Capitolo III Cenni di cinematica dei flidi III. Elementi caratteristici del moto. Nella descriione del moto di n flido è tile far riferimento a particolari famiglie di cre, nel segito sinteticamente descritte. III..-Traiettorie Per traiettoria di n elemento flido si intende il logo geometrico delle posiioni occpate dall elemento drante il moto. La traiettoria del singolo elemento è data in forma parametrica in fnione del tempo e delle coordinate del pnto occpato dall elemento nell istante iniiale: X Y Z (,,, t) (,,, t) (,,, t) () Le coordinate del pnto iniiale ariano nel dominio descriente la configraione del corpo flido nell istante iniiale, fornendo così la famiglia delle traiettorie del corpo flido considerato. In pratica le traiettorie possono essere ottente a partire dalla definiione del ettore spostamento elementare: d dt. In componenti cartesiane si ha: d dt d dt d dt Le traiettorie si ottengono pertanto integrando le (), a partire dalla posiione iniiale. III..-Linee di flsso Si consideri, in n dato istante t, il campo di elocità del corpo flido, caratteriato in ogni pnto da modlo, direione e erso. Le linee tangenti in ogni loro pnto al ettore elocità sono dette linee di flsso. L eqaione delle linee di flsso è fornita dalla condiione di parallelismo imposta tra il ettore di elocità (di componenti cartesiane,, ) e il ettore elemento d arco ds (di componenti cartesiane d, d, d) della linea di flsso considerata: ds ( 3) Tale condiione, tiliando le componenti cartesiane dei ettori, assme la segente espressione: d d d ( 4) Si ricorda infatti che il prodotto ettoriale tra de ettori, ds pò essere calcolato per componenti tramite lo silppo i j k del determinante: rispetto agli elementi della prima riga. Si ha pertanto: d d d ds ( d d) i ( d d) j ( d d)k. Imponendo che le tre componenti siano nlle si ottiene la condiione (4).
La conformaione delle linee di flsso aria da istante a istante: solo se il moto è permanente, la famiglia delle linee di flsso resta costante e coincide con la famiglia delle traiettorie. III..3-Linee di emissione o di fmo Si consideri n pnto fisso P rispetto al corpo flido in moimento. Ad n dato istante t si consideri il logo geometrico dei pnti occpati dagli elementi flidi passati per il pnto fisso P, negli istanti che precedono t. Tale logo geometrico è detto linea di emissione o di fmo, all istante considerato. La conformaione delle linee di emissione aria da istante a istante. Se il moto è permanente la famiglia delle linee di emissione coincide con la famiglia delle traiettorie. III. Il campo di elocità nell intorno di n pnto. Si consideri n pnto P all interno di n corpo flido, definito dal ettore posiione. Sia la elocità in tale pnto. La elocità nell intorno di P, ossia nella posiione indiidata dal ettore d, di componenti d,d,d, pò essere espressa dalla: ( d, d, d) (,,) d d d () 5 in ci l espansione in serie di Talor iene arrestata al primo ordine e il resto iene trascrato. Per semplicità di notaione si è omessa la dipendena esplicita dal tempo. Si noti che dalla (5) si ricaa la ariaione spaiale del ettore elocità, espressa come na combinaione lineare delle se deriate spaiali con coefficienti le qantità infinitesime d,d,d: d ( d, d, d) (,,) d d d ( 6) d, in qanto è la differena delle elocità agli estremi del segmento d di componenti d,d,d (figra III.) rappresenta fisicamente la ariaione nel tempo di qest ltimo: ossia la elocità con ci si deforma. (d) d P d () d(d)- () (d) -() Figra III. Rappresentaione della ariaione di elocità nell intorno del pnto P. Le componenti cartesiane di d sono date da:
3 7 d d d d d d d d d d d d Le qali possono essere iste come il risltato del prodotto (riga per colonna) della matrice: () 8 per il ettore colonna di componenti d,d,d. La matrice (8) pò essere decomposta nel segente modo, con semplici operaioni di somma e sottraione: (9) Si osseri che la prima matrice a secondo membro è na matrice simmetrica, mentre la seconda matrice a secondo membro è anti-simmetrica: ossia l elemento appartenente alla i ma riga e j ma colonna (con i dierso da j) ha modlo gale e segno opposto all elemento appartenente alla j ma riga e i ma colonna. Gli elementi delle righe della matrice (8) coincidono con le componenti cartesiane del gradiente delle componenti cartesiane della elocità. Tale matrice iene pertanto indicata come grad(). Le matrici a secondo membro della (9) engono indicate rispettiamente con i simboli D,W i ci elementi d ω, si possono ottenere dalle espressioni (9), per confronto:
