4 3 Stes delle dstrbuzo Dalle operazo prelmar del captolo precedete s esce co ua o pù dstrbuzo d frequeza che rassumoo l coteuto formatvo acqusto per var aspett che s è rteuto d studare sulle utà. La quattà d dat che esse detegoo, pur elle astrazo e semplfcazo effettuate, è eccessva perché s possa coglere l esseza delle varabl o per cofrotarle effcacemete. E percò ecessaro procedere ad ua stes delle dstrbuzo poch dc descrttv (dett statstche) delle loro caratterstche pù salet. Qual soo tratt prcpal d ua dstrbuzoe d frequeza? Qual è l modo pù effcete per evdezarl? Quale tecca può agevolare la compresoe del processo che ha geerato dat? La Statstca, el corso del tempo, ha focalzzato l attezoe su alcu aspett dfferezat delle dstrbuzo qual: la cetraltà coè l essteza d ua modaltà, fttza o reale, che prevalga sulle altre e sa d queste rappresetatva (paragrafo 3.); la varabltà e coè l atttude delle modaltà a dsperders o a cocetrars su partcolar valor (paragrafo 3.); la smmetra coè la tedeza all equlbro ovvero al prevalere de valor pccol o de valor grad studata el paragrafo 3.3. Nell esporre cocett ed dc cercheremo d teere prmo pao l avvso d Ehreberg (983) che vta ad segare la Statstca che s usa lmtado l eucazoe d prcp astratt applcat a problem che essuo s porrà. I questo captolo pù che e due precedet, calcol ed grafc sarao prmo pao ed a questo fe valgoo le avverteze gà date ella premessa: qualcuo può ache essere svolto co pea e calcolatrce, ma è meglo mpostarl sul foglo elettroco tpo Excel o co u pacchetto applcatvo tpo SPSS che sollevao dalle fas pù grate dell appredmeto per dare maggore tempo alla rflessoe.
3. I valor med I valor med, o ache dc d poszoe o d tedeza cetrale dvduao l lvello d maggore addesameto delle modaltà ovvero la categora o l valore (espresso ella stessa utà d msura del feomeo) toro a cu ruota l tera rlevazoe. 43 a) Nel grafco soo rportat tre polgo d frequeza sml tra d loro trae che per l cetro. Le modaltà c, c, c3 rappresetao l cetro della dstrbuzoe, terpretable ache come l lvello d equlbro aturale a cu la dstrbuzoe tederebbe asseza d forze dversfcatrc. b) Lv (963, p. 58) rflette... Ne gudz e e ragoamet che s fao su fatt e cose soggett a varare e a mutare s opera sttvamete u coguaglo d pù qualtà o quattà dsugual. Su questa coscete o subcoscete operazoe d stes o d coguaglo s foda l comue cocetto d meda. Per meda, Statstca, s tede comue a tate msure ed cò dffersce dal sgfcato usuale che assoca l terme meda ad ua somma d valor dvsa per l umero degl added. La meda è ua modaltà, potetca o effettvamete osservata, rappresetatva e tpca della dstrbuzoe. L uco vcolo ella sua scelta è la codzoe d teraltà se la scala d msurazoe è almeo ordale e coè: X () Meda X (). A Lbr Utet 4 3 3 4 5 5 65 B Lguaggo Parlat Madaro 740 Iglese 403 Russo 77 Spagolo 66 Idostao 64 Arabo 60 Begalese 55 65 Nel caso A la meda può essere u qualsas umero (ache frazoaro) compreso tra e 5; el secodo caso, trattados d ua varable omale, la meda dovrà cocdere co ua delle modaltà del domo. La codzoe d teraltà permette alla meda d formare sull orde d gradezza del feomeo segalado che ua parte delle modaltà è more d essa ed ua parte maggore. Il processo d estrema stes che porta al collassameto della dstrbuzoe su d ua sgola modaltà costtusce l hadcap maggore degl dc d poszoe perché dstrbuzo molto dssml possoo presetare la stessa meda e qud questa, da sola, o è grado d dscerere tra stuazo dverse. Il cetro C è comue a tre dvers polgo d frequeza. A partre dalla sola coosceza della modaltà C o s resce a stablre su quale partcolare polgoo d frequeza sa stata dvduata. c
44 Eserczo_SD0: l terme meda è tradotto glese co mea, ma ache co average. a) Scoprte l etmologa del terme average ; b) I glese, l terme mea oltre ad dcare ua meda geerca, ha ache ua cootazoe egatva. Perché? La cetraltà è l cocetto pù faclmete rscotrable ua dstrbuzoe ed ha dato luogo a umerose defzo operatve che, a scopo esemplfcatvo, dvdamo tre grupp: ) Le mede lasche cu l dcatore d cetraltà cocde co ua delle modaltà effettvamete rscotrate ella rlevazoe (ovvero è fuzoe d ua o due d esse) che s dstgue per u qualche aspetto rlevate a f della rappresetatvtà della dstrbuzoe: la moda, la medaa, quatl, l valore massmo, l valore mmo. ) Le mede ferme (o aaltche) otteute co l cocorso esplcto d tutte le modaltà verfcates ella rlevazoe: la meda artmetca e le mede d poteze. 3) Le mede revsoate che covolgoo tutte le modaltà rcadet u certo tervallo laddove, su quelle estere, s effettuao modfche o sosttuzo quado o sao addrttura soppresse. 3.. La moda E l dce d poszoe pù facle da calcolare, ma ache quello pù grezzo. S detfca co la modaltà corrspodete alla maggore frequeza relatva (o co l ascssa del puto d massma destà d frequeza el caso d varabl cotue) e può essere locale o globale: ua moda locale M j s determa quado ua modaltà ha ua frequeza relatva pù alta rspetto alla modaltà che mmedatamete la segue e la precede el domo (purché la scala d msurazoe sa almeo ordale): { } = { = } M = x f f f ; M M f f ;,, j j j j j+ o j j La frequeza relatva maggore determa la moda globale: M o per cu ua dstrbuzoe può avere pù mode local e ua o pù mode global. Il calcolo avvee due fas: prma s determao le frequeze localmete o globalmete maggor e po s cosderao mode le modaltà ad esse corrspodet; attezoe a o fermars alla prma fase e cosderare moda la frequeza maggore: è u errore vsto che la moda deve essere ua modaltà. Il seso d questo dce è che la dstrbuzoe possa essere rappresetata -su tutto l arco de valordalla modaltà che s è rpetuta pù spesso. a) Classfcazoe del molare destro per umero d b) Valutazo espresse da u gruppo d 00 gudc caal su 000 soggett sulla qualtà d ua cofezoe. N. d caal Soggett Valutazo Gudc Ottmo 5 94 Buoo 9 3 76 Suffcete 9 4 8 Medocre 5 000 Pessmo 00 Nel prmo caso esste ua sola moda ed è rappresetatva vsto che rguarda pù del 9% de soggett; el secodo la dstrbuzoe ha due mode local della stessa mportaza (9% e 5%), ma per gudz abbastaza dscost. Ne cosegue che la moda globale buoo è sì determable aaltcamete, ma o logcamete dato che la sua tpctà o può esteders oltre l ambto delle valutazo o sfavorevol. Eserczo_SD0: preseze e gover d alcu partt (9 legslature). a) Calcolare la moda per le partecpazo al govero e per le preseze co mstr; b) Ha seso calcolare la moda per l rapporto M/P? Partto Partecpazo Mstro M/P DC 45 78.73 PSDI 6 9 0.73 PLI 4 7 0.50 PRI 0 0.45 PSI 9 3.68 Per calcolare la moda o è ecessaro usare tutte le formazo: le modaltà o etrao fatt ella sua formula che è basata sul cofroto delle frequeze; questo è u vataggo per la rapdtà d calcolo, ma è ache u lmte e o sorprede percò che certe occaso la moda possa dare dcazo accettabl.
