Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole vrinti dei concetti che verrnno introdotti permettono di studire gli integrli di funzioni di tre e più vribili. 7.1 Motivzioni Come per il cso degli integrli di funzioni di un vribile, il procedimento di integrzione per funzioni di due vribili nsce in modo nturle nelle ppliczioni. 1. Il clcolo di un volume Considerimo un funzione f(, ) continu, positiv e definit su un dominio rettngolre D = [, b] [c, d]. Per clcolre il volume dell zon determint dl grfico di f e dl pino e con bse D, si procede in mnier nlog qunto visto per il problem dell re per funzioni di un vribile: si suddividono [, b] e [c, d] trmite due suddivisione T e S T = { = t < t 1 < < t n+1 = b} e S = {c = s < s 1 < < s m+1 = d}, 167

168 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI d s 3 s s 1 c t 1 t b si sceglie un vlore ξ i,j nel rettngolo [t i, t i+1 ] [s j, s j+1 ] e si ottiene V Ṽ = i,j f(ξ i,j )(t i+1 t i )(s j+1 s j ). Rffinndo le suddivisioni T e S, Ṽ srà un pprossimzione sempre migliore di V.. Clcolo dell mss di un lstr Supponimo di vere un lstr rettngolre D = [, b] [c, d], e supponimo che ρ(, ) si l densità di mss per unità di superficie nel punto (, ): ciò signific che un piccolo rettngolo di lti ε e η vicino (, ) h un mss m ε,η ρ(, )εη. L funzione ρ(, ) non è suppost continu: in questo modo possimo tenere in conto il cso interessnte dei corpi compositi, cioè composti di diversi mterili. Anlogmente qunto visto nel cso di un vribile, dte due suddivisioni T e S di [, b] e [c, d], l mss m dell lstr è pprossimt d M M = i,j ρ(ξ i,j )(t i+1 t i )(s j+1 s j ) dove ξ i,j pprtiene l rettngolo [t i, t i+i ] [s j, s j+1 ]. Rffinndo T e S, bbimo che M è un pprossimzione sempre migliore di M. 3. Clcolo dell superficie di un regione pin Il procedimento precedente può essere utilizzto nche per clcolre l superficie di regioni curve. L ide è quest: se è un regione pin limitt con bordo curvilineo, e D è un rettngolo che l contiene, possimo considerre l funzione 1 (, ) definit d { 1 se (, ) 1 (, ) = se (, ) D \. L regione determint dl grfico di 1 ed il pino è un cilindro di bse ed ltezz costnte pri 1: dunque il suo volume è pri numericmente ll re di.

7.. DFINIZION DI INTGRAL 169 z Potendosi clcolre il volume trmite il procedimento di pprossimzione visto prim, concludimo che nche l re di può pprossimrsi in modo simile. 7. Definizione di integrle Motivti di discorsi precedenti, possimo formlizzre, in perfett nlogi con il cso monodimensionle, il concetto di integrle doppio per funzioni limitte definite su rettngoli. 1. Si D = [, b] [c, d], e si f : D R un funzione limitt. Dte due suddivisioni T = { = t < t 1 < < t n+1 = b} e S = {c = s < s 1 < < s m+1 = d} di [, b]e [c, d] rispettivmente, si dicono somm inferiore e somm superiore di f rispetto ll grigli T S le quntità Σ (f, T S) := i,j ( ) inf [t i,t i+1 ] [s j,s j+1 ] f (t i+1 t i )(s j+1 s j ) e ( ) Σ (f, T S) := i,j sup f [t i,t i+1 ] [s j,s j+1 ] (t i+1 t i )(s j+1 s j ). Dicimo integrle inferiore ed integrle superiore di f i vlori I (f) = sup Σ (f, T S) T,S e I (f) = inf T,S Σ (f, T S). 3. L definizione di integrbilità e di integrle doppio è l seguente.

