ESERCIZIO.1 Sa X la varable casuale che descrve l numero d teste ottenute nella prova lanco d tre monete truccate dove P(Croce)= x P(Testa). 1) Defnrne la dstrbuzone d probabltà ) Rappresentarla grafcamente ) Calcolarne valore atteso, varanza e asmmetra SVOLGIMENTO 1) Il lanco d tre monete può dare rsultat dfferent ndcat nella seguente tabella, dove T rappresenta l evento s è presentato Testa e C rappresenta l evento s è presentato Croce: Moneta 1 Moneta Moneta Numero d Testa C C C T C C 1 C T C 1 C C T 1 T T C T C T C T T T T T Per calcolare le probabltà d Testa e Croce è possble rsolvere l seguente sstema d due equazon n due ncognte: P( C) = P( T) P( C) = P( T) P( C) = 1 P( C) P C PC + PT = 1 P( T) = 1 P( C) PT = 1 PC PC = 4 PC = PC = 4 4 1 PT = 1 PC PT 1 PC = 4 [ ] Il calcolo delle probabltà assocate agl event sfrutta l ndpendenza delle tre sottoprove component la prova d nteresse. P( C1 C C) = P( C1) P( C) P( C) = =.4 4 1 PT ( 1 C C) = PT ( 1) PC PC = = 41 4 4 P( C1 T C) = P( C1 C T) = P( T1 C C) = 41 1 PT ( 1 T C) = PT ( 1) PT PC = =.47 4 4 PT C T = PC T T = PT T C = 1 1 1.47 1
1 PT ( 1 T T) = PT ( 1) PT PT = =.16 4 Tenendo conto che la probabltà d ottenere 1, e teste è par all unone delle probabltà d tre event elementar che danno vta a rspettv event compost s ha: X (Numero d Testa) P(X).4 1.4 (41 x ) 4 (.47 x ). ) P(X).5.4... 1 ) E X = x p( x ) =.4 + 1.4 + 4 +. =.76 σ µ ( x µ ) p( x ) = E X =.76.4 + 1.76.4 +.76 4 +.76. =.58 µ X µ = E σ = = ( x µ ) p( x ).76.4 + 1.76.4 +.76 4 +.76. = =.7.44 σ.76
ESERCIZIO. S consder l espermento lanco d un dado non truccato. Sa X la varable casuale che assume valore par alla facca uscta; Y la varable casuale che assume valore par al doppo della facca uscta e Z la varable casuale volte la facca uscta meno tre untà. 1) Specfcare le dstrbuzon d probabltà delle tre varabl e rappresentarle grafcamente ) Calcolare valore atteso e varanza usando le defnzon general ) Calcolare valore atteso e varanza usando quanto noto sulla dstrbuzone unforme dscreta SVOLGIMENTO 1) La varable casuale X segue una dstrbuzone unforme. La r rappresentate d seguto n forma tabellare e n forma grafca: X P(X) 1 1/6 1/6 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6. 5 P(X) 1 4 5 6 La dstrbuzone d probabltà della varable Y=X è: Y P(Y) 1/6 4 1/6 6 1/6 8 1/6 1 1/6 1 1/6. 5 P(Y) 4 6 8 1 1 La dstrbuzone d probabltà della varable Z=X- è:
Z P(Z) 1/6 1/6 6 1/6 9 1/6 1 1/6 15 1/6. 5 P(Z) 6 9 1 15 ) Calcolo del valore atteso per le tre varabl applcando la defnzone: E( X) = xp( x) = 1 + +... + 5 + 6 =.5 6 6 6 6 E( Y) = yp( y) = + 4 +... + 1 + 1 = 7 6 6 6 6 E( Z) = zp( z) = + +... + 1 + 15 = 7.5 6 6 6 6 Calcolo della varanza per le tre varabl applcando la defnzone: σ = E X µ X ( x µ ) p( x ) 1 1 = ( 1.5 ) +... + ( 6.5) 6 6 =.91667 σ = E Y µ Y ( y µ ) p( y ) 1 1 = ( 7 ) +... + ( 1 7) 6 6 = 11.667 ( z µ ) p( z ) Z = E Z σ µ 1 1 = ( 7.5 ) +... + ( 15 7.5) 6 6 = 6.5 ) La varable casuale X è una varable casuale unforme. E possble calcolarne l valore atteso come d seguto ndcato: 4
