Nozioni fondamentali sulle disequazioni

Capitolo 1 n n n n Nozioni fondamentali sulle disequazioni Disequazioni intere di primo e di secondo grado Sistemi. Regola dei segni Disequazioni binomie e trinomie n Nozioni fondamentali sulle disequazioni 1 Definizioni DEFINIZIONE DISEQUAZIONE Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una o più lettere, dette incognite. Il primo e il secondo membro della disequazione sono le espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza (>, <,, ). Se il primo e il secondo membro sono espressioni algebriche, razionali o irrazionali, parleremo di disequazioni algebriche. Oltre alle incognite, che rappresentano numeri non determinati, in una disequazione possono comparire altre lettere, dette parametri, che rappresentano numeri noti, il cui valore non è però specificato. Le definizioni e le considerazioni che faremo saranno relative a disequazioni in una sola incognita (di solito indicata con x). Se non diremo nulla in contrario, l insieme in cui risolveremo le disequazioni sarà sempre R, cioè l insieme dei numeri reali. DEFINIZIONI Disequazione numerica: non compaiono lettere oltre all incognita. Disequazione letterale: compare almeno un parametro. Disequazione intera: l incognita non compare in alcun denominatore delle frazioni eventualmente presenti. 3

Disequazione frazionaria: l incognita compare al denominatore di almeno una frazione. Dominio di una disequazione: èl insieme dei numeri reali che, sostituiti all incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza che ha significato e che quindi è o vera o falsa. Soluzioni di una disequazione: sono i numeri reali che, sostituiti all incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Indicheremo con S l insieme delle soluzioni di una disequazione e con D il suo dominio; risulta sempre S D In alternativa alla determinazione del dominio di una disequazione è possibile esprimere le condizioni di accettabilità delle soluzioni (C.A.). Nel caso sia S ¼ [, la disequazione è impossibile. L insieme S delle soluzioni di una disequazione è, nei casi più comuni, un intervallo o una unione di intervalli. Ricordiamo la classificazione degli intervalli. intervalli limitati TEORIA notazione ða ; bþ definizione e rappresentazione grafica Intervallo aperto di estremi a e b: indica l insieme dei numeri reali maggiori di a e minori di b. La sua rappresentazione geometrica è il segmento che ha per estremi i punti che rappresentano i numeri a e b. Gli estremi a e b non appartengono all intervallo e i punti a essi corrispondenti non appartengono al segmento che lo rappresenta. ða ; bþ ¼fx R j a < x < bg ½a ; bš Intervallo chiuso di estremi a e b: indica l insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a e minori o uguali a b. La sua rappresentazione geometrica è il segmento che ha per estremi i punti che rappresentano i numeri a e b. Gli estremi a e b appartengono all intervallo e i punti a essi corrispondenti appartengono al segmento che lo rappresenta. ½a ; bš ¼fx R j a x bg ða ; bš Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra di estremi a e b: indica l insieme dei numeri reali maggiori di a e minori o uguali a b. L estremo a non appartiene all intervallo mentre b vi appartiene. Il segmento che lo rappresenta contiene l estremo destro, ma non l estremo sinistro. ða ; bš ¼fx R j a < x bg ½a ; bþ Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra di estremi a e b: indica l insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a e minori di b. L estremo a appartiene all intervallo, mentre b non vi appartiene. Il segmento che lo rappresenta contiene l estremo sinistro, ma non l estremo destro. ½a ; bþ ¼fx R j a x < bg 4

intervalli illimitati notazione ða ; þ1þ definizione e rappresentazione grafica Intervallo illimitato a destra e aperto a sinistra: indica l insieme dei numeri reali maggiori di a. La sua rappresentazione geometrica è la semiretta aperta costituita dai punti che seguono il punto che rappresenta il numero a. Tale punto, origine della semiretta, non appartiene a essa. ða ; þ1þ ¼ fx R j x > ag ½a ; þ1þ ð 1 ; aþ Intervallo illimitato a destra e chiuso a sinistra: indica l insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a. La sua rappresentazione geometrica è la semiretta chiusa costituita dai punti che seguono il punto che rappresenta il numero a. Tale punto, origine della semiretta, appartiene a essa. ½a ; þ1þ ¼ fx R j x ag Intervallo illimitato a sinistra e aperto a destra: indica l insieme dei numeri reali minori di a. La sua rappresentazione geometrica è la semiretta aperta costituita dai punti che precedono il punto che rappresenta il numero a. Tale punto, origine della semiretta, non appartiene a essa. ð 1 ; aþ ¼fx R j x < ag 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO ð 1 ; aš Intervallo illimitato a sinistra e chiuso a destra: indica l insieme dei numeri reali minori o uguali ad a. La sua rappresentazione geometrica è la semiretta chiusa costituita dai punti che precedono il punto che rappresenta il numero a. Tale punto, origine della semiretta, appartiene a essa. ð 1 ; aš ¼fx R j x ag ð 1 ; þ1þ Intervallo illimitato sia a sinistra sia a destra: indica l insieme R dei numeri reali. La sua rappresentazione geometrica è l intera retta reale. ð 1 ; þ1þ ¼ R ATTENZIONE! I simboli 1 e þ1 non rappresentano numeri, perciò non avrebbe senso, ad esempio, considerare l intervallo ½a ; þ1š. La parentesi quadra a destra starebbe a indicare che þ1 appartiene all intervallo, ma ciò non ha significato, perché un intervallo è un insieme di numeri e il simbolo þ1 non rappresenta un numero. ESEMPI 1 Classificare le seguenti disequazioni e determinarne il dominio. x þ 3 x x 3 < 1 x ðx 1Þ 4 > x disequazione numerica intera nell incognita x. Il dominio è R. disequazione numerica frazionaria. Il dominio è R f0 ; 3g, cioè le condizioni di accettabilità delle soluzioni sono: C:A:: x 6¼ 0 ^ x 6¼ 3 ða 1Þx þ 3a > 1 disequazione letterale intera (x è l incognita e a il parametro reale). Il dominio è R. 5