45 Bachma e Pateroster (997, p. 86) propogoo la seguete stuazoe: u gruppo d =0 uom arrestat per voleza famgla vee sottoposto a vglaza specale per due a. Al terme del perodo s regstrò la dstrbuzoe qu rportata per la reterazoe del reato. Deuce Pregudcat 0 8 3 4 3 5 3 6 3 0 La frequeza massma è 8 corrspodete a 0 deuce ed appare puttosto sgfcatva dato che la frequeza pù grade dopo quella modale è meo della metà. Tuttava, dre che è tpco che, lbertà vglata, s abbao zero deuce sarebbe ua ammssble copertura per u gruppo d se crmal che ha rpetuto lo stesso bruttssmo reato per cque o se volte. Eserczo_SD03: qual soo le rago d maggore soddsfazoe de clet? Ua dage campoara sugl acquret d prodott elettroc ha otteuto rsultat tabella. Motvo prcpale % Commesso/a che o ascolta 3 No trova prodotto pubblczzato 3 Luga attesa al telefoo per aver rsposta 0 Apparecchatura dffcle da usare 9 Costo elevato delle rparazo 3 Eccessvo materale pubblctaro postale Dffcoltà el far valere la garaza 6 Acqustare u prodotto dfettoso 6 Essere pressat da vedtor sstet 8 00 a) Idvduate la moda; b) Valutate la sua valdtà come categora rappresetatva questo tpo d dage; c) La moda è rteuta u dcatore d cetraltà puttosto stable. I che seso s deve tedere questa caratterstca? L dvduazoe della moda è mmedata se s dspoe d ua rappresetazoe grafca della dstrbuzoe: stogramma o polgoo d frequeza. Basta trovare le ascsse corrspodet a pcch; quella assocata al pcco pù alto sarà la moda globale. a) Talvolta, la frequeza o corrspodere ad u valore uco. Ioltre, la frequeza che dvdua la moda potrebbe superare d poco quelle d altre mode local al puto da valdare la moda come valore rappresetatvo. Mo Mo Mo La bmodaltà è d solto l esto d u accetuato dmorfsmo quale ad esempo la dstrbuzoe d ua spece d uccell per peso o per apertura alare cu la dverstà de sess determa la creazoe d due pol d addesameto de valor. b) Classfcazoe d 00 persoe, d tre dverse ete, secodo l gruppo sagugo. Eta Eta Eta 3 Gruppo f Gruppo f Gruppo f A 0.0 A 0.38 A 0.5 B 0.45 B 0.37 B 0.6 AB 0.5 AB 0.0 AB 0.4 O 0.0 O 0.05 O 0.5.00.00.00 La dstrbuzoe dell eta è umodale co moda rappresetatva el gruppo B, la dstrbuzoe è bmodale ovvero o ha ua moda uvoca, la 3 è ua dstrbuzoe uforme cu og categora è rappresetatva d se stessa e qud esstoo delle mode local (ma o ua moda globale).
46 Eserczo_SD04: umero d pazet ammess og goro ua clca prvata. Pazet Gor f 0.30 5 8 0.0444 6 0.0667 0.5 7 7 0.0944 0.0 8 35 0.944 9 50 0.778 0.5 0 33 0.833 0.0 3 0.07 0 0.0556 0.05 3 0.0 0.00 80.0000 5 6 7 8 9 0 3 a) Calcolare la moda; b) V sembra che sa ua effcace stes della dstrbuzoe? Eserczo_SD05: mort cdet stradal sstr dstt per statal, provcal e comual (A) e per autostrade e superstrade (B). Mort Sstr A Sstr B 0 3 7 6 3 9 3 3 6 5 4 8 5 7 4 >5 5 3 5 0 a) Calcolare la moda per le due dstrbuzo e per la dstrbuzoe coguta otteuta sommado le frequeze; b) Rappresetare la dstrbuzoe coguta e terpretare la evetuale bmodaltà. La moda ha l grave dfetto delle oscllazo campoare: se la popolazoe ha due put d addesameto M e M (d cu uo è la moda globale) molt campo avrao come moda M, ma altr avrao la M e cò dmusce la possbltà d geeralzzare l rsultato all tera popolazoe. L estrazoe d due campo d ampezza =40 da ua popolazoe bpolare che coè s addesa toro ad u cetro e ad u atcetro, ha prodotto gl stogramm qu rportat. La moda è ettamete dversa e due campo: s tusce la preseza della bmodaltà, ma o è scura ed macaza d altre otze s opterà per ua sola moda sgfcatva (e ettamete dversa) etramb cas Nella statstca ferezale vedremo come le eccessve fluttuazo campoare d ua statstca comporto campo d ampezza maggore (e qud pù costos e pù soggett ad error). La moda per dat raggruppat class Per dat raggruppat class la frequeza relatva maggore dvduerà, dopo aver elmato l flueza della dversa ampezza, la classe modale; all tero d tale classe occorre determare l valore putuale pù rspodete all dea d moda. La dverstà d ampezza deve essere superata quato la frequeza d ua classe può dpedere dalla sua maggore o more estesoe ed a questo fe basterà cofrotare la destà d frequeza che rede comparable l cdeza delle class: h o h per =,,,. A questo puto qualsas valore rcadete ella classe modale può assumere l ruolo d moda tato che, per evtare ambgutà, s prefersce spesso cocludere l calcolo alla classe modale.
47 L determatezza sorge perché s gora l comportameto de valor ella classe: se c soo rago d pesare che queste s dspogao smmetrcamete rspetto al valore cetrale: M o =(U o +L o )/ allora s potrà cosderare moda propro l valore cetrale della classe modale: Alcu pazet soo stat raggruppat a secoda del lvello d colesterolo LDL presete el sague. Lvell f c 70 80 8 0.084 75 80 90 9 0.747 85 90 00 3 0.98 95 00 0 4 0.446 05 0 0 0.65 5 0 30 4 0.0843 5 30 40 0.0663 35 40 50 9 0.054 45 50 60 6 0.036 55 60 70 0.00 65 66.0000 La moda è X=95. E u calcolo approssmato, ma d solto soddsfacete. Da otare però che, a dffereza del calcolo della moda per varabl omal, ordal e metrche dscrete, la moda o ecessaramete è ua delle modaltà osservate: o samo qud scur che qualcuo de soggett abba fatto regstrare u lvello d LDL par a 95. La codzoe d teraltà è comuque rspettata automatcamete. Ipotes d attrazoe Teuto coto della soggettvtà della strutturazoe class che possoo essere varate umero ed ampezza sembra utle cercare tecche sofstcate per u calcolo così ovvo. Tuttava, se s dovesse per forza proporre come meda la modaltà d massma frequeza e o sembr soddsfacete l valore cetrale della classe modale s può segure uo schema alteratvo. Moda secodo l'potes d attrazoe C A B D Moda secodo l'potes smmetra e umodaltà L o U o S potzza che la moda sa pù vca all estremo della classe modale che cofa co la classe a maggore destà (che rsulta percò eserctare ua pù forte attrazoe) fra le class cotgue a quella modale (se la classe modale fosse estrema l problema o s porrebbe). La moda s determa come ascssa del puto d tersezoe delle due rette AB e CD el grafco a destra che rede uguale l peso delle class adacet: ( ) ( ) ( ) h M o = L o + o h o ( h o h o )+ h o h o+ U o L o La stuazoe fgura mostra ua moda -calcolata co l potes d attrazoe- ferore al valore cetrale della classe modale perché la classe atecedete ha destà maggore d quella susseguete e qud dà maggore peso alle modaltà pù a sstra. Le due formule cocdoo se le class cotgue della modale hao la stessa destà: h o- = h o+.