d, d ω ω, d, d ω, ω ω Si ha pertanto: grad D W espressa dalla: d, d, ω ω d, d d, ω ω. Di consegena la ariaione spaiale di elocità (6) pò essere d Dd Wd d grad Gli elementi d. ω hanno dimensioni fisiche coincidenti con qelle di na elocità per nità di lnghea (s - ). Il loro significato fisico pò essere illstrato considerandone separatamente gli effetti s n corpo flido definito in modo opportno. A tale scopo si consideri n elemento flido piano, di forma circolare, di raggio dr, centrato attorno nell origine degli assi (figra III.). Poichè l elemento flido è piano, non dipende dalla coordinata. ddr cos(α) α ddr sin(α) Figra III.. L elemento flido circolare Si spponga inoltre che l nico coefficiente non nllo sia d e si calcoli l incremento di elocità si pnti della circonferena. Applicando la () e tenendo conto del fatto che: d dr cos α, d dr sin α, si ha: d d d dr cos La ariaione di elocità tende a far contrarre o dilatare l elemento flido nella direione dell asse a seconda che sia: d > o d <. In figra III.3 è rappresentata schematicamente la ariaione di elocità dota ad n d >. Analogo risltato si arebbe ato con d, con na 4
ariaione di elocità diretta come l asse delle, di dilataione o contraione per l elemento, a seconda che: d > o d <. d dr cos Figra III.3. Variaione di elocità di pra dilataione. Si spponga ora che l nico coefficiente non nllo sia d e si calcoli l incremento di elocità si pnti della circonferena. Applicando la () si ottengono le segenti componenti della ariaione di elocità: d d d d d d d d dr sin dr cos ( 3) illstrate schematicamente in figra III.4: d d dr cos d d dr sin Figra III.4. Variaione di elocità di pra distorsione Il campo di elocità (3) tende a far cambiare forma all elemento flido, ma non ne altera il olme: si tratta perciò di n campo di elocità di pra distorsione. 5
Infine si spponga che l nico coefficiente non nllo sia componenti di elocità risltano le segenti: d ω d ω dr sin d ω d ω dr cos ω e che ω < : le ( 4) illstrate schematicamente in figra III.5: d ω dr cos d ω dr sin Figra III.5. Campo di elocità di pra rotaione. L effetto è qello di tendere a far rotare l elemento flido, sena ariarne il olme e la forma. Si tratta perciò dell effetto tipico di n campo di elocità di rotaione rigida. I risltati così ottenti possono essere generaliati: gli elementi d, d, d, generano campi di elocità di pra dilataione o contraione nelle direioni,, ; gli elementi d, d, d, generano campi di elocità di pra distorsione, sena ariaione di olme, si piani,, ; gli elementi ω, ω, ω generano campi di elocità di rotaione di corpo rigido si piani,,; Vale la pena soffermarsi breemente sl contribto dato dalla rotaione rigida. La elocità si pnti esterni dell elemento circolare pò essere definita come il prodotto ettoriale di n ettore elocità di rotaione Ω, perpendicolare al piano, e del ettore posiione d del pnto slla circonferena. Definendo il ettore Ω come: i Ω j k k ( 5) La ariaione di elocità rislta espressa dalla: 6
7 6 d Ω d Il discorso pò essere generaliato al caso di moti tridimensionali, definendo il ettore Ω come: 7 k j i k j i Ω Il ettore Ω, le ci componenti sono definite dalla (7), pò essere isto come la elocità di rotaione rigida definita nel pnto occpato dall elemento flido ed è definito dal prodotto ettoriale del ettore nabla per il ettore elocità o rotore della elocità: 8 Ω Il ettore Ω è detto orticità. Va fatta infine na importante osseraione. Ttti i risltati consegiti, in particolare le definiioni degli elementi delle matrici e delle componenti di Ω algono in n riferimento cartesiano ortogonale. In riferimenti differenti (ad esempio sferico o cilindrico) ciò che si consera è la linearità della relaione tra il campo di elocità nell intorno di n pnto e il ettore spostamento che definisce l intorno del pnto, mentre le espressioni delle singole componenti di D,W e Ω ariano a seconda del sistema di riferimento adottato.