x m x < m m 5 x h 3 k þ 1 x þ > 0 disequazione letterale intera (x è l incognita e il parametro è m). In questo caso per m ¼ 5 la disequazione non ha significato: C.E.: m 6¼ 5 (condizione di esistenza della disequazione) Il dominio della disequazione è ovviamente R. disequazione letterale frazionaria dipendente dai parametri reali h e k. In questo caso avremo: C.E.: k 6¼ 3 C.A.: x 6¼ (condizione di esistenza della disequazione) (condizione di accettabilità delle soluzioni della disequazione) Il dominio della disequazione è R f g. Determinare l insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni. x x þ 1 > 0 Dopo aver scritto la disequazione nella forma ðx 1Þ > 0, osserviamo che il quadrato di un numero reale è sempre positivo, purché il numero non sia zero: ðx 1Þ > 0 x 1 6¼ 0 x 6¼ 1 TEORIA La disequazione data è perciò verificata per x 6¼ 1. L insieme delle soluzioni può essere scritto in una delle seguenti forme: S ¼fx R j x 6¼ 1g S ¼ R f1g S ¼ ð 1 ; 1Þ[ð1 ; þ1þ RICORDA! Se n è il generico numero pari positivo ðn N Þ si ha x n > 0 x 6¼ 0 x n 0 8 x R x n < 0 nessun x n 0 x ¼ 0 x ðx þ 1Þ 4 0 La disequazione è frazionaria e la condizione di accettabilità delle soluzioni è C:A:: x 6¼ 1 Il denominatore, per x 6¼ 1, è sempre positivo e quindi, affinché la frazione sia negativa o nulla, il numeratore deve essere negativo o nullo. Deve quindi essere x 0 ma anche, per la C.A., x 6¼ 1. La disequazione data è quindi verificata per x 0 ^ x 6¼ 1 L insieme delle soluzioni è S ¼ ð 1 ; 1Þ[ð 1 ; 0Š. Principi di equivalenza delle disequazioni n Disequazioni equivalenti Sono disequazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni. n Primo principio di equivalenza delle disequazioni Se a entrambi i membri di una disequazione si somma o si sottrae uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, sempre definita nel dominio della disequazione data, si ottiene una disequazione equivalente. ESEMPI 1 Le disequazioni 3x þ 7x > x 3 þ 7x þ e 3x > x 3 þ sono equivalenti. Infatti la seconda si ottiene dalla prima sottraendo a entrambi i membri 7x, che, essendo un monomio, è definito 8 x R. 6

Analogamente sono equivalenti le disequazioni x 4 > 3 e x > 3 þ 4 Le disequazioni x þ 1 < 5 x x sommiamo 4 a entrambi i membri e x þ 1 5 x x < 0 sono equivalenti. Infatti la seconda si ottiene dalla prima sottraendo da entrambi i membri l espressione 5 x che, nel dominio R f0g della prima disequazione, è x sempre definita. Analogamente la disequazione x > 5, di dominio R, è equivalente alla disequazione x þ 1 x þ 3 > 5 þ 1 : infatti l espressione x þ 3 1 è sempre definita nel dominio x þ 3 R della prima. RICORDA! Come importanti conseguenze del primo principio di equivalenza delle disequazioni abbiamo le seguenti regole. n Se entrambi i membri di una disequazione sono polinomi, è possibile trasportare un termine da un membro all altro, purché gli si cambi il segno. Infatti ciò equivale a sottrarre da entrambi i membri quel termine che, ovviamente, può essere anche un numero. n Se entrambi i membri di una disequazione sono polinomi e uno stesso termine figura in entrambi i membri, questo può essere soppresso. Infatti ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri. 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO ATTENZIONE! Se l espressione che viene sommata o sottratta a entrambi i membri di una disequazione di dominio D non è sempre definita in D, allora il primo principio non è applicabile. La disequazione che si ottiene può perciò essere oppure non essere equivalente alla data in D. Ad esempio x > 5exþ 1 x 6 > 5 þ 1 non sono equivalenti x 6 perché x ¼ 6èsoluzione della prima disequazione ma non della seconda x > 5exþ 1 x 4 > 5 þ 1 sono equivalenti x 4 come si può verificare facilmente. n Secondo principio di equivalenza delle disequazioni Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo o per una stessa espressione algebrica che, nel dominio della disequazione, sia definita e positiva, si ottiene una disequazione equivalente alla data. ESEMPIO 3 Le seguenti coppie sono formate da disequazioni equivalenti: x þ 3 < x þ 1 3 e x þ < x þ 1 abbiamo moltiplicato per 3 entrambi i membri 6ðx þ xþ > 8 e 3ðx þ xþ > 4 abbiamo diviso per entrambi i membri 7

