RENDITE ANTICIPATE

LE RENDITE FINANZIARIE PROF. ROSARIO OLIVIERO

Indice 1 RENDITA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 2 RENDITE POSTICIPATE --------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2.1 VALORE DI UNA RENDITA POSTICIPATA UNITARIA --------------------------------------------------------------------------- 4 2.2 VALORE DI UNA RENDITA PERPETUA POSTICIPATA UNITARIA -------------------------------------------------------------- 7 2.3 MONTANTE (VALORE ALLA SCADENZA) DI UNA RENDITA POSTICIPATA UNITARIA ------------------------------------- 8 3 RENDITE ANTICIPATE---------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 3.1. VALORE DI UNA RENDITA ANTICIPATA UNITARIA -----------------------------------------------------------------------10 3.2. VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERPETUA ANTICIPATA UNITARIA ----------------------------------------------11 4 RENDITE DIFFERITE ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 13 5 RENDITE FRAZIONATE -------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 2 di 16

1 Rendita La rendita è un'operazione finanziaria x = (x 1, x 2,...x n ), t = (t 1, t 2,...t n ). (0< t 1 < t 2 < t n.) in cui tutti gli importi sono positivi. Sia t 0 la data di inizio della rendita. Se t 1 = t 0 la rendita è detta anticipata (perché la prima rata viene incassata proprio con l'inizio della rendita). Se invece t 1 > t 0 la rendita è detta posticipata. 3 di 16

2 Rendite posticipate 2.1 Valore di una rendita posticipata unitaria caso Consideriamo, in regime di capitalizzazione esponenziale al tasso annuo di interesse i, il x = (1, 1,...,1 ), t = (1, 2,, n), t 0 = 0. Si tratta di una rendita posticipata unitaria con pagamenti periodici (annuali). Posto v = 1/(1+i), ci si propone di calcolare il valore attuale W (0) della rendita all'istante 0. Osserviamo preliminarmente che la prima rata, da corrispondere dopo un anno ha valore attuale v, la seconda rata, da corrispondere dopo due anni, ha valore v 2,... e la n-esima rata ha valore attuale v n. Si ha W (0) = v + v 2 +,,+ v n =1+ v + v 2 +,,+ v n 1 Sostanzialmente, il valore cercato è pari alla somma di una progressione geometrica di ragione v diminuita di uno. Si tenga presente che 1+ v + v 2 +,,+ v n =(1+ v + v 2 +,,+ v n )(1 v)/(1 v) = (abbiamo moltiplicato e diviso 1+ v + v 2 +,,+ v n per il fattore 1 v). Si deduce che: 1+ v + v 2 +,,+ v n = (1+ v + v 2 +,,+ v n (v + v 2 +,,+ v n +1 ))/(1 v) = (1 v n +1 )/(1 v). Questo significa che W (0) = (1 v n +1 )/(1 v) 1 = (1 v n +1 1 + v)/(1 v) = (v v n +1 )/(1 v) = v(1 v n )/(1 v). Se vogliamo esprimere W (0) in funzione del tasso annuo di interesse, si ha W (0) = v(1 v n )/(1 v) = (1/(1+ i))(1 v n )/(1 1/(1+ i)) = 4 di 16

