OTTAVA LEZIONE- LE ISOMETRIE Talete e primo criterio di similitudine Prima di iniziare il nuovo argomento delle isometrie terminiamo l'esame dei libri di Euclide con l'enunciato (senza dimostrazione) del teorema di Talete e del primo criterio di similitudine. Questi due teoremi sono enunciati nel libro VI degli Elementi di Euclide come proposizioni VI.2 e VI.4. Fanno uso del concetto di proporzione fra segmenti, e sono dimostrati con le stesse tecniche utilizzate per dimostrare il teorema di Pitagora. Ci limitiamo a dare gli enunciati. Proposizione VI.2 (Talete ): in un triangolo la parallela ad un lato divide gli altri due lati in parti proporzionali. Nel triangolo ABC la retta DE sia parallela alla base BC. La proposizione VI.2 afferma che AD: BD = AE: EC Proposizione VI.4 (criterio di similitudine): due triangoli che hanno gli stessi angoli hanno i lati corrispondenti proporzionali. Il criterio di similitudine è un corollario del teorema di Talete. È dimostrato usando due volte Talete sul triangolo CGD: una prima volta si considera la parallela BF al lato CG; una seconda volta si considera la parallela AB al lato GD. Il teorema di Talete fornisce allora le due proporzioni: CB:BD=AB:DF CB:BD=AC:DF Da queste si ottiene il criterio di similitudine. Il criterio afferma che se gli angoli nei due triangoli sono uguali a coppie, tra i lati corrispondenti valgono le proporzioni AC:BF=AB:DF=CB:BD
Isometrie Veniamo adesso all'argomento delle isometrie. Divideremo la discussione delle isometrie nelle seguenti parti: 1. Spostare una figura senza deformarla; 2. Isometrie; 3. Galleria di isometrie; 4. Composizione di isometrie; 5. Quattro è solo quattro; 6. Come si riconosce un isometria; 7. Simmetrie di una figura. Punto 1: Spostare una figura senza deformarla: Partiamo dalla definizione intuitiva di isometria: una isometria è un operazione che consiste nello spostare una figura senza deformarla. Nella pratica può essere realizzata mediante un lucido trasparente posto sopra il piano di riferimento. Figura sul piano Ricopio la figura sul lucido Muovo il lucido
Il risultato finale è quello di stabilire una corrispondenza puntuale del piano in se stesso che ad ogni punto A associa un punto A I,. Questa corrispondenza è inizialmente definita sui punti della figura: deve però essere intesa come estesa all'intero piano. Da un punto di vista matematico: un isometria è una corrispondenza biunivoca dell'intero piano in sè che mantiene invariata la distanza tra una qualunque coppia di punti. Lo studio delle isometrie ci permette di introdurre il concetto di simmetria di una figura. Una simmetria è un isometria che lascia invariata la figura (nell esempio precedente significa che la figura verde dopo l isometria si sovrappone la figura rossa). Si chiama gruppo di simmetria l'insieme di tutte le isometrie che lasciano invariata una figura. L'ampiezza del gruppo è una misura della simmetria della figura. Punto 2: isometrie. Nel concetto di isometria è fondamentale la mancanza di deformazione nello spostamento. All isometria si richiede di lasciare invariata la distanza tra i punti per garantire l invarianza della forma delle figure. Per definire un isometria bisogna quindi partire dal concetto di distanza tra i punti del piano. Qui ricompare Pitagora (questo teorema è alla base della teorie delle isometrie). Seguendo Cartesio (XVII secolo) introduciamo nel piano due assi ortogonali e associamo ad ogni punto le sue coordinate cartesiane: Consideriamo una coppia di punti P e Q e chiediamoci come si possa calcolare la distanza che li separa usando le loro coordinate cartesiane.
La conoscenza delle coordinate di P e Q ci fornisce subito la lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo PQR. Dunque la distanza PQ può essere calcolata con il teorema di Pitagora Questa è la formula della distanza euclidea ( per punti del piano ). Consideriamo ora una corrispondenza che ad ogni punto P del piano associ un punto P I in maniera biunivoca. Tale corrispondenza può essere data sia graficamente (ad esempio con costruzione tipo riga e compasso) che analiticamente. In quest'ultimo caso la corrispondenza è precisata quando si diano le coordinate (X I,Y I ) di P I in funzione delle coordinate (X,Y) di P mediante una coppia di funzioni Queste funzioni devono: X I =F(X;Y) Y I =G(X,Y) 1. essere definite per ogni coppia di coordinate X,Y: le isometrie sono trasformazione dell'intero piano 2. garantire che punti distinti vengono mandati in punti distinti: le isometrie sono trasformazioni invertibili del piano in sé. 3. lasciare invariate le distanze: questa è la condizione che caratterizza le isometrie Osservo che la seconda condizione è implicata dalla terza. Punto 3: galleria di isometrie. Daremo ora quattro esempi di isometrie elementari. In seguito mostreremo che tali isometrie sono i mattoni con cui si fabbricano tutte le isometrie.
Le isometrie elementari sono: Traslazioni Riflessioni Rotazioni Glisso-riflessioni Le definiremo mediante costruzioni di tipo riga e compasso. Traslazioni Consideriamo una trasformazione del piano in sé nella quale tutti i punti subiscono spostamenti uguali, paralleli e nella stessa direzione come mostrato in figura 1. Per ipotesi il segmento orientato QQ I è uguale al segmento orientato PP I. Questa trasformazione è chiaramente un isometria per la proprietà dei parallelogrammi. Infatti il quadrilatero PP I QQ I di figura 2 è un parallelogramma e dunque PQ è uguale a P I Q I. Fig. 1 Fig. 2 Per definire una traslazione basta perciò dare lo spostamento di un solo punto, ad esempio dell origine O. Indichiamo il suo spostamento con il simbolo V che chiamiamo vettore. Ai punti P, Q,. associamo i punti P, Q,. in modo tale che i segmenti PP I, QQ I,. siano tutti uguali, paralleli ed equiorientati al vettore V, come mostrato in figura 3. Si dice che il vettore V definisce la traslazione. Riflessione Fig. 3 Se la traslazione è definita da un vettore (segmento orientato uscente dall'origine), la riflessione è definita da una retta l detta asse di riflessione.
Dato il punto P costruiamo il suo trasformato P I nel modo seguente: 1. se P appartiene a l, P I coincide con P; 2. se P non appartiene a l mandiamo la perpendicolare da P a l che prolunghiamo dall'altro lato di l; sulla perpendicolare prolungata prendiamo il punto P I simmetrico di P, cioè equidistante da l. Questa regola definisce una trasformazione biunivoca dell'intero piano in sé. Si tratta di una isometria, perché si può dimostrare che i segmenti PQ e P I Q I mostrati in figura 4 sono congruenti. Fig. 4