48 a) U azeda attva el campo della grade dstrbuzoe ha suddvso class d mporto ( mlo d lre) gl ord rcevut ell ultmo mese. Casse modale: (4.0-5.9); valore cetrale classe modale=(4.0+5.9)/=4.95; moda secodo l potes d attrazoe: 0.85 0.558 4.0 + *.9 = 4.38 ( 0.85 0.558)+ ( 0.85 0.0677) Import Ord f d h 0.0.9 0 0.76.9 0.0908.0 3.9 75 0.96.9 0.558 4.0 5.9 08 0.359.9 0.85 6.0 7.9 76 0.86.9 0.0677 8.0 9.9 3 0.0389.9 0.005 0.0.9 7 0.08.9 0.006 59.0000 b) Ua radografa è stata scomposta pxel (elemeto mmo d rsoluzoe) e d oguo s è rlevato l lvello d grgo. Classe modale: 3-49; valore cetrale della classe modale: (3+49)/=40; potes d attrazoe: 0.007 0.0004 3 + *8 = 4.05 ( 0.007 0.0004)+ ( 0.007 0.008) Rfletteza Pxel f d h 0 30 54 0.03 30.0 0.0004 3 49 63 0.77 8.0 0.007 50 98 4 0.0877 48.0 0.008 99 7 76 0.49 8.0 0.0053 8 60 43 0.0900 3.0 0.008 6 9 798 0.663 30.0 0.0055 9 40 579 0.390 48.0 0.0069 4 55 87 0.0390 4.0 0.008 4800.0000 Noostate l maggore formalsmo e l aura d precsoe che l calcolo della moda sembra possedere ell potes d attrazoe, resta l dubbo se sa u vero e propro mglorameto rspetto al valore cetrale della classe modale, soprattutto dstrbuzo come questa, charamete bmodal e co mode o cotgue. La moda è ua statstca che ha u sgfcato peculare che o sempre trova rscotro ella dstrbuzoe o e trova pù d uo. E per questo che, pur essedo calcolable per varabl su og tpo d scala, rsulta utlzzata meo assduamete rspetto agl altr dc d cetraltà che studeremo e prossm paragraf a) Daleus (965) rporta la seguete stuazoe cu la moda è la mglore dcazoe d cetraltà: u fabbrcate d scarpe ha avuto de guast e macchar che gl cosetoo d produrre ua sola msura. Dovrà produrre la msura modale se vuole mmzzare l umero d prodott che rmagoo magazzo. b) La moda è l valore pù frequete ella dstrbuzoe. Se valor osservat debboo costture ua base emprca per prevso sulle successve mafestazo del feomeo, allora la moda è l valore su cu putare macaza d altre formazo. Eserczo_SD06: costo del pasto alle mese uverstare (ao 99). Costo Atee f d 00*h <000 9 0.636 000 000 0.8 000 0.08 000 3000 5 0.77 000 0.073 3000 4000 9 0.636 000 0.064 4000 5000 8 0.455 000 0.045 5000 6000 0.0364 000 0.0036 55.0000 a) Calcolare la moda secodo le due formule date precedeza; b) Se, caso d class d dversa ampezza, la destà d frequeza è rscalata per u fattore proporzoale, cò comporta ua modfca della moda? Eserczo_SD07: superfce olvetata rcadete u comue per class d ampezza. Superfce Appez. f d h 0.0 0.5 80 0.609 0.5 0.57 0.5.0 0.754 0.5 0.3507.0.0 85 0.3.0 0.3.0 5.0 95 0.475 3.0 0.45 5.0 0.0 9 0.030 5.0 0.006 690.0000 a) Calcolare la moda co etrambe le formule; b) Che sgfcato ha la moda e polgo a J o a L?
49 3.. La medaa Immagate ua compaga d soldat scherata per u pcchetto d oore od ache u gruppo d majorettes prote per la sflata. I etramb cas gova soo dspost orde d altezza crescete. La fla che sta al cetro è la fla medaa: se l umero d fle è dspar, la medaa è tale che metà delle fle è formata da persoe pù alte e metà delle fle da persoe pù basse da quelle serte ella medaa; se l umero d fle è par allora la medaa o è pù ua fla effettva, ma ua rga deale traccata a metà strada tra le due fle che occupao le poszo pù cetral. Uo de pù ot dc d poszoe, la medaa, s basa propro sull dea d fla cetrale. M e = X + se "" è dspar X ( /) + X ( /)+ se "" è par La formula, per par, presuppoe che abba seso pesare ad u valore cetrale tra due d esse. Se detro l domo esste u cotuo percettvo la medaa sarà u deale grado termedo tra le categore ordal pù al cetro; se l cotuo o esste la medaa dovrà essere terpretata e o solo calcolata. Da otare, fe, che la medaa -per costruzoe- verfca la codzoe d teraltà. S cosdero seguet cost d estrazoe (dollaro/barle) vare zoe d produzoe. I valor ordat soo: {.5,5.0,6.0,6.,6.3,7.4,7.5,0.7,5.,7.5}. Poché la graduatora prevede =0 utà, le poszo cetral sarao la 5 e la 6 : X 0 M e = ( ) + X 0 ( )+ = X ( 5) + X ( 6) 6.3 + 7. 4 = = 6.85 Usa/Alasa 7.5 Caada 5.0 Messco 6.0 Veezuela 6. Argeta 5. Medo Orete.5 Idoesa 0.7 Afrca 7.4 Nord Europa 7.5 Russa 6.3 Eserczo_SD08: salar zal per laureat ecooma co drzzo terazoale. Laureata Stpedo Ga F. 940 La D. 730 Ta R. 690 Pa A. 000 Na T. 580 Laureata Stpedo Da S. 70 Ra C. 680 Ma G. 460 Mta L. 70 Rta A. 360 Laureata Stpedo Lsa B. 830 Ada H. 040 Mra S. 70 Irma F. 950 a) Calcolare lo stpedo medao; b) Iterpretate l rsultato alla luce del sgfcato attrbuto a questo dce d cetraltà. Quado le modaltà s rpetoo umerose l attezoe s sposta sulle frequeze relatve cumulate. La medaa è la modaltà pù pccola cu corrspode la frequeza relatva cumulata maggore o uguale a 0.5. La defzoe cocde co l ascssa della ogva d frequeza (cumulata o retrocumulata) corrspodete all ordata tale che F(x)=G(x)=0.5. a) Ruo settmaal ecessare al completameto d u progetto. Sedute Settmae f F 0 4 0.0769 0.0769 9 0.73 0.500 5 0.885 0.5385 3 0.5 0.7500 4 6 0.54 0.8654 5 4 0.0769 0.943 6 0.0385 0.9808 7 0.09.0000 5.0000 6 4 0 8 6 4 0 0 3 4 5 6 7 La medaa è settmae che cocde ache co la moda della dstrbuzoe.
50 b) Classfcazoe de clet d u puto vedta per umero d acqust effettuat el mese. La medaa è 3 la cu frequeza relatva cumulata (0.7590) è la prma a raggugere la sogla d 0.5. { } Me = M x F ( x ) 05. Acqust Clet f F 0 40 0.0964 0.0964 69 0.663 0.67 95 0.89 0.496 3 0.675 0.7590 4 74 0.783 0.9373 5 6 0.067.0000 45.0000 c) Espressoe grafca della medaa. M e M e La medaa corrspode alla retta X=M e che separa due part ugual dell stogramma o dell area sottesa al polgoo d frequeza. La medaa è ua statstca puttosto stable: l agguta d ua uova modaltà la camba solo se l uovo valore altera l ordameto. Se la medaa del umero d acqust effettuat da u clete è 3 acqust la medaa rmarrà varata se s aggugoo coppe d clet co e 4 acqust o qualsas altra coppa d modaltà ferore e superore alla medaa. Questo però potrebbe ache essere u dfetto se l comportameto elle code è utle per compredere l feomeo. La medaa, effett, sfrutta solo le relazo ordal tra le modaltà ed l domo della varable deve percò essere almeo su tale scala. I caso d varable ordale la medaa sarà la prma categora della graduatora corrspodete alla frequeza relatva cumulata 0.5 o superore. l boss mafoso do Marao, el Goro della cvetta d Leoardo Scasca, dà ua eloquete classfcazoe delle persoe. Qu è proposta co delle frequeze potetche, ma rspodet all dea del boss. Categore Persoe f F Uom 5 0.000 0.000 Mezz uom 50 0.004 0.006 Omcch 000 0.0476 0.050 Fess 5000 0.38 0.883 Quaqquaraqquà 4945 0.77.0000 000.0000 Secodo do Marao è facle dvduare la medaa. E charo che la scelta delle categore flueza la medaa: u raffameto o u accorpameto può determare lo spostameto della medaa che coserva percò u certo grado d soggettvtà per varabl ordal. Eserczo_SD09: provce per resdet zoe urbae/resdet total: Tpologa Provce f F Altamete urbae 7 0.6 0.6 Urbae 3 0.300 0.563 I traszoe 9 0.845 0.7476 Rural 7 0.650 0.96 Altamete rural 9 0.0874.0000 03.0000 a) Calcolare la medaa; b) Se la medaa cadesse tra urbae e traszoe che terpretazoe dareste? La medaa per dat class Se le modaltà soo class sarà possble dvduare uvocamete solo la classe medaa coè la classe cu corrspode la frequeza relatva cumulata 0.5. Per determare u valore putuale sarà ecessaro, come per la moda, fare u potes sulla dstrbuzoe de valor rcadet ella classe medaa.
