Successioi di fuzioi Defiizioe. U successioe di fuzioi f : A R, N coverge putulmete d u fuzioe f : A R se f (x) = f(x) per ogi x A. L successioe coverge uiformemete d f se ccde che per ogi > 0 esiste N tle che per ogi > risult f (x) f(x) <. Dll ultim relzioe è evidete che se u successioe di fuzioi coverge uiformemete l suo ite, llor coverge che putulmete. Tuttvi esistoo successioi di fuzioi, come vedremo tr poco, che covergoo putulmete m o uiformemete. Come l solito, el liguggio mtemtico il termie uiforme st d idicre che qulcuo dei prmetri i gioco o dipede dll zo di spzio i cui ci si trov; el cso dell covergez uiforme, l idice di vvicimeto tr f (x) e f(x) è uiforme, cioè o dipede d dove sitrov il puto x (è cioè lo stesso per tutti gli x A). Il primo risultto utile è u formulzioe equivlete dell covergez uiforme. Proposizioe 1. Si f : X R, N u successioe di fuzioi; soo equivleti i. f coverge uiformemete f ii. sup f (x) f(x) = 0 x X Dimostrzioe. Provimo l impliczioe i. = ii. Per defiizioe sppimo che, comuque fissto > 0 esiste N tle che per ogi x X risult f (x) f(x) < ; pertto, posto M = sup f (x) f(x) si h che M per > e quidi x X è soddisftt l defiizioe di ite dell ii. Provimo or l impliczioe ii. = i. I questo cso sppimo che, comuque scelto > 0 esiste N tle che per ogi > risult M < ; dto che M = sup f (x) f(x), mggior rgioe, per > si vrà f (x) f(x) < x X per tutti gli x X e questo prov l uiforme cotiuità. L rgioe per cui si itroduce l ozioe di covergez uiforme, è che l sol covergez putule o permette ll fuzioe ite di ereditre lcue buoe proprietà delle fuzioi pprossimti, d esempio l ittezz, l cotiuità, l Riem itegrbilità: forimo tre cotroesempi i tl seso. Esempi 1. Il primo esempio è quello di u successioe[ di fuzioi itte che coverge putulmete d u fuzioe ilitt: si cosideri i 0, π [ l successioe di fuzioi defiit d 2 [ t x se x 0, π 2 1 ] f (x) = t ( π 2 ) 1 ltrove [ Allor f (x) coverge putulmete f(x) = t x, che o è itt i 0, π [. 2 1
2. L esempio clssico di successioe di fuzioi cotiue putulmete covergete d u fuzioe o cotiu è il seguete: si cosideri f : [0; 1] R defiit d f (x) = x. L successioe di queste fuzioi coverge putulmete ll fuzioe { 0 se x [0; 1[ f(x) = 1 se x = 1 che o è cotiu i [0, 1]. 3. Per quto rigurd l mcz di coservzioe dell itegrbilità ll Riem, cosiderimo le fuzioi f : [0; 1] R defiite d 0 se x = ] 0 se x 0, 1 ] f (x) = ] ] 1 1 x sex, 1 I questo modo ogi f differisce el solo puto 0 d u fuzioe cotiu, ed è pertto itegrbile ll Riem, m l fuzioe ite o è itegrbile i [0, 1]. f(x) = { 0 se x = 0 1 x se x ]0, 1] Al cotrrio, l covergez uiforme grtisce l coservzioe delle proprietà, come si dimostr ei segueti tre teoremi Proposizioe 2. (coservzioe dell ittezz) Si f : X R, N, u successioe di fuzioi itte uiformemete covergete f; llor f è itt. Dimostrzioe. Dll Proposizioe precedete possimo fissre N i mier tle che Allor, per > sup f (x) f(x) 1. x X f(x) = f(x) f (x) + f (x) f (x) + f(x) f (x) 1 + f (x) e per ipotesi l ultimo membro è itto, quidi che f lo è. Proposizioe 3.