Capitolo S-04 Algebra Trigonometrica Autore: Mirto Moressa Contatto: mirtomo@tiscali.it Sito: www.mirtomoressa.altervista.org Data inizio: 19/10/009 Data fine: 08/1/009 Ultima modifica: 0/0/010 Versione:.3 Indice del capitolo 1) Nozioni preliminari: 1)def. angolo; )def. triangolo e classificazione; 3)propr.; 4)disuguaglianza triangolare; 5)Teorema di Pitagora; 6)triang. rett. 45-45; 7) triang. rett. 30-60; 8)angoli espressi in radianti; ) Seno e Coseno: 1)def.; )propr. fondamentale; 3)grafico; 4)periodicità; 3) Tangente e Cotangente: 1)def.; )grafico; 3)periodicità; 4) Altre funzioni: 1)funzioni reciproche; )funzioni inverse; 5) Formule: 1)angoli associati; )di sottrazione; 3)di addizione; 4)di duplicazione; 5)di bisezione; 6)di prostaferesi; 7)di Werner; 8)parametriche; 6) Equazioni goniometriche: 1)di 1º grado; )di º grado; 7) Disequazioni goniometriche: 1)di 1º grado; )di º grado; 8) Relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo; 9) Relazioni tra i lati di un triangolo qualsiasi: 1)Teorema dei seni (Eulero); )Teorema del coseno (Carnot);
4.1) Nozioni preliminari Tutta la trigonometria si fonda su questi concetti. 4.1.1) Def: Un angolo è la parte di piano delimitata da due semirette, uscenti da uno stesso punto, detto vertice. L'unità di misura è il grado (º) e l'intero piano (angolo giro) misura 360º. In base alla misura, un angolo si dice acuto (<90º), retto (=90º), ottuso (>90º e < 180º), piatto (=180º). 4.1.) Def: Un triangolo è una figura piana di tre lati (e tre angoli). Un triangolo si può classificare: - in base ai lati: equilatero (3 lati uguali), isoscele ( lati uguali), scaleno (lati tutti diversi); - in base agli angoli: acutangolo (3 angoli acuti), rettangolo (1 angolo retto), ottusangolo (1 angolo ottuso); 4.1.3) Prop: In ogni triangolo la somma dei tre angoli è 180º. Ne consegue che in un triangolo rettangolo, la somma dei due angoli acuti è 90º. 4.1.4) Disuguaglianza triangolare In ogni triangolo la somma della misura di due lati è superiore alla misura del terzo lato (altrimenti il triangolo non si chiuderebbe). - I forma: abc - II forma: ac b (cioè un lato è maggiore della differenza degli altri due) Se bc la II forma è ovvia perché il secondo membro è negativo; se cb la II forma è già più interessante. 4.1.5) Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti (lati adiacenti all'angolo retto) è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa (lato opposto all'angolo retto). 4.1.6) Triangolo rettangolo 45-45 È il primo triangolo notevole: è un triangolo rettangolo, i cui angoli acuti misurano entrambi 45º (è metà quadrato). Risulta, quindi, anche isoscele. 45º 1 45º 90º Se l'ipotenusa misura 1, i cateti devono misurare ciascuno, per il teorema di Pitagora. Infatti si ha: 1 =
4.1.7) Triangolo rettangolo 30-60 È il secondo (e ultimo per quanto ci riguarda) triangolo notevole: è un triangolo rettangolo, i cui angoli acuti misurano uno 30º e l'altro 60º. È metà triangolo equilatero. 60º 1 1 60º 60º 1 1 60º 1 30º 90º 3 Se l'ipotenusa misura 1, il cateto di base deve misurare 1 (perché metà lato), mentre l'altro cateto deve misurare 3, sempre per il teorema di Pitagora. Infatti si ha: 1 = 1 3 4.1.8) Angoli espressi in radianti Un'altra unità di misura per esprimere gli angoli sono i radianti. Per definirli si considera una circonferenza di raggio unitario (che è lunga ), si tracciano due assi perpendicolari (che suddividono il piano in 4 quadranti), si definisce l'estremo destro come lo 0 (punto di partenza) e il senso di rotazione antiorario come positivo (dunque il senso orario è negativo). L'angolo è espresso come lunghezza dell'arco di circonferenza che individua. All'angolo giro (360º) corrisponde la circonferenza completa ( ). 5 6 7 6 3 4 3 3 4 II quadrante III quadrante I quadrante IV quadrante 7 5 4 4 4 3 5 3 3 6 0 11 6 NOTA BENE: dopo aver fatto un giro completo (in senso antiorario), gli angoli cominciano a ripetersi; si vede, infatti, come in 0 ritorni : 0 è una quantità evidentemente diversa da, ma identifica lo stesso angolo; se avessimo continuato avremmo trovato che 6 identifica lo stesso angolo di, e così via. 6 Se ne deduce una periodicità angolare: misure in radianti che differiscono di, sono in realtà nomi diversi dello stesso angolo. Il discorso non cambia se giriamo in senso orario, ma in quel caso bisogna fare attenzione ai segni (es. 6 identifica lo stesso angolo di 11 6, ed infatti distano tra loro ).
