Tem d esme del 7/11/00 1
Tem d esme del 7/11/00 1. igrmmi delle zioni interne di tutt l struttur nell condizione di orz in L struttur crict dll orz gente nel punto è rppresentt in igur 1: l x z y b N 300 N igur 1 All incstro - giscono le rezioni vincolri dell struttur. Poiché l orz in gisce nel pino x-y, e non vi sono sollecitzioni dirette secondo l sse z, possimo ermre in non vi sono rezioni secondo z. In ci sono un componente di momento lettente, ttorno ll sse z, e un di orz, secondo l direzione x, prllel. Ne determinimo il vlore con un equzione di equilibrio ll trslzione in direzione x, e un di equilibrio ll rotzione ttorno ll sse z. 1. o (1.). ( l b) 0 (.) + dll second equzione si ottiene: ( l b) + (3.) L struttur è tridimensionle: considerimo un trve per volt 1. Nell trve, l orz determin, nel punto, un rezione dirett secondo l sse x, e un momento lettente con sse prllelo y; possimo rislire questi vlori scrivendo l equilibrio rispetto l punto. N (4.) ( ) 1 Nelle equzioni seguenti, l pice indic il punto dell struttur in cui sono vlutte le zioni; il pedice, ccnto ll zione ( per lettente, t per torcente), identiic r prentesi il segmento rispetto l qule si st lvorndo: così l scrittur B) ( indic il momento lettente, nell trve B, clcolto nel punto.
Tem d esme del 7/11/00 ( ) 90 Nm (5.) L ndmento del momento lettente nell trve è linere secondo l coordint intern ll trve stess, e cresce d zero ino l vlore mssimo (). Per eetto dell congiunzione con l trve, 90 rispetto ll precedente, il momento lettente diviene momento torcente: t 90 Nm (6.) ( ) ( ) nell stess trve, gisce l orz ll estremo, che gener ncor un volt il momento lettente nell estremo : l 60 Nm (7.) ( ) Al conttto r l trve e si h un nuovo scmbio di zioni interne: il momento lettente in, che si trov d gire secondo l sse dell trve, ne diviene il momento torcente; vicevers, il momento torcente che gisce sull trve sollecit lessione l trve in. t l 60 Nm (8.) ( ) ( ) ( ) t( ) 90 Nm (9.) Nell trve il momento lettente segue ncor un vrizione linere, decrescendo mn mno che ci si spost d verso ; se chimimo s l coordint intern dirett secondo l sse dell trve, d verso, in un punto generico si h: ( ) ( ) s (10.) s All estremo, il vlore risultnte del momento lettente è 0. ( ) 0 N (11.) Si not quindi che, ll intersezione con l trve, non c è zione che si trsormi, in quest ultim, in un momento torcente; rimne solo t l 60 Nm (1.) ( ) ( ) oltre, nturlmente, ll orz. Il momento in si somm ll zione dell orz: se l coordint s cresce d verso, il momento in un punto generico dell trve, è ( ) ( ) + s (13.) s il vlore che il momento rggiunge in è quindi: ( ) l + b 10 N (14.) 3
Tem d esme del 7/11/00 x z y Rx z igur x z y Rx z igur 3 digrmm del momento lettente nell struttur con l orz gente in 4
Tem d esme del 7/11/00 + + x z y Rx z + igur 4 digrmm del momento torcente nell struttur con l orz gente in.. igrmmi delle zioni interne di tutt l struttur nell condizione di orz in Se l orz gisce in, ll incstro non trovimo solo il momento ttorno ll sse z, m nche un momento con sse diretto secondo y. cendo rierimento ll igur seguente, possimo vlutre le zioni interne nell struttur: nell trve, dt l orz in, trovimo in un rezione, nch ess pri, dirett secondo l sse x; e un momento lettente, diretto secondo l sse z, che tend le ibre sul lto con x positivo dell trve: ( ) ( ) l 60 Nm (15.) il momento diviene torcente in, per eetto del cmbimento di direzione: t ( ) ( ) l 60 Nm (16.) Nel punto dell trve non gisce momento lettente; l orz tuttvi provoc un sollecitzione lessionle linere crescente verso l estremo, in cui si rggiunge il mssimo ( ) 90 Nm (17.) In seguito l collegmento con l trve, si h un ltro scmbio r momenti lettenti e torcenti: con l notzione bitule scrivimo ( ) t( ) l 60 Nm (18.) 5