17 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI Definizione 7.1 (Funzioni integrbili e integrle doppio). Si D = [, b] [c, d]. Dicimo che un funzione limitt f : D R è integrbile secondo Riemnn se I (f) = I (f). Tle vlore si indic con D f(, ) dd o b d c f(, ) dd, e si dice l integrle doppio di f su D. Come nel cso unidimensionle si h l seguente condizione d integrbilità. Proposizione 7. (C.n.s. per l integrbilità ). Condizione necessri e sufficiente ffinché un funzione limitt f : [, b] [c, d] R si integrbile secondo Riemnn è che per ogni ε > esistno un suddivisione T di [, b] ed un suddivisione S di [c, d] tli che Σ (f, T S) Σ (f, T S) < ε. Il significto geometrico dell condizione precedente è il seguente: è possibile ricoprire l superficie z = f(, ) con (, ) D trmite un fmigli di prllelepipedi ssociti d un grigli di suddivisione di D l somm dei cui volumi è piccol picere. 4. L clsse delle funzioni integrbili è molto mpi. Rgionndo come nel cso unidimensionle, si vede che risultno certmente integrbili le funzioni continue. Abbimo visto che sono interessnti nche le funzioni discontinue. Un clsse che ricorre nelle ppliczioni è quell delle funzioni continue trtti. L definizione di funzione continu trtti in un dominio bidimensionle imit quell già vist in un vribile. Sino A 1, A,...,A n insiemi perti disgiunti contenuti in D e tli che (7.1) n Ā j = D j=1 Un funzione f : D R si dice continu trtti in D se esistono un fmigli di perti A 1, A,...,A n che soffisf (7.1) e delle funzioni continue f 1, f,...,f n : D R tli che f = f j su ogni A j.

7.3. I DOMINI NORMALI RISPTTO AGLI ASSI 171 A j Per un condizione di integrbilità per funzioni continue trtti, rinvimo ll sezione 7.4. 5. L integrle doppio gode delle proprietà di linerità (f + bg) dd = f dd + b g dd, D D D e di confronto, cioè se f g D f dd D g dd. In prticolre, si h D f dd D f dd. 7.3 I domini normli rispetto gli ssi In quest sezione introducimo un clsse di insiemi essenzili nello studio degli integrli doppi e nelle loro ppliczioni. 1. Supponimo che α, β : [, b] R sino due funzioni tli che [, b] : α() β(). L regione di pino determint d α e β può essere descritt dll formul = {(, ) R : b, α() β()}. Si dice che è un dominio normle rispetto ll sse delle.

17 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI = β() = α() b. Similmente, se γ, δ : [c, d] R sono due funzioni tli che dicimo che l insieme [c, d] : γ() δ(), F = {(, ) R : c d, γ() δ()} è un dominio normle rispetto ll sse delle. d = γ() = δ() c 3. Un insieme nel pino può tlvolt essere visto come un dominio normle si rispetto ll sse delle che ll sse delle. Ad esempio il tringolo T determinto d (, ), (1, ) e (1, 1) = (1, 1) (1, )

7.4. INTGRAL DI UNA FUNZION SU UN INSIM 173 può essere descritto si nell form che nell form T = {(, ) R : 1, } T = {(, ) R : 1, 1}. Altri domini invece non sono normli né rispetto d un sse, né rispetto ll ltro: d esempio questo è il cso di un coron circolre. 7.4 Integrle di un funzione f su un insieme Nelle ppliczioni è utile poter integrre funzioni non solo su rettngoli, m nche su insiemi più generli (cerchi, ellissi...). È pertnto opportuno estendere il procedimento di integrzione su insiemi con bordi curvilinei. 1. Come bbimo visto nell sezione delle motivzioni (prlndo di re di regioni pine), dt un funzione integrbile f : D R con D = [, b] [c, d], un modo rgionevole per definire il suo integrle su un insieme D è quello di porre f dd = f1 dd. D z z = f(, ) D

174 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI In questo modo, ponendo f ugule zero fuori di, ci si concentr solo su qunto ccde nell insieme. L definizione risult ben post se f1 è un funzione integrbile: ciò è grntito se 1 risult integrbile, perché il prodotto di funzioni integrbili risult integrbile.. Gli insiemi tli che 1 si integrbile si dicono insiemi misurbili secondo Riemnn. Pertnto è ben definit l integrzione su insiemi di questo tipo. Dll interpretzione geometric dell integrbilità, e dll form prticolre del grfico di 1, si vede che l integrbilità secondo Riemnn è equivlente l ftto che il bordo di poss essere ricoperto medinte un fmigli finit di rettngoli l somm delle cui ree è piccol picere. Ciò viene sintetizzto dicendo che h re null. Dunque possimo concludere che l integrbilità secondo Riemnn di un insieme è equivlente l ftto che il suo bordo bbi re null. Sono sicurmente misurbili secondo Riemnn gli insiemi normli rispetto gli ssi determinti d funzioni integrbili di un vribile. Questo discende immeditmente dl ftto che i bordi di tli insiemi sono costituiti d due segmenti e d due curve: i segmenti hnno chirmente re null; le curve pure hnno re null perché ciò discende dll integrbilità delle due funzioni. 3. Tornimo ll integrbilità delle funzioni continue trtti f : D R cui bbimo ccennto nell Sezione 7.: se A 1,...,A n e f 1,..., f n sono gli insiemi perti in D e le funzioni continue ssocite f secondo l definizione di funzione continu trtti, si h n f = f j 1 Aj + g j=1