5 Quella pù rcorrete è che le modaltà s dstrbuscao uformemete all tero della classe; cò mplca: ( M e = L e + 0.5 F e ) ; per "e" tale che F e = h e M { F F j 0.5} j a) Uo studo d cosuleza ha classfcato le operazo d audtg per la revsoe de cot aual secodo la durata gor del cclo d operazo. Il calcolo della medaa avvee due pass: s dvdua la classe medaa e po s terpola learmete per otteere l valore putuale. 0.5 0.3333 M e = 5 + ( ) = 8. 0.43 4 Durata Revso f F 5 7 5 0.0595 0.0595 8 0 9 0.07 0.667 0 4 4 0.667 0.3333 5 9 8 0.43 0.5476 0 4 5 0.786 0.76 5 9 0.49 0.8690 30 34 0.30.0000 84.0000 Nel calcolo della medaa per modaltà class o s accea alla dstzoe tra par ed dspar che ha ua qualche mportaza solo se l ampezza della rlevazoe è pccola. D altra parte, per dat class, l calcolo della medaa avvee gà forma approssmata e s suppoe che questa sa valda sempre. b) U dage sulle bbte coteet alcool commerco ella Comutà europea ha portato alla tabella qu rprodotta. La medaa sarebbe la bbta che orde d coteuto d alcool occupa la 53ª poszoe. L aggregazoe class ha però fatto perdere questa formazoe che deve essere data va presutva: M e =3.5. % Alcool Bbte N 0.0 -.0 3 3 0. -.0 7 0.0-3.0 5 5 3.0-3.5 8 53 3.5-4.0 3 84 4.0-5.0 6 00 5.0-8.0 5 05 05 c) La formula d calcolo della medaa è applcable ache quado la dstrbuzoe ha degl estrem determat I questo caso l calcolo della moda potrebbe essere precluso se la classe co destà massma è ua d quelle termal. Rlevazoe su =00 clet d u megastore d artcol sportv. Dalle rcevute rlascate gl mport pù pccol e pù grad soo stat acqust come orde d gradezza e o come valore esatto. ( 05. 047. ) M e = 0 + = 05. 645 ( 0. 55 / 4) X f F 5 7 0.035 0.035 6 50 0.055 0.090 5 75 40 0.00 0.90 76 00 36 0.80 0.470 0 5 3 0.55 0.65 La medaa rcade ella classe [0-5] e l suo calcolo putuale è avveuto seza problem. Eserczo_SD0: utà local per addetto elle cofezo d vestaro. Addett Utà local f F 3 4 0.7 0.7 4 5 637 0.30 0.340 6 9 636 0.9 0.4630 0 9 06 0.330 0.6960 6 50 6 0.30 0.755 5 75 5 0.075 0.830 76 00 0.060 0.890 0 5 0 0.050 0.940 6 50 9 0.045 0.985 5 3 0.05.000 00.000 0 99 0.34 0.930 00 49 38 0.0460 0.9760 50 499 9 0.076 0.9936 500 999 5 0.0048 0.9985 000 8 0.005.0000 577.0000 a) Calcolare la medaa; b) I qual cas l determatezza degl estrem può dvere u ostacolo? Eserczo_SD: raggruppameto de gor d u ao secodo la veloctà massma od del veto osservata ua stazoe d rlevameto eolca. Veloctà Gor f F 0.0 0.4 76 0.48 0.48 0.4.9 60 0.644 0.6466 3.0 7.9 34 0.093 0.7397 8.0.9 3 0.0849 0.847 3.0 7.9 6 0.07 0.8959 8.0.9 0 0.0548 0.9507 3.0 7.0 8 0.0493.0000 365.0000 a) Calcolare la medaa; b) Redgere l stogramma e verfcare che l area a sstra ed a destra della medaa sao ugual.
5 La medaa rede mma la somma de valor assolut degl scart, coè la quattà: è mma se A=M e. QA ( )= X A = f a) Provamo a dare ua dmostrazoe per modaltà tutte postve scompoedo la somma de valor assolut due somme parzal: ( ) ( ) QA ( )= X() Af() + A X() f() X() > A X() A = X() f() A f() + A f() X() f() ± X() f() X() > A X() > A X() A X() A X() A = X() f() + X() f() A[ F( A) ]+ AF( A) X() f() X() > A X() A X() A =µ A[ F( A) ] X() f() X A () dove µ è la meda artmetca (cfr. par. 3..4) o dpedete da A. L adameto d Q(A) è decrescete per A tale che F(A)<0.5 ed è crescete per F(A)>0.5; l mmo è percò ragguto per F(A)=0.5 che corrspode ad A=M e. b) Sao {X (), X (),,X () } delle stazo dsposte lugo ua lea ferrovara. Suppoamo che u treo part da u puto geerco A lugo la lea per lascare l carco alla stazoe X () e po, torato ad A, rparta carco per adare a scarcare a X () e così proseguedo fo a che o lasc l ultmo carco alla stazoe X (). I quale puto deve essere collocato A modo da redere mma la dstaza complessvamete percorsa? X () X () X () M e X (+) X (-) X () Evdetemete dovrà trovars tero a (X (),X () ) altrmet sarebbe possble rdurre la dstaza scegledo A=X () oppure A=X (). Allo stesso modo A deve essere tero a (X (),X (-) ) a (X (3),X (-) ) e così va. Pertato, se v è u elemeto che s trova poszoe cetrale A cocderà co esso ovvero A=medaa. Se esste ua coppa d put cetral A sarà l puto termedo tra d esse. Eserczo_SD: s cosder la dstrbuzoe d frequeza ( ) = X, f,,,,. a) Che succede alla medaa se le frequeze delle prme / modaltà soo dmezzate e quelle successve soo raddoppate? b) Che succede alla moda? Eserczo_SD3: varazo percetual rbasso d u dce stetco per la borsa rspetto alla lea d tedeza teorca (cfr. Cap. 4). Valutazo su 500 gorate borsstche. a) Calcolare la medaa; b) Rappresetare l polgoo delle frequeze ed dvduate grafcamete la medaa. Varazoe Gorate -50-45 7-45 -40 9-40 -35 3-35 -30 45-30 -5 68-5 -0 85-0 -5 79-5 -0 6-0 -5 55-5 0 48 500 Eserczo_SD4: u vasto studo su gemell mrava a stablre se l prmo ato è pù aggressvo e cofrot. U dcatore d aggressvtà co valor crescet tra 50 e 00 è stato rlevato su 0 coppe. a) Calcolare moda e medaa per etrambe le dstrbuzo; b) E ragoevole, base a quest dat, l potes della maggore aggressvtà del prmogeto? Idce ato ato 50 55 3 6 56 60 4 0 6 65 6 8 66 70 9 5 7 75 4 4 76 80 0 6 8 85 86 90 3 5 9 95 3 96 00 8 0 0
53 3..3 I quatl L dea della medaa può essere geeralzzata. Og ascssa X p -detta quatle d orde p - della fuzoe d graduazoe vsta el captolo precedete può essere adoperata per msurare la cetraltà della dstrbuzoe cofgurados come l valore che supera l p% ed è superato dall (-p)% delle modaltà rlevate. La formula usuale per modaltà dscrete è ( ) + < < < + = X = γ X γx, 0 p ; p ; γ p () ( + ) 05. se [ p]= p se [ p]< p Questa formula, fra le tate ote ella letteratura (cfr. Hydma e Fa, 996), cocde co l calcolo della medaa quado è par e p=0.5. Se p 0 allora X p X () e se p s ha X p X (). Ha però l dfetto d o defre l quatle agl estrem p=0 e p= e d proporre talvolta valor o realmete osservat allorché p o è u tero. a) Date le =8 rlevazo degl arrv d auto ad u puto d mbarco calcolamo l quatle del 7%. 6 63 666 744 883 898 964 970 983 003 06 0 09 058 085 088 35 * p = 8 * 0. 7 = 3. 