(coservzioe dell cotiuità) Si f : X R, N, u successioe di fuzioi uiformemete covergete f, e si x o X u puto i cui f è cotiu per ogi N; llor f è cotiu i x o. Dimostrzioe. Dobbimo provre che per ogi itoro (cetrto) di f(x o ) esiste u itoro (cetrto) di x o l cui immgie trmite f cde ell iteoro di f(x o ) fissto, ovvero che per ogi > 0 esiste δ() > 0 tle che per ogi x X [x o δ, x o + δ] risult f(x) f(x o ) <. Di uovo grzie ll prim Proposizioe possimo trovre N tle che per ogi > risulti sup f (x) f(x), ( x X 3 ; per l cotiuità per esempio di f +1 i x o, possimo trovre δ > 0 tle 3) 2
che per ogi x X ]x o δ, x o + δ[ risulti f +1 (x) f +1 (x o ) < 3. Combido queste due codizioi si h, per x X ]x o δ, x o + δ[ f(x) f(x o ) f(x) f +1 (x) + f +1 (x) f +1 (x o ) + f +1 (x o ) f(x o ) < 3 + 3 + 3 = che è quto itedevmo dimostrre. Proposizioe 4. (coservzioe dell itegrbilità) Si f : [, b] R u successioe di fuzioi itegrbili ll Riem, uiformemete covergete f; llor che f è itegrbile ll Riem. ( Dimostrzioe. Fissto > 0, si N determito dll uiforme covergez, e 4(b ) si > fissto; poichè f è itegrbile ll Riem, per il Criterio di itegrbilità, esiste u divisioe D di [, b] tle che S(f, D ) s(f, D ) < 2. Si per esempio D = { = x o < x 1 < < x k = b}, e cosiderimo le fuzioi grdit if{f (x), x [x o, x 1 [} 4(b ), se x [x o, x 1 [ s(x) = if{f (x), x [x 1, x 2 [} 4(b ), se x [x 1, x 2 [... if{f (x), x [x k 1, x k ]} sup{f (x), x [x o, x 1 [} + 4(b ), se x [x k 1, x k ] 4(b ), se x [x o, x 1 [ t(x) = sup{f (x), x [x 1, x 2 [} + 4(b ), se x [x 1, x 2 [ È evidete che e che e quidi che... sup{f (x), x [x k 1, x k ]} + s(x) f (x) 4(b ), se x [x k 1, x k ]. 4(b ) < f(x) < f (x) + 4(b ) t(x) [t(x) s(x)]dx = S(f, D ) s(f, D ) + 2 (b ) = 4(b ) S(f, D ) s(f, D ) Per il Criterio di Riem quidi f è itegrbile. [t(x) s(x)]dx <. Il prossimo risultto forisce u utile criterio per dedurre dll covergez putule l covergez uiforme di u successioe di fuzioi 3
Teorem di Dii. Se f : [, b] R è u successioe mootó di fuzioi cotiue che coverge putulmete d u fuzioe cotiu, llor l covergez è uiforme. Teorem di pssggio l ite sotto il sego di itegrle. Si f : [, b] R u successioe di fuzioi itegrbili ll Riem, uiformemete covergete f. Allor f(x)dx = f (x)dx. Dimostrzioe. Per il Teorem del modulo si h f(x)dx f (x)dx f (x) f(x) dx e per l covergez uiforme risult f (x) f(x) dx (b ) defiitivmete; per l rbitrrietà di si h l sserto. I reltà si può otteere u risultto più geerle di Pssggio l ite sotto il sego di itegrle Teorem. Si f : [, b] R u successioe di fuzioi itegrbili covergete putulmete d u fuzioe itegrbile f, e suppoimo che sup sup x [,b] f (x) < + (si dice che l successioe è equiitt). Allor f(x)dx = f (x)dx. Osservimo che sez l ipotesi di equiittezz il risultto o sussiste; si cosiderio d esempio le fuzioi f : [0, 1] R defiite d [ ] 2 2 1 x se x 0, 2 ( f (x) = 2 2 x 1 ) [ 1 se x 2 2, 1 ] 0 ltrove Risult (f ) covergete putulmete 0, m 1 0 f (x)dx = 1 2 per ogi N. Dll ultimo Teorem si può ifie dedurre u ulteriore Proposizioe di pssggio l ite sotto il sego di itegrle 4