x x þ 1 3 ðx þ 1Þ e x 3 abbiamo moltiplicato per x þ 1 > 0 entrambi i membri x ðx 4 þ Þ < 4ðx 4 þ Þ e x < 4 abbiamo diviso per x 4 þ > 0 entrambi i membri RICORDA! Come importanti conseguenze del secondo principio di equivalenza delle disequazioni abbiamo le seguenti regole. n Se in entrambi i membri di una disequazione compare uno stesso fattore numerico positivo, questo può essere soppresso. Infatti ciò equivale a dividere entrambi i membri per uno stesso numero positivo. n Se in una disequazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi uno stesso denominatore positivo, sopprimere i denominatori. TEORIA n Terzo principio di equivalenza delle disequazioni Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo o per una stessa espressione algebrica che, nel dominio della disequazione, sia definita e negativa,ecambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data. ESEMPIO 4 Le seguenti coppie sono formate da disequazioni equivalenti: 1 3x > 5 e 1 þ 3x < 5 abbiamo moltiplicato per 1 entrambi i membri e cambiato il verso della disequazione x 8 < 4x e x þ 4 > x ATTENZIONE! Si dice «cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza», ma si dice anche, sia pure impropriamente, «cambiare il verso della disequazione». x x 1 1 x 1 e x 1 abbiamo diviso per entrambi i membri e cambiato il verso ðx þ 1Þð x 4Þ < ð x 4Þ e x þ 1 > abbiamo moltiplicato per ð x 1Þ < 0 entrambi i membri e cambiato il verso RICORDA! abbiamo diviso per ð x 4Þ < 0 entrambi i membri e cambiato il verso Come conseguenze del terzo principio di equivalenza delle disequazioni si hanno le seguenti regole. n Si può cambiare il segno di entrambi i membri di una disequazione, purché si cambi il verso del simbolo di disuguaglianza. Infatti ciò equivale a moltiplicare per 1 entrambi i membri della disequazione. n Se in entrambi i membri di una disequazione compare uno stesso fattore numerico comune negativo, questo può essere soppresso purché si cambi il verso del simbolo di disuguaglianza. Infatti ciò equivale a dividere entrambi i membri della disequazione per un numero negativo. 8

Le definizioni che seguono si riferiscono al caso di disequazioni algebriche razionali. n Forma canonica (o normale) di una disequazione intera: PðxÞ > 0 PðxÞ < 0 PðxÞ 0 PðxÞ 0 Il secondo membro deve essere zero e il primo membro deve essere un polinomio. n Forma canonica (o normale) di una disequazione frazionaria: AðxÞ BðxÞ > 0 AðxÞ BðxÞ < 0 AðxÞ BðxÞ 0 AðxÞ BðxÞ 0 Il secondo membro deve essere zero e il primo membro deve essere un rapporto di polinomi, cioè una frazione algebrica razionale, con BðxÞ diverso dal polinomio nullo. n Grado di una disequazione intera:èil grado del polinomio PðxÞ quando la disequazione è scritta in forma normale. n Disequazioni lineari: sono le disequazioni intere di primo grado della forma mx þ q > 0 mx þ q < 0 mx þ q 0 mx þ q 0 con m 6¼ 0 n Disequazioni di secondo grado: sono le disequazioni intere di secondo grado della forma ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c 0 con a 6¼ 0 N.B. Se una disequazione non si presenta in forma canonica, la sua riduzione a tale forma si ottiene applicando opportunamente i principi di equivalenza. 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO n Disequazioni intere di primo e di secondo grado 3 Disequazioni di primo grado Le disequazioni intere di primo grado, dette anche disequazioni lineari, si possono ricondurre a una delle seguenti forme ax > b ax < b ax b ax b con a 6¼ 0 Proponiamo ora, come esempio, lo schema riassuntivo per la risoluzione della disequazione ax > b, al variare dei parametri a e b in R. ax > b a > 0 x > b a a < 0 x < b a a ¼ 0 0 x > b S ¼ b a ; þ1 S ¼ 1; b a b < 0 8 x R S ¼ R b ¼ 0 nessuna soluzione S ¼ [ b > 0 nessuna soluzione S ¼ [ Risolviamo ora alcune disequazioni intere, numeriche o letterali. 9