06 [ p]< p γ = ; X07. = 0 * X( 3) + * X( 4) = X( 4) = 744 b) Cave classfcate base al umero d tetatv effettuat per uscre da u labrto. Tetatv Cave 6 9 3 4 4 8 5 30 Calcolamo X 0.40 ; poché =40*0.40=56 è u tero sarà γ=0.5 per cu: X 0.40 =0.5X (56) +0.5X (57) =0.5*4+0.5*4=4 Calcolamo X 0.87 s calcola =40*0.87=.8 o è u tero s avrà γ= e qud: X 0.87 =0.0X (8) +X (9) =7 N 6 5 9 57 87 6 7 8 9 6 7 7 3 40 3 30 37 40 Eserczo_SD5: s cosder la seguete formula per quatl: X p = ( γ )X () + γx ( +) ; 0.5 p < + 0.5; γ = Qual caratterstche preseta? 0 se [ p + 0.5]= p + 0.5, p + 0.5 par altrmet Eserczo_SD6: umero d studet per assocazo e crcol a cu soo scrtt o abboat. x 0 3 4 5 3 03 3 80 3 6 384 Determare l percetle d orde 0.60 (soo quatl della dvsoe 00 part del domo). Eserczo_SD7: Ord goraler rcevut da ua azeda d caterg. 30 3 3 33 34 35 35 35 35 36 36 37 38 38 39 39 39 40 40 40 40 43 43 43 43 44 45 45 46 46 46 47 47 47 48 48 48 48 49 50 5 5 53 53 53 53 55 56 56 56 56 56 57 57 57 58 58 59 59 59 60 6 6 6 6 6 6 63 64 65 65 66 67 68 70 a) Calcolare l quatle X 0.70 ; b) Quale sogla è superata dal 5%? Per varabl cotue, ma o raggruppate class, s può operare per terpolazoe leare: ( ) + = [ + ] = + X = γ X γx p 05. ; γ p 0. 5 p () ( + )
54 Prcpal coltvazo agrcole delle Marche el 998. Valor ettar. Calcolo del quatle d orde 0.60: * p = 9* 060. = 54. = 54. + 05. 59. 5; γ 59. 5 09. X06. = 0. * X( 5) + 0. 9 * X( 6) = 3' 300. 6 [ ]= [ ]= = = Coltvazoe Superfce Pomodoro '304 Mas brdo 4'558 Pesca '486 Uva da vo 4'7 Cavolfore '967 Grao teero 36'553 Olvo 6'8 Grasole 38'8 Grao duro 3'049 Eserczo_SD8: superfce delle fere m. Perodo 987-996. Mlao '677'4 Freze '09'43 Padova 46'44 Bologa 5'87'95 Geova '9'77 Parma 373'76 Veroa '43'74 Rm 845'366 Forlì 6'356 Napol '08'978 Bar 547'539 Roma 8'86 Toro '50'0 Fogga 475'864 Logaroe 50'560 Calcolare l quatle che separa l prmo 5% dal resto. Per modaltà class s adopera la formula: X p = L + ( ) p F h ; per " " tale che F = M FF p; { j j } j che è basata, come per la medaa, sull terpolazoe leare all tero della classe d teresse. Dmeso delle operazo d fusoe e d acquszoe Itala per fatturato. Calcolo d X 0.80. (0.80 0.7477) X 0.80 = 40 + = 5.8 ( 0.0935/ 0) Fatturato Operazo f F 5 30 0.804 0.804 5 0 36 0.3364 0.668 0 40 4 0.308 0.7477 40 60 0 0.0935 0.84 60 00 0. 0.9533 00 50 5 0.0467.0000 07.0000 Eserczo_SD9: dsoccupat mpegat lavor socalmete utl. Età Opera f F 5 9 85 0.0050 0.0050 0 4 676 0.0976 0.06 5 9 5455 0.378 0.404 30 34 637 0.3575 0.7779 35 39 55 0.487 0.965 Calcolare percetl d orde 0.60 e 0.30. 40 44 740 0.043 0.9696 45 49 3 0.088 0.9884 50 54 7 0.0074 0.9958 55 59 50 0.009 0.9987 60 0.003.0000 766.0000 E raro che u quatle sa usato da solo. I geere s adoperao come estrem d class co umerostà prestablta oppure per dvduare sogle d trocameto e d esclusoe. Fra quatl pù ot c soo 3 quartl che suddvdoo valor quattro grupp cascuo compredete l 5% delle utà. Pure usat soo 4 qutl (rchamat dverse valutazo clche) e 9 decl ello studo della dstrbuzoe de reddt. a) Deputat d u partto per class d età. Calcolo de quattro qutl. Età Deputat f F 30 0.04 0.04 30 34 0.069 0.0743 35 39 0.0686 0.49 40 44 39 0.9 0.3657 45 49 5 0.94 0.657 50 54 46 0.69 0.900 55 59 0 0.057 0.977 60 64 0.04 0.9886 65 74 0.04.0000 75.0000 0. 0 0.49 C = 40 + ( )*4 = 4. 0 0.9 0. 40 0.3657 C = 45 + ( ) *4 = 45. 47 0. 94 0.60 0. 3657 C 3 = 45 + ( )*4 = 48. 0. 94 C = 50 + ( 0.80 0.657 )*4 = 5.7 4 0.69
55 b) L esto dell ammssoe ad u corso a umero chuso è rassuto ella tabella. La commssoe decde d ammettere l 40% co puteggo pù alto, d escludere l 5% ferore e d sottoporre l restate 35% a test suppletv. Qual soo le sogle d dvsoe? X = 0.05 + 0.5 0.5 0.5 0.05 0.0 0.05 X = 0.60 0.5+ 0.60 0.536 0.43 0.0 0.5 Puteggo Caddat f F <0.00 0.009 0.009 0.00 0.05 6 0.43 0.5 0.05 0.0 3 0.05 0.357 0.0 0.5 0 0.79 0.536 0.5 0.0 6 0.43 0.679 0.0 0.5 0 0.79 0.857 0.5 0.30 6 0.054 0.9 0.30 0.35 4 0.036 0.946 0.35 0.40 3 0.07 0.973 >0.40 3 0.07.000.000 Eserczo_SD0: scala d Stapel per valutare l tempo d espletameto d u servzo. Calcolare due terzl. ( ) = 0.0843; ( ) = 0.74 Le sogle che s orgao da quatl hao atura d coteggo che o asscura l omogeetà de valor clus tra due sogle e può pertado succedere che ua stessa classe sao serte modaltà molto dstat. Tale problema s atteua aumetado l umero d sogle ovvero rducedo le frazo d utà da cludere tra d esse. 4.0 3.5 3.0.5.0.5.0 0.5 0.0 Voto 5 4 3 - - -3-4 -5 Gudc 67 53 6 9 9 6 5 3 00 Esclus Ammess -0. 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 Eserczo_SD: u campoe d comu è stato classfcato per l umero d addett alla pubblca ammstrazoe scrtt elle rspettve lste aagrafche. ) Calcolare l ed l 9 decle; ) Calcolate e terpretate la statstca: X0. + X09. V = Addett Comu 50 75 78 76 00 7 0 5 63 6 50 5 5 00 39 0 50 8 5 350 6 35 500 9 50 000 8 383 Mede d quatl I quatl possoo essere utlzzat per defre msure d cetraltà poco sesbl a valor remot e che covolgoo pù strettamete le modaltà osservate. I partcolare s possoo cosderare le statstche: τ ' ' X = 0 = ' + +, ' = ; dspar; dove N N! =! ( N )! è l umero d suddvso dell tervallo utaro effettuate co quatl (= mplca la medaa). L dce è blacato rspetto al cetro el seso che quatl precedet e susseguet scelt poszo equdstat dalla medaa soo moltplcat per lo stesso fattore graze ad ua propretà del coeffcete bomale (cfr. captolo 6). Ioltre, sempre per le propretà de coeffcet bomal, la somma de fattor è par al deomatore per cu pes soo postv e sommao ad uo (cò asscura la teraltà). Valor d τ maggor della medaa dcherao l prevalere d valor grad e valor feror alla medaa segalerao la preseza pù csva delle modaltà pccole. Valor med mesl degl stped de parlametar europe. Calcolo della trmeda (=3). Per l calcolo de quatl s applca la formula delle varabl dscrete 0 X+ = τ 4 05 05 075 47 6 78 3 = 6 5 = X. + X. + X.. + *. +. = =. 4 4 Paese Stpedo Paese Stpedo Greca.8 Damarca 6.4 Portogallo 4. Olada 6.9 Spaga 4.7 Belgo 7.8 Lussemburgo 5.4 Germaa 8.8 Irlada 5.7 Fraca 9.9 Rego Uto 6.0 Itala.9 Eserczo_SD per la sere della dstaza dal sole de paet: {36, 67, 93, 4, 484, 887, 765, 79, 3654} a) Calcolare la petameda (coè =5); b) Verfcare la codzoe d teraltà.