Teorem. Si f : [, b] R u successioe mootó di fuzioi itegrbili covergete putulmete d u fuzioe itegrbile f; llor f(x)dx = f (x)dx. Dimostrzioe. Suppoimo per esempio che l successioe si o decrescete, e quidi, per ogi x [, b] f (x) f +1 (x)... f(x). Posto ϕ (x) = f(x) f (x), ogi ϕ è itegrbile, e, posto M = sup f (x) e M = sup f(x), x [,b] x [,b] risult M m + m 1 e quidi ϕ (x) f(x) + f (x) 2M + M 1 che prov che le ϕ (x) soo equiitte. Ifie l successioe (ϕ ) coverge putulmete 0; quidi e questo prov l sserto. ϕ (x)dx = 0 Più delicto è ivece il discorso qudo si trtt di pssre l ite sotto il sego di derivzioe. I questo cso emmeo l covergez uiforme di u successioe di fuzioi di clsse C 1 è sufficiete grtire l covergez delle derivte, come mostr il seguete cotroesempio. Si f : R R defiit d f (x) = x 2 + 1 ; si provi che ess coverge uiformemete ll fu- zioe x. Si può tuttvi provre che Teorem. Se f C 1 (I), dove I è u itervllo perto (itto o o) i R, è uiformemete covergete f, e se che l successioe delle derivte f coverge uiformemete, llor f C 1 (I) e f è il ite uiforme di (f ). Serie di fuzioi Il cocetto di covergez si trsferisce che lle serie di fuzioi, duque u serie di fuzioi f (x) puó covergere putulmete o uiformemete, secod che coverg putulmete o uiformemete l successioe di fuzioi s (x) = f 1 (x) + + f (x). Provimo izitutto l seguete codizioe ecessri per l covergez uiforme Proposizioe. Se l serie di fuzioi f (x) coverge uifomemete i A, llor (f ) coverge uiformemete 0 i A. Dimostrzioe. Iftti f (x) = s (x) s 1 (x) e poiché (s (x)) coverge uiformemete ll fuzioe somm S(x), si h l sserto. Dt l importz dell covergez uiforme, per le serie occorre pprotre dei criteri d hoc per verificrl, i quto per le serie si verific il problem che i geerle o si cooscoo é 5
l espressioe di s é quell dell somm S. Quello che segue é u criterio sufficiete per l covergez uiforme dell serie Teorem (Criterio di Weierstrss) Si f : A R u successioe di fuzioi tli che, posto M = sup f (x), l serie M coverge. Allor l serie f (x) coverge uiformemete i x A A. Dimostrzioe. Itto osservimo che per ogi x A l serie f (x) coverge ssolutmete, e quidi che putulmete. Si S(x) l somm dell serie. Provimo che l successioe delle somme przili s (x) coverge uiformemete S. Fissto > 0, esiste certmete o N tle che = o M ; iftti, posto σ l somm dell serie M, e dette t le sue somme przili, si h (σ t ) = 0. Bst llor osservre che σ t = M k. Per > o bbimo llor S(x) s (x) = ovvero k=+1 S(x) s (x) = 0. k=+1 f k (x) k=+1 f k (x) k=+1 M k k= o+1 M k Il Criterio di Weierstrss ispir quidi l seguete defiizioe Defiizioe. L serie di fuzioi f (x) si dice totlmete covergete i A se posto M = sup f (x), x A l serie M coverge. Dicimo che l serie di fuzioi putulmete. f (x) coverge ssolutmete se l serie f (x) coverge Ifie si ho i segueti due criteri di itegrzioe e derivzioe per serie. Teorem (Itegrzioe per serie) Si f : [, b] R u successioe di fuzioi cotiue i [, b], tle che l serie f (x) coverge uiformemete ll fuzioe S(x); llor S(x)dx = f (x)dx. 6
