Prodotto libero di gruppi

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1 Cpitolo 1 Prodotto libero di gruppi Queste dispense sono bste su degli ppunti orniti d lcuni studenti, che ringrzio. Osservzione 1. Abbimo già incontrto Z k e l bbimo presentto come gruppo belino libero di rngo k. Abbimo visto che un delle rgioni di questo nome è dovut l tto che, dto un gruppo belino A, e considert un bse 1 v 1,..., v k di Z k, per ogni scelt di k elementi 1, 2,..., k di A (non necessrimente distinti), è possibile trovre un omomorismo d Z k d A che mndi v i in i per ogni i. Nel crere un omomorismo, insomm, si è liberi di decidere l immgine degli elementi v i. Deinizione 1 (Prodotto libero di gruppi). Si { i } i I un insieme di gruppi. Se un gruppo soddis tutte le seguenti condizioni: - i I, Hom( i, ). (Vedremo poi che non è restrittivo chiedere che questi omomorismi sino iniettivi). { } - H gruppo e per ogni insieme di omomorismi i H esiste un H tle che sino commuttivi i seguenti di- unico omomorismo grmmi: i I i diremo che è un prodotto libero dei i (rispetto lle mppe ). Teorem 1. Dto un insieme { i } i I di gruppi, il loro prodotto libero, se esiste, è unico meno di isomorismo. 1 Come per gli spzi vettorili, un bse è un insieme di elementi linermente indipendenti e che generno (si considerno le combinzioni lineri coeicienti in Z H 1

2 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 2 Supponimo per ssurdo che nche si il prodotto libero dello stesso insieme di gruppi. Allor vremmo i digrmmi: i e sppimo che esistono un unic ed un unic g tli che tutti questi digrmmi commutino. Se riuscissimo d ottenere che g e g sono le identità llor vremmo che entrmbe sono isomorismi e vremmo concluso. Anlizzimo dunque g utilizzndo i digrmmi: g i g Sppimo che g : commutre il digrmm, m nche l identità id : lo commutre. Possimo comunque concludere, per l unicità richiest dll deinizione di prodotto libero, che g = id :. Anlogmente si dimostr che g = id :. Teorem 2. Dto un insieme { i } i I di gruppi, il loro prodotto libero esiste. Deinimo list coeicienti nei i un qulunque sequenz ordint init (x 1,..., x k ) con le seguenti proprietà: - ogni elemento x j che compre nell list pprtiene d uno dei gruppi i per qulche i. - due termini consecutivi pprtengono due i diversi. - nessun termine è l identità per qulche i. Il numero nturle k viene dett lunghezz dell list. Si ggiunge ll insieme delle liste nche l list vuot (l unic di lunghezz 0). L insieme delle liste è ininito, e lo indicheremo con W. Descrivimo desso un zione di i su W. Si g i e X = (x 1,..., x k ) llor: - se x 1 i : ) Se g e i llor g X = (g, x 1,..., x k ). (Notimo che se X = ( ) llor g ( ) = (g). b) Se g = e i llor g X = X - se x 1 i : c) se g x 1 1 llor g X = (gx 1,..., x k ).