= (1 v n )(1/(1+ i))/(1 1/(1+ i)) = (1 v n )/( 1+ i (1+ i)/(1+ i)) = (1 v n )/( 1+ i 1) = = (1 v n )/i = (1 (1+ i) n )/i Da questa formula, segue che si può valutare immediatamente una rendita posticipata con importo costante pari ad R. Ad esempio, il valore attuale di una rendita unitaria decennale posticipata pari a 20 euro, al tasso annuo del 3%, è pari a: 20 (1 (1+ i) n )/i = 20 8.5302 = 170.6041 Nei manuali di finanza, generalmente il valore attuale di una rendita unitaria è tabulato in funzione degli anni (che in genere variano da 1 a 50 oppure da 1 a 100) e del tasso di interesse (generalmente intervallati da intervalli di 1/4%, oppure di 1/8% o anche di 1/20%). Vale la pena dire che i moderni strumenti di calcolo informatico (ad es. i fogli elettronici) permettono di calcolare rapidamente questa ed altre formule finanziarie. Consideriamo ora un'obbligazione con valore di rimborso pari a C e che prevede un pagamento posticipato di n cedole annuali di importo I (l'obbligazione viene rimborsata contestualmente al pagamento dell'ultima cedola). Il valore attuale dell'obbligazione (fissato un tasso annuo i), all'istante di emissione, è pari a: W(0) = Iv + I v 2 +,,+ I v n +C v n =I(1 (1+ i) n )/i +C (1+ i) n In particolare, se i = I/C (tasso cedolare), si ha: W(0)=Ci(1 (1+ i) n )/i +C (1+ i) n =C(1 (1+ i) n ) +C (1+ i) n =C C(1+ i) n +C (1+ i) n =C In altre parole, se il tasso cedolare coincide con quello di attualizzazione, il valore attuale dell'obbligazione coincide con quello di rimborso. Questo fatto ci dice che un investitore potrebbe avere lo stesso profitto, derivante dalla sottoscrizione dell'obbligazione, prestando la cifra C ad un tasso annuo i=i/c per un numero di anni pari alla durata dell'obbligazione. 5 di 16

Figura 1: Tavola finanziaria che calcola il valore attuale di una rendita annua posticipata unitaria al variare del tasso (annuo) e della durata, in regime di capitalizzazione composta. ESEMPIO 1 Data una rendita a rate posticipate annue pari a 5, al tasso del 4%,, determinare il numero minimo di anni tale il valore iniziale sia maggiore o pari a 100. Per risolvere il problema bisogna impostare una disequazione (la cui incognita è n). Bisogna imporre che 5W(0) > 100, quindi si ha: 5(1 (1+ i) n )/i > 100 5(1 (1+ 0.04) n )/0.04 > 100 5(1 1.04 n ) > 100 0.04 1 1.04 n > 4/5 6 di 16

1.04 n > 4/5 1 1.04 n < 1/5 nlog(1.04)< log(1/5) n> log(1/5)/log(1.04) = 41.0354. Infatti 5(1 (1+ 0.04) 41 )/0.04 = 99.9653 e 5(1 (1+ 0.04) 42 )/0.04 = 100.9281 2.2 Valore di una rendita perpetua posticipata unitaria Una rendita perpetua è una rendita di durata infinita. Un esempio di rendita perpetua ci è fornito dai proventi derivanti dalle locazioni di immobili ad enti pubblici. Matematicamente per calcolare il valore attuale di una rendita perpetua posticipata unitaria, rispetto all'istante iniziale 0, basta calcolare il limite del valore attuale di una rendita posticipata unitaria al tendere della durata a più infinito. Si ha quindi W (0) = lim n (1 (1+ i) n )/i=1/i. Nel calcolare questo limite si è tenuto presente che, se n tende ad infinito, la quantità (1+ i) n tende a 0. Ad esempio, osserviamo che il valore di una rendita perpetua unitaria posticipata al tasso (annuale) del 5% è pari a 1/0.05 = 20. Si noti che il valore di una rendita unitaria posticipata, di durata pari a 100 anni (se i =0.05), è 19.8479. 7 di 16

2.3 Montante (valore alla scadenza) di una rendita posticipata unitaria Sempre, con riferimento alla rendita x = (1, 1,...,1 ), t = (1, 2,, n), t 0 = 0, ci si propone di calcolare il valore W (n) della rendita all'istante n. Osserviamo adesso che la prima rata, che resta investita per n 1 anni, ha montante (1+i) n 1, la seconda rata, che resta investita per n 2 anni, ha montante (1+i) n 2,... e la n-esima rata, che non viene investita ha montante pari a se stessa, cioè a 1. Posto quindi m = 1+i, si ha W (n) = m n 1 + m n 2, + + m+1 Sostanzialmente, il valore cercato è pari alla somma di una progressione geometrica di ragione m. Si ha quindi che W (n) =1+ m + m 2 +,,+ m n 1 = (m n 1)/(m 1) = ((1+ i) n 1)/i. Questa formula si può anche ottenere dalla relazione Infatti, si ha: W (n) = m n W (0) m n W (0) =(1+ i) n (1 (1+ i) n )/i=((1+ i) n 1)/i. Ad esempio, il montante di una rendita unitaria decennale posticipata pari a 20 euro, al tasso annuo del 3%, è pari a: 20 (1+ i) n 1)/i = 20 11.46388 = 229.2776 ESEMPIO 2. Data una rendita a rate posticipate annue pari a 5, al tasso del 4%, determinare il numero minimo di anni tale il valore iniziale sia pari ad almeno 100. In questo caso bisogna imporre che si abbia 5W(0) > 100, quindi la disequazione da risolvere è la seguente: 5((1+ 0.04) n 1)/0.04 > 100 5(1.04 n 1) > 100 0.04 8 di 16

