Le prove di Matematica

Piano di formazione per il personale scolastico impegnato nel PP3 Seminario nazionale INValSI Frascati, Villa Tuscolana 16-17 dicembre 2003 Le prove di Matematica Intervento di M. Marchi

PROGETTO PILOTA per la VALUTAZIONE DELLA SCUOLA ITALIANA anno scolastico 2003-2004 LE PROVE DI MATEMATICA 1. COME AVVIENE LA VALUTAZIONE 2. COSA VOGLIAMO VALUTARE 3. ARTICOLAZIONE MODALITÀ della VALUTAZIONE: CONOSCENZE e ABILITÀ sottoposte a valutazione 4. ALCUNI ESEMPI DAL PP2 2

1. COME AVVIENE LA VALUTAZIONE La VALUTAZIONE, che è obbligata per legge, ha come obiettivi: i) la VALUTAZIONE DI SISTEMA da parte dell ORGANO CENTRALE cioè si vuole valutare l EFFICACIA del SISTEMA SCOLASTICO e l EFFICACIA dell INSEGNAMENTO a livello nazionale; ii) la AUTONOMA VALUTAZIONE che ogni singola scuola nella propria autonomia può effettuare circa il proprio INSEGNAMENTO. Ogni singola scuola, confrontando correttamente gli esiti della valutazione che la riguarda con quelli di altre analoghe scuole (individuate in base a opportune variabili), può fornire gli insegnanti di un FORMIDABILE STRUMENTO per riflettere sul CURRICULUM effettivamente svolto e sulle relative ABILITÀ e CONOSCENZE acquisite dai propri alunni (o che dovrebbero avere ). Una ANALISI SERENA ma APPROFONDITA sugli esiti potrà portare a MODIFICAZIONI POSITIVE, da parte delle singole scuole, nell impostare la propria OFFERTA FORMATIVA in MATEMATICA. 3

La VALUTAZIONE avviene mediante la somministrazione di QUESTIONARI costituiti da QUESITI a risposta chiusa (3, 4, 5 risposte secondo il livello scolare e la natura della domanda). Certamente questa non è la migliore tecnica di valutazione e sarebbe, a mio parere, INACCETTABILE se si trattasse di valutare il singolo studente. Diversa è la situazione nel caso della valutazione dell intero SISTEMA: qui occorre poter disporre di un gran numero di dati ANALIZZABILI in modo OBIETTIVO e con bassa INCERTEZZA. Le informazioni ricavate non riguardano dunque il VALORE degli INSEGNANTI o degli ALUNNI di una singola scuola ma piuttosto le SCELTE DIDATTICHE fatte, per es.: se l insegnamento riguarda CONCETTI CHIAVE oppure TECNICHE ALGORITMICHE STRUMENTALI. In questo senso una attenta analisi dei risultati può contribuire a formare una GUIDA per il MIGLIORAMENTO DELL INSEGNAMENTO. 4

2. COSA VOGLIAMO VALUTARE e PERCHÉ (cioè: A CHE SCOPO) PERCHE Quello che vogliamo valutare è il possesso DI UNA IDEA DI MATEMATICA NON APPIATTITA sull APPLICAZIONE DI REGOLE E FORMULE, ma ben ancorata AD UN INSIEME DI CONCETTI FONDAMENTALI di BASE e di CONOSCENZE a LIVELLO SEMPLICE, ma non BANALIZZATE, una MATEMATICA che si esprime con un linguaggio preciso e coerente, non vago e approssimativo. Una MATEMATICA cioè che è fattore di CRESCITA per la persona, che è STRUMENTO DI CONOSCENZA della realtà, che è LINGUAGGIO PRECISO, univoco, obiettivo, utile, e anzi indispensabile, per descrivere tale REALTÀ evitando tuttavia di eccedere in ASTRAZIONE E FORMALISMO, richiedendo cioè solo il formalismo COMPRENSIBILE E APPREZZABILE ai diversi livelli di età in cui ci si colloca. 5