Teorem (Derivzioe per serie) Si f C 1 ([, b]) u successioe tle che l serie f (x) coverge putulmete S(x) e l serie coverge uiformemete S C 1 ([, b]) ed ifie S (x) = per x [, b]. f (x) coverge uiformemete; llor l serie f (x) f (x) Serie di poteze Defiizioe. Dt u successioe di umeri reli ( ), se f (x) = x, N l serie di fuzioi f (x) è dett serie di poteze. =0 Come vedremo, l isieme X di covergez di u serie di poteze può ricdere i u sol delle segueti ctegorie: - X = {0}; - X è u itervllo simmetrico di R (co o sez uo o etrmbe gli estremi); - X = R. Stbio dpprim questo risultto Lemm di Abel. Se l serie di poteze x (1) =0 coverge per qulche x o 0, llor coverge i ogi itervllo chiuso e itto coteuto i ] x o, x o [. Dimostrzioe. Dlle ipotesi si h itto x o = 0 e quidi tle successioe è itt; esiste cioè M > 0 tle che x o M per ogi N. Si x ] x o, x o [; provimo che l serie (1) coverge totlmete i [ x, x ]; d qui discederà l eucito,perchè ogi itervllo chiuso coteuto i ] x o, x o [ (che o simmetrico) è sempre coteuto i u itervllo simmetrico chiuso, su volt coteuto i ] x o, x o [. Per ogi y R co y x risult ( ) y ( ) x y = x o M, x o x o 7
per ogi N ed il termie i pretesi tode destr dell cte di disuguglize è il termie geerle di u serie geometric di rgioe miore di uo. All luce del Lemm di Abel è rgioevole porre l seguete Defiizioe. Si chim rggio di covergez dell serie di poteze (1) l estremo superiore dell isieme dove l serie stess coverge, ovvero ρ = sup X. Se ρ = 0, l serie (1) coverge solo per x = 0, metre se ρ = + l serie coverge i ogi x R. Teorem del rggio di covergez. Si 0 < ρ < +. Allor ρ è il rggio di covergez dell serie (1) se e solo se ess coverge per x < ρ e o coverge per x > ρ. Dimostrzioe. Comicimo co l prte ecessri del Criterio; suppoimo quidi che ρ si il rggio di covergez dell serie, e mostrimo itto che l serie coverge i ogi x tle che x < ρ. Fissimo u tle x; per l defiizioe di estremo superiore, esiste x o X co x < x o < ρ; così l serie x o coverge, e per il Lemm di Abel, l serie coverge i ] x o, x o [ e quidi i =0 prticolre i x. Si or x > ρ; se suppoimo per ssurdo che l serie coverg che i x, per il Lemm di Abel covergerebbe i tutti i puti di [ρ, x ]; duque [ρ, x ] X e questo cotrddice l defiizioe di ρ. Pssimo ll codizioe sufficiete, cioè suppoimo che l serie coverge per x < ρ e o coverge per x > ρ e provimo che llor ρ è il rggio di covergez. Dll ipotesi si h che ] ρ, ρ[ X, e quidi sup X ρ; se l disugugliz fosse strett, dovrebbe esistere u elemeto x o X tle che x o > ρ; m llor per l ipotesi l serie (1) o coverge i x o e questo cotrddice il ftto che x o X. Osservimo che per le x R tli che x = ρ o si può stbilire ull. Ad esempio per l serie geometric (cioè per l scelt = 1 per ogi N) il rggio di covergez è ρ = 1 e egli estremi dell itervllo ] 1, 1[ l serie o coverge. Ivece per l serie x 1 + 2 che h cor rggio di covergez 1, si h covergez che egli estremi. Ifie per l serie x 1 + che h cor rggio di covergez 1, si h covergez solo per x = 1. Stbio or u criterio per l determizioe del rggio di covergez Teorem di Cuchy-Hdmrd. Si ( ) u successioe tle che esiste il ite = l. Allor per il rggio di covergez dell serie di poteze (1) vle l ugugliz + se l = 0 1 se 0 < l < + ρ = l 0 se l = + 8