7.4. INTGRAL DI UNA FUNZION SU UN INSIM 175 dove g è non null solo su n j=1 A j. Supponimo che A 1,...,A n sino integrbili secondo Riemnn. Allor ogni funzione f j 1 Aj è integrbile secondo Riemnn, ed essendo n j=1 A j di re null, un verific dirett mostr che nche g lo è. Dunque f risult integrbile in qunto somm di funzioni integrbili. ssendo n j=1 A j di re null, gli insiemi perti A 1,...,A n formno essenzilmente un prtizione di D (rimne escluso solo un insieme di re null). Possimo rissumere l condizione trovt dicendo che un funzione continu trtti è integrbile se i bordi dell prtizione ssocit sono di re null. Ciò ccde d esempio se A j h lunghezz finit. 4. Sino D = [, b] [c, d], 1, D insiemi misurbili secondo Riemnn, e sino f, g : D R funzioni integrbili. Vlgono le seguenti proprietà : () se 1 = f dd = 1 f dd + 1 f dd; (b) se 1 f dd = f dd f dd; \ 1 1 (c) se f(, ) g(, ) per ogni (, ), f dd (d) se h re null (e) si h f dd = ; f dd g dd; f dd; (f) se 1 = e f(, ) se (, ) 1 h(, ) = g(, ) se (, ) se (, ) D \ ( 1 ), h è integrbile e h dd = 1 f dd + 1 g dd.

176 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI 5. Come nel cso di funzioni di un vribile, l simmetri dell funzione f(, ) può gevolre il clcolo di un integrle doppio. Per esempio se f(, ) è un funzione pri in f(, ) = f(, ), ed è un insieme misurbile simmetrico rispetto ll sse delle, cioè (, ) = (, ) si h dove f(, ) dd = f(, ) dd, + + := {(, ) : > }. Geometricmente, il risultto dice semplicemente che l regione dello spzio di cui dobbimo clcolre il volume è simmetric rispetto l pino =, per cui tle volume è semplicemente il doppio del volume dell regione nel semispzio. z z = f(, ) Similmente si h che se f(, ) è un funzione dispri in, cioè f(, ) = f(, ) ed è un insieme misurbile simmetrico rispetto ll sse delle, llor si h f(, ) dd =. Geometricmente, il risultto dice semplicemente che le due regioni pprtenenti i semispzi e hnno lo stesso volume m con segno differente.

7.5. FORMUL DI RIDUZION 177 z z = f(, ) Anloghe considerzioni si possono fre se f h un prticolre simmetri in ed il dominio è simmetrico rispetto ll sse dell. 7.5 Formule di riduzione Fino questo momento non bbimo un metodo prtico per clcolre un integrle doppio che non si quello di pplicre l definizione. Le formule di riduzione di cui ci occupimo in quest sezione, permettono di ridurre il clcolo di un integrle doppio l clcolo di due integrli per funzioni di un vribile. 1. Le formule di riduzione consistono nell integrre prim rispetto d un vribile e poi rispetto d un ltr. Proposizione 7.3 (Formule di riduzione). Si D = [, b] [c, d], e si f : D R un funzione integrbile. Supponimo che per ogni [, b] l ppliczione f(, ) si integrbile su [c, d]. Allor l ppliczione è integrbile sull intervllo [, b] e si h b d c d f(, ) dd = c f(, ) d b ( d c ) f(, ) d d. Similmente se per ogni [c, d] l ppliczione f(, ) è integrbile su [, b], llor l ppliczione è integrbile sull intervllo [c, d] e si h b d c b f(, ) dd = f(, ) d d c ( b ) f(, ) d d.