Tem d esme del 7/11/00 Il momento lettente in, nell trve non è nullo, e si trsmette come momento torcente. t 90 Nm (19.) ( ) ( ) Anche nell trve si riscontr un incremento linere dell zione lettente procedendo dl punto verso : il mssimo si rggiunge in questo estremo, dove si h ( l + ) 10 Nm ( ) ( ) + b b (0.) t ( ) t( ) 90 Nm (1.) I digrmmi ricvti sono riportti nel seguito. x z y Rx z igur 5 x z y Rx z igur 6 6
Tem d esme del 7/11/00 x z y Rx z - + + igur 7 3. Veriic tic illimitt l sezione di incstro per un orz lternt simmetric pplict in. L orz, pplict in, sollecit l estremo - solo lessione, con entità, come si è visto in precedenz, pri ( ) l + b 10 Nm (.) trttndosi di un orz lternt simmetric, si deduce che le sollecitzioni sono sinusoidli, medi null; è possibile eseguire l veriic cendo semplicemente ricorso l digrmm del Wöhler, corretto opportunmente per tenere conto degli eetti dimensionli, del trttmento termico e di eventuli intgli presenti ll incstro. Si chiede di veriicre l disuguglinz: σ,mx nell qule σ ', (3.) η σ,mx è il vlore di sorzo mssimo nell sezione di incstro, provocto dll lessione. σ A, è lo sorzo limite di resistenz tic lessione (σ A, ) ridotto secondo l ormul: b b σ ' 3 A, σ A, (4.) K Il coeiciente b tiene conto dell dimensione dell elemento: su un lbero di dimetro mggiore, intti, l stess σ mx conduce ll ormzione di un grdiente di sollecitzione minore, che h più probbilità di innescre cricche nel mterile. In secondo luogo, inoltre, su elemento più grnde, vi è mggiore probbilità di riscontrre diettosità con esito dnnoso sull integrità del componente. Perciò, sono più penlizzti gli oggetti con dimensione crtteristic superiore 10 mm (che è l dimensione dei provini su cui si eseguono le prove di tic). 7
Tem d esme del 7/11/00 Il vlore di b si può determinre medinte il digrmm in igur 8 in unzione dell dimensione del dimetro dell lbero. igur 8 Il coeiciente b 3 tiene conto dell eetto dell initur supericile, perché l presenz di rugosità supericile può incrementre considerevolmente l pericolosità dell sollecitzione; esso dipende nche dlle crtteristiche resistenzili del mterile, perché un mterile più resistente è più sensibile i microintgli. Si sceglie dl digrmm in igur 9 il vlore di b 3 in unzione dell lvorzione che l lbero h subito. Le diverse curve nel digrmm si rieriscono mterile, rispettivmente: 1. lucidto-rettiicto;. tornito; 3. grezzo di lminzione; 4. grezzo di orgitur. igur 9 K è il coeiciente di sovrsollecitzione tic, che deriv dll geometri dell struttur medinte il coeiciente di sovrsollecitzione sttic K t, e dipende dl mterile trmite l sensibilità ll intglio tic, q; esso dipende si dll dimensione del rggio di rccordo in prossimità dell intglio, che dl mterile di cui è costruito l lbero. Il loro legme è espresso d: 8
Tem d esme del 7/11/00 ( K ) K 1+ q 1 (5.) t q, su volt, si può esprimere come (ormul di Neuber): 1 q ρ 1+ r ove r è il rggio di rccordo, ρ dipende dl mterile di cui è costituito l lbero. Si sceglie, secondo l resistenz rottur, il vlore di ρ per il mterile dell lbero; (6.) igur 10 Si sceglie, secondo le crtteristiche geometriche dell intglio, il ttore K t : igur 11 Ricorrendo vlori tbulti per questi ttori, dte le dimensioni possimo ritenere che si: 1. b 0,89.. il mterile dell lbero si boniicto e lvorto per tornitur: b 3 0,85. 9