ESEMPI 1 6 x þðx 1Þ < ð3 þ xþ Svolgiamo i calcoli indicati e applichiamo il primo principio di equivalenza: 6 x þ x x þ 1 < 9 þ 6x þ x x x 6x < 9 6 1 9x < Dividiamo entrambi i membri per 9 e cambiamo il verso del simbolo di disuguaglianza (terzo principio): 9x < 9x 9 > 9 La disequazione data è quindi verificata per x > 9. L insieme delle soluzioni è l intervallo S ¼ 9 ; þ1. x > 9 TEORIA x þ 10 4 3 1 x 3 Riduciamo entrambi i membri al minimo comune denominatore 1 e quindi eliminiamo i denominatori (secondo principio), svolgendo nel contempo i calcoli indicati nei numeratori: 3ð xþþ4 10 1 4 1 1 x 1 6 3x þ 40 4 4x Trasportiamo ora al primo membro i termini contenenti l incognita e al secondo membro i termini noti (primo principio) e quindi semplifichiamo: 3x þ 4x 4 6 40 1x 4 Dividiamo poi entrambi i membri per 1 (secondo principio): x. L insieme delle soluzioni è quindi S ¼½ ; þ1þ. Potevamo risolvere la disequazione anche moltiplicando subito entrambi i membri per 1 ¼ mcmð4 ; 3Þ: 1 x þ 10 4 3 e proseguendo poi come sopra. 1 1 x 3 3ð xþþ410 1 1 1 x 3 6 3x þ 40 4 4x 3 8ðx þ 1Þ 3ðx þ 3Þ 10ðx þ 1Þ Si ha: 16x þ 8 6x 9 10x þ 10 16x 6x 10x 10 8 þ 9 0 x 11 È evidente che, qualunque valore si attribuisca a x, quest ultima disequazione si trasforma nella disuguaglianza 0 11 che è vera. La disequazione data, equivalente a 0 x 11, è quindi verificata 8 x R. L insieme delle soluzioni è S ¼ R. 4 ðx þ Þ 3 < x 3 þ 1 þ 6xðx þ Þ Si ha: x 3 þ 6x þ 1x þ 8 < x 3 þ 1 þ 6x þ 1x 8 < 1 La disequazione data si riduce quindi alla disuguaglianza 8 < 1, che è falsa indipendentemente dal valore attribuito alla variabile x. Perciò la disequazione data è impossibile: S ¼ [. Si giunge alla stessa conclusione se l ultimo passaggio, invece di essere scritto 8 < 1, viene scritto nella forma 0 x þ 8 < 1 0 x < 7 5 ða 1Þx > 1 con a R La disequazione data è letterale e, in questo caso, non possiamo risolvere la disequazione dividendo subito entrambi i suoi membri per ða 1Þ, cioè per il coefficiente di x. Infatti tale coefficiente è un espressione letterale contenente il parametro a e tale espressione può essere positiva, negativa o nulla a seconda del valore che assume il parametro a. Occorre quindi distinguere tre casi, cioè occorre effettuare una discussione. 10

n Primo caso. Sea 1 > 0 a > 1, il coefficiente di x è positivo e possiamo applicare il secondo principio di equivalenza: ða 1Þx > 1 x > 1 secondo principio di equivalenza a 1 n Secondo caso. Sea 1 < 0 a < 1, il coefficiente di x è negativo e possiamo applicare il terzo principio di equivalenza: ða 1Þx > 1 x < 1 terzo principio di equivalenza a 1 cambiamo il verso del simbolo di disuguaglianza n Terzo caso. Sea 1 ¼ 0 a ¼ 1, il coefficiente di x è nullo e non è possibile applicare alcun principio di equivalenza. Per a ¼ 1 avremo Possiamo così riassumere i risultati ottenuti: S ¼ 1 ; a < 1 x < 1 a 1 ð1 1Þx > 1 0 x > 1 impossibile 1 a 1 a ¼ 1 disequazione impossibile S ¼ [ a > 1 x > 1 a 1 S ¼ 1 a 1 ; þ1 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO 6 ða þ 1Þx > 1 con a R Contrariamente a quanto visto nell esempio&5, qui non è necessaria alcuna discussione. Infatti, poiché risulta a þ 1 > 0 per qualsiasi a R, possiamo applicare il secondo principio e risolvere subito la disequazione: ða þ 1Þx > 1 x > 1 a þ 1 ; 8 a R 7 x m 5 0 con m R In questo caso la disequazione, letterale e intera, perde significato per m ¼ 5: la condizione di esistenza della disequazione è quindi C:E:: m 6¼ 5 Per m 6¼ 5, non conoscendo il segno del denominatore, dobbiamo distinguere due casi. n Se m 5 > 0 m > 5, possiamo applicare il secondo principio di equivalenza: x m 5 0 m 5>0 ðm 5Þ x m 5 ðm 5Þ0 x 0 x n Se m 5 < 0 m < 5, possiamo applicare il terzo principio cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza: x m 5 0 Riepiloghiamo: m < 5 x m 5<0 ðm 5Þ x m 5 ðm 5Þ0 x 0 x m ¼ 5 la disequazione perde significato m > 5 x 11