3 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 3 d) se g = x 1 1 llor g X = (x 2,..., x k ) in prticolre g (g 1 ) = () Quest in eetti è un zione di i su W. Sppimo dunque che tle zione induce un omomorismo i Big(W ) che è nche iniettivo (per cpire che due elementi di i hnno immgini diverse bst vedere come giscono sull list vuot). Chimimo llor il sottogruppo di Big(W ) generto d φ( i ) l vrire di i I. D or in poi, se ci converrà per lleggerire l notzione, potremo leggere i i direttmente in, visto che i vri sono omomorismi iniettivi. Quindi possimo dire che ogni elemento di è prodotto di un numero inito di elementi dei vri i. Dobbimo veriicre che è il prodotto libero dei gruppi i, cioè che comunque si scelg un gruppo H e un migli di omomorismi { : i H} i I, esiste un unico omomorismo tle che i seguenti digrmmi sino commuttivi: i H Per veriicrlo premettimo un deinizione e un lemm. Deinizione 2 (Form ridott). Dicimo che (con l notzione ppen introdott) X = g 1 g 2... g m è un scrittur in orm ridott dell elemento X se: - due ttori consecutivi stnno in due gruppi diversi. - nessuno dei g i è l identità del suo gruppo. Lemm 1. L orm ridott di un elemento X esiste ed è unic. Per prim cos si osserv che l orm ridott di un elemento esiste: dto un elemento X espresso come prodotto inito di vri elementi pprtenenti i gruppi i è intti possibile scriverlo in orm ridott con un numero inito di pssggi (se ci sono due ttori consecutivi che pprtengono llo stesso gruppo si consider il loro prodotto, se, d un certo punto si ottiene l identità di un gruppo i l si elimin, etc...). Supponimo per ssurdo di vere due orme ridotte dierenti: X = g 1... g m = h 1... h k Ogni elemento di gisce su Big(W ). Considerimo llor l zione di X Big(W ) sull list vuot; se vle l uguglinz delle due scritture di X llor devono nche vlere le uguglinze: X ( ) = (g 1... g m ) ( ) = (g 1 g m 1 ) (g m ) = (g 1,..., g m ) X ( ) = (h 1... h k ) ( ) = (h 1 h k 1 ) (h k ) = (h 1,..., h k ) Dunque bbimo (g 1,..., g m ) = (h 1,..., h k ) che è possibile solo se m = k e le componenti sono uguli due due.

4 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 4 Tornimo desso ll dimostrzione del tto che è il prodotto libero dei gruppi i. Dividimo in due prti gli elementi di, pensndo ll loro orm ridott. - Se l orm ridott di un elemento X è X = g i con g i i per un certo i I, llor perché i digrmmi commutino si deve porre (X) = (g i ). - Se l orm ridott di un elemento X è X = g i1 g i2 g ik, con g ij ij, llor dto che voglimo che si un omomorismo dobbimo porre (X) = 1 (g i1 )... k (g ik ) Il tto che l orm ridott di un elemento si unic ci dice innnzitutto che l unzione è ben deinit su ogni elemento X. Si veriic inoltre cilmente che è un omomorismo. Esempio 1. Sino 1 = Z 2 = {e, x 1 }, 2 = Z 2 = {e, x 2 }. Il prodotto libero viene indicto con Z 2 Z 2 (in generle si us il simbolo per indicre il prodotto libero) e lcuni suoi elementi sono: x 1, x 1 x 2, x 1 x 2 x 1, che sono tutti scritti in orm ridott (e questo mostr che sono elementi diversi r loro). In prticolre bbimo che x 1 x 2 x 2 x 1. Inoltre x 1 x 2 e x 2 x 1 sono l uno l inverso dell ltro e hnno ordine ininito. Esempio 2. Sino 1 =... = m = Z e considerimo il loro prodotto libero che si può scrivere come: = m i=1 è detto gruppo libero su m genertori. Se indichimo ogni copi di Z con l notzione moltiplictiv, e scrivimo 1 = Z = (x 1 ), 2 = Z = (x 2 ),..., m = Z = (x m ), etc..llor consiste di tutte le orme ridotte in cui ogni ttore è del tipo x i i con i intero non nullo. Il gruppo libero su n genertori è unico meno di isomorismo, per il Teorem 1. Esempio 3. Si K un gruppo generto d m elementi {k 1,..., k m }. Considerimo llor = Z, con le notzioni dell esempio precedente. m Sppimo i=1 che esiste un omomorismo Γ d K ottenuto mndndo per ogni i = 1,..., m il genertore x i di nel genertore k i di K. Questo ci ornisce nche un successione estt cort: {e} Ker Γ Z Γ K {e} Abbimo dunque per il primo teorem di omomorismo: K Ker Γ Quindi K è determinto dll conoscenz di Ker Γ. Osservimo or che Ker Γ è un sottogruppo normle di. Se riuscimo trovre degli elementi r 1,..., r s di Ker Γ che lo generno, diremo che K è initmente presentto trmite i genertori x 1,..., x m di e le relzioni r 1,..., r s. Osservimo che qundo dicimo che r 1,..., r s generno Ker Γ, intendimo che lo generno come sottogruppo normle, ossi che Ker Γ è il più piccolo sottogruppo normle di che contiene gli elementi r 1,..., r s. In mnier equivlente, possimo dire che Ker Γ è dto d tutti i possibili prodotti initi degli elementi r 1,..., r s, dei loro inversi, e di tutti i coniugti degli elementi r 1,..., r s e dei loro inversi.