Tem d esme del 7/11/00 3. In corrispondenz dell incstro è 1 40 mm, d30 mm, per cui il loro rpporto vle 1,33 ( 1,4); ssumendo un rggio bbstnz mpio (per esempio R5 mm) si h un rpporto r/d 0,16. ll intersezione dell sciss r/d0,16 con l curv che rppresent 1 /d1,4, si ricv K t 1,8. onsiderndo, dl digrmm (ig. 10) e dll (6.) i ttori per il clcolo di q, si ottiene q 0,9. questo si giunge K 1,7. ssumendo σ A, 350 P si ricv σ A, 154 P (7.) to il vlore del momento lettente in, pri () 10 Nm (8.) si ottiene lo sorzo mssimo con l relzione ( ) 3 ( ) σ,mx 79 P. (9.) 3 W πd to il coeiciente di sicurezz pri 1,5, si trov σ ', 154 79 σ, mx 103, quindi l veriic è soddistt. (30.) η 1,5 4. lcolre l intererenz elstic necessri perché non si bbi slittmento ll incstro in qundo l orz è pplict in. Il orzmento prte di quegli ccoppimenti deiniti di orz perché generti per zione di ttrito r elementi geometrici dovuto ll pressione di conttto. Al montggio, l divers dimensione dell lbero e dell incstro gener un pressione, d cui per ttrito sttico si originno sollecitzioni tngenzili, il cui vlore, in condizioni di incipiente slittmento, è τ p dove τ sorzo tngenzile coeiciente di ttrito sttico p pressione di conttto è noto il momento torcente che gisce nell sezione di incstro qundo l orz è pplict in : t 90 Nm Le dimensioni dell zon di orzmento, come si ricvno dl testo del tem, sono 1 40 mm 80 mm L 40 mm 10
Tem d esme del 7/11/00 All inizio dello slittmento, il momento torcente pplicto è ncor equilibrto dlle zioni tngenzili scmbite r l lbero e l su sede, d cui scrivimo d π d d d t, ( ) τ da τ L dϕ p Lπ A (31.) 0 Quindi si può conoscere l pressione minim che grntisce l coesione l conttto; se il coeiciente di ttrito vle 0,1, si h 3,mx 8,95 P. (3.) d Lπ pmin con l condizione che si sempre p p min per evitre lo slittmento. Il clcolo dell intererenz richiede di conoscere l distribuzione di sorzi derivnti d un crico di pressione su un corpo cilindrico. L lbero si può ssimilre un cilindro pieno, su cui gisc un pressione dll esterno verso l interno, mentre l prte estern (che chimeremo nel seguito mozzo) è nlog un cilindro cvo, con pressione ll interno. Le sollecitzioni, come si evincono dlle relzioni riportte in lettertur, sono B σ t A r B σ r A + r (33.) mentre, per l ridott dimensione ssile, le σ sono trscurbili. Sorzi nell lbero li sorzi si ricvno con le condizioni l contorno: σ r -p per rd / (34.) σ r σ t per r0 con d dimetro dell lbero (che è pri 1 ) perché in prossimità dell sse dell lbero distinguere l direzione rdile e quell tngenzile non è possibile, quindi gli sorzi rdili e tngenzili devono essere gli stessi. Si ottiene llor σ r σ t -p (35.) e σ 0. uglino,., Vergni, L., sercitzioni di ostruzione di cchine, USL, ilno; uglino,., Vergni, L., Appunti delle lezioni di ostruzione di cchine del pro. A. Terrnov, USL, ilno 11
Tem d esme del 7/11/00 Sorzi nel mozzo Le condizioni l contorno nel mozzo sono σ r -p per r 1 / (36.) σ r 0 per r / con 1 dimetro interno del mozzo dimetro esterno del mozzo. Sviluppndo i clcoli, si trov: p R + e σ t 1 1 r p R 1 e σ r 1 r (37.) con rpporto R e /R i / 1 R e rggio esterno del disco che rppresent l sede di orzmento, pri / R i rggio interno dell stess sede, pri 1 /. eormzione dell lbero e del mozzo Indichimo in senso generle con m l dimensione del dimetro interno del mozzo; dllo studio dell deormzione di un concio di mterile dell lbero