178 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI L interpretzione geometric dell prim formul di riduzione è l seguente (in mnier nlog si rgion per l second): si sezion l regione tridimensionle A sottes dll superficie z = f(, ) con pini del tipo = k, ottendo un regione pin A di cui si clcol l re. Il volume di A si ottiene integrndo rispetto le ree di A l vrire di in [, b]. z z = f(, ) A Dimostrzione. Vedimo l dimostrzione dell prim formul di riduzione (per l second il rgionmento è nlogo). Poiché per ogni [, b] l ppliczione f(, ) è integrbile su [c, d], è ben definit l funzione g() = d c f(, ) d. L tesi è dimostrt se vedimo che g è integrbile e che b g() d = b d c f(, ) dd. Sino T e S due suddivisioni di [, b] e [c, d] T = { = t < t 1 < < t n+1 = b} e S = {c = s < s 1 < < s m+1 = d}. Notimo che per definizione di integrle si h g() = d c f(, ) d Σ (f(, ), S) = m ( ) inf f(, ) (s j+1 s j ) [s j,s j+1 ] j=

7.5. FORMUL DI RIDUZION 179 e dunque Concludimo che Σ (g, T) = n i= inf g() m ( [t i,t i+1 ] j= n ( i= m ( j= inf g() [t i,t i+1 ] inf f [t i,t i+1 ] [s j,s j+1 ] inf f [t i,t i+1 ] [s j,s j+1 ] ) (t i+1 t i ) ) (s j+1 s j ). ) (t i+1 t i )(s j+1 s j ) = Σ (f, T S) cioè che Σ (g, T) Σ (f, T S). Similmente si dimostr che Σ (f, T S) Σ (g, T). Pssndo l sup e ll inf sulle possibili suddivisioni T e S ottenimo le disuguglinze Poiché f è integrbile su D, si h I (f) I (g) e I (g) I (f). per cui deducimo I (f) = I (f) = b d c f(, ) dd b d f(, ) dd I (g) I (g) b d c c Abbimo dunque che g è integrbile e che f(, ) dd. che è l tesi. b g() d = b d c f(, ) dd Vedimo un esempio di ppliczione delle formul di riduzione. sempio 7.4. Se D = [, 1] [, ], si h 1 dd = dd = D = 1 [ ] d = 1 1 ( ) d d d = [ ] 1 = 1.

18 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI. Le formule di riduzione su un rettngolo forniscono le formule di riduzione per domini normli rispetto gli ssi. Se d esempio è un dominio normle rispetto ll sse delle determinto d due funzioni integrbili α() e β() con b, si h che l integrle di un funzione integrbile f su è dto d ( b ) β() f(, ) dd = f(, ) d d. Similmente se F D è un dominio normle rispetto ll sse delle individuto dlle funzioni integrbili γ, δ : [c, d] R, si h ( d δ() ) f(, ) dd = f(, ) d d. F c α() γ() = β() d = γ() = δ() = α() c b Tli formule si deducono immeditmente dlle formule di riduzione nel rettngolo. Ad esempio, per qunto rigurd i domini normli rispetto ll sse, bst notre che l sezione A dell zon determint d f con bse è semplicemente l zon sotto il grfico di f(, ) sull intervllo [α(), β()]: dunque l re di A è semplicemente β() α() f(, ) d e quindi l integrle doppio si ottiene integrndo tle quntità rispetto [, b]. z z = f(, ) α() = A = b β()

7.5. FORMUL DI RIDUZION 181 sempio 7.5. Clcolimo l integrle doppio ( + ) dd dove = {(, ) R : 1, }. = 1 Si h ( + ) dd = = 1 1 ( ) ( + ) d d = ( 3 + 4 ) [ 4 d = 1 4 + 5 1 [ + ] 1 ] d = 1 4 + 1 1 = 7. 3. Notimo che trmite le formule di riduzione possimo riottenere un risultto già visto studindo gli integrli di un vribile: precismente l re del dominio normle rispetto ll sse dto d = {(, ) R : b, g() f()} = f() = g() b

18 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI è dt chirmente dll differenz delle ree determinte di grfici di f e g, cioè b [f() g()] d. Trmite gli integrli doppi e le formule di riduzione si h ( b ) f() Are() = dd = d = b e si ottiene precismente l stess formul. [f() g()] d 7.6 Formul del cmbimento di vribili In quest sezione ci occupimo dell nlogo per gli integrli doppi dell formul d integrzione per sostituzione per funzioni di un vribile. 1. Inizimo con il definire cos intendimo per cmbimento di coordinte. Si U un perto di R, e dicimo (, ) il suo generico punto. Cmbire le coordinte in U signific pssre nuove coordinte u, v legte lle vecchie d un relzione del tipo { = Φ 1 (u, v) = Φ (u, v). Al vrire di (, ) in U, le coordinte (u, v) descrivono un insieme V. Si dice che Φ è un cmbimento di coordinte di clsse C 1 se Φ : V U è un ppliczione di clsse C 1, invertibile e tle che l invers Φ 1 : U V si di clsse C 1. Il cmbimento di coordinte può nche essere pensto come un trsformzione tr V e U l cui legge è dt d Φ, e che mmette invers Φ 1. Φ g() (u, v) V Φ 1 (, ) U sempio 7.6. Ad esempio { = u + v = u + v è un cmbimento di coordinte di clsse C 1 in R il cui inverso è dto d { u = v =.

