CENNI DI TEORIA DEI NUMERI 1 Filippo Giota Settebre 011 "(la ateatica) proprio coe la usica può stiolare e alietare u odo supreo del pesiero, apliado la felicità di coloro che la creao o la capiscoo" (Godfrey Harold Hardy, ateatico iglese, 1877 1947) 1. U po di storia I Nueri o soo ua ivezioe dell uaità, soo ua scoperta, esistevao già i odo del tutto idipedete dalla razza uaa. I ueri soo u liguaggio che tutti oi dobbiao parlare ogi gioro della ostra vita. Il cotare è u attività istitiva dell uoo, quasi coe caiare e parlare: i ueri soo u liguaggio ecessario a copiere questa attività, tato quato le parole (i qualsiasi idioa) soo ecessarie per parlare. Ua delle prie attività uae fu la pastorizia ed il pastore priitivo trovadosi ella ecessità di cotare i capi di bestiae ricorse ad u sistea eccaico, icidedo su di u troco d'albero u sego per ogi capo: era così i grado di verificare se vi fossero capi acati. Le prie testioiaze i questo seso soo fossili di 30 ila ai fa, coperti di buchi o di segi troppo regolari per essere casuali. Oltre a tacche el lego veivao usati odi, dita di ai e piedi, buchi, icisioi, tagli su pezzi d'osso o di lego. I questo odo si itroduce il cocetto di uero cardiale. Acora oggi gli Eschiesi cotao sulle dita fio a cique, e, co l'aiuto delle dita delle ai e dei piedi, possoo arrivare fio a veti, ciò che viee chiaato "u uoo itero". Gli abitati della Papua Nuova Guiea si toccao varie puti del corpo per idetificare u uero arrivado fio al uero. I Asia veivao usate le falagi delle dita riuscedo così a cotare fio a 8. Ache se si voglioo raggruppare oggetti si possoo usare raggruppaeti aturali coe quelli a cique a cique che corrispodoo alle dita di ua ao, o a dieci a dieci se cosideriao etrabe le ai. Quest'ultio sistea fu quello che dette origie al ostro sistea di uerazioe deciale. La ligua fracese coserva acora traccia del sistea di uerazioe i base 0 (dita delle ai e dei piedi) ifatti per dire 83 si dice quatre-vigt-trois (quattro volte veti più tre). U altro esepio è il sistea che adottiao per desigare il passare del tepo o la isura degli agoli, i cui si usa la base 60 che deriva dal sistea suero/babiloese. I ueri servoo a cotare, a ache a calcolare, ossia ad elaborare i dati per otteere iforazioi suppleetari: il terie calcoli desigava le pietre che portavao icisioi geoetriche e che servivao per cotare. Ache i Sueri usavao i "calcoli", che erao sassolii sagoati (u coo piccolo = 1, ua sfera piccola = 10, u coo grade = 60...). Il terie calcolo deriva dal latio calculus, cioè sasso. I popoli atichi per far di coto o usavao cifre scritte a oggetti fisici, coe abachi e pallottolieri. Il liite di questi strueti deriva dal fatto che i coti così eseguiti o hao "eoria", ossia o perettoo di ripercorrere le fasi di u calcolo per localizzare u evetuale errore; ioltre per cotare è utile rappresetare graficaete i ueri, per questi otivi quasi tutte le civiltà ivetaroo siboli. U altro problea è sepre stato quello di scrivere, co u uero liitato di siboli, u uero illiitato di ueri, dato che o si poteva avere u sibolo per ogi uero: veero così ivetati, i tepi diversi e presso popolazioi diverse, olti sistei di uerazioe. I più atichi cocetti di uero si possoo riscotrare ella ligua iglese odiera dove i vocaboli eleve e twelve sigificavao, i origie, "uo i più" e "due i più". I prii ueri scritti che oi coosciao soo quelli che Figura 1: I Sueri cotao utilizzado le tavolette d'argilla che soo delle vere e proprie calcolatrici tascabili. furoo usati circa 5000 ai a.c. dagli Egiziai e dai Sueri. I Sueri per scrivere i ueri, usavao soltato due 1 Adattato per ua pria classe di Liceo Scietifico 1
siboli a fora di cueo, uo verticale rappresetava il uero 1 ed ua riga orizzotale il 10. Gli Egiziai avevao u sistea di cifre co cui potevao superare il ilioe. Per i prii 9 ueri usavao gruppi di liee; per le decie ua U rovesciata e per le cetiaia ua spirale. Le quatità aggiori erao rappresetate co i geroglifici, coe l'uoo seduto co le braccia rivolte verso il cielo che idicava u ilioe. L'ivezioe dell'alfabeto portò olte civiltà, coe quella greca e quella ebraica, ad utilizzare le lettere per rappresetare i ueri. I Grecia, a partire dal quito secolo a.c., si sviluppò ua scrittura che adoperava, per idicare i ueri, le 4 lettere dell'alfabeto, co l'aggiuta di tre segi ausiliari presi a prestito da alfabeti di altre ligue. Alle lettere adoperate coe ueri veiva aggiuto u apice i alto a destra, per distiguerle dalle lettere ordiarie. Il sistea greco era troppo coplicato per perettere di eseguire calcoli co scioltezza. Per o accuulare troppi segi, popoli coe gli Ebrei fecero ricorso ai propri alfabeti, dado alle lettere ache il valore di ueri: