nella figura, un apertura di 90 o. Il modulo della forza d attrito dinamico tra il cilindro e ciascun piano d appoggio è dato dalla relazione F i = µn i, i = 1,, dove µ = 0.5 e N i sono le reazioni vincolari normali ai piani d appoggio. Al cilindro viene applicata una coppia di forze, di momento τ, che lo mantiene in rotazione con velocità angolare costante. Determinare 1. le reazioni vincolari normali ai piani d appoggio;. τ. ω 45 45
Soluzione Problema 5 ω y mg T 1 N 1 N x T 1. Le forze che agiscono sul cilindro sono indicate nella figura. Poiché il centro di massa è in quiete rispetto agli assi cartesiani, la somma delle forze applicate deve essere nulla. Si hanno quindi due relazioni, una per la componente x 1 (N 1 T 1 N T ) = 0, e l altra per la componente y 1 (N 1 + T 1 + N T ) mg = 0. Poiché T i = µn i, i = 1,, le due equazioni sono equivalenti al sistema la cui soluzione è { N1 (1 µ) N (1 + µ) = 0, N 1 (1 + µ) + N (1 µ) = mg, N 1 = mg 1 + µ 1 + µ = 33 N, N = mg 1 µ 1 + µ = 0 N.. Le reazioni vincolari normali ai piani d appoggio e la forza peso non hanno momento rispetto all asse del cilindro. Il modulo del momento delle forze d attrito è τ a = R(T 1 + T ) = Rµ(N 1 + N ) = R µ mg = 0.65 Nm. 1 + µ τ a è perpendicolare al piano xy e diretto verso chi guarda. Il momento da applicare per mantenere costante la velocità di rotazione del cilindro deve bilanciare esattamente il momento delle forze d attrito, quindi τ = τ a.
Problema 6 Un galleggiante, che ha la forma di un solido cilindrico di raggio R = 7. mm e massa m = 79 g, si trova, in equilibrio, in posizione verticale rispetto all acqua. Sia L 1 la lunghezza della parte immersa del galleggiante e L la lunghezza della sua parte emergente. Calcolare, assumendo trascurabili gli effetti della viscosità e della tensione superficiale dell acqua, 1. il lavoro esterno necessario per sollevare il galleggiante di d = 5.0 mm < L 1 rispetto alla posizione d equilibrio;. il periodo delle oscillazioni nel caso in cui, dopo averlo sollevato, il galleggiante venga lasciato libero, considerando che anche L è maggiore di d.
Soluzione Problema 6 1. Quando il galleggiante è in equilibrio, la spinta d Archimede eguaglia la forza peso. Se il galleggiante viene spostato verticalmente di una quantità x, positiva se lo spostamento è verso l alto, la variazione del volume immerso è V = πr x. La variazione della spinta d Archimede è F = ρ H O V g = πr ρ H Ogx. Segue che quando il galleggiante viene spostato dalla posizione d equilibrio, questo è soggetto alla forza elastica F = kx, di costante k = πr ρ H Og = 1.6 N/m. L energia potenziale corrispondente è U p = 1 kx. Il lavoro necessario per lo spostamento d è pari alla variazione di energia potenziale W = U p = 1 kd =.0 10 5 J.. L equazione del moto è m d x dt = kx, la cui soluzione descrive un moto armonico di pulsazione ω = T = π ω = πm R ρ H Og = 1.4 s. k/m e periodo