1.04 n 1> 4/5 1.04 n > 4/5+1 1.04 n > 9/5 nlog(1.04)> log(9/5) n> log(9/5)/log(1.04) = 14.9866. Infatti 5((1+ 0.04) 14 1)/0.04 =91.4596 e 5((1+ 0.04) 15 1)/0.04 = 100.1179 9 di 16

3 Rendite anticipate 3.1. Valore di una rendita anticipata unitaria caso Consideriamo, in regime di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i, il x = (1, 1,...,1 ), t = (0, 1, 2, n 1), t 0 = 0. Si tratta di una rendita anticipata unitaria con n pagamenti periodici (annuali). Posto v = 1/(1+i), ci si propone di calcolare il valore attuale W (0) della rendita all'istante 0. Osserviamo preliminarmente che la prima rata, da corrispondere subito (ossia all'inizio del primo anno), ha valore attuale pari ad 1, la seconda rata, da corrispondere dopo un anno (all'inizio del secondo anno), ha valore v,... e la n-esima rata ha valore attuale v n 1. Si ha W (0) =1+ v + v 2 +,,+ v n 1 Sostanzialmente, il valore cercato è pari alla somma di una progressione geometrica di ragione v diminuita di uno. Si tenga presente che 1+ v + v 2 +,,+ v n 1 =(1 v n )/(1 v) Questo significa che W (0) = (1 1/(1+ i) n )/(1 1/(1+ i)). ESEMPIO 1. Una rendita anticipata prevede un tasso annuo i del 10% ed una rata R pari a 20. Trovare il numero minimo di annualità tale che il valore attuale sia maggiore di 200. Il valore attuale della rendita è pari a R(1 v n )/(1 v). Sostituendo tutti i valori ed imponendo che il valore attuale sia pari a 200, si ha 10 di 16

1/1.1=0.9191: 20(1 0.9091 n )/(1 0.9091) > 200 1 0.9091 n > 10 0.0909 0.9091 n > 0.909 1 0.9091 n <0.091 n >log(0.091)/log(0.9091) =25.1510 (si noti che, nell'ultimo passaggio, abbiamo cambiato il verso della disuguaglianza perché, nel dividere per log(0.9091), abbiamo dovuto considerare che quest'ultimo è minore di 1) Questo significa che il numero minimo di anni, affinché il valore Infatti 20(1 0.9091 25 )/(1 0.9091) = 199.7098 20(1 0.9091 26 )/(1 0.9091) = 201.5562 3.2. Valore attuale di una rendita perpetua anticipata unitaria Nel caso di una rendita perpetua anticipata, si ha: W (0) = lim n (1 v n )/(1 v) = 1/(1 v) = 1 /(1 1/(1+ i))= (1+ i)/i Si noti che W(0) è pari al valore attuale di una rendita perpetua unitaria posticipata, moltiplicato per il fattore montante (1+ i). ESEMPIO 2. Il valore attuale di una rendita perpetua anticipata unitaria è pari a 200. Trovare il tasso di interesse (annuo). Si ha: (1+ i)/i = 200 (1+ i) = 200 i 1 = 200 i i 11 di 16