COSA Si vuole valutare: i) la CONOSCENZA della DISCIPLINA MATEMATICA e dei suoi STRUMENTI intesa come CONOSCENZA CONCETTUALE ( * ) a) indipendente dagli STEREOTIPI suggeriti *) dalla EVIDENZA INTUITIVA *) dalle IMMAGINI MENTALI memorizzate in modo A-CRITICO *) dagli AUTOMATISMI dell ADDESTRAMENTO ALGORITMICO b) in CONTESTI CRITICI di RAZIONALIZZAZIONE della REALTÀ ii) il LIVELLO di APPROPRIAZIONE PERSONALE CRITICA e INTERIORIZZATA della conoscenza; iii) l ABILITÀ nell uso di alcuni STRUMENTI (=algoritmi) MATEMATICI elementari ma CRUCIALI nel ruolo DI DESCRIZIONE e CONTROLLO (=MODELLIZZAZIONE) della REALTÀ. COME Questa capacità di USO è stata SONDATA in più sensi: *) usare in modo appropriato il linguaggio, / interpretare un testo; * frutto di RIFLESSIONE CRITICA e non di ADDESTRAMENTO o di APPRENDIMENTO MNEMONICO. 6

*) eseguire calcoli (non eccessivamente complicati) / riconoscere operazioni e procedimenti; *) formalizzare attraverso i simboli/interpretare un formalismo in un contesto assegnato; *) fare ed esprimere deduzioni / riconoscere i collegamenti logici; *) dare rappresentazioni adeguate / leggere diverse forme di rappresentazione. La conclusione è che le risposte agli ITEM non richiedono affatto solo di ESEGUIRE CALCOLI, sviluppare ALGORITMI oppure applicare formule più o meno note e complicate. Al contrario molti e diversi sono gli ITEM di precisazione e riflessione linguistica oppure quelli che richiedono di esprimere definizioni e concetti. In generale, poi, anche quando la domanda si riferisce alla esecuzione di procedimenti algoritmici, la difficoltà non consiste mai nella lunghezza o nella complicazione dei calcoli, ma piuttosto nella necessità di possedere con chiarezza e sicurezza i CONCETTI COINVOLTI. 7

3. CONOSCENZE E ABILITA di matematica, che saranno valutate nel PP3 (anno scolatico 2003-2004) Si tratta di COMPETENZE scelte in un ambito DISCIPLINARMENTE LIMITATO ma SIGNIFICATIVO in vista delle FINALITA precedentemente esplicitate. Le CONOSCENZE riguardano essenzialmente quelle acquisite nell anno precedente a quello in cui vengono somministrati i quesiti tenuto anche conto della porzione di anno in corso Il riferimento è ai PROGRAMMI di ORDINAMENTO ma con una attenzione anche ai nuovi CURRICOLA in via di formulazione Occorre precisare che i PROGRAMMI relativi agli anni precedenti si devono intendere per SVOLTI e ACQUISITI. Per esempio: non è accettabile che IN PRIMA MEDIA non si sappia calcolare AREA e PERIMETRO delle più semplici FIGURE GEOMETRICHE ELEMENTARI perché una tale COMPETENZA deve essere già acquisita dalla SCUOLA ELEMENTARE: stiamo infatti parlando di STANDARD MINIMI ma NON - BANALI! 8

Matematica PP3 anno scolastico 2003-04 Conoscenze ed abilità valutate in II elementare Il Numero: Lettura e scrittura dei numeri naturali; riconoscimento di regolarità. Nozione di precedente e successivo. Capacità di riconoscere ed eseguire operazioni di addizione e di sottrazione. Geometria Capacità di attuare percorsi e di riconoscerne caratteristiche (più o meno lungo, aperto ). Capacità di identificare e denominare correttamente forme geometriche. 9

Conoscenze ed abilità valutate in IV elementare. Il Numero a) Conoscere i numeri naturali e i numeri decimali e sapere operare con essi, scrittura posizionale dei numeri; sapere attuare approssimazioni; conoscere e sapere applicare le proprietà delle operazioni; b) conoscere la nozione di frazione saperla utilizzare come operatore. c) saper risolvere un problema scegliendo le operazioni opportune Geometria a) Saper riconoscere, denominare, descrivere figure geometriche; conoscere alcune elementari proprietà delle figure geometriche piane; b) sapere individuare-simmetrie in oggetti e figure; c) saper calcolare per conteggio aree e perimetri di semplici figure, data l unità di misura. La Misura a) Conoscere il sistema metrico decimale e saper effettuare semplici conversioni tra un unità di misura ed un altra; b) sapere stimare la misura di oggetti comuni c) essere capaci di scegliere l'unità di misura più adatta per un determinato oggetto da misurare. Introduzione al pensiero razionale a) Capacità di comprendere alcuni termini del linguaggio specifico della matematica; utilizzare in modo corretto i termini matematici; b) sapere classificare figure; c) saper risolvere un problema, identificando i dati ed il percorso di soluzione. 10