4.) Seno e Coseno 4..1) Def: Dato un angolo sulla circonferenza di raggio unitario, si tracciano le proiezioni sugli assi verticale e orizzontale. La lunghezza del segmento verticale è il seno, mentre quella del segmento orizzontale è il coseno di quell'angolo. es.1) angoli = 0, es.) angolo = 6 sen0 = 0 cos0 = 1 sen 6 = 1 sen = 1 cos = 0 cos 6 = 3 (vedi triangolo rett. 30-60) es.3) angolo = 4 es.4) angolo = 3 sen 4 = cos 4 = sen 3 = 3 cos 3 = 1 (vedi triangolo rett. 45-45) (vedi triangolo rett. 30-60) Le cose si ripetono per i quadranti rimanenti, facendo, però, attenzione ai segni, visto che si tratta di segmenti orientati: il seno è positivo verso l'alto (I e II quadrante) e negativo verso il basso (III e IV quadrante); il coseno è positivo verso destra (I e IV quadrante) e negativo verso sinistra (II e III quadrante). 4..) Proprietà fondamentale sen xcos x = 1 Dove x è un qualsiasi angolo; la spiegazione di questa formula deriva dal Teorema di Pitagora e dal fatto che stiamo lavorando su una circonferenza di raggio unitario (e quindi l'ipotenusa vale sempre 1). C'è da aggiungere che i segni di seno e coseno non influiscono, visto che vengono persi con l'elevamento al quadrato. 4..3) Grafico delle funzioni seno e coseno Se si interpreta l'operazione di seno come una funzione (cioè si considera l'angolo come il valore di ingresso e il valore del seno come quello di uscita), si può disegnarne il grafico sul piano cartesiano (e così pure per il coseno):
y = sen x y = cos x OSSERVAZIONE: sono entrambe funzioni limitate tra -1 e 1, cioè non possono assumere valori nè maggiori di 1, nè minori di -1. OSSERVAZIONE: si vede dai grafici come si può interpretare cos x come una traslazione di particolare valgono le formule (ricavate utilizzando la traslazione degli assi di riferimento): cos x = sen x sen x = cos x sen x ; in 4..4) Periodicità Si sono disegnate le funzioni solo per i valori di ingresso x [0,], anziché per tutti i valori R ; questa scelta è giustificata dalla periodicità angolare (4.1.8): se l'angolo in ingresso si ripresenta con un altro valore, pur rappresentando lo stesso angolo, comunque darà lo stesso seno e lo stesso coseno. Così, disegnando un solo periodo, si è disegnato tutto ciò che c'era di interessante, perché nel resto del dominio, il grafico della funzione non è altro che una ripetizione di questo pattern. Le funzioni seno e coseno hanno periodo, e quindi avremmo potuto disegnarle in qualsiasi intervallo sull'asse delle x, purché fosse lungo almeno (es. [,], [,0 ], [8, 10 ], ecc.). NOTA BENE: se sen x ha periodo, sen x ha periodo ; per trovare la periodicità si eguaglia l'argomento (senza le traslazioni) alla periodicità della funzione in esame e si risolve rispetto ad x. es.1 sen 3 x 4 => 3 x = => x = 3 => periodicità 3