A=1 Figura : Papiro di Rhid B= e così via. Figura 4: Due pagie della tavola delle eclissi solari del codice di Dresda. I puti rappresetao il uero 1, le barre orizzotali il uero 5 e le posizioi, che devoo essere lette verticalete dall'alto al basso, soo espresse i poteze di veti (oi cotiao i poteze di dieci). I Maya la cui civiltà si sviluppò el Sud del Messico e ell'aerica cetrale circa 5000 ai fa, usaroo uo dei sistei di uerazioe più iteressati dell'atichità. Poiché la loro civiltà era copletaete tagliata fuori dalle civiltà sorte sulle rive del Mediterraeo, tutta la loro cultura si sviluppò i odo idipedete e così pure il loro sistea di uerazioe, che si basava solo su tre siboli: u puto, u segeto e u quadrato. I Maya potevao scrivere qualsiasi uero usado solo questi siboli che veivao scritti verticalete. Il loro sistea di uerazioe, che si ispirava al caledario, era a base 0. Mateatici abilissii, cooscevao il cocetto di zero, cioè di u uero che idica la quatità ulla, e lo rappresetavao co u sibolo speciale, u occhio stilizzato: ovale. La loro più grade ivezioe fu quella di u sistea posizioale i cui le cifre hao valore diverso secodo la posizioe (ad esepio quelle a destra idicao l'uità). Ache i Roai, per scrivere i ueri, utilizzaroo le lettere del loro alfabeto: I, u dito, corrispodeva a ua uità; II, a due uità; V, la ao aperta, idicava cique uità; VI, cique uità più uo; X, etrabe le ai aperte, sigificava dieci uità. Più tardi la uerazioe si perfezioò: alcui ueri veero idicati co lettere dell'alfabeto (ad esepio, L = ciquata; C = ceto). I Roai igoraroo sepre l'uso dello zero. Il loro sistea di uerazioe è detto additivo perché ell'idicare u uero si addizioao o si sottraggoo i valori dei diversi siboli; la posizioe dei siboli è iportate perché si fa u'addizioe o ua sottrazioe a secoda che u sibolo sia alla destra o alla siistra di u altro. Agli Idiai si deve l'ivezioe del sistea di uerazioe posizioale i base dieci portato i occidete dagli Arabi. Abili calcolatori, aipolavao ueri olto gradi. Adoperaroo quei ueri irrazioali che i greci tratterao co diffideza. Operavao su radici quadrate e cubiche. Ivetaroo lo zero ed i ueri relativi. La facilità co cui percepiao il diverso valore di u uero a secoda della posizioe che occupa è il risultato di ua delle ivezioi più iportati della storia dell'uaità: i sistei di uerazioe posizioale. Figura 3: Nuerazioe geroglifica
Il sistea di uerazioe deciale che usiao oggi acque el ord dell'idia el V sec. a.c. e perché questo eveto si verificasse è stata ecessaria la coicideza di 3 fattori: u sistea di cifre che idicassero le uità dall'1 al 9 e che: 1. potessero essere rappresetate da u sibolo grafico;. potessero essere u sistea di uerazioe posizioale; 3. coteplassero il uero zero. Il ostro sistea di uerazioe, il sistea deciale o a base 10, fu iportato i Europa el 13 da Leoardo Fiboacci, che i "Liber Abaci" spiega questo uovo odo di scrivere i ueri, già i uso presso gli Arabi e appreso dagli Arabi stessi i Idia, e deoiato perciò ido-arabico. Il oe zero deriva da "zefiro" (dolce veticello). Gli storici pesao che questo sistea di uerazioe abbia raggiuto lo sviluppo fiale, co l'uso dello zero e la sua fora posizioale, tra il 400 e il 700 d.c., cioè soltato 1500 ai fa. Si serve di dieci siboli fodaetali: 0, 1,,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che si chiaao cifre e co i quali si può scrivere qualuque uero, ache olto grade. Secodo le stie fatte dai glottologi, al odo si parlao circa 1500 ligue diverse e questa olteplicità di idioi è u ostacolo, ache se o è l'uica causa, per ua aggiore collaborazioe fra i popoli. Negli ai soo stati fatti olti tetativi di ivetare ua uova ligua che potesse essere uiversale, la più faosa è l'esperato che fu ideata dall'oculista polacco Leizer L. Zaehof el 1887. Si può, ivece, asserire che la ligua utilizzata co aggior successo a livello odiale è la ligua dei ueri, cioè la ateatica, grazie alla quale l'uaità ha coquistato cose che u tepo apparivao irraggiugibili: volo aereo, elettricità, coquista dello spazio, eergia ucleare, ecc... 3