5 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 5 Osservzione 2. Che relzioni vi sono tr = k i=1 Z, cioè il gruppo libero su k genertori, e Z k, il gruppo belino libero di rngo k? Considerimo, il sottogruppo dei commuttori (o derivto) di. Sppimo che è belino, dimostrimo che in eetti è isomoro l gruppo belino libero di rngo k. Vedimo due dierenti dimostrzioni: - Sppimo che un elemento di è è dto d un espressione ridott (che chimeremo prol ); quozientre per signiic rendere il gruppo belino, questo ci permette quindi di scmbire l ordine delle lettere e di rggruppre i contributi di ogni singolo gruppo. Cioè un generic prol x potrà essere scritt come: x = x x k k M l insieme degli elementi di questo tipo è isomoro Z k, come si veriic immeditmente. - Provimo un dimostrzione più strtt. Sppimo che Z k è il gruppo belino libero. Ci è suiciente dimostrre che nche è il gruppo belino libero di rngo k, è cioè suiciente dimostrre che per ogni gruppo belino A esiste un unico omomorismo γ che rend commuttivo il seguente digrmm: {x 1,..., x k } Per vedere questo ci ricordimo intnto che è il gruppo libero, e dunque possimo scrivere: {x 1,..., x k } φ φ A γ A γ spendo che esiste un unico omomorismo che qunto richiesto. Certmente i commuttori di pprtengono l Ker di, visto che sppimo che ogni quoziente belino di deve essere ottenuto quozientndo per un sottogruppo contenente il sottogruppo dei commuttori. M llor possimo dire che l omomorismo pss l quoziente. Abbimo quindi un omomorismo γ (dt dl pssggio l quoziente dell ) che commutre il digrmm rppresentto nell igur sopr. V dimostrt l unicità di γ. M in reltà γ è completmente determinto dlle immgini di x 1,..., x k che sono già decise d φ. Proposizione 1. Sino F e sono due gruppi liberi su due diversi insiemi di genertori S e T initi. Allor F S = T