56 3..4 La meda artmetca E la meda per atoomasa. Essa terpreta l dea d cetraltà partedo dall ammotare complessvo rscotrato ella rlevazoe: T= X cu soo accorpate le modaltà rpetute: la meda artmetca è la modaltà che og utà dovrebbe presetare affché cascua abba la stessa quota del totale della varable: µ= X + X + + X = Xf = Ifatt, se ad og modaltà X s sosttusce µ, l ammotare totale T rmae varato. X µ =µ =µ =µ = = X µ = = = Il calcolo d µ è sesble all ordameto delle modaltà ed ache alla loro sequeza d rlevazoe: modfcado l orde degl added, la somma o camba. Compage petrolfere per umero d dstrbutor propr d carburate. Se tutte potessero scambars dstrbutor fo a che e dspogao d u uguale umero, quale sarebbe l umero posseduto da cascua? µ= 5063 + 35+ +497 0 = 8809 0 = 880.9 88 Compaga Dstrbutor Agp 5063 Ip 36 Esso 467 Q8 85 Erg 594 Tamol 70 Shell 0 Ap 9 Fa 889 Idpedet 497 8809 Eserczo_SD3: rsorse fazare per la formazoe el 997 (capoluogh d provca, valor mgl d lre). Rego Fod Valle d'aosta 5890 Frul V.G. 60446 Marche 4065 Molse 0000 Pemote 358475 Veeto 744559 Lazo 866487 Pugla 57370 Lgura 9336 Emla-Rom. 03 Abruzzo 638 Calabra 3055 Lombarda 37800 Toscaa 63704 Campaa 03356 Scla 4965 Treto A.A. 477000 Umbra 74000 Baslcata 97596 Sardega 645840 a) Calcolare la meda artmetca; b) I che utà d msura è espressa la meda artmetca? c) Se valor soo arrotodat a mlo, che succede alla meda artmetca? Iterpretare la meda artmetca solo sotto l proflo d valore rparttoro e lmterebbe l ammssbltà a que feome e qual ha seso lo scambo tra utà d cò che s rleva coè a cosddett caratter trasferbl : reddto tra persoe, popolazoe tra comu, assett socetar, dpedet tra mprese. U approcco alteratvo (cfr. Lombardo, 994, pp. 5-53), pù pratco e geerale, e estede l terpretabltà a molte altre stuazo: la meda artmetca è l puto d equlbro d forze parallele applcate a put rappresetat dalle modaltà ed avet come testà le frequeze relatve. La meda artmetca è l fulcro su cu poggare l asta rgda perché questa rest equlbro. X -5-0 3 4 5 7 3 9 µ = 5* 9 * 9 + 0* 9 + 3* 9 + 4* 9 + 5* 9 + 7* 3 9 = 7 9 = 3
57 Se og modaltà attrae l feomeo forza del suo valore e della frequeza relatva, la meda artmetca è l puto cu le forze operat alla sstra e quelle a destra s blacao teedo l sstema equlbro stable. a) Numero d fgl masch famgle d otto fgl. Fgl Famgle f X * f 0 6 0.0044 0.0000 5 0.004 0.004 3957 0.07 0.43 3 7603 0.058 0.675 4 063 0.779.4 5 8498 0.30.503 6 4984 0.349 0.8096 7 055 0.086 0.999 8 64 0.007 0.057 36937.0000 4.643 Per calcolare la meda artmetca s forma ua coloa co prodott delle modaltà per le frequeze relatve e s sommao rsultat (per lmtare gl error d arrotodameto s potrebbero ache moltplcare le modaltà per le frequeze assolute e po dvdere l totale per ). L esto o è u tero oostate l tpo d domo della varable lo rchederebbe: la meda artmetca è tra quattro e cque fgl, ma co prevaleza del quattro. b) Soggett classfcat per mes comput tra l ultmo compleao e la data d decesso (Adrews e Herzberg, 985, p. 430). X 0 3 4 5 6 7 8 9 0 99 99 4 06 06 03 07 4 09 04 0 0 8 f 0.08 0.08 0.09 0.08 0.08 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.09 0.09.00 Xf 0.00 0.08 0.8 0.5 0.33 0.40 0.50 0.6 0.68 0.73 0.86 0.94 5.58 La meda artmetca è 5 mes e mezzo. Parrebbe esserc ua tedeza a completare u altro ao, ma o è molto evdete. Eserczo_SD4: dpedet d u mpresa per permess brev ell ultmo ao. Permess Dpedet f 8 0.00 3 30 0.0754 4 80 0.00 5 48 0.379 6 98 0.46 7 8 0.0704 8 6 0.05 398.0000 a) Calcolare la meda artmetca; b) Suppoete che, per errore, le frequeze assolute sao state raddoppate. E possble otteere la meda artmetca seza rpetere calcol? Propretà della meda artmetca ) La meda artmetca verfca la codzoe d teraltà. Ifatt, dalla dsuguaglaza: X f X f X f () = = = cu og modaltà è stata sosttuta dalla pù pccola (lato sstro) e dalla pù grade (lato destro) s ottee: ( ) X f X f X f X X f X () ( ) () = = = dato che X () e X () soo costat rspetto all dce d sommatora. ) La somma degl scart semplc tra modaltà e meda artmetca è ulla: = ( ) ( X µ ) f = X f µf = X f µ = X f µ =µ µ=0 = 3) La meda artmetca rede mma la somma degl scart al quadrato. = = [ ] = = ( X A) f = ( X µ )+( µ A) f ( X µ ) + ( µ A) + ( µ A) ( X µ ) f = = = = [ ]
58 ( ) + ( µ ) + ( µ ) ( µ ) = X µ f A f A X f = = = = ( ) + ( µ ) = X µ f A f = Il terzo terme della prma relazoe rsulta ullo per la propretà gà dmostrata della meda artmetca d aullare la somma degl scart semplc. Proseguedo lo svluppo s ottee: ( X µ ) f + ( µ A ) = ( X µ ) f + ( µ A ) f = X µ = = = = = ( ) f + ( µ A ) Nell ultma relazoe possamo tralascare l prmo addedo perché o dpede da A per cosderare solo l secodo. Questo è semplcemete u quadrato che ha l mmo ello zero, ragguto per A=µ. Le prme (per fatturato) ceto socetà estere per umero d sed operatve Itala. Sed Socetà f X 46 0.4600 0.4600 3 4 0.400 0.700 4 8 0.800 0.700 7 5 0.0500 0.3500 8 4 0.0400 0.300 0 0.000 0.000 0.000 0.00 00.0000.8900 f 0 8 6 4 0 (X-A) 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 L adameto parabolco della somma degl scart ragguge l mmo se l rfermeto è la meda artmetca. Tale propretà cosete u ulterore terpretazoe della meda artmetca (cfr. Fros, 987, pp. 8-83): se co lo scarto al quadrato s msura u aspetto egatvo: ua perdta, u rscho, u costo, etc. µ è l valore che lo matee al mmo (se gl scart soo valore assoluto tale caratterstca è della medaa). µ A 4) Rproducbltà rspetto a trasformazo lear. Suppoamo che la varable X sa trasformata leare: Vedamo che succede alla meda artmetca. Y = a+ bx =,,, ( ) = µ = Y f = a + bx f af + b X f = a + bµ y x = = = = La meda artmetca segue la stessa sorte della varable subedo ua uguale trasformazoe. Blaco delle prcpal squadre d calco d sere A ( mlo). Squadre Lre Dollar Juvetus 847 947.8 Mla -7093-3893.85 Iter -44-0995.90 Roma 504 58.46 Parma -548-3034.87 Lazo 5 8.7 Foreta -0579-545.3 Sampdora -879-450.77 Bologa -88-454.0 µ=-08. -5.4 Coversoe mglaa d dollar. Ipotzzado u rapporto d coversoe 000: 950, la meda lre µ=-0 8. dveta µ=- 0 8./950=-5.4 mglaa d dollar che cocde co la l calcolo dretto della meda tale utà d msura. Eserczo_SD5: è stata calcolata la meda artmetca d =0 000 msurazo comprese tra e 000 otteedo u valore d µ=99; prma d pubblcare rsultat c s accorge che dat erao realtà de decmal cu era stato omesso lo 0. ; s può recuperare la meda artmetca de valor orgal?
59 6) La meda artmetca è assocatva. Suppoamo d dvduare g grupp d utà all tero delle ostre utà (s parla d mscuglo). Le modaltà hao due dc: l prmo per l gruppo ed l secodo per le utà del gruppo. Grupp Valor Utà G X X X X g j j = G X X X = ; µ = ; =,,, g = M G X X X g g g gg g µ è la -esma meda artmetca parzale. La propretà assocatva cosete d rcavare la meda artmetca complessva µ da quelle de sgol grupp: µ= g X j =j= = X g j j= = = g µ j= g = µ f j= Ne cosegue che s può calcolare la meda globale a partre dalle mede d gruppo ache gorado valor delle sgole osservazo. Per tre dverse aree s è cosderato l cosumo medo auo per famgla d zucchero. Aree Utà Mede Zoa_ A 647 5 Zoa_ B 73 80 Zoa_ C 435 75 totale 55? µ= 647 73 435 *5 + *80+ 55 55 55 *75 = 96.3 Note le µ e le umerostà, l calcolo della meda artmetca globale o preseta ostacol. La meda artmetca del mscuglo è par alla meda artmetca de sgol grupp; se po le mede d gruppo soo ugual a µ, allora ache la meda del mscuglo è par a µ come è evdete dalla sua espressoe (cfr. Olver, 995, pp.44-45). Eserczo_SD6: la varable Z è data dalla somma d m varabl: Z = X ; =,,, S può rcavare la meda artmetca d Z se soo ote le mede delle m varabl {X }? m j= j Eserczo_SD7: la dstrbuzoe de reddt euro u Paese è stata dvsa qutl e le mede artmetche de percettor d reddto rcadet elle vare categore soo: µ =67, µ =8374, µ 3 =570, µ 4 =3498, µ 5 =43533,. Qual è la meda artmetca globale? La meda artmetca per dat class Se fossero dspobl le mede e le frequeze per cascua delle class l calcolo d µ sarebbe semplce: meda artmetca delle mede parzal. Il fatto è che le mede artmetche d classe -soltamete- o soo ote ed occorre stmarle. L accorgmeto pù mmedato e rcorrete è l uso del valore cetrale delle class: U + L µ = ; =,,, Qualora uo degl estrem fosse determato, l valore cetrale potrà essere calcolato co le formule vste el paragrafo..4 o altra procedura rteuta opportua.