. L Isiee N dei ueri aturali Toriao al pastore preistorico e alla sua ecessità di segare co ua tacca ogi aiale che possedeva: a sua isaputa, questo pastore co quelle sue tacche stava defiedo ua relazioe d equivaleza tra due isiei. Adiao, allora, ello specifico. Cosideriao l isiee uiverso U, i cui eleeti soo tutti gli isiei iagiabili e defiiao i U la seguete relazioe R : A, B U, A B R ogi eleeto di B è iagie di uo ed u solo eleeto di A. Diostriao che la relazioe R è ua relazioe d equivaleza. Figura 5: La relazioe R Proprietà riflessiva: ogi isiee A U è i relazioe co sé stesso i quato ogi eleeto di A è iagie di sé stesso e solo di sé stesso. Figura 6: La proprietà riflessiva di R Proprietà sietrica: se AR B, allora ogi eleeto b di B è iagie di uo ed u solo eleeto a di A, di cosegueza ogi eleeto a di A è iagie di uo ed u solo eleeto b di B, quidi ache B A R. A B Figura 7: La proprietà sietrica di R Proprietà trasitiva: se AR B e BR C, allora ogi eleeto b di B è iagie di uo ed u solo eleeto a di A ed ogi eleeto c di C è iagie di uo ed u solo eleeto b di B, di cosegueza ogi eleeto c di C è iagie di uo ed u solo eleeto a di A, quidi ache AR C. A B C La relazioe R è quidi ua relazioe d equivaleza. Figura 8: La proprietà trasitiva di R Di cosegueza è possibile costruire le classi d equivaleza rispetto a R, ad ogua delle quali si attribuisce il oe uero aturale ed u sibolo che la rappreseti. Più precisaete, idicado co [A] la classe d equivaleza dell isiee A rispetto alla relazioe R, cioè l isiee di tutti gli isiei che soo i relazioe R co A, si ha: = 0 = 1 = = 3 e così via. L isiee quoziete U R, cioè l isiee di tutte queste classi di equivaleza, prede il oe di isiee dei ueri aturali e si idica co la lettera N. Per coe soo stati costruiti questi ueri aturali, è evidete coe ci sia u uero da cui partire e sepre u uero che viee dopo, seza ai arrivare ad ua fie. Queste evideze furoo raccolte dal ateatico italiao Giuseppe Peao (1858-193) che el 1881 attraverso ua serie di assioi foralizza il cocetto di uero aturale e il loro ordiaeto: 4
Assioa 1: Assioa : Assioa 3: Assioa 4: Lo zero è u uero aturale. Il successivo di u uero aturale è u uero aturale. Nueri aturali che hao lo stesso successivo soo uguali. Lo zero o è il successivo di alcu uero aturale. Assioa 5: (Assioa di iduzioe) Se P N è tale che 0 P ed ioltre da P segue 1 allora P = N. P Questi assioi descrivoo l'isiee N, el seso che le sue proprietà possoo essere dedotte da essi. Co gli assioi sappiao quidi da dove partiao, a dove arriviao? Naturalete all ifiito, a ci arriviao i u odo solo. È questo il sigificato del quito assioa di Peao, quello dell iduzioe ateatica: se ua proprietà vale per 0 e sappiao ache che se vale per u aturale qualsiasi allora vale ache per il successivo di, tale proprietà vale per tutti i aturali. Coe per il quito postulato di Euclide, ache i questo caso dobbiao laciarci olto più i là del resto: i questo caso abbiao u uero ifiito di passaggi logici da eseguire, tutti coodaete ipacchettati i u sigolo postulato. Lasciao al lettore l approfodieto del quito assioa di Peao. I questa sede ci iteressa, a questo puto, dopo aver costruito i ueri aturali, defiire le operazioi i N e le relative proprietà. Pria di passare alla defiizioe forale delle operazioi, vogliao far otare esplicitaete coe i cique assioi di Peao defiiscao i N u ordie aturale: 3. Le operazioi i N Addizioe : dati due ueri aturali ed, addizioare vuol dire trovare il uero aturale che si ottiee a partire da e uovedosi, seguedo l ordie, di tate uità quate soo quelle idicate dal uero : Ad esepio svolgere l addizioe 4 vuol dire partire dal puto B e uoversi verso destra di 4 uità, fio quidi ad arrivare al puto F, leggedo così il risultato 6. Nell addizioe = s, co,, s N, i ueri ed si chiaao addedi, il uero s si chiaa soa. Proprietà dell addizioe: Operazioe itera: la soa di due ueri aturali è sepre u uero aturale:, N. N, Di.: uovedosi ell ordie aturale, a partire da u uero aturale si arriverà sepre ad u uero aturale (applicazioe del quito postulato di Peao). Si preferisce i questa sede, ache i cosiderazioe della classe cui soo rivolti questi apputi, di o usare il pricipio di iduzioe per la defiizioe dell addizioe, a di usare ua defiizioe più ituitiva, a o per questo eo rigorosa. 5
Proprietà coutativa: cabiado l ordie degli addedi, la soa o cabia: =,, N. Di.: uoversi a partire da di uità e uoversi a partire da di uità, ci porterà sepre al uero che si trova ad uità da zero. Proprietà associativa: dovedo soare tra loro tre o più ueri aturali, o è iportate quali ueri si iiziao a soare: ( ) k = ( k ),,, k N. Di.: aaloga alla precedete. Eleeto eutro: esiste u uero aturale che soato ad u qualsiasi altro uero aturale o e cabia il valore: 0 N : N, 0 = 0 =. Di.: 0 vuol dire partire da e o uoversi. Sottrazioe: dati due ueri aturali ed, co, fare la sottrazioe - vuol dire trovare u uero aturale d che soato ad dia coe risultato : = d d =,, N, co. Nella sottrazioe - = d, co,, d N, il uero si chiaa iuedo, si chiaa sottraedo e d si chiaa differeza. Proprietà della sottrazioe: Operazioe o itera: la differeza di due ueri aturali o è sepre u uero aturale:, N, co <, N, i quato se < o esiste alcu uero aturale d tale che d =. Proprietà ivariativa: addizioado o sottraedo ad etrabi gli operatori di ua sottrazioe lo stesso uero