e del mozzo si ricv che ε ε t, t, m ( d ( + d )π d d π m + m )π π m π d d m π m m (38.) L vrizione di dimetro dell lbero è negtiv, nel senso che l lbero, deormndosi, si comprime; il mozzo, l contrrio, si dilt. Se, prim del montggio, i due elementi sono diversi, dopo, per congruenz, devono diventre uguli: quindi d + d m + m (39.) ricordndo che d è negtivo (l lbero si comprime) e m è positivo (il mozzo si dilt). L intererenz si vlut prim dell deormzione, essendo pri i d m m d lle equzioni degli sorzi, scritte sopr, si ottengono le espressioni delle deormzioni circonerenzili: 1
Tem d esme del 7/11/00 ( σ νσ ) ε t 1 t r essendo trscurbili gli sorzi ssili; (40.) per l lbero vle p ε t, ( ν 1) (41.) d cui p d d ( ν 1) (4.) mentre per il mozzo, l deormzione ll intrdosso vle p ε t, m ( 1+ ν (1 )); (43.) ( 1) ( 1+ (1 )) pm m ν. (44.) ( 1) iungimo perciò ll espressione che leg l pressione di conttto ll intererenz: p d ( 1+ ν (1 )) ( 1) pm i ( 1) ν (45.) Inizilmente, il dimetro dell lbero e del mozzo non è noto: prtimo d un medesimo vlore, 1 40 mm, ottenendo l intererenz eicce pd i e 0,0046 mm (46.) ( 1) Il vlore di intererenz eicce non consider l presenz di rugosità supericile; l deormzione plstic di quest ultim, dovut l orzmento, non contribuisce ll trsmissione di coppi; perciò si pplic un mggiorzione ll intererenz clcolt, d cui si rriv ll intererenz necessri: i nec i e + R p,m + R p, (47.) Ricordimo che R p è l rugosità di picco, intes come dierenz mssim r i punti estremi del proilo di rugosità supericile del pezzo: noi è not l rugosità medi, che è legt quell di picco medinte l unzione R p R (48.) Se considerimo il mozzo tornito, l lbero possibilmente rettiicto, vremo: R p,m 0,0064 mm R p, 0,003 mm Applicndo l (47.) ottenimo i nec i e + R p,m + R p, 0,038 mm (49.) 13
Tem d esme del 7/11/00 Scelt dell ccoppimento Si deve scegliere l ccoppimento tle d generre un condizione di intererenz minim lmeno pri quell clcolt, r gli ccoppimenti ISO. Sceglimo il sistem ORO-BAS, per questioni tecnologiche (grntisce mggiore initur dell lbero, ed è generlmente più cile lvorre l lbero del oro); di norm si impone l oro un tollernz di tipo 7. L zon di tollernz dell lbero srà dispost tutt l di sopr dell line dello zero, che rppresent l dimensione nominle dell lbero stesso; indichimo con igur 1 s s, s i,m scostmento ineriore dell zon di tollernz del mozzo, pri zero; s s,m scostmento superiore dell zon di tollernz del mozzo; s i, scostmento ineriore dell zon di tollernz dell lbero; s s, scostmento superiore dell zon di tollernz dell lbero. s i, s s,m t l dimensione nominle del oro ( 1 40 mm) e l tollernz 7, dlle tbelle ISO si ricv subito, noto lo scostmento ineriore (0), lo scostmento superiore s s,m : per Ø 40 mm, s s,m 0,050 mm (50.) Voglimo che l intererenz minim si pri l vlore clcolto, ovvero che s i, s s,m i nec. (51.) Si trov il vlore di s i,, che si pprossim per eccesso l vlore prossimo contenuto nelle tbelle. Noto questo scostmento, è possibile rislire ll zon di tollernz pplict ll lbero. s i, 0,0488 mm (5.) Lo scostmento ineriore indicto corrisponde un zon di tollernz di posizione p. Il sistem oro-bse dottto prescrive che si doperi generlmente un clsse di precisione ineriore per l lbero: vendo dottto inizilmente un tollernz 7, l clsse scelt srà quindi 6. ll tbell ISO si ottiene perciò che l dimensione dell lbero è: Ø 40 u6 s i,m igur 13 14
Tem d esme del 7/11/00 Si ringrzi l ing. ederico Tordini per l prezios collborzione ll revisione del testo. 15