7.6. FORMULA DL CAMBIAMNTO DI VARIABILI 183 sempio 7.7 (Le coordinte polri). Sono molto utili nelle ppliczioni le coordinte polri pine: si descrive (, ) trmite (r, ϑ) dove r è l lunghezz del vettore determinto d (, ), e ϑ è l ngolo che esso determin con l sse delle scisse come in figur. (, ) r ϑ Se descrivimo d esempio l insieme U = {(, ) R : 1 + 4, } trmite le coordinte polri, ottenimo che (r, ϑ) vrino nel rettngolo V 1 r e π ϑ π.. Dicimo jcobino del cmbimento di coordinte Φ l ppliczione J Φ : V R definit d ( Φ1 Φ 1 ) J Φ (u, v) = det u v. Possimo dre un significto geometrico J Φ (u, v) nel seguente modo. Φ u Φ v

184 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI v γ (t) u Φ γ 1 (t) Se prendimo un qudrto Q ε di lto ε molto piccolo con un vertice in (u, v ), trmite Φ esso viene trsformto in un poligono A ε lti curvilinei: in prticolre il segmento (u + t, v ) con t ε viene modificto nell curv γ 1 (t) = (Φ 1 (u + t, v ), Φ (u + t, v )) mentre il segmento (u, v + t) con t ε viene modificto nell curv γ (t) = (Φ 1 (u, v + t), Φ (u, v + t)). Per ε piccolo, queste due curve sono ben pprossimte dll rette tngenti in (, ) = Φ(u, v ) le cui direzioni sono dte d ( γ 1() Φ1 = (u, v ), Φ ) (u, v ) e γ () = ( Φ1 (u, v ), Φ ) (u, v ). γ () (, ) γ 1 () Dunque si h per ε piccolo e per t ε γ 1 (t) γ 1 () + tγ 1() = (, ) + tγ 1() e γ (t) γ () + tγ () = (, ) + tγ ()

7.6. FORMULA DL CAMBIAMNTO DI VARIABILI 185 Quindi l re di A ε è pprossimt dll re del prllelogrmm con un vertice in (, ) e con lti dti d εγ 1() e εγ (): ricordndo il significto del prodotto vettorile tr due vettori, quest re è dt d M εγ 1 () εγ () = ε γ 1 () γ (). γ 1 () γ () = J Φ(u, v ). Dunque J Φ (u, v ) può essere interpetrto come il rpporto J Φ (u, v ) = lim ε Are(A ε ) Are(Q ε ). 3. Possimo or enuncire l nlogo dell integrzione per sostituzione per gli integrli doppi. Proposizione 7.8 (Cmbimento di vribili). Sino U, V due perti di R, e si Φ : V U un cmbimento di coordinte di clsse C 1. Si f : U R un funzione continu. Allor per ogni insieme misurbile secondo Riemnn U tle che U, si h che Φ 1 () è misurbile e f(, ) dd = f(φ 1 (u, v), Φ (u, v)) J Φ (u, v) dudv. Φ 1 () In prticolre, scegliendo f = 1 si h Are() = Φ 1 () J Φ (u, v) dudv. L dimostrzione rigoros dell formul del cmbimento di vribili è compless, m l ide che ne st ll bse è tutt contenut nel significto geometrico del termine J Φ (u, v) che bbimo visto l punto precedente. Inftti un somm di Riemnn dell integrle secondo membro rispetto d un qudretttur nel pino (u, v) con qudrti Q ij ε di lto ε e con il vertice in bsso sinistr dto d (u ij, v ij ) è dt d S ε = i,j f(φ(u ij, v ij )) J Φ (u ij, v ij ) Are(Q ij ε ). M se Φ(u ij, v ij ) = ( ij, ij ), e A ij ε è il trsformto trmite Φ di Q ij ε, llor grzie l significto geometrico di J Φ, per ε piccolo tle somm è prossim S ε i,j f( ij, ij )Are(A ij ε ). Il secondo membro è un somm di Riemnn per l integrle primo membro reltivo d un qudretttur curviline nel pino dt di qudrilteri curvilinei A ij ε e pertnto S ε pprossim l integrle doppio inizile.