6 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 6 Osservzione 3. Osservimo che in virtù di quest proposizione è ben deinito il rngo di un gruppo libero su un numero inito di genertori (l proposizione vle nche nel cso ininito, m non pproondiremo in questo corso...). Supponimo innnzitutto F =. Abbimo llor: Z S = F F = = Z T Questo conclude, ricordndoci che S e T sono initi e del teorem di clssiiczione dei gruppi belini initmente generti. L ltr impliczione è immedit. Esempio 4. Sino R = S = Z due gruppi isomori Z generti rispettivmente d ρ e d σ. Abbimo llor: D n = S R [(ρ n, σ 2, σρσρ)] Con le prentesi qudre, in questo cso, indichimo il generto dgli elementi indicti e d tutti gli elementi loro coniugti (come bbimo già osservto, intti, il nucleo deve essere normle nel suo gruppo di pprtenenz, in questo cso il gruppo libero). Per dimostrre questo isomorismo dovremmo vedere che (utilizzndo l notzione dell successione cort vist nell ultim osservzione, in prticolre l unzione Γ mnd l elemento ρ di S R nell elemento ρ di D n, un genertore delle rotzioni, e lo stesso con σ e l rilessione che conoscimo): Ker Γ = [(ρ n, σ 2, σρσρ)] Si vede cilmente che gli elementi indicti sono contenuti nel Ker Γ; m è meno immedito vedere che vle il contrrio; si procede nell dimostrzione per induzione: si esplicitno quli sono gli elementi contenuti nel Ker Γ l vrire dell lunghezz dell loro orm ridott e si vede che sono quelli descritti: Lunghezz = 1 Abbimo che g Ker Γ g = ρ cn g = σ d2. Lunghezz = 2 Vi sono solo due csi: g = ρ σ b oppure g = σ b ρ. Osservndo che l immgine rispetto Γ di g risult, rispettivmente: ρ σ b oppure σ b ρ, possimo dire che in entrmbi i csi dobbimo vere: = cn e b = 2d. Lunghezz 3 Nel leggere l prol che esprime g Ker Γ trovimo sicurmente ll inizio un espressione del tipo σ 2j σρ σ con j Z oppure σ 2j ρ σρ b con j Z. Vedimo cos succede nel primo cso (il secondo è nlogo). Possimo scrivere: σ 2j σρ σ = σ 2j (σρ σρ )ρ Si dimostr cilmente che σ 2j e (σρ σρ ) pprtengono [((ρ n, σ 2, σρσρ))]. Siccome l elemento g pprtiene Ker Γ si conclude che nche l elemento g, ottenuto d g sostituendo l prte inizile σ 2j σρ σ con ρ, pprtiene Ker Γ. M l lunghezz di g è ineriore quell di g e per induzione possimo dire che g [((ρ n, σ 2, σρσρ))]. D questo si conclude subito che g = σ 2j (σρ σρ )g [((ρ n, σ 2, σρσρ))]

7 CAPITOLO 1. PRODOTTO LIBERO DI RUPPI 7 Fccimo un ccenno or quello che è conosciuto come il problem dell prol: dto un gruppo presentto come quoziente di un gruppo libero per delle relzioni, esiste un lgoritmo per decidere se due prole sono uguli? Sono stti individuti gruppi initmente presentti nei quli il problem dell prol è indecidibile 2, e comunque, in generle, non è un problem semplice. In generle è nche diicile riconoscere se due quozienti di un gruppo libero sono isomori r loro. Il cso del prossimo esempio è di questo tipo m è invece di cile soluzione. Esempio 5. Indichimo con F (, b) il gruppo libero con genertori, b e con F (, c) il gruppo libero con genertori, c. Considerimo: F (, b) [(bb 1 )] F (, c) [( 2 c 2 )] questi due gruppi sono isomori? L rispost è sì. Considerimo l omomorismo: : F (, b) F (, c) b c sppimo che esiste un unico omomorismo che qunto richiesto perché F (, b) è un gruppo libero. Considerimo nche l omomorismo (sempre unico): g : F (, c) F (, b) c b 1 Possimo vedere cilmente che g e g sono le identità, quindi e g sono entrmbi isomorismi. Per concludere ci bst dimostrre che ([(bb 1 )]) = [( 2 c 2 )]. Comincimo col dimostrre che: (bb 1 ) = cc 1 = cc = c 2 c [( 2 c 2 )] M questo è vero, intti [( 2 c 2 )] è normle, dunque possimo dire: 2 c 2 [( 2 c 2 )] = c 2 c 2 c 1 = c 2 c [( 2 c 2 )] A questo punto è immedito nche veriicre che g( 2 c 2 ) [(bb 1 )] e concludere ricordndo che g e g sono le identità. 2 Rimnimo vghi su cos questo vuole dire... Nei corsi di logic pproondirete.