la differeza o cabia: = ( ± k ) ( ± k ),,, k N che redao possibili i N le sottrazioi. Di.: ( k ) ( k ) = d d ( k ) = ( k ) (per la proprietà associativa dell addizioe) ( d ) k = ( ) k d = = d. Quidi = d = ( ± k ) ( ± k ), c.v.d.. Moltiplicazioe: dati due ueri aturali ed, fare la oltiplicazioe vuol dire trovare il uero aturale p che si ottiee soado co se stesso per volte: =...,, N. volte Nella oltiplicazioe = p, co,, p N, i ueri ed si chiaao fattori e p si chiaa prodotto. Proprietà della oltiplicazioe: Operazioe itera: il prodotto di due ueri aturali è sepre u uero aturale:, N, N. Ifatti ua oltiplicazioe è u addizioe ripetuta e l addizioe è u operazioe itera ad N. Proprietà coutativa: cabiado l ordie dei fattori, il prodotto o cabia: =,, N. Di. (per via grafica ituitiva): 6
Proprietà associativa: dovedo oltiplicare tra loro tre o più ueri aturali, o è iportate quali ueri si iiziao a oltiplicare: ( ) k = ( k ),,, k N. Di. (per via grafica ituitiva): Proprietà distributiva: la oltiplicazioe si distribuisce rispetto all addizioe e alla sottrazioe: ( ± k ) = ± k,,, k N. Di. (per via grafica ituitiva): Eleeto eutro: esiste u uero aturale che oltiplicato ad u altro qualuque uero aturale o e cabia il valore: 1 N : N, 1 = 1 =. Di.: 1 =... =. 1 volta Eleeto aullatore: esiste u uero aturale che oltiplicato ad u altro qualuque uero aturale e aulla il valore: 0 N : N, 0 = 0 = 0. Di.: 0 = 0 = 0... 0 = 0. volte Legge di aullaeto del prodotto: se u prodotto è ullo, aleo uo dei due fattori è zero: = 0 = 0 = 0. Divisioe: si dice che u uero aturale è ultiplo del uero aturale (o che è u divisore di ) se esiste u uero aturale k tale che = k. Dati due ueri aturali ed, co ultiplo di ed 0, fare la divisioe : vuol dire trovare u uero aturale q che oltiplicato ad dia coe risultato : : = q q =,, N, co ultiplo di e 0. Nella divisioe : = q, co ultiplo di e 0, il uero si chiaa dividedo, si chiaa divisore e q si chiaa quoto. Proprietà della divisioe: Operazioe o itera: la divisioe tra due ueri aturali o è sepre u uero aturale:, N, co o ultiplo di, : N, i quato se o è ultiplo di o se è zero, o esiste alcu uero aturale q tale che q 7 =. Proprietà ivariativa: oltiplicado o dividedo etrabi gli operatori di ua divisioe per lo stesso uero diverso da zero il quoto o cabia: : = ( k ) : ( k ) e : = ( : k ) : ( : k ),,, k N che redao possibili le divisioi. Di.: ( k ) : ( k ) = q q ( k ) = k (per la proprietà associativa della oltiplicazioe) ( q ) k = ( ) k q = : = q. Quidi : = q = ( k ) : ( k ), c.v.d..
Proprietà distributiva: la divisioe si distribuisce a destra rispetto all addizioe e alla sottrazioe: ( ± k ) : = : ± k :,,, k N, che redao possibili le divisioi. Elevaeto a poteza: dati due ueri aturali ed, co diverso da zero, elevare ad vuol dire oltiplicare per se stesso tate volte quate soo le uità di : Nella poteza, co 0 Proprietà delle poteze: =...,, volte 8. N, co 0, il uero si chiaa base ed si chiaa espoete. Operazioe itera: essedo la poteza ua oltiplicazioe ripetuta, la poteza, co 0, è u operazioe itera ad N Proprietà del prodotto di egual base: il prodotto di due poteze che hao la stessa base è u altra poteza che ha per base la stessa base e per espoete la soa degli espoeti: a a = a, co a,, N e 0 Di.: a a = a... a a... a = a... a = a. volte volte volte a. Proprietà del rapporto di egual base: il rapporto di due poteze che hao la stessa base è u altra poteza che ha per base la stessa base e per espoete la differeza degli espoeti: a : a a =, co,, Di.: a : a = a... a : a... a = a... a = a. volte volte volte a N e a 0 e. Proprietà distributiva sulla oltiplicazioe: il prodotto di due poteze che hao lo stesso espoete è u altra poteza che ha per base il prodotto delle basi e per espoete lo stesso espoete: a b = ( a, co a, b, N e a, b 0. Di.: ( a ( a... ( a = = volte = (... ) (... ) a a b b = a b volte volte, c.v.d.. per le proprietà coutativa e associativa della oltiplicazioe = Proprietà distributiva sulla divisioe: il rapporto di due poteze che hao lo stesso espoete è u altra poteza che ha per base il rapporto delle basi e per espoete lo stesso espoete: a : b = ( a :, co a, b, N e a, b 0 e a ultiplo di b. Di.: aaloga alla precedete. Proprietà di poteza di poteza: la poteza di ua poteza è uguale ad u altra poteza che ha per base la stessa base e per espoete il prodotto degli espoeti: ( a ) a =, co,, Di.: ( )............... a N e a 0. = = = = volte volte volte volte volte a a a a a a a a a a Proprietà dello zero: ogi uero aturale elevato a zero è uguale a 1: 0 a = 1, co a N e a 0. Di.: osserviao che applicado la proprietà del prodotto ad egual base deve essere 0 0 0 0 a a = a = a, cioè a deve essere eleeto eutro per la oltiplicazioe, cioè. a = 1.
