Fisica Quantistica III Esercizi Natale 009 Philip G. Ratcliffe (philip.ratcliffe@uninsubria.it) Dipartimento di Fisica e Matematica Università degli Studi dell Insubria in Como via Valleggio 11, 100 Como (CO), Italy (last revised 17 dicembre 009)
Exercise 1. (a) Dimostrare le seguenti relazioni: p x α = i p p α, β x α = dp φ β(p)i p φ α(p), (i) (ii) dove φ α (p)= p α e φ β (p)= p β sono funzioni d onda nello spazio degli impulsi. (b) Qual è il significato fisico di [ ] ixξ exp, dove ξ è un numero reale con le dimensioni di un impulso? Giustificare la risposta. Exercise. Consideriamo il problema della precessione di spin discusso durante le lezioni. Si può risolverlo anche nella rappresentazioni di Heisenberg. Usando ( ) eb H = S mc z = ωs z, scrivere le equazioni del moto di Heisenberg per gli operatori dipendenti dal tempo S x (t), S y (t) and S z (t). Risolvere per ottenere S x,y,z (t) come funzioni del tempo. Exercise 3. Un elettrone è soggetto ad un campo magnetico uniforme, indipendente dal tempo, di intensità B diretto lungo l asse z in senso positivo. Per t=0 si sa che l elettrone si trova in un autostato di S ˆn con autovalore 1, dove ˆn è un versore nel piano x z che fa un angolo β con l asse z. (a) Calcolare la probabilità di trovare l elettrone nello stato S x = 1 in funzione del tempo. (b) Trovare il valore d aspettazione di S x in funzione del tempo. (c) Controllare che le risposte abbiano senso nei due casi estremi (i) β 0 e (ii) β 1 π. 1
Exercise 4. Derivare la serie di Dyson per il caso di H che dipende dal tempo: { [ U(t, t 0 ) = T exp i t ]} dt H(t). t 0 Exercise 5. Derivare la seguente forma per il propagatore per una particella libera in una dimensione: [ m im(x x K(x, t; x, 0) = πi t exp ) ]. t Exercise 6. [Difficile] Derivare la forma del propagatore per una particella in un potenziale di tipo oscillatore armonico in una dimensione. Suggerimento: L approccio più semplice è una formulazione ad integrale di cammino alla Feynman. Exercise 7. Dimostrare che le due configurazioni seguenti portano allo stesso campo magnetico e trovare le trasformazioni di gauge che trasformano dall una all altra A x = 1 By, A y = 1 Bx, A z = 0; (i) A x = By, A y = 0, A z = 0. (ii) Exercise 8. Dimostrare che le matrici di rotazione D (j) lezioni formano un gruppo. m m (R) definite durante le Exercise 9. Costruire la matrice d (j) (β) per il caso j =1. m m Exercise 10. Derivare la relazione di Baker, Campbell e Hausdorff: e A B e A = B + [A, B] + 1 [A, [A, B]] +! + 1 [A, [A,...[A, B]...]]. (i) n! Suggerimento: definire la funzione F(λ)=e λa Be λa, derivare rispetto a λ e quindi dedurre la serie di Taylor per F(λ); si ottiene il risultato ponendo λ=1.
Exercise 11. Derivare la formula di Rabi: per il livello superiore e per il livello inferiore. c (t) = γ ( ) γ + ω sin γ + ω t, c 1 (t) = 1 c (t), Exercise 1. Derivare le regole di selezione per le transizioni di dipolo magnetico e quadrupolo elettrico. Exercise 13. Considerare il potenziale (in tre dimensioni) { 0 per r > R, V (r) = V 0 (costante) per r < R, dove V 0 può essere positivo o negativo. Usando il metodo delle onde parziali, dimostrare che per V 0 k /m e kr 1 la sezione d urto differenziale è isotropa (ovvero non dipenda da θ) e che la sezione d urto totale è data da σ tot = 16π 9 m V 0 R 6 4. Dimostrare che per energie leggermente più elevate la distribuzione angolare diventa della forma dσ dω = a + b cosθ e trovare un espressione approssimata per a/b. Exercise 14. Una particella scalare si diffonde su un potenziale di Yukawa debole V (r) = V 0 e µr µr, dove µ è positivo ma il potenziale può essere o attrattivo o ripulsivo. Nelle lezioni si è dimostrato che per tale potenziale si ha f (1) (θ) = mv 0 µ 1 k (1 cosθ) + µ. 3
(a) Usando f (1) (θ) e assumendo δ l 1 ottenere un espressione per δ l in termini delle funzioni di Legendre di seconda specie, Q l (ξ) = 1 +1 1 dξ P l (ξ ) ξ ξ. (b) Usando lo sviluppo in serie di Laurent Q l (ξ) valido per ξ >1, Q l (ξ) = l! 1 1 3 5 (l + 1) ξ l+1 { (l + 1)(l + ) 1 + (l + 3) 1 (l + 1)(l + )(l + 3)(l + 4) + ξ 4 (l + 3)(l + 5) } 1 ξ 4 +, dimostrare che (i) δ l è negativo (positivo) se il potenziale è repulsivo (attrattivo); (ii) per λ R (dove λ è la lunghezza d onda di de Broglie e R µ 1 è la portata del potenziale) δ l k l+1 ; trovare, inoltre, il coefficiente. Exercise 15. Trovare una rappresentazione γ delle matrici γ puramente immaginario, ovvero tale per cui { γ µ, γ ν } = g µν e Re γ µ ij = 0 ( µ), in modo che l equazione di Dirac, abbia una rappresentazione reale. i γ µ µ ψ mcψ = 0, Exercise 16. Dimostrare che e che Tr [ γ µ γ ν γ ρ γ σ] = 4 [ g µν g ρσ g µρ g νσ + g µσ g νρ] Tr [ γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ] = 4iǫ µνρσ. Suggerimento: gli unici tensori disponibili sono g µν e ǫ µνρσ e quindi le tracce di prodotti di più matrici gamma si devono esprimere come somme di prodotti di tali oggetti con coefficienti da determinare. Ricordare che Tr[½]=4. 4