8 x 4 m þ 5 0 con m R Contrariamente a quanto visto nel precedente esempio, la disequazione esiste 8 m R: infatti è sempre m þ 5 > 0. Applicando il secondo principio avremo: x 4 m þ 5 ðm þ 5Þ 0 ðm þ 5Þ x 4 0 x 4 La disequazione data è quindi verificata per x 4, qualunque sia il valore del parametro reale m. TEORIA 4 Disequazioni di secondo grado n Risoluzione grafica delle disequazioni di secondo grado Le disequazioni di secondo grado, scritte in forma canonica, si possono risolvere graficamente rappresentando la parabola di equazione y ¼ ax þ bx þ c Per tracciare correttamente la parabola, ai fini della risoluzione della disequazione, se ne devono determinare gli eventuali punti di intersezione con l asse x, risolvendo l equazione associata ax þ bx þ c ¼ 0 e si deve ricordare che la parabola, che ha asse di simmetria parallelo all asse y, volge la concavità verso l alto o verso il basso a seconda che sia a > 0oa < 0. Inoltre si deve tenere presente che se > 0 la parabola interseca l asse x in due punti distinti, se ¼ 0 la parabola è tangente all asse x ese < 0 la parabola non interseca l asse x. A questo punto SAI GIÀ CHE... se nella disequazione compare il simbolo >, le soluzioni sono le ascisse dei punti della parabola che si trovano al di sopra dell asse x; La formula del discriminante di un equazione di secondo grado è: ¼ b 4ac se nella disequazione compare il simbolo <, le soluzioni sono le ascisse dei punti che si trovano al di sotto dell asse x; se il simbolo di disuguaglianza è o si considerano anche i punti di intersezione della parabola con l asse x. primo coeff. discr. grafico di y ¼ ax þ bx þ c ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 > 0 x < x 1 _ x > x x x 1 _ x x x 1 < x < x x 1 x x a > 0 ¼ 0 x 6¼ x 1 ¼ x qualunque nessun x ¼ x 1 ¼ x < 0 qualunque qualunque nessun nessun 1

primo coeff. discr. grafico di y ¼ ax þ bx þ c ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 > 0 x 1 < x < x x 1 x x x < x 1 _ x > x x x 1 _ x x a < 0 ¼ 0 < 0 nessun nessun x ¼ x 1 ¼ x x 6¼ x 1 ¼ x qualunque nessun qualunque qualunque Come sai, ci si può limitare a considerare il caso a > 0. Infatti, data una disequazione di secondo grado in forma canonica, il cui coefficiente a sia negativo, si può cambiare il segno di entrambi i membri della disequazione, purché si cambi il verso del simbolo di disuguaglianza: in tal modo si ottiene una disequazione equivalente in cui è a > 0. 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO n Risoluzione algebrica delle disequazioni di secondo grado discriminante primo coefficiente e verso del simbolo di disuguaglianza ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c < 0 soluzioni ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c 0 soluzioni > 0 ¼ 0 < 0 concordi x < x 1 _ x > x x x 1 _ x x discordi x 1 < x < x x 1 x x concordi qualunque x 6¼ x 1 ¼ x qualunque x discordi nessuna x ¼ x 1 ¼ x concordi qualunque x qualunque x discordi nessuna nessuna I valori di x tali che x 1 < x < x sono i valori di x interni all intervallo ðx 1 ; x Þ delle radici. I valori di x tali che x < x 1 _ x > x sono quelli esterni all intervallo delle radici. n Segno del trinomio di secondo grado f ðxþ ¼ax þ bx þ c > 0 % & f ðxþ è concorde con a per x < x 1 _ x > x f ðxþ è discorde con a per x 1 < x < x ¼ 0 f ðxþ è concorde con a per x 6¼ x 1 ¼ x < 0 f ðxþ è concorde con a per qualsiasi x R 13