L dimostrzioe del Teorem precedete è bst sul Criterio dell Rdice per le serie umeriche. Applicdo ivece il Criterio del Rpporto si perviee l Teorem di D Alembert. Si ( ) u successioe i ]0, + ) tle che esiste il ite +1 = l. Allor per il rggio di covergez dell serie di poteze (1) vle l ugugliz + se l = 0 1 se 0 < l < + ρ = l 0 se l = + Ifie vlgoo i segueti due risultti reltivi ll itegrzioe ell derivzioe di u serie di poteze Teorem (Rggio di covergez dell serie derivt) U serie di poteze h lo stesso rggio di covergez dell su serie derivt. Teorem (Itegrzioe e derivzioe delle serie di poteze) Se l serie di poteze (1) h rggio ρ di covergez o ullo, e se f(x) è l somm, llor per ogi x < ρ, e per ogi x < ρ. x 0 f (x) = f(t)dt = x 1 =0 =0 + 1 x+1 Serie di Tylor e di McLuri Abbimo già visto l costruzioe dei poliomi di Tylor; ricordimo brevemete: Se f : I R è u fuzioe dott di derivte successive fio ll ordie p i u itoro di u puto x o I llor il poliiomio di Tylor di grdo p è espresso d T p (x) = f(x o ) + p f () (x o )! (x x o ). Nel cso i cui f si derivbile ifiite volte i u itoro di x o si possoo quidi scrivere i poliomi di Tylor di f per ogi grdo p, ed è fcile verificre che questi soo le somme przili p-esime dell serie di fuzioi f(x o ) + f () (x o )! Quest ultim serie è u serie di poteze ell vribile (x x o ). (x x o ). (2) Defiizioe. U fuzioe f : I R, co f C (I) è dett sviluppbile i serie di Tylor itoro x o se l serie (2) coverge f(x) per ogi x I. Nel cso prticolre i cui x o = 0 si dice che f è sviluppbile i serie di McLuri. 9
No tutte le fuzioi di clsse C (I) soo sviluppbili i serie di Tylor. L esempio clssico è quello dell fuzioe f : R R defiit d { f(x) = e 1 x 2 se x 0 0 se x = 0 per l qule è fcile covicersi che tutte le derivte ell origie soo ulle; quidi tuti i coefficieti dello sviluppo i serie di Tylor soo ulli, cioè tutti i poliomi di Tylor (zi di McLuri) soo ulli; quidi l serie di McLuri reltiv d f è covergete i tutti i puti di R m l somm è 0, e quidi f o è sviluppbile i serie di Tylor. Defiizioe. Si defiisce resto -esimo di uo sviluppo i serie di Tylor l qutità [ ] f () (x o ) R (x) = f(x) T (x) = f(x) f(x o ) + (x x o ).! È llor evidete che vle il seguete criterio Teorem. Codizioe ecessri e sufficiete perchè f si sviluppbile i serie di Tylor i I è che R (x) = 0 per ogi x I L esempio precedete ci covice che l codizioe reltiv l resto o è sempre verifict, che qudo l fuzioe mmette le derivte di ogi ordie. Quello che segue è u criterio di sviluppbilità di fcile ppliczioe i lcui csi importti Teorem. (Criterio di sviluppbilità i serie di Tylor) Se f C (], b[) e se esistoo M, L 0 tli che f () (x) M L per ogi x ], b[ llor f è sviluppbile i serie di Tylor itoro qulsisi puto x o ], b[ i tutto ], b[. Dimostrzioe. Ricordimo che elle ipotesi ftte, ell scrittur f(x) = T (x) + R (x) il resto -esimo si può scrivere ell form di Lgrge (Prop.7.3-2 pg. 407) R (x) = f (+1) (ξ) ( + 1)! (x x o) +1, dove ξ ]x o, x[, se si è supposto che x > x o. Per le ipotesi ftte si h f (+1) (ξ) R (x) = ( + 1)! x xo +1 L +1 M ( + 1)! x x o +1. Or il termie destr ell relzioe precedete è u multiplo del termie geerle dell serie termii positivi (L x x o ) 10!