Conoscenze ed abilità valutate in I media. Il Numero Conoscere i numeri naturali e i numeri decimali; saper operare con essi e attuare approssimazioni; conoscere ed applicare le proprietà delle operazioni; i numeri razionali, la frazione come operatore, confronto e ordinamento tra numeri naturali, decimali e frazioni. Geometria Saper riconoscere, denominare, descrivere figure geometriche; conoscere le proprietà delle figure geometriche piane; individuare simmetrie in oggetti e figure; calcolare aree e perimetri di figure geometriche conosciute. La Misura Conoscere il sistema metrico decimale e saper effettuare semplici conversioni tra un unità di misura ed un altra; saper scegliere l unità di misura più adatta ad un oggetto da misurare. Introduzione al pensiero razionale Utilizzare in modo corretto alcuni termini della matematica; saper classificare figure, oggetti, numeri; saper individuare le informazioni necessarie e saper organizzare un percorso adeguato per risolvere un problema. Dati e previsioni Capacità di rappresentare e leggere grafici; capacità di fare previsioni, saper calcolare la misura di probabilità in semplici contesti. 11

Conoscenze e Abilità valutate nelle classi I e III della Scuola secondaria superiore,. 1. Numero e algebra a. Conoscenze fondamentali riguardanti i numeri naturali, interi, razionali b. Abilità di calcolo numerico c. Simbolizzazione ed elementare capacità di manipolazione dei simboli algebrici d. Capacità di formalizzare semplici situazioni in contesti concreti. 2. Geometria a. Conoscenze fondamentali relative alle figure piane e dello spazio b. Trasformazioni geometriche elementari: riconoscimento e proprietà c. Capacità di operare semplici formalizzazioni in contesto geometrico d. Riconoscere e saper usare le proprietà geometriche delle figure. 3. Relazioni e funzioni a. Conoscenze fondamentali della nozione e prime proprietà delle funzioni b. Abilità di lettura di grafici e tabelle c. Capacità di formalizzare relazioni e funzioni in contesti diversi. 4. Dati e previsioni / logica a. Conoscenze fondamentali di probabilità e semplici valutazioni probabilistiche b. Abilità di lettura e interpretazione di rappresentazioni grafiche di dati di varia natura c. Capacità di formalizzare in contesti probabilistici vari d. Uso corretto del linguaggio verbale e simbolico e capacità di interpretazione di testi linguistici o formalizzati in situazioni incerte. 12

4. Esempi di item significativi somministrati nel PP2 Scuola media, classe 1ª Le risposte rivelano l esistenza di forti stereotipi e fissità nelle immagini mentali. 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Un triangolo ha sempre tre altezze. B. Un triangolo ha solo un altezza. C. Il numero delle altezze dipende dal tipo del triangolo. D. Un triangolo non sempre ha l'altezza. Frequenza Percentuale * Un triangolo ha sempre tre altezze. 202.525 34,6 Un triangolo ha solo un'altezza. 249.273 42,5 II numero delle altezze dipende dal tipo del triangolo. 105.190 18,0 Un triangolo non sempre ha l'altezza. 16.115 2,8 doppia risposta 4.882 0,8 mancata risposta 7.737 1,3 Totale 585.723 100,0 13

Scuola media, classe 1ª Qualità di risposte soddisfacente 3. Tutti i triangoli in figura hanno la misura della base uguale e il vertice sulla retta t parallela alla retta s. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Il triangolo 2 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri. B. Tutti i triangoli hanno lo stesso perimetro. C. Il triangolo 3 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri. D. Il triangolo 1 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri. Frequenza Percentuale II triangolo 2 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri 34.949 6,0 Tutti i triangoli hanno lo stesso perimetro. 95.161 16,2 II triangolo 3 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri 24.205 4,1 * II triangolo 1 ha il perimetro maggiore di tutti li altri 417.645 71,3 doppia risposta i 1.312 0,2 mancata risposta 12.451 2,1 Totale 585.723 100,0 14