ESEMPI 1 Risolvere graficamente la disequazione TEORIA x þ 5x 6 > 0 Dobbiamo determinare i punti della parabola di equazione y ¼ x þ 5x 6 che si trovano nel semipiano delle ordinate positive (l asse x è escluso). Tale parabola incontra l asse x nei punti la cui ascissa si ottiene ponendo y ¼ 0 nell equazione precedente: x þ 5x 6 ¼ 0 x ¼ 6 _ x ¼ 1 I punti cercati sono dunque Að 6 ; 0Þ e Bð1 ; 0Þ; la concavità della parabola è rivolta verso l alto (FIGURA 1). I punti della parabola che si trovano nel semipiano delle ordinate positive sono quelli che hanno ascissa minore di 6 o maggiore di 1, cioè quelli per cui si ha x < 6 _ x > 1 Pertanto l insieme delle soluzioni è l unione di due intervalli aperti e illimitati: S ¼ ð 1 ; 6Þ[ð1 ; þ1þ. Risolvere algebricamente la disequazione x 3x þ 0 Il discriminante del trinomio x 3x þ è ¼ð 3Þ 4 1 ¼ 1 > 0 L equazione associata è x 3x þ ¼ 0. Risolviamola: x 3x þ ¼ 0 % x 1 ¼ 1 & x ¼ In questo caso abbiamo > 0, a ¼ 1 > 0 discorde con il verso del simbolo della disuguaglianza (). La disequazione data è quindi verificata per valori di x interni all intervallo ðx 1 ; x Þ delle radici e anche per i valori x ¼ x 1 e x ¼ x : 1 x. L insieme delle soluzioni è S ¼½1 ; Š. 3 Risolvere le disequazioni x þ 6x þ 9 > 0 x þ 4x 4 0 Osserviamo che ciascuno dei due trinomi di secondo grado al primo membro ha il discriminante nullo. Nel caso ¼ 0èdi solito utile ragionare come segue. n x þ 6x þ 9 > 0 ðx þ 3Þ > 0 x þ 3 6¼ 0 x 6¼ 3 L insieme delle soluzioni è quindi S ¼ R f 3g. n x þ 4x 4 0 x 4x þ 4 0 ðx Þ 0 x ¼ 0 x ¼ L insieme delle soluzioni è perciò S ¼fg. SAI GIÀ CHE... Se > 0 ax þ bx þ c ¼ aðx x 1 Þðx x Þ dove x 1 e x sono le due radici distinte del trinomio di secondo grado. Se ¼ 0 ax þ bx þ c ¼ aðx x 1 Þ dove x 1 è la radice doppia del trinomio. Se < 0 il trinomio ax þ bx þ c è irriducibile, cioè non è scomponibile in fattori di primo grado. Pertanto una disequazione di secondo grado in forma canonica con ¼ 0 può sempre essere trasformata in una equivalente, sempre in forma canonica, il cui primo membro è il quadrato di un binomio. 14

4 Risolvere le disequazioni p x þ x þ ffiffiffiffiffiffi 11 > 0 3x x þ 4 0 In entrambi i casi è < 0. Procediamo per via algebrica: p n x þ x þ ffiffiffiffiffiffi 11 > 0 8 x R S ¼ R < 0; a ¼ > 0 concorde con il verso del simbolo di disuguaglianza n 3x x þ 4 0 nessuna soluzione S ¼ [ < 0; a ¼ 3 > 0 discorde con il verso del simbolo di disuguaglianza La disequazione è quindi impossibile. In generale è bene osservare che se < 0, il trinomio ax þ bx þ c non può mai assumere, per alcun, il valore zero. 5 Risolvere la disequazione letterale x þ 3ð1 aþx þ a 5a þ > 0 Con facili calcoli otteniamo: ¼ðaþ1Þ e quindi ¼ 0 per a ¼ 1e > 0 per a 6¼ 1 le radici del trinomio di secondo grado al primo membro sono con a R 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO a e a 1 Confrontiamo le due radici; ad esempio, chiediamoci per quali valori di a risulti a 1 > a. Avremo Distinguiamo quindi tre casi. a 1 > a a > 1 n a < 1 In questo caso a 1 < a e, poiché > 0 e il primo coefficiente ð1 > 0Þ è concorde con il x 1 x verso del simbolo di disuguaglianza, la disequazione è verificata per x < a 1 _ x > a. n a ¼ 1 In questo caso è ¼ 0ex 1 ¼ x ¼ 3 e la disequazione data assume la forma x þ 6x þ 9 > 0 ðx þ 3Þ > 0 x 6¼ 3 n a > 1 In questo caso a < a 1 e, poiché > 0 e il primo coefficiente è concorde con il verso del x 1 x simbolo di disuguaglianza, la disequazione è verificata per x < a _ x > a 1. 15

n Sistemi. Regola dei segni 5 Sistemi di disequazioni n Sistema di disequazioni in una incognita: èun insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita. n Risoluzione di un sistema di disequazioni: risolvere un sistema di disequazioni significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni del sistema. n Insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni: èl intersezione degli insiemi delle soluzioni delle varie disequazioni che compongono il sistema. ESEMPI 8 < 3x 3 1 Risolvere il sistema > x 3 1. : x 4x Risolviamo separatamente le due disequazioni. TEORIA n Prima disequazione 3x 3 > x 3 1 18x 9 > x 3 16x > 6 6 6 x > 3 8 e perciò S 1 ¼ 3 8 ; þ1 n Seconda disequazione x 4x x 4x 0 ðx 1 ¼ 0; x ¼ 4Þ 0 x 4 e perciò S ¼½0 ; 4Š L insieme delle soluzioni del sistema è S ¼ S 1 \ S. Per determinarlo si utilizza uno schema grafico come il seguente (come ricorderai, i numeri 0, 3, 4 si dicono capisaldi). 8 Da tale grafico possiamo osservare che le soluzioni comuni alle due disequazioni del sistema sono i valori di x tali che 3 8 < x 4 L insieme delle soluzioni è infatti l intervallo S ¼ S 1 \ S ¼ 3 8 ; 4. ATTENZIONE! Negli schemi grafici utilizzati per determinare l insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni è fondamentale disporre i capisaldi rispettando il loro ordinamento. In presenza di più di due capisaldi (come in FIGURA ), non è però indispensabile posizionarli «in scala»: infatti lo scopo di tali schemi è unicamente quello di individuare gli intervalli delle soluzioni del sistema. Non ha quindi importanza se i rapporti tra le distanze dei capisaldi siano uguali o no ai rapporti tra le distanze dei corrispondenti punti sulla retta reale. 16