Criteri di divisibilità: riportiao di seguito i pricipali criteri di divisibilità, seza sofferarci sulla loro diostrazioe. U uero aturale è divisibile per se è u uero pari. U uero aturale è divisibile per 3 se la soa delle sue cifre è ultiplo di 3. U uero aturale è divisibile per 4 se le sue ultie due cifre soo 00 oppure forao u uero ultiplo di 4. U uero aturale è divisibile per 5 se teria co 0 oppure co 5. U uero aturale è divisibile per 9 se la soa delle sue cifre è ultiplo di 9. U uero aturale si dice prio se è divisibile solo per se stesso e per 1. E ovvio che tutti i ueri prii soo dispari trae, che quidi è l uico uero prio pari. Ioltre, il uero 1 o è cosiderato uero prio. M.C.D. e.c..: ricordiao che per il teorea fodaetale dell aritetica, «ogi uero aturale aggiore di 1 o è u uero prio o si può espriere coe prodotto di poteze di ueri prii. Tale rappresetazioe è uica, se si prescide dall'ordie i cui copaioo i fattori.» Allora, dati due o più ueri aturali, dopo averli scoposti i fattori prii, si defiisce Massio Cou Divisore il più grade dei divisori i coue ai ueri i esae e si calcola oltiplicado tra loro solo i fattori coui presi co il iio espoete. Il iio coue ultiplo, ivece, è il ultiplo più piccolo coue ai ueri dati e si calcola oltiplicado tra loro i fattori coui e o coui, presi ua volta sola, ciascuo co il assio espoete co cui figura. 9
4. L isiee Z dei ueri iteri Nelle pagie precedeti abbiao costruito i ueri aturali e il loro isiee N, all itero del quale abbiao defiito le quattro operazioi, osservado però che o tutte soo itere ad N. I particolare è possibile fare la sottrazioe solo se. Al fie di redere itera ache la sottrazioe è ecessario, quidi, apliare l isiee N co altri tipi di ueri: i ueri iteri. Cosideriao il prodotto cartesiao N = N N = {( a; : a N, b N } ed i esso defiiao la seguete relazioe: ( a; R( c; d ) a d = b c, ( a;,( c; d ) N. Diostriao che detta relazioe è di equivaleza. Proprietà riflessiva: ( a; R( a; a b = b a, ( a; N, i quato per l addizioe tra ueri aturali vale la proprietà coutativa. Proprietà sietrica: ( a; R( c; d ) ( c; d ) R ( a;, ( a;,( c; d ) N, i quato ( a; R( c; d ) a d = b c c b = d a ( c; d ) R ( a;, dove si è usata la proprietà coutativa dell addizioe i N e la proprietà sietrica dell uguagliaza. Proprietà trasitiva: ( a; R( c; d ) ( c; d ) R( e; f ) ( a; R ( e; f ), ( a;,( c; d ),( e; f ) N, i quato ( a; R( c; d ) ( c; d ) R( e; f ) ( a d = b c) ( c f = d e) ( a = b c d ) ( f = d e c) a f = b c/ d/ d/ e c/ = b e ( a; R( e; f ). La relazioe R è quidi ua relazioe d equivaleza. Di cosegueza è possibile costruire le classi d equivaleza rispetto a R, che potrao essere solo di tre tipi: 1. classi d equivaleza del tipo ( a;. classi d equivaleza del tipo ( a; 3. classi d equivaleza del tipo ( a; co a > b; co a = b; co a < b. Ad esepio: 1. ( 5;3 ) = {( a; N : ( a; R ( 5;3 )} = {( a; N : a 3 = b 5} = {( ;0 ),( 3;1 ),( 4; ),...} = ( ;0), cioè l isiee di tutte le coppie di ueri aturali che avrao il prio eleeto di 5 3 = uità più grade del secodo;. ( 3;3 ) = {( a; N : ( a; R ( 3;3 )} = {( a; N : a 3 = b 3} = {( 0;0 ),( 1;1 ),( ; ),...} = ( 0;0), cioè l isiee di tutte le coppie di ueri aturali che avrao il prio eleeto di 3 3 = 0 uità più grade del secodo; 3. ( 3;5 ) = {( a; N : ( a; R ( 3;5 )} = {( a; N : a 5 = b 3} = {( 0; ),( 1;3 ),( ;4 ),...} = ( 0;), cioè l isiee di tutte le coppie di ueri aturali che avrao il prio eleeto di 5 3 = uità più piccolo del secodo. Geeralizzado, l isiee N risulterà ripartito elle segueti classi d equivaleza: 1. le classi d equivaleza del tipo ( a;0) 0;0 ;. la classe d equivaleza ( ) 3. le classi d equivaleza del tipo ( 0;a), a N ;, a N. 10
Alle classi d equivaleza del tipo 1 si dà il oe di uero itero positivo e si idicao co il sibolo a. Alla classe d equivaleza del tipo si dà il oe di uero itero zero e si idica co il sibolo 0. Alle classi d equivaleza del tipo 3 si dà il oe di uero itero egativo e si idicao co il sibolo a. L isiee quoziete N R, cioè l isiee forato da tutti i ueri iteri positivi, dallo zero e da tutti i ueri iteri egativi si idica co il sibolo Z e si chiaa isiee dei ueri iteri. Dato u uero itero x, si defiisce valore assoluto di x il corrispodete uero aturale che lo defiisce: a = ( a;0) = a, a N ; 0 = ( 0;0) = 0 ; ( 0; ) a = a = a, a N. Due ueri iteri si dicoo cocordi se hao lo stesso sego (ad es. 3 e 6), si dicoo discordi se hao segi diversi (ad es. 3 e -6), si dicoo opposti se soo discordi e hao lo stesso valore assoluto (ad es. 3 e -3). Per coe è defiito, è ovvio che tra l isiee dei ueri iteri o egativi Z 0 e l isiee dei ueri aturali N si può deteriare ua relazioe biuivoca (cioè ad ogi uero itero o egativo (a;0) si può associare i uo ed u sol odo il uero aturale a); di cosegueza ogi uero itero o egativo può essere cosiderato coe uero aturale; di cosegueza tutte le proprietà e le operazioi defiite i N si possoo trasportare i Z 0. Quidi, i defiitiva, il uero può essere cosiderato sia uero aturale sia uero itero. 