1 = 199 i i =1/199 = 0.5025% 12 di 16

4 Rendite differite Una rendita (annuale) differita prevede il primo pagamento dopo più di un anno dall'istante in cui essa è stata contrattata. Valore attuale di una rendita differita posticipata unitaria (di k anni) caso Consideriamo, in regime di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i, il x = (1, 1,...,1), t = (k+1, 2,, k+n), t 0 = 0. Posto v = 1/(1+i), si ha che la prima rata, da corrispondere dopo k+1 anni ha valore attuale v k+1, la seconda rata, da corrispondere dopo k+2 anni, ha valore v k+2,... e la n-esima rata ha valore attuale v n+k. Dunque si ha W(0)= v k+1 + v 2 +,,+ v k+n = v k+1 (1+ v +,,+ v n -1 ) =v k+1 (1 v n )/ (1 v)= v k (1 v n )/i Si osservi che il valore attuale di una rendita posticipata unitaria differita di k anni è pari al valore attuale di una rendita posticipata unitaria non differita moltiplicato per il fattore di sconto relativo ai k anni. ESEMPIO 1. Data una rendita di 60 rate posticipate annue pari a 5, al tasso del 4%, determinare il numero minimo di anni per cui bisogna differirla, in maniera tale il valore iniziale sia minore di 100. Bisogna trovare il numero di anni di differimento k tale che il valore attuale della rendita sia minore di 100. Si ha quindi: 5(1+0.04) k (1 (1+ 0.04) 60 )/0.04 < 100 5 1.04 k (1 1.04 60 ) <100 0.04 1.04 k <1.1050 4/5 13 di 16

0.9615 k <0.88.40 k >log(0.8840)/log(0.9615) = 3.1405 Infatti 5(1+0.04) 3 (1 (1+ 0.04) 60 )/0.04= 100.5610 e 5(1+0.04) 4 (1 (1+ 0.04) 60 )/0.04=96.6933 Valore attuale di una rendita differita perpetua posticipata unitaria Partendo dalla formula che fornisce il valore attuale per una rendita differita perpetua posticipata unitaria, e calcolando il limite al tendere del numero di anni n all'infinito, si ha: W (0) = lim n v k (1 v n )/i =v k /i. ESEMPIO 2. Data una rendita perpetua a rate posticipate annue pari a 5, al tasso del 4%, determinare il numero minimo di anni per cui bisogna differirla, in maniera tale il valore iniziale sia minore di 100. Anche in questo caso, bisogna trovare il numero di anni di differimento k tale che il valore attuale della rendita sia minore di 100. Si ha quindi: 5(1+0.04) k /0.04 < 100 5 1.04 k <100 0.04 1.04 k <4/5 0.9615 k < 4/5 k >log(4/5)/log(0.9615) =5.6836 Infatti 5(1+0.04) 5 /0.04= 102.7409 14 di 16

e 5(1+0.04) 6 /0.04= 98.7893 15 di 16

5 Rendite frazionate Valore attuale di una rendita posticipata unitaria frazionata in k unità Una rendita unitaria (ad un determinato tasso annuo) si dice frazionata quando i versamenti sono effettuati k volte per ogni anno per un importo pari ad 1/k. In tal caso bisognerà trovare innanzitutto il tasso periodale (relativo ad 1/k-esimo di anno) i 1/k ; esso è tale che (1 + i 1/k ) k = 1 + i e quindi si ha: i 1/k =(1 + i) 1/k 1. Il valore attuale di una rendita frazionata unitaria è quindi pari al montante di una rendita annuale posticipata di durata n, con importi pari a 1/k, al tasso i', di durata pari ad nk. Si ha quindi W(0) = (1/k) (1 (1 + i 1/k ) nk )/i 1/k =(1/k) (1 (1+ i) n )/i 1/k =(1/k)(1 (1+ i) n )/((1 + i) 1/k 1) Consideriamo ad esempio la rendita x = (10, 10, 10, 10) t = (1, 2, 3, 4), con il tasso annuale pari al 10%, e supponiamo che sia frazionata in due rate semestrali. Applicando la regola enunciata si ha (k = 2) i 1/k =(1 +0.1) 1/2 1= 0.0488 W(0) = 5 (1 (1+ i) n )/ i 1/k =32.4781. 16 di 16