che coverge, come si verific immeditmete pplicdo il Criterio del Rpporto Asitotico, i quto (L x x o ) +1 Di coseguez risult e duque più forte rgioe cioè l tesi. ( + 1)! (L x x o )! = L x xo + 1. M L +1 ( + 1)! x x o +1 = 0 R (x) = 0 All luce di questo teorem è immedito covicersi che le fuzioi e x, si x e cos x soo sviluppbili i serie di McLuri i tutto R. I prticolre se si fiss rbitrrimete > 0, l fuzioe espoezile è sviluppbile i serie di McLuri i tutto ], [: per l rbitrrietà di l sviluppbilità vle i tutto R. Per queste tre fuzioi si ho gli sviluppi (serie espoezile) si x = cos x = e x = 1 + x! ( 1) x2+1 (2 + 1)! =0 =0 ( 1) x2 (2)!. Ache il seguete risultto si rivel utile per determire lcui sviluppi i serie Teorem. Si f C (], b[) e si x o ], b[; se l serie derivt dell serie di Tylor h per somm f (x), cioè f f () (x o ) (x) = ( 1)! (x x o) 1 per ogi x ], b[, llor f è sviluppbile i serie di Tylor reltiv x o i ogi puto di ], b[. Come ppliczioe del Teorem precedete si prov l sviluppbilità i serie di McLuri delle fuzioi log(1 + x) e rct x. Iftti se scrivimo l serie di McLuri di log(1 + x) trovimo derivdo si trov ( 1) 1 x ( 1) 1 x 1 ; (3) 11
1 che è u serie geometric di rgioe x e pertto covergete i ] 1, 1[, co somm 1 + x che è precismete l derivt di log(1 + x); pertto il Teorem ci dice che l (3) rppreset lo sviluppo i serie di McLuri dell fuzioe log(1 + x) per x ] 1, 1[. Ache per rct x l serie di McLuri è dt d ( 1) 1 x2 1 2 1 (4) l cui serie derivt è ( 1) 1 x 2( 1) che è cor u serie geometric di rgioe x 2, e che quidi coverge per x ] 1, 1[, ed h per 1 somm che è esttmete l derivt di rct x; quidi per il teorem si trov 1 + x2 rct x = ( 1) 1 x2 1 2 1 per ogi x ] 1, 1[. I reltà, co teciche diverse, si rriv provre che lo sviluppo i serie di McLuri di log(1+x) vle che per x = 1, e che quello di rct x sussiste i tutto [ 1, 1]. U iteresste ppliczioe di questo ftto è che lo sviluppo i serie di McLuri per rct x permette di otteere fcilmete pprossimzioi di π; ricordimo iftti che rct 1 = π 4 ; duque π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 +... Forimo ifie lo sviluppo i serie di McLuri per le fuzioi f(x) = (1 + x) α, co x ] 1, 1[. Risult ( ) (1 + x) α α = x =0 ( ) α dove è detto coefficiete biomile (d cui l serie suddett prede il ome di serie biomile) ed è defiito d ( α ) 1 se = 0 = α(α 1) (α + 1)! se > 0 12