5. Le operazioi i Z Addizioe: date due coppie ordiate ( a;,( c; d ) N, defiiao la seguete operazioe di addizioe: ( a; ( c; d ) = ( a c; b d ). Per poter estedere tale defiizioe ai ueri iteri, osserviao che se ( a; R ( a'; b' ) e ( c; d ) R ( c'; d '), allora, ovviaete, (( a; ( c; d )) R (( a '; b' ) ( c'; d ')) ; di cosegueza possiao usare la defiizioe precedete per defiire l operazioe di addizioe tra ueri iteri: 1. addizioe tra ueri iteri cocordi: la soa di due iteri cocordi è quel uero itero che è cocorde co gli addedi e che ha per valore assoluto la soa dei valori assoluti degli addedi. Es.: ( 3) ( 4) = ( 3;0) ( 4;0) = ( 3 4;0) = ( 7;0) = 7 ; ( 3) ( 4) = ( 0;3) ( 0; 4) = ( 0;3 4) = ( 0;7) = 7.. addizioe tra ueri iteri discordi: la soa di due iteri discordi è quel uero itero che è cocorde co l addedo di valore assoluto aggiore e che ha per valore assoluto la differeza dei valori assoluti degli addedi. Es.: ( 3) ( 4) = ( 3;0) ( 0; 4) = ( 3; 4) = ( 0;1) = 1; ( 3) ( 4) = ( 0;3) ( 4;0) = ( 4;3) = ( 1;0 ) = 1. Le proprietà dell addizioe i Z soo esattaete le stesse dell addizioe i N. 11
Sottrazioe: la differeza di due iteri è la soa tra il iuedo e l opposto del sottraedo: a b = a (, a, b Z. Es.: 4 (-6) = 4 (6) = 10. Dal oeto che tutti i ueri iteri hao l opposto (basta scabiare l ordie della coppia, ad esepio l opposto di = ( 0;) è ( ;0) = ) e dal oeto che l addizioe è itera a Z, ache la sottrazioe diveta u operazioe itera a Z. Ache i Z la sottrazioe gode della proprietà ivariativa. Le due operazioi, addizioe e sottrazioe, i Z vegoo deotate co il solo oe di soa algebrica. Ache la soa algebrica gode della proprietà coutativa, a patto di seguire le segueti regole: ogi terie deve coservare il proprio sego (es. -3 4 = 4 3= 1); quado u terie viee portato al prio posto, se è positivo si può scrivere seza sego, se è egativo occorre scrivere davati ad esso il sego (es. -5-3 = - 3 5 = -8); quado si sposta il terie che si trova al prio posto, se o è preceduto da u sego, esso dovrà essere scritto co il sego (es. 5 4 = -4 5 = 1). Per liberare, poi, ua soa algebrica da ua coppia di paretesi, se la pria paretesi è preceduta dal sego si riscrivoo i terii coteuti elle paretesi co il loro sego; se ivece è preceduta dal sego si riscrivoo i terii coteuti elle paretesi co il sego cabiato. Es.: (6 9 5) = 6 9 5; - (6 9 5) = - 6 9 5. Moltiplicazioe: date due coppie ordiate ( a;,( c; d ) N, defiiao la seguete operazioe di oltiplicazioe: ( a; ( c; d ) = ( a c b d; a d b c). Per poter estedere tale defiizioe ai ueri iteri, osserviao che se ( a; R ( a'; b' ) e ( c; d ) R ( c'; d '), allora, ovviaete, (( a; ( c; d )) R( ( a '; b' ) ( c'; d ')) ; di cosegueza possiao usare la defiizioe precedete per defiire l operazioe di oltiplicazioe tra ueri iteri, diostrado i particolare ache la faosa regola dei segi. 1. Prodotto di ueri iteri positivi ( = ): ( ) ( ) ( ;0) ( ;0) ( 0 0; 0 0 ) ( ;0) a b = a b = a b a b = a b = ab, a, b N.. Prodotto di ueri iteri egativi ( = ): ( ) ( ) ( 0; ) ( 0; ) ( 0 0 ;0 0 ) ( ;0) a b = a b = a b b a = a b = ab, a, b N. 3. Prodotto di u uero itero positivo ed u uero itero egativo ( = = ): ( a) ( = ( a;0) ( 0; = ( a 0 0 b; a b 0 0) = ( 0; a = ab, a, b N. Le proprietà della oltiplicazioe i Z soo esattaete le stesse della oltiplicazioe i N. Divisioe: dati due ueri iteri ed, co ultiplo di ed 0, fare la divisioe : vuol dire trovare u uero itero q che oltiplicato ad dia coe risultato : : = q q =,, Z, co ultiplo di e 0. Le proprietà della divisioe i Z soo esattaete le stesse della divisioe i N. 1
Elevaeto a poteza: la defiizioe e le proprietà dell elevaeto a poteza i Z soo esattaete le stesse di quelle i N. Osserviao che i Z si cosiderao solo le poteze che hao per espoete u uero aturale. Ioltre: 1. base egativa ed espoete pari: il risultato di ua poteza a base egativa ed espoete pari è positivo: ( )... ( ) a = a a a a = a.. base egativa ed espoete dispari: il risultato di ua poteza a base egativa ed espoete dispari è egativo: ( )... ( ) a = a a a a a = a. Quidi, il risultato di ua poteza è sepre positivo trae il caso i cui la base è egativa e l espoete è dispari. 13
6. L isiee Q dei ueri razioali Nelle pagie precedeti abbiao defiito i ueri iteri e il loro isiee Z, all itero del quale abbiao defiito le quattro operazioi, osservado però che o tutte soo itere. I particolare soo itere l addizioe, la oltiplicazioe e la sottrazioe. Resta, allora, da defiire u altro isiee el quale diveti itera ache la divisioe. Cosideriao il prodotto cartesiao Z Z, dove Z è l isiee dei ueri iteri positivi, ed itroduciao i esso la seguete relazioe: ( a; σ ( c; d ) a d = b c, co a, c Z e b, d Z. Diostriao che σ è ua relazioe d equivaleza. Proprietà riflessiva: ( a; σ ( a; a b = b a, ( a; Z Z, i quato per la oltiplicazioe tra ueri iteri vale la proprietà coutativa. Proprietà sietrica: ( a; σ ( c; d ) ( c; d ) σ ( a;, ( a;,( c; d ) Z Z, i quato ( a; σ ( c; d ) a d = b c c b = d a ( c; d ) σ ( a;, dove si è usata la proprietà coutativa della oltiplicazioe i Z e la proprietà sietrica dell uguagliaza. Proprietà trasitiva: ( a; σ ( c; d ) ( c; d ) σ ( e; f ) ( a; σ ( e; f ), ( a;,( c; d ),( e; f ) Z Z, i quato ( a; σ ( c; d ) ( c; d ) σ ( e; f ) ( a d b c) ( c f d e) ( a b c : d ) ( f d e : c) a f = ( b c/ : d/ ) ( d/ e : c/ ) = b e ( a; σ ( e; f ). La relazioe σ è quidi ua relazioe d equivaleza. = = = = Di cosegueza è possibile costruire le classi d equivaleza rispetto a σ : ( a; = {( x; y) Z Z : a y = b x}. Ad ogi classe d equivaleza si dà il oe di uero razioale e all isiee quoziete ( Z Z ) σ si dà il oe di isiee dei ueri razioali e si idica co la lettera Q. Osserviao esplicitaete che i ogi classe d equivaleza ( a; c è ua ed ua sola coppia ( ; ) i cui eleeti soo prii tra loro. Scegliereo allora questa coppia coe rappresetativa di quel uero razioale, dado ad essa il oe di uero razioale ridotto ai iii terii, idicadolo col sibolo, detto frazioe. Al uero itero, che può essere positivo egativo ullo, si dà il oe di ueratore, al uero itero, che può essere solo positivo, si dà il oe di deoiatore. Ad esepio: 1 = ( 1;8 ) {( a; : ( ; ) ( 1;8 )} {( ; ) : 8 1} {( 3; ),( 6;4 ),( 9;6 ),...} ( 3;) 3 a b σ a b a b 8 = Z Z = Z Z = = = = ; I particolare: = ; = { a; b : a; b ; } = {( a; : a = b } = {( a; a),( b;,( c; c),...} = ( 1;1 ) = 1 Z Z Z Z, Z, cioè le frazioi co ueratore uguale al deoiatore rappresetao il uero aturale 1; 0 = 0; = { a; b : a; b σ 0; } = {( a; : a = b 0} = {( 0; a),( 0;,( 0; c),...} = ( 0;1) = 0 Z Z Z Z, Z, cioè le frazioi co ueratore 0 rappresetao il uero 0; = ;1 = { a; b : a; b σ ;1 } = {( a; : a 1 = b } = {( ;1 ),( ; ),( 3 ;3 ),...} = ( ;1) = 1 Z Z Z Z, ( ) ( ) ( ) σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z, cioè le frazioi co deoiatore 1 rappresetao i ueri iteri; 14
Ifie, le frazioi, co > 0, predoo il oe di uero razioale positivo; le frazioi, co < 0, predoo il oe di uero razioale egativo. Per coe è defiito, è ovvio che tra l isiee dei ueri razioali o egativi del tipo ( ;1) e l isiee dei ueri aturali N si può deteriare ua relazioe biuivoca (cioè ad ogi uero razioale o egativo del tipo ( ;1) si può associare i uo ed u sol odo il uero aturale ); di cosegueza ogi uero razioale o egativo del tipo ( ;1) può essere cosiderato coe uero aturale; di cosegueza tutte le proprietà e le operazioi defiite i N si possoo trasportare i Q. Quidi il uero può essere cosiderato sia uero aturale sia uero itero sia uero razioale I defiitiva, allora, soo razioali tutti e soli i ueri che possoo essere scritti i fora di frazioe. Osserviao solo per iciso seza dilugarci i troppe discussioi che i ueri aturali soo ifiiti così coe lo soo i ueri razioali, solo che i ueri razioali soo di u ifiito più grade dei ueri aturali 3. 7. Le operazioi i Q Pria di defiire le quattro operazioi tra ueri razioali, osserviao esplicitaete che le frazioi, per coe soo state defiite, godoo della seguete proprietà: proprietà ivariativa: oltiplicado o dividedo ueratore e deoiatore di ua frazioe per uo stesso uero diverso da zero, si ottiee ua frazioe equivalete a quella data. k = = k ( ; ) σ ( k; k), ( ; ). 1 Z Z e k { 0} N. Questa proprietà trova applicazioe ella seplificazioe di ua frazioe ai iii terii. Esepio: 40 40 :10 4 4 : = = = =. 60 60 :10 6 6 : 3 Addizioe: date due coppie ordiate ( a;,( c; d ) Z Z, defiiao la seguete operazioe di addizioe: ( a; ( c; d ) = ( ad bc; bd ), cioè a c ad bc =. b d bd Tale defiizioe può essere estesa ai ueri razioali, i quato se ( a; σ ( a'; b' ) e ( c; d ) σ ( c'; d '), allora, ovviaete, (( a; ( c; d )) σ (( a '; b' ) ( c'; d ')). Le proprietà dell addizioe i Q soo esattaete le stesse dell addizioe i Z. I terii pratici, applicado la proprietà ivariativa delle frazioi, quado bisoga addizioare le frazioi a b e c d basta calcolare il.c.. tra b e d e trasforare gli addedi i frazioi equivaleti aveti coe deoiatori il.c.. calcolato: c ( : a ( : d ) c =, dove =.c.. (b;d). a b d Esepio: ( ) ( ) 5 7 36 :1 5 36 :18 7 15 14 9 = = =. 1 18 36 36 36 3 Si preferisce i questa sede, ache i cosiderazioe della tipologia classe cui soo rivolti questi apputi, di o etrare el erito della uerabilità itrodotta da Cator, a si riado i lettori più iteressati ad u aggior approfodieto. 15