186 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI v Q ij ε A ij ε u sempio 7.9. Clcolimo dove Fccimo il cmbimento di vribili { = u cioè Φ(u, v) = (u, u v). Si h L insieme T divent l insieme per cui I = T Φ ( ) 1 + ( ) dd T = {(, ) R :, }. = v J Φ (u, v) = det = { = u ( 1 1 1 = u v ) = 1. u, v v du dv = 1 + v = [v rctn v] = ( rctn). v 1 + v dv = 1 1 1 + v dv 4. Nel cso delle coordinte polri pine si h che J Φ (r, ϑ) = r così che si h f(, ) dd = f(r cos ϑ, r sin ϑ)rdrdϑ. sempio 7.1. Considerimo I = Φ 1 () T dd dove T = {(, ) R : + 4,, }.

7.6. FORMULA DL CAMBIAMNTO DI VARIABILI 187 + = 4 Allor con il cmbimento di coordinte polri, bbimo che T divent l insieme S = [, ] [, π/] e dunque I = (r cos ϑ)r dr dϑ = = = π 4 S π r 31 + cos ϑ r 3 dr = π 4 [ r 4 4 drdϑ = ] = π. π r 3 cos ϑdr dϑ r 3 [ ϑ ] π/ sin ϑ + 4 dr sempio 7.11. Vedimo or come gli integrli doppi e l sostituzione con le coordinte polri ci permettno di clcolre il seguente integrle I = + e d che risult fondmentle in teori dell probbilità. Tle integrle è d intendersi come I = lim + I = lim + e d. Innnzitutto si può vedere che I è finito dl momento che (us lo sviluppo di Tlor) e lim e d + lim + e + 1 + 1 d lim [ + rctn] = π.

188 CAPITOLO 7. INTGRALI DOPPI Considerimo l integrle doppio e T dd dove > e Trmite le coordinte polri si h Deducimo che e T D ltro cnto, si h che lim + T = { (, ) R : + }. dd = π = π e r rdrdϑ re r dr = π lim e dd = π. + T e T [ ] 1 e. dd = lim e dd + Q dove Q indic il qudrto [, ] [, ], dl momento che entrmbi gli integrli stnno tendendo ll integrle di e su tutto il pino. Dlle formule di riduzione si h che dd = e d e d = I. Dunque ottenimo d cui e Q I = I = lim + I = π + sercizi e d = π. 1. Si R un insieme limitto. Dimostrre che è misurbile secondo Riemnn se e solo se h re null.. Si γ : [,b] R un curv di clsse C 1 e di lunghezz finit: dimostrre che γ([,b]) h re null. 3. Si = [,1] Q. Dimostrre che non è misurbile secondo Riemnn. 4. Trovre un funzione f : [,1] R non integrbile secondo Riemnn.

7.6. FORMULA DL CAMBIAMNTO DI VARIABILI 189 5. Sino f : [,1] [,] R e g : [1,] [,] R due funzioni integrbili secondo Riemnn, e si h : [,] R un funzione qulsisi. Dimostrre che l funzione u : [,] R è integrbile secondo Riemnn. f(,) se [,1[ u(,) = g(,) se ]1,] h() se = 1 6. Si f : [,1] R integrbile secondo Riemnn. È vero che per ogni [,1] l funzione g() = f(,) è integrbile secondo Riemnn? 7. Si un insieme simmetrico rispetto ll sse, e si f : R un funzione integrbile secondo Riemnn pri rispetto. Sino = { < } e + = { > }. Trmite l formul del cmbimento di vribili dimostrre che f(,)dd = f(,)dd + così che (Suggerimento: consider Φ(u, v) = ( u, v).) f(,)dd = f(,)dd. + 8. Si un insieme simmetrico rispetto ll sse, e si f : R un funzione integrbile secondo Riemnn dispri rispetto. Sino = { < } e + = { > }. Trmite l formul del cmbimento di vribili dimostrre che f(,)dd = f(,)dd così che (Suggerimento: consider Φ(u, v) = ( u, v).) f(,)dd =.