Scuola media, classe 1ª Le risposte rivelano uno scarso senso della realtà. 5. Osserva attentamente la figura, le misure dell'automobile sono indicate in... A: cm 3 0, 8 B: dm 12,3 C: mm 38.8 D: m 16,8 Percentuale 11. 4 m 2 può essere l'area di Percentuale A: un campo di calcio 14,2 B: un tappeto 40,5 C: la pagina di un giornale 6,8 D: un aula scolastica 37,0 15

Scuola media, classe 1ª 18. Osserva attentamente le figure. In quale figura il segmento tratteggiato corrisponde all altezza? Nella figura... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B-In quale figura il segmento Frequenza Percentuale 1 15.439 2,6 * 2 337.989 57,7 3 211.239 36,1 Validi 4 17.639 3,0 doppia risposta 673 0,1 mancata risposta 2.744 0,5 Totale 585.723 100,0 16

Scuola media, classe 1ª Dalle risposte risalta il fatto che un apparente evidenza appoggiata ad osservazioni intuitive a-critiche può risultare più credibile di note regole razionalmente certe ed estremamente elementari. 19. Tutti i triangoli in figura hanno la misura della base uguale e il vertice sulla retta t parallela alla retta s. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Solo il triangolo 1 e il triangolo 3 hanno la stessa area. B. Il triangolo 4 ha l'area minore rispetto agli altri triangoli. C. Tutti i triangoli hanno la stessa area. D. Nessun triangolo ha la stessa area di un altro di questi triangoli. Frequenza Percentuale Solo il triangolo 1 e il triangolo 3 hanno la stessa area. 101.837 17,4 Il triangolo 4 ha l'area minore rispetto ali altri triangoli 78.130 13,3 * Tutti i triangoli hanno la stessa area. 147.208 25,1 Nessun triangolo ha la stessa area di un altro di questi 237.126 40,5 doppia risposta 3.926 0,7 mancata risposta 17.496 3,0 Totale 585.723 100,0 17

Scuola media, classe 1ª Altro esempio di forte condizionamento da parte della ritenuta evidenza intuitiva. 800: 0,2 =... A. 0,4 B. 40 C. 400 D. 4000 Frequenza Percentuale 0,4 76.332 13,0 40 102.546 17,5 400 142.482 24,3 Validi * 4000 248.849 42,5 doppia risposta 309 0,1 mancata risposta 15.205 2,6 Totale 585.723 100,00 18

Scuola superiore, classe 1ª Difficoltà nel formalizzare un discorso verbale anche se estremamente semplice e già di contenuto matematico. 13. La somma fra i 5 di un numero e 5 è uguale al numero aumentato di 1. Di quale numero si tratta? 6 2 A. 21 B. 27 C. 30 D. 33 E. 39 B-La somma fra i 5/6 di un numero e... Frequenza Percentuale 21 65.133 10,6 * 27 151.059 24,5 30 256.292 41,6 Validi 33 72.046 11,7 39 26.746 4,3 mancata risposta 44.873 7,3 Totale 616.148 100,0 19

Scuola superiore, classe 1ª Grande difficoltà nell affrontare problemi che sono problemi-inversi di problemi diretti anche se di tipo standard e assolutamente elementari. Non viene utilizzato l aiuto costituito dal dover scegliere tra sole cinque risposte possibili. 26. L'area di un cerchio è 100 cm².quanto è lungo il suo raggio? A. 10 cm B. 10 π cm C. 10 cm π D. 10 cm π E. 10 π cm Frequenza Percentuale 10 cm 95.093 15,4 10 x 3,14 cm 154.724 25,1 10/( 3,14) cm 147.220 23,9 Validi * 10/( 3,14) ^1/2cm 139.842 22,7 10 x (3,14) ^1/2 cm 51.496 8,4 mancata risposta 27.772 4,5 Totale 616.148 100,0 20

Scuola superiore, classe 1ª 5. Come puoi tradurre in linguaggio algebrico la frase Aggiungendo 5 al triplo di un numero n si ottiene 26? A. 3n+5=26 B. 3(n+5)=26 C. 5n+3 =26 D. 5 (n+3)=25 E. La risposta corretta non è tra le prime quattro proposte. Frequenza Percentuale * 3 n + 5 = 26 421.819 68,5 3 (n + 5) = 26 60.724 9,9 5n + 3 = 26 30.631 5,0 5 (n + 3) = 26 39.018 6,3 La risposta corretta non è tra le rime quattro proposte 56.014 9,1 doppia risposta 156 0,0 mancata risposta 7.786 1,3 Totale 616.148 100,0 21