x þ 5 0 Risolvere graficamente il sistema lineare. x 0 Disegniamo nel piano cartesiano la retta r di equazione y ¼ x þ 5 e la retta s di equazione y ¼ xþ. I valori di x che sono soluzione del sistema devono essere le ascisse di punti di r edi s aventi ordinata positiva o nulla su entrambe le rette. Se osservi la FIGURA 3, puoi dedurre che i punti richiesti sono quelli la cui ascissa appartiene all intervallo 5 ; ; il sistema è quindi verificato per 5 x. FIGURA 3 x 3m þ 1 0 3 Risolvere il sistema con m R. 4m 3 x 0 Risolvendo le due disequazioni letterali del sistema otteniamo 8 < x 3m 1 : x 4m 3 Poiché non conosciamo il valore del parametro m dobbiamo discutere, al variare di m, l ordinamento dei capisaldi. Ad esempio Quindi possiamo dedurre che 3m 1 < 4m 3 3m 1 < 3m 1 > 3m 1 ¼ Dobbiamo quindi distinguere tre casi. 4m 3 4m 3 4m 3 ::: m < 1 per m < 1 per m > 1 per m ¼ 1 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO n m < 1 Dallo schema (FIGURA 4) possiamo dedurre che il sistema è impossibile; infatti S ¼ S 1 \ S ¼ [. FIGURA 4 n m > 1 Dallo schema (FIGURA 5) possiamo dedurre che S ¼ 4m 3 ; 3m 1 e quindi la disequazione è verificata per 4m 3 x 3m 1 FIGURA 5 n m ¼ 1 In questo caso i due capisaldi hanno lo stesso valore che, come puoi verificare, è 5. Il sistema dato assume perciò la forma 8 >< x 5 >: x 5 x ¼ 5 S ¼ 5 17

Riassumendo: m < 1 sistema impossibile m ¼ 1 x ¼ 5 m > 1 4m 3 x 3m 1 TEORIA 6 La regola dei segni La regola dei segni del prodotto o del quoziente di due o più numeri si applica per risolvere disequazioni intere, in forma normale, cioè del tipo PðxÞ > 0 PðxÞ < 0 PðxÞ 0 PðxÞ 0 dove PðxÞ è un polinomio di grado superiore al primo, scomponibile in fattori di cui si sappia studiare il segno; disequazioni frazionarie, in forma normale, cioè del tipo AðxÞ BðxÞ > 0 AðxÞ BðxÞ < 0 AðxÞ BðxÞ 0 AðxÞ BðxÞ 0 dove AðxÞ e BðxÞ sono polinomi di grado superiore o uguale al primo, scomponibili in fattori di cui si sappia studiare il segno. N.B. Se la disequazione è frazionaria occorre porre le condizioni di accettabilità delle soluzioni, perché non devono mai essere inclusi tra le soluzioni i valori che annullano il denominatore BðxÞ. ESEMPI 1 x 3 0 La disequazione è frazionaria (C.A.: x 6¼ 3) ed è già scritta in forma normale. Osserviamo che la frazione non può mai essere uguale a 0 per alcun poiché il suo numeratore, cioè, non x 3 può annullarsi. Applichiamo dunque la regola dei segni: poiché la frazione deve risultare positiva e il numeratore è sempre negativo, il denominatore deve risultare negativo; avremo quindi x 3 0 x 3 > 0 x 3 < 0 x < 3 3 x 1 La disequazione è frazionaria (C.A.: x 6¼ 1) ma non è scritta in forma canonica. Ricerchiamo quindi la forma canonica equivalente: 3 x 1 3 x 1 0 ðx 1Þ 3 x 1 0 x 3 x 1 x 5 x 1 0 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo membro: 0 N > 0 x 5 > 0 x > 5 D > 0 x 1 > 0 x > 1 18

Dallo schema (FIGURA 6) utilizzato per evidenziare l applicazione della regola dei segni risulta che la disequazione è verificata per 1 < x 5. Infatti la frazione x 5 è negativa per x 1 1 < x < 5 ed è uguale a 0 per x ¼ 5. Osserva che per x ¼ 1 la frazione perde significato. ATTENZIONE! Come ricorderai, per studiare il segno di un fattore (in questo caso, ciascun termine della frazione) abbiamo convenuto di studiarne sempre la positività e ciò indipendentemente dal verso della disequazione scritta in forma canonica. 3 x 3 4x þ x þ 6 > 0 Detto PðxÞ il polinomio al primo membro, osserviamo che Pð 1Þ ¼0 e quindi PðxÞ è divisibile, per il teorema di Ruffini, per ðx þ 1Þ. Eseguendo la divisione si trova PðxÞ ¼ðxþ1Þðx 5x þ 6Þ. La disequazione data diventa ðx þ 1Þðx 5x þ 6Þ > 0 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO A B Studiamo il segno dei fattori A e B e ricerchiamo poi i valori di x per i quali è A B > 0. A > 0 x þ 1 > 0 x > 1 B > 0 x 5x þ 6 > 0 x < _ x > 3 x 1 ¼ ; x ¼ 3 Dallo schema (FIGURA 7) possiamo dedurre che la disequazione data è verificata per 1 < x < _ x > 3 4 ðx x þ 1Þðx þ 3Þ < 0 x x Deve essere x x 6¼ 0 x 6¼ 1 ^ x 6¼ (C.A.). Poniamo A ¼ x x þ 1, B ¼ x þ 3, C ¼ x x e, applicando la regola dei segni, ci chiediamo per quali valori di x risulta A B < 0. C A > 0 ðx 1Þ > 0 x 6¼ 1 B > 0 x þ 3 > 0 x > 3 C > 0 x x > 0 x < 1 _ x > 19