4.3) Tangente e Cotangente 4.3.1) Def: La tangente di un angolo x è definita come tg x = sen x cos x La cotangente di un angolo x è definita come ctg x = cos x sen x per x k ; per x 0k ;; Dunque tra loro vale la relazione: tg x = 1 ctg x Avendo denominatori che possono annullarsi, bisogna sempre considerare il C.E. es.1) angoli = 0, es.) angolo = 6 tg 0 = 0 ctg 0 = tg 6 = 3 3 tg = ctg 6 = 3 ctg = 0 es.3) angolo = 4 es.4) angolo = 3 tg 4 = 1 tg 3 = 3 ctg 4 = 1 ctg 3 = 3 3 Nel II quadrante tangente e cotangente sono negative, perché seno e coseno sono discordi. Nel III ritornano ad assumere gli stessi valori del I, perché seno e coseno sono entrambi negativi e quindi concordi. Nel IV assumono gli stessi valori del II. Si vede, allora, che la periodicità di queste funzioni è. 4.3.) Grafico delle funzioni tangente e cotangente y = tg x y = ctg x
OSSERVAZIONE: le funzioni sono state disegnate nell'intervallo x [,], corrispondente a due periodi. Si vede, infatti, come il grafico si ripeta. Ovviamente non è errore disegnare una funzione periodica in due suoi periodi (a dire il vero una funzione periodica di periodo P, sarà anche periodica di periodo np), ma generalmente per periodo si intende il più piccolo tra i periodi, per semplificare il più possibile le cose (il che equivale ad evitare di complicarle inutilmente). OSSERVAZIONE: si vede come tg x sia una funzione crescente perché quando si parte dall'angolo 0 e ci si sposta in senso antiorario lungo la circonferenza, seno cresce, mentre coseno decresce. Per lo stesso motivo ctg x, invece, decresce (proprio perché ha comportamento inverso della tangente, 1 essendo definita come tg x ). 4.3.3) Periodicità Si è già discusso che tangente e cotangente hanno periodicità ; vediamo la periodicità di funzioni composte, secondo la regola esposta in 4..4: es.1 tg 5 x => 5 x = => x = 5 => periodicità 5
4.4) Altre funzioni 4.4.1) Funzioni reciproche di seno e coseno secante: sec x = 1 cos x cosecante: cosec x = 1 sen x per per x k x 0k 4.4.) Funzioni inverse Una funzione è invertibile se è iniettiva (cioè se l'intersezione del suo grafico con una retta orizzontale dà un solo punto di intersezione o nessuno). Si vede come le funzioni considerate in questa sezione (seno, coseno, tangente e cotangente), non verifichino questa condizione, perché nel momento in cui c'è un punto di intersezione con l'ipotetica retta orizzontale, allora ce ne saranno infiniti, per via della periodicità. Se consideriamo, però, queste funzioni all'interno di un opportuno intervallo, allora ci accorgiamo che sono in esso invertibili. es.1) sen x per x [, ] è invertibile, e l'inversa si chiama arcosen y in x [, ] ; arcosen1 = ; arcosen 1 = ; arcosen 1 = 6 ; arcosen = 4 ; es.) cos x per x [0,] è invertibile, e l'inversa si chiama arcocosen y in x [0,] ; arcocosen 1 = 0 ; arcocosen 1 = ; arcocosen 1 = 3 ; arcocosen = 3 4 ; es.3) tg x per x [, ] è invertibile, e l'inversa si chiama arctg y in x [, ] ; arctg 0 = 0 ; arctg 3 3 = 6 ; arctg 1 = 4 ; arctg 3 = 3 ; es.4) ctg x per x [0,] è invertibile, e l'inversa si chiama arcoctg y in x [0,] ; arcoctg 0 = ; arcoctg 3 3 = 3 ; arcoctg 1 = 3 4 ; arcoctg 3 = 6 ; NOTA BENE: quando si considera una di queste funzioni inverse, bisogna sempre indicare l'intervallo di inversione (es. arcosen y in x [, ] è una funzione diversa da arcosen y in x [, 3 ] ).