60 a) Cas d epatte A u comue. Età Pazet c f Xf 9 66 6.75 0.5400 3.6448 0 9 40 4.50 0.346 4.9674 0 9 7 4.50 0.0954.338 30 39 8 34.50 0.047 0.5065 40 49 5 44.50 0.004 0.85 50 4 5.5 0.0033 0.705 6.0000.8087 Calcolo della meda artmetca potzzado per le class estreme u ampezza par alla metà dell ampezza delle class loro cotgue. Uso de valor cetral b) Percetuale d u elemeto chmco elle ceer =30 prelev u bosco dstrutto dagl ced. L U f (0.6L+0.4U)f (0.5L+0.5U)f 0 0.99 4 0.03 0.0 0.05.99 4 0.08 0.5 0.6.99 38 0.9 0.70 0.79 3 3.99 43 0.33.5.56 4 4.99 3 0.77 0.778 0.795 5 5.99 6 0.046 0.49 0.54 6 6.99 0.05 0.055 0.00 30.000 3.07 3.0 Per correggere la tedeza della meda artmetca a prvlegare valor elevat le mede d classe soo state calcolate dado pù peso all estremo ferore. Eserczo_SD8: luogh d arte per prezzo d gresso. Calcolare µ stmado le mede d classe come: a) µ =( ) L + ( 5 7 7 ) U =,,, ; b) L 3 3 U,,, µ =( ) + ( ) = Costo Luogh 000 000 000 3000 7 3000 4000 4 4000 5000 45 5000 6000 5 6000 7000 7 7000 8000 8 8000 9000 6 9000 0000 3 64 Le mede poderate La formula della meda artmetca può essere cosderata u caso specale d meda poderata: che cocde co µ se w =f per og. Mw (,w,,w )= w X ; co w 0; w = = = a) U campoe d gova dsoccupat dplomat e laureat è raggruppato per umero d domade vate alle azede fuor dalla regoe d resdeza. La meda artmetca, calcolata base alle frequeze relatve, è µ=.86; ella tabella è rportato l calcolo co pes: w = f ; =,,, f = Domade Dsoccupat f /f w Xw 0 5 0.667 6.0000 0.039 0.0000 30 0.000 5.0000 0.099 0.099 6 0.733 5.769 0.030 0.0459 3 0 0.333 7.5000 0.098 0.0895 4 4 0.0933 0.743 0.046 0.705 5 0.0733 3.6364 0.0543 0.73 6 8 0.0533 8.7500 0.0746 0.4477 7 7 0.0467.486 0.0853 0.5969 8 4 0.067 37.5000 0.49.938 9 3 0.000 50.0000 0.990.7907 0 0.033 75.0000 0.984.9845 50.0000 5.985.0000 7.608 Qu s verte l mportaza delle modaltà: quelle meo frequet hao maggore peso e quelle pù rscotrate vedoo rdotto l loro apporto alla meda che ora vale: µ=7.6 b) Spesso, le rlevazo campoare rsultao dall aggregazoe d vare sottorlevazo d ampezza dversa che cercao d rprodurre la composzoe della popolazoe rspetto ad alcue varabl crtero ovvero d aumetare o dmure la preseza d partcolar categore d utà per va poderale coè teedo coto d tute le utà, ma o pes utar. Ua meda o poderata e che qud gorasse queste procedure potrebbe portare fuor strada.
6 La meda poderata ha molte applcazo come vedremo (ua l abbamo gà cotrata ella stma delle mede d classe per l calcolo della meda artmetca). Il puto d forza, ma ache d debolezza, è la flessbltà ella scelta de pes che è arbtrara. Eserczo_SD9: s defscao pes come segue: w = ( ) f r f r se f se f > Medaa{ f } Medaa{ f } a) Applcatela a dat dell esempo precedete; b) E possble usare pes egatv? f Me{ f} f> Me{ f} = = + ( ),,, ; co r f f 3..5 Le mede d poteze La meda artmetca retra ua classe, le mede d poteza, che esprme l orde d gradezza del feomeo co l covolgmeto d tutt valor osservat: α MX (,,X ;f,,f ;α)= X f = Le mede d poteze, fermo restado l vcolo d teraltà, soddsfao l mportate prcpo, suggerto da O. Chs el 96, d msurare la cetraltà lascado varato u partcolare aspetto del feomeo allorché al posto d og X s sosttusca la M: gx (, X,, X; f, f)= gmm,,, M; f,, f α ( ) Ad esempo, la meda artmetca posta vece d cascua X coserva l ammotare complessvo delle modaltà (ammesso che cò abba u seso el cotesto cosderato). Per og α s ottee ua meda che rproduce la somma delle poteze α-esme: = [ M( α )] α = M( α ) [ ] α α X = = α * = X = = Il vcolo della teraltà o è automatcamete soddsfatto dalle mede d poteze. Rpredamo l esempo suggerto da Jecl (949) scegledo due modaltà co x <x x x x + x gx (, x)= + ; Mx (, x)= g M( x, x ), M( x, x ) g x, x x x xx 3 3 [ ]= ( ) l prcpo d Chs è rspettato, ma M può essere estera a [x,x ]. Se x = e x = s ha M=.5>. Le mede d poteze godoo d molte propretà (la loro dmostrazoe è proposta el compto d replogo SD70). Eserczo_SD30: la codzoe d teraltà rsale a A.L. Cauchy: O appelle moyee etre plusers quattés doées ue ouvelle quatté comprse etre la plus pette et la plus grade de celles que l o cosdère. Nella defzoe c è u problema. Quale?
6 Eserczo_SD3: s cosder l seguete tragolo: Sa: OP = m ; OQ = m. La lughezza del terzo lato, graze al teorema d Carot, è: m = m + m m m cos( θ) 3 dove θ è l agolo tra due lat d lughezza ota. Suppoamo d cercare ua meda, M, de due lat che da comuque lo stesso valore m 3 ua volta sosttuta alle lughezze de lat, coè: M + M M cos( θ) = m a) Calcolare M ; b) Cosa s può dre sulla codzoe d teraltà? 3 La meda geometrca E ua msura d cetraltà adatta per feome evolutv (adameto espoezale) cu le modaltà s realzzao proporzoalmete al lvello gà ragguto: f G = X f = X f * X f * *X = e f L( X ) = = L uso de logartm evta l prodotto ell argometo che potrebbe produrre valor troppo grad (o troppo pccol caso d modaltà frazoare). La base e o è obblgatora e possoo essere scelt logartm qualsas base. a) I laborator d aals specfcao la cocetrazoe d ua sostaza msurata per dluzo successve co espresso del tpo x = c, =0,,, dove c è ua costate. Ne derva ua dstrbuzoe su dvers lvell, la cu cetraltà è meglo msurata dalla meda artmetca de logartm (cosderado po l atlogartmo). Ifatt, la successoe de logartm è equspazata coè due logartm cosecutv dfferscoo per la stessa costate: Log(x + ) -Log(x ) =Log( + c) -Log( c)=(+)log()+log(c)-log()-log(c)=(+-)log()=log(). b) U rsparmatore veste ua certa somma A ua attvtà a redmeto varable X. Idchamo co T l reddto accumulato alla fe del perodo -esmo s avrà, per og : T = A+ XA= A( + X) ; T = T + XT = T( + X)= A( + X) ( + X) ; T = T + XT = T ( + X)= A( + X) ( + X) ( + X) R= A ( + X) = Se l redmeto fosse costate, dcamo G, e perod, dopo l ultmo d ess s avrebbe u captale par a R=A(+G). Uguaglado le due espresso d R s ottee: A ( + G) = A ( + X ) ( + G) = ( + X ) = = La meda geometrca de fattor d captalzzazoe è quel valore (+G) che, sosttuto a tutt gl altr, lascerebbe alterato l mporto. c) I logartm soo meo soggett a varazo rspetto a valor orgar e qud la loro meda artmetca (che corrspode alla meda geometrca) è pù stable ovvero meo fluezata da valor grad. Ifatt, ella progressoe geometrca ragoe s ha: X 4 8 6 3 64 8 56 5 04 04.6 Log(X ) 0.300 0.60 0.903.04.505.806.07.408.7093 3.003.6557 45.548 co ua meda geometrca, G=45.5 che supera ed è superata dallo stesso umero d valor rspetto ad ua meda artmetca: µ=04.6 che e supera sette ed è superata solo da tre. d) Numero d casse attve su 7 u supermercato rlevate =0 spot temporal. Ache questo caso covee calcolare la meda artmetca de logartm per po calcolare la meda geometrca come atlogartmo: G = e 0.484 =.5348 Attve Lott f L(X)f 70 0.6364 0.0000 4 0.73 0.088 3 8 0.077 0.0799 4 7 0.0636 0.088 5 6 0.0545 0.0878 6 3 0.073 0.0489 7 0.08 0.0354 0.0000 0.484 Da otare che µ=.93 e cò desterebbe u maggore allarme sullo stato del processo.