Sottrazioe: la differeza di due razioali è la soa tra il iuedo e l opposto del sottraedo: a b a ( =, a, b Q. Dal oeto che tutti i ueri razioali hao l opposto (basta cosiderare l opposto del ueratore) e dal oeto che l addizioe è itera a Q, ache la sottrazioe è u operazioe itera aq. Ache i Q la sottrazioe gode della proprietà ivariativa. Moltiplicazioe: date due coppie ordiate ( a;,( c; d ) Z Z, defiiao la seguete operazioe di oltiplicazioe: ( a; ( c; d ) = ( ac; bd ), cioè a c = ac. Tale defiizioe può essere estesa ai ueri razioali, i quato se ( a; σ ( a'; b' ) e ( c; d ) σ ( c'; d '), allora, ovviaete, (( a; ( c; d )) σ (( a '; b' ) ( c'; d ')). Le proprietà della oltiplicazioe i Q soo esattaete le stesse della oltiplicazioe i Z. I terii pratici, per svolgere ua oltiplicazioe tra due o più frazioi si può applicare la proprietà ivariativa, seplificado i croce. b d bd Esepio: Divisioe: se ( ; ) Z Z, co 0, allora = = o > 0, e per defiizioe = = 1, co ( ; ) Z Z ; o < 0, e per defiizioe 1, co ( ; ) Z Z. Questo ci assicura che ogi uero razioale diverso da zero aette reciproco, cioè per ogi uero razioale 0 esiste u uero razioale, idicato co 1 1, tale che = 1. Questo ci cosete allora di defiire la divisioe coe operazioe itera a Q : 1 a c a c : = b d b d, a b c d Q, { 0} Q. Divisioi particolari: x : 0 = ipossibile; 0 : 0 = ideteriata. 16
Le proprietà della divisioe i Q soo esattaete le stesse della divisioe i Z. Elevaeto a poteza: la defiizioe e le proprietà dell elevaeto a poteza i Q soo esattaete le stesse di quelle i Z. I particolare, ora, però, è possibile dare sigificato ache ad ua poteza ad espoete egativo. Osserviao, ifatti, che: 4 6 3 3 : 3 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 4 3 3 / / = = = =, / / cioè ua poteza ad espoete egativo è uguale ad ua poteza che ha coe base il reciproco della base e coe espoete l opposto dell espoete. Geeralizzado: 8. Nueri razioali e frazioi geeratrici Cosideriao il uero: 6, = 6,... = 6... 10 100 1000 10000 Si può diostrare che la soa uero be deteriato (copreso fra 6 e 7). a b a = b a Q 0, N 0, b 6... 10 100 1000 10000 { } { }. 4 o diverge é oscilla, besì coverge ad u È iteressate scoprire che questo uero è razioale, cioè può essere espresso sotto fora di frazioe. Vediao coe. Detto x il uero cosiderato, avreo: x = 6,... e 10x = 6,... e quidi 10x - x = 6,... - 6,... cioè 9x = 56 e perciò 56 x =. 9 Puoi verificare la correttezza del risultato trovato, effettuado la divisioe 56:9 per riportare la frazioe i fora deciale! Vedrai che si ritrova il uero di parteza 6,. Più i geerale, si può diostrare che ogi uero co la virgola illiitato periodico è razioale. Si può sepre risalire alla frazioe geeratrice attraverso la seplice la tecica delle equazioi sottratte che abbiao appea utilizzato. Naturalete, la tecica adrà adattata al caso particolare di volta i volta cosiderato (il uero è periodico seplice o periodico isto? Quate soo le cifre del periodo? Quate quelle dell atiperiodo?) Vediao, ad esepio, u caso più geerale: 17
A questo puto, sarà forse ritorata i ete la vecchia regola iparata a eoria elle scuole edie, per risalire alla frazioe geeratrice di u uero periodico. Preesso che o si dice periodo il gruppo di cifre che si ripete (ell ultio esepio, il periodo è 456) o si dice atiperiodo il gruppo di cifre che sta tra la virgola e il periodo (ell ultio esepio, l atiperiodo è 3; se l atiperiodo o c è, si parla di uero periodico seplice, se ivece l atiperiodo è presete, si parla di periodico isto ), la regola cosete di scrivere: a ueratore, il uero dato seza la virgola e seza il sego di periodo, eo (sottrazioe) tutto ciò che sta pria del periodo; a deoiatore, tati 9 quate soo le cifre del periodo, seguiti da tati zeri quate soo le cifre dell atiperiodo. Ovviaete ache u uero deciale fiito si può sepre trasforare i frazioe: ad esepio 36 45156 45156 3,6 =, 45,156 4 10 10000 10 = =, cioè al ueratore il uero dato seza la virgola e al deoiatore ua poteza del 10 co espoete u- guale al uero di cifre dopo la virgola. Aalizziao adesso il viceversa. Data ua frazioe, quado si effettua la divisioe : per portarla sotto fora di u uero deciale, il uero deciale otteuto di che tipo sarà? Sarà sepre fiito o sarà periodico? Oppure la divisioe potrebbe ache geerare u uero illiitato, cioè co ifiite cifre dopo la virgola, a o periodico e quidi o razioale? Quado trasforo ua frazioe i uero co la virgola, effettuado la divisioe, possoo verificarsi due e due sole evetualità: el proseguire la divisioe trovo, ad u certo puto, resto 0 e allora i fero: ho otteuto u uero co la virgola fiito oppure poiché il resto è sepre u uero aturale iore del divisore, esiste soltato u uero fiito di resti possibili e pria o poi dovrà per forza ripresetarsi u resto idetico ad uo dei resti che si era- 18
o già presetati. Da quel oeto, riprededo a calcolare le cifre del quoziete, evideteete il calcolo riprodurrà lo stesso gruppo di cifre che erao uscite a partire dalla coparsa precedete dello stesso resto. Si otterrà duque u uero co la virgola periodico. E quidi del tutto escluso che ua frazioe possa geerare, quado si effettua la divisioe, u uero illiitato o periodico e quidi o razioale. Ricapitolado: Se si trasfora ua frazioe i uero co la virgola, si ottiee sepre: u uero co la virgola fiito u uero co la virgola periodico. oppure Mai si ottiee u uero co la virgola illiitato o periodico. Ma cosegueza di ciò è che: I ueri co la virgola illiitati o periodici o soo espriibili sotto fora di frazioe: soo duque irrazioali. Quidi, cocludedo co u diagraa riassutivo di Eulero-Ve, abbiao: 19