4.5) Formule 4.5.1) Angoli associati Queste formule si ricavano guardando la figura del punto 4.1.8. Se consideriamo un generico angolo (che per concretizzare la cosa lo possiamo supporre = 6 ) osserviamo che sen è un segmento lungo 1 cos o ancora per cos. e lo stesso segmento lo troviamo per sen o per È più importante capire come ricavarle che sapere le formule in sè, anche perché ci sono infiniti modi di scriverle; riporto comunque le forme principali: sen = sen = sen = sen sen = cos = cos = cos = cos cos = cos = cos = cos cos = sen = sen = sen = sen = tg = tg = tg = tg tg = ctg = ctg = ctg = ctg ctg = ctg = ctg = ctg ctg = tg = tg = tg = tg 4.5.) Formule di sottrazione Ricavare queste formule è un po' difficile, e quindi vanno imparate a memoria alla perfezione, perché su queste si basano le formule che seguiranno: cos = cos cossen sen sen = sen cos cos sen (a memoria) tg = sen sen cos cos sen = cos cos cossen sen e dividendo numeratore e denominatore per cos cos : tg = tg tg 1tg tg (ricavabile dalle precedenti)
4.5.3) Formule di addizione cos = cos cos sen sen sen = sen coscos sen (a memoria) tg = sen sen cos cos sen = cos cos cos sen sen e dividendo numeratore e denominatore per cos cos : tg = tg tg 1 tg tg (ricavabile dalle precedenti) 4.5.4) Formule di duplicazione cos = cos = cos sen sen = sen = sen cos tg = tg = tg 1 tg (ricavabili dalle 4.5.3) 4.5.5) Formule di bisezione Dalle 4.5.4 si ha: cos = cos = cos sen se in questa utilizziamo la relazione fondamentale 4.., prima per il seno e poi per il coseno, otteniamo: cos = 1 sen sen = 1 sen => sen = ± 1 cos cos = cos 1 cos = cos 1 => cos = ± 1cos tg = ± 1 cos 1cos Dove la scelta del segno + o - è data dalla conoscenza del quadrante di lavoro. 4.5.6) Formule di prostaferesi Di poca utilità generale, servono per trasformare somme (o differenze) in prodotti. Applicando le 4.5. e 4.5.3 ottengo:
sensen = sen cos sen sen = cos sen coscos = cos cos cos cos = sen sen => sen psenq = sen pq p q cos sen p senq = cos pq p q sen cos pcosq = cos pq p q cos cos p cosq = sen pq p q sen Dove nell'ultimo passaggio si è fatto un cambio di variabili, ponendo = p; = q e conseguentemente (risolvendo il sistema delle due equazioni precedenti) = pq ; = p q. 4.5.7) Formule di Werner Di poca utilità generale, servono per trasformare prodotti in somme (o differenze). Dalle 4.5.6 (prima versione) ottengo: sen cos = 1 [ sensen ] cos sen = 1 [ sen sen ] Notare come la prima e la seconda equazione abbiano lo stesso campo di applicazione, per via della proprietà commutativa della moltiplicazione (ecco perché solitamente le formule di Werner sono solo tre). cos cos = 1 [coscos ] sen sen = 1 [cos cos ] 4.5.8) Formule parametriche in tg Applicando le 4.5.4 ottengo: cos = cos = cos cos sen = sen 1 cos sen = cos sen sen = sen = sen cos sen = cos 1 sen cos = cos sen
Se divido il numeratore e il denominatore delle ultime scritture per cos, e poi pongo un cambio di nome di variabili tg = t ottengo: cos = 1 tg 1tg => 1 t 1t tg sen = 1tg => t 1t
4.6) Equazioni goniometriche 4.6.1) Equazioni di I grado (lineari) (vedi.1) es.1) sen x = 1 => x = 6 ; x = 5 6 nel periodo scelto x [0, ] ; oppure x = 6 k; x = 5 6 k k Z se consideriamo le soluzioni su tutto R ; I due modi di esprimere le soluzioni sono equivalenti e la scelta può essere dettata dal particolare tipo di lavoro che si sta facendo (se si sta lavorando su un periodo in particolare ha più senso la prima, altrimenti la seconda), avendo cura, però, di proseguire poi con la stessa forma scelta. Negli esempi che seguiranno useremo la seconda forma, che risulta essere di carattere più generale, in quanto non prevede la scelta di un particolare periodo di studio (e sarà sottinteso k Z ). es.) sen x = => mai (perché seno e coseno sono limitate tra 1 e -1); es.3) cos x 3 = 3 => x 3 = 6 k; x 3 = 11 6 k => x = k6 ; x = 11 k6 es.4) sen 5 4 x = => 5 4 x = 4 k ; 5 4 x = 3 4 k => => 3 x = 80 k ; x = 7 80 k es.5) sen xcos x = 0 => sen x = cos x => x = 3 4 k ; x = 7 4 k 4.6.) Equazioni di II grado (vedi.6) es.1) tg x 1 = 0 ; pongo tg x = t => t 1 = 0 => t = ±1 => tg x = ±1 => => x = 4 k ; x = 3 4 k es.) 4 cos x 3 = 0 => cos x = 3 4 => cos x = ± 3 => x = 6 ; 11 6 ; 5 6 ; 7 6 ;tuttik ; es.3) cos x sen x1 = 0 => 1 sen x sen x1 = 0 => sen x sen x 1 = 0 => => pongo sen x = t => t t 1 = 0 => t = 1 ; t = 1 => sen x = 1 ; sen x = 1 => ecc... es.4) (omogenea) 3 sen x sen x cos x 3 = 0 - controllo se x = k è soluzione => 3 1 0 3 = 3 0 => NON è soluzione; - ora pongo x k, cosicché sia possibile dividere per cos x : 3tg x tg x 3sen xcos x = 0 => cos 3 tg x tg x 3 tg x 3 = 0 => si pone tg x = t x ecc...