63 Eserczo_SD3: alcu crcet soo sottopost per =0 volte ad u test o crueto. La tabella che segue dca l umero d amal che hao superato l test. a) Calcolare la meda geometrca; b) Che effetto potrebbe avere ua frequeza ulla? c) E se fosse ulla ua modaltà? Success Prove f 5 0.0500 6 0.000 7 3 0.500 8 8 0.4000 9 4 0.000 0 0.000 0.0000 Il raggruppameto delle modaltà class comporta -come sempre- problem d determatezza dovute alla perdta de valor d dettaglo. Il fatto che la meda geometrca totale sa par alla meda geometrca delle parzal (s veda l compto SD50) o è d auto perché queste soo soltamete cogte. Per approssmarle s adopera la meda geometrca degl estrem: G = U L Parco autovecol per a d servzo. Calcolo delle meda geometrca. G = e.5969 = 4.9377 A Vecol G f L(X)f 3.44 0.0979 0.0339 3 4 8 3.464 0.3447 0.48 5 7 75 5.96 0.39 0.5673 8 40 9.7980 0.70 0.3885 6 6 3.8564 0.068 0.790 35.0000.5969 Eserczo_SD33: popolazoe presete o resdete per sesso Emla-Romaga. Età F M 5 8 87 5 4 80 983 5 34 473 473 34 44 668 45 54 388 50 55 64 655 638 4808 6678 a) Calcolare la meda geometrca delle due dstrbuzo separatamete; b) Calcolare la meda geometrca della dstrbuzoe otteuta aggregado per le dstrbuzo per sesso. La meda armoca La meda armoca è defta come l recproco della meda artmetca de recproc: H = f = X ; per X 0 E u dce che esprme bee la cetraltà per modaltà otteute da moltplcazo: dstaze come prodotto d veloctà per tempo, valor come prodotto d prezzo per quattà, redmet per temp d produzoe, etc. a) S spede A per acqustare la quattà X d ua merce al prezzo p modo che A=X p, lo stesso mporto è speso per acqustare la quattà X al prezzo p co A=X p e così va fo spedere l mporto A per acqustare la quattà X al prezzo p dove A=X p. Alla fe s dsporrà d u ammotare d merce Q=X +X + +X per ua spesa complessva par ad T=A. Qual è l prezzo medo che s è pagato? p = T Q = A = A = = A X = = p = p = p b) U percorso d 00 Km è dvso due tratt d uguale lughezza. Nella prma metà la veloctà è stata d 0 Km/h e ella secoda d 50Km/ h. Qual è stata la veloctà meda sull tero percorso? La rsposta spotaea sarebbe la meda artmetca: 30 Km/h perché (0+50)/=30 che però è meo valda della meda armoca per esprmere la cetraltà. Il tempo totale mpegato è d 5 ore per percorrere prm 50 Km e d u ora per gl altr 50 Km qud 6 ore per 00 Km che porta a 00/6=6.67 Km/h (De Fett, 966/990): /[(/0)+(/50)]=00/6=6.67 La meda armoca è oltre mpegata quado l orde d gradezza de valor è pccolo ad esempo quado le modaltà esprmoo l cotrbuto frazoaro dell utà alla composzoe d u tutto.
64 a) Quota d proveeza degl scrtt el gruppo delle lauree letterare per var ord d scuola superore: Professoal e Tecc Magstral Scetfc Classc Artstc Altr 0.340 0.36 0.605 0.68 0.304 0.470 0.373 7 7 H = = = 7 5.9975 = 0.693 7 (/7) = X = X b) Rlevazoe d famgle per umero d fgl. Calcolo della meda armoca. A questo fe covee prma calcolare la meda artmetca de recproc e po cosderare l recproco. H = 0.79 =.4047 Fgl Famgle f (/X)f 85 0.536 0.536 78 0.6 0.30 3 33 0.0957 0.039 4 5 0.075 0.08 5 3 0.0377 0.0075 6 8 0.03 0.0039 7 3 0.0087 0.00 345.0000 0.79 Eserczo_SD34: partcelle α emesse 000 replche d u espermeto. Partcelle Replche 54 43 3 79 4 3 5 67 6 0 7 89 8 0 9 4 0 3 000 a) Calcolare la meda armoca; b) Se s utlzza la trasformazoe: Y =/(X +a) co a>0 sarà possble cludere lo zero tra le modaltà? Per modaltà class la meda armoca s ottee stmado le mede d classe co la formula: H = λ + λ =,,,; co λ + λ = (I geere s poe: λ =λ =0.5) L U a) Gare d appalto per mport a base d asta oltre la sogla comutara. Valor dece d mlo. Import Gare H f f/h 35 00 039 5.85 0.8438 0.06734 00 500 846 66.67 0.8 0.0007088 500 000 45 666.67 0.088 0.00008 000 5000 05 666.67 0.0085 0.000005 5000 0000 47 6666.67 0.006 0.0000009 0000 0000 9 3333.33 0.0038 0.0000003 0000 40000 6666.67 0.0009 0.0000000 409.0000 0.07067 Le mede armoche parzal soo state stmate co la meda armoca degl estrem delle classe. La meda armoca globale è H=/ 0.07=58.8 rcadete, come è gusto, ella prma classe dato che questa clude pù dell 80% delle gare badte. b) Tasso d dsoccupazoe (lavor pers og mlle poszo) per vare tpologe professoal. Calcolo delle mede. Tra le propretà che caratterzzao le mede d poteza v è l adameto crescete rspetto alla poteza che s rsolve ella dseguaglaza: H G µ cu l uguaglaza s ottee per la dstrbuzoe degeere, coè ua rlevazoe che produce u uco valore per tutte le utà. Nell esempo, le relazo soo cofermate segalado u tasso d dsoccupazoe medo per le 50 attvtà lavoratve che va dallo 0.85% della meda armoca all.4% della meda artmetca. Forse l dvaro o sembra accetuato, ma applcato ad u mloe d lavorator e lavoratrc sgfca ua dffereza d 6 500 persoe. La scelta della meda o è ua questoe solo tecca e verrà approfodta u prossmo paragrafo. Tasso Attvtà c µ G H 0. 0.3 3 0.0 0.004-0.03 0.00 0.3 0.5 7 0.40 0.09-0.043 0.7 0.5 0.7 8 0.60 0.07-0.06 0.00 0.7 0.9 7 0.80 0.44-0.040 0.5 0.9.0 6 0.95 0.0-0.005 0..0. 9.05 0.33 0.006 0...3 9.0 0.3 0.035 0.6.3.5 4.40 0.3 0.03 0.067.5.7 9.60 0.096 0.08 0.038.7.0 6.85 0.074 0.05 0.0.0.5.5 0.030 0.0 0.006 50-0.045.67.036 0.956 0.857 Eserczo_SD35: popolazoe maschle Calabra al 976 per class d età (s scelga L =6 e U =08). Età Masch 9 866 0 9 0 0 9 694 30 39 40 49 68 50 59 89 60 69 83 70 79 466 80 35 066 Calcolare la meda armoca stmado H come meda armoca degl estrem co pes ugual.