Dallo schema (FIGURA 8) deduciamo che la disequazione data è verificata per x < 3 _ 1 < x < 1 _ 1 < x < Le soluzioni si possono anche esprimere nella forma x < 3 _ ð 1 < x < ^ x 6¼ 1Þ TEORIA n Disequazioni binomie e trinomie 7 Disequazioni binomie n Disequazioni binomie: hanno la forma x n > a x n < a x n a x n a con n N ; a 6¼ 0 Se a ¼ 0 si hanno disequazioni monomie; n è il grado della disequazione. n Disequazioni binomie di grado dispari x n > a x > np ffiffiffi a x n < a x < np ffiffiffi a con n dispari; a R Al posto dei simboli > e < si possono considerare rispettivamente i simboli e. n Disequazioni binomie di grado pari x n > a x < np ffiffiffi ffiffiffi a _ x > np a x n < a np ffiffiffi ffiffiffi con n pari; a > 0 a < x < np a Al posto dei simboli > e < si possono considerare rispettivamente i simboli e. Se a < 0, le disequazioni binomie di grado pari si risolvono con semplici ragionamenti. ESEMPI 1 Le seguenti disequazioni monomie si risolvono in modo immediato: x 6 > 0 x 6¼ 0 x 3 > 0 x > 0 xþ¼t x 0 8 x R x 5 0 x 0 x 4 < 0 impossibile x 7 < 0 x < 0 x 8 0 x ¼ 0 x 13 0 x 0 Risolvere le seguenti disequazioni binomie di grado dispari o a esse riconducibili: 3p x 3 > 5 x > ffiffiffi 5 3p x 3 8 x ffiffiffi 8 x 3p ðx þ Þ 3 > 7 t 3 > 7 t > ffiffiffiffiffiffi 7 t > 3 t¼xþ x þ > 3 x > 1 0

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 5 5 < 3 x < ð Þ 5 7p x 7 > 4 x > ffiffiffiffiffiffiffi 4 x < 7p x > ffiffiffi 4 3 Risolvere le seguenti disequazioni binomie di grado pari o a esse riconducibili: 4p x 4 > 1 x < ffiffiffi 4p ffiffiffi 1 _ x > 1 x < 1 _ x > 1 p x 5 ffiffiffi pffiffiffi 5 x 5 6p x 6 > 7 x < ffiffiffi 6p ffiffiffi 7 _ x > 7 x 4 < 3 impossibile x 6 4 8x R ðx þ 3Þ 4 < 16 xþ3¼t < t < t¼xþ3 8 Disequazioni trinomie t 4 < 16 4p ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 16 < t < 4p 16 < x þ 3 < 5 < x < 1 n Disequazioni trinomie: sono quelle che si possono ricondurre alla forma ax n þ bx n þ c > 0 ax n þ bx n þ c < 0 con n N ; a 6¼ 0 Al posto dei simboli > e < si possono considerare rispettivamente i simboli e. Si risolvono con una sostituzione del tipo x n ¼ y Per n ¼ ladisequazione trinomia prende il nome di biquadratica (ax 4 þ bx þ c + 0). 1. DISEQUAZIONI DI 1º E º GRADO Risolviamo le seguenti disequazioni trinomie. ESEMPI 1 x 4 7x þ 1 < 0 Poniamo x ¼ y e otteniamo y 7y þ 1 < 0 >0; y 1 ¼3; y ¼4 3 < x < 4 x > 3 x < 4 ( p ffiffiffi pffiffiffi x < 3 _ x > 3 < x < 3 < y < 4 y¼x SAI GIÀ CHE... Se a < b, la relazione a < x < b equivale a x > a x < b Utilizzando il solito schema per la risoluzione dei sistemi di disequazioni, si trova che la soluzione della disequazione data è p < x < ffiffiffi p ffiffiffi 3 _ 3 < x < x 4 < _ x 4 > 4 x 8 x 4 8 > 0 Poniamo x 4 ¼ y e otteniamo y y 8 > 0 y < _ y > 4 y¼x 4 Poiché x 4 < non ha soluzioni, la disequazione data equivale a x 4 > 4 4p x < ffiffiffiffiffiffi 4p _ x > ffiffiffiffiffiffi p x < ffiffiffi pffiffiffi _ x > 1