4.7) Disequazioni goniometriche 4.7.1) Disequazioni di I grado (lineari) (vedi.3) es.1) tg x 3 => 3 k x k (vedi il grafico 4.3.) es.) sen x 1 => 6 kx 5 6 k (vedi il grafico 4..3) es.3) sen xcos x 0 => sen x cos x => per via grafica (si sovrappone al grafico di sen x tra [0.], quello di cos x, e si individuano gli intervalli nei quali il primo sta sopra al secondo); soluzioni => 0x 3 4 ; 7 x; tuttik ; 4 NOTA BENE: il grafico di cos x si ottiene ribaltando il grafico di cos x lungo l'asse delle x. 4.7.) Disequazioni di II grado (vedi.7) es.1) sen x4 cos x 5 cos x => 1 cos x4cos x 5cos x 0 => si pone cos x = t ecc... es.) sen xcos x tg x 1 0 => si applica la regola dei segni (vedi.3.4 -.3.5); NOTA BENE: nell'es., la disequazione che nasce dal denominatore dà soluzioni con periodicità ; conviene convertirle in soluzioni con periodicità, in modo che siano comparabili con le soluzioni del numeratore in un grafico di periodo appunto.
4.8) Relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo qualsiasi, valgono sempre le seguenti relazioni: c a b b = c sen a = c cos => b = c cos a = c sen => b a = tg b a = ctg Queste formule derivano da quanto definito in 4..1, solo che in questo caso immaginiamo di lavorare su una circonferenza di raggio c, anziché su una di raggio unitario. Per questo motivo, se ad esempio c1, il segmento verticale b, viene ad essere uguale non solo a sen (come solitamente avveniva), ma a qualcosa di più ( c sen ) cioè la stessa quantità amplificata di c. NOTA BENE: è bene ricordare che e non sono angoli qualsiasi, ma sono legati dalla relazione: =. APPROFONDIMENTO1: in questo paragrafo si è usato il Teorema di similitudine tra triangoli, che in breve dice che presi due triangoli T1 e T, aventi tutti gli angoli a due a due uguali, allora tutti i lati saranno a due a due proporzionali, cioè legati da un fattore di ampliamento costante c. Operativamente si inizia cercando gli angoli uguali e poi si stabiliscono i lati corrispondenti (che sono opposti agli angoli uguali); il tutto può essere solo formalmente complicato da rotazioni o ribaltamenti. APPROFONDIMENTO: per disegnare un triangolo rettangolo generico, si prende un punto su una semicirconferenza e si unisce con gli estremi del diametro; viceversa, preso un triangolo rettangolo generico e costruita una circonferenza sopra l'ipotenusa (cioè interpretandola come un diametro), detta circonferenza passerà pure per il rimanente vertice. Questo ci permette di concludere che tutti e soli i triangoli rettangoli esistenti di ipotenusa c, sono quelli inscritti nella semicirconferenza di diametro c.
4.9) Relazioni tra i lati di un triangolo qualsiasi 4.9.1) Teorema dei seni (o di Eulero) In un triangolo qualsiasi, valgono sempre le seguenti relazioni: a c b a sen = b sen = c sen 4.9.) Teorema del coseno (o di Carnot) In un triangolo qualsiasi, valgono sempre le seguenti relazioni: a c b a = b c bc cos b = a c ac cos c = a b ab cos