n + 1 6+ 1 E( X) = = =.5 Sfruttando la lneartà dell operatore valore atteso è facle rcavare d conseguenza l valore atteso delle altre due varabl: E Y = E X = E X =.5= 7 E Z = E X = E X =.5 = 7.5 Sfruttando quanto noto sulla varanza d una varable casuale unforme dscreta s ha: n 1 6 1 σ X = E( X µ ) = = =.91667 1 1 Tenendo noltre conto che se la varable casuale W=aX+b è una combnazone lneare della varable casuale X, s ha: σ = σ = a σ w ax+ b x è possble calcolare la varanza per le altre due varabl casual come segue: σ = σ = σ = 4.91667 = 11.6667 Y x x σ = σ = σ = 9 91667 = 6.5 Z x x 5
ESERCIZIO. S consder l espermento lanco d due dad. Sa X1=X la varable casuale rsultato ottenuto rspettvamente sul prmo e sul secondo lanco, Y la varable casuale somma de puntegg ottenut Y=X 1 +X e Z= X 1 -X la varable casuale dfferenza de puntegg ottenut. 1) Specfcare le dstrbuzon d probabltà e rappresentarle grafcamente ) Calcolare l valore atteso delle quattro varabl ) Calcolare la varanze delle quattro varabl SVOLGIMENTO 1) Le varabl X1 e X seguono una dstrbuzone unforme. Sono rappresentate d seguto n forma tabellare e n forma grafca: X1=X P(X1)=P(X) 1 1/6 1/6 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6. 5 P(X1)=P(X) 1 4 5 6 Per specfcare la dstrbuzone d probabltà della varable Y (somma de puntegg ottenut su due dad) è possble consderare 6 possbl rsultat (ottenut dal prodotto cartesano de rsultat d ogn sottoprova, vale a dre del lanco d cascun dado). La tabella seguente rappresenta rsultat possbl per l lanco del dado 1 sulle rghe e quell per l dado sulle colonne, l corpo della tabella è ottenuto sommando rspettv rsultat d rga e colonna: Dado 1 Dado 1 4 5 6 1 4 5 6 7 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 1 11 6 7 8 9 1 11 1 Dalla tabella precedente s possono calcolare le frequenze de valor che la varable Y può assumere (da a 1) e calcolarne le probabltà. La rappresentazone grafca della dstrbuzone d probabltà è ottenble usando l dagramma ad aste. 6
Y FREQ(Y) P(Y) 1 1/6 1/18 4 1/1 5 4 1/9 6 5 5/6 7 6 1/6 8 5 5/6 9 4 1/9 1 1/1 11 1/18 1 1 1/6. 5 P(Y) 4 5 6 7 8 9 1 11 1 Un analoga tabella può essere costruta per la varable Z (dfferenza de puntegg), calcolando le vare celle della stessa come dfferenza tra rsultat d rga e rsultat d colonna: Dado 1 Dado 1 4 5 6 1-1 - - -4-5 1-1 - - -4 1-1 - - 4 1-1 - 5 4 1-1 6 5 4 1 Da questa s possono calcolare le frequenze de valor che la varable può assumere (che vanno da 5 a + 5), le probabltà assocate a cascuno d tal valor e l dagramma ad aste per la rappresentazone grafca della dstrbuzone d probabltà. Z FREQ(Z) P(Z) -5 1 1/6-4 1/18-1/1-4 1/9-1 5 5/6 6 1/6 1 5 5/6 4 1/9 1/1 4 1/18 5 1 1/6. 5 P(Z) -5-4 - - -1 1 4 5 ) Usando la defnzone d valore atteso s ha: E( X1) = E( X) = xp( x) = 1 + +... + 5 + 6 =.5 6 6 6 6 E possbl sfruttare quanto noto sulla dstrbuzone unforme per ottenere lo stesso rsultato: 7
n + 1 6+ 1 = = = =.5 E( X ) E X 1 Analogamente, per la varable Y, sfruttando la defnzone d valore atteso s ha: E( Y) = yp( y) = + +... + 11 + 1 = 7 6 18 18 6 Sfruttando la lneartà dell operatore meda s poteva ottenere tale rsultato pù velocemente: E Y = E( X + X ) = 7 1 La defnzone d valore atteso per la varable casuale Z da l seguente rsultato: E( Z) = zp( z) = 5 + 4 +... + 4 + 5 = 6 18 18 6 Anche n questo caso la lneartà dell operatore permette d ottenere lo stesso rsultato n manera pù veloce: E Z = E( X X ) = 1 ) Calcolo della varanza per la varable casuale X1 (e X) sfruttando la defnzone d varanza: σ = σ = E X µ X1 X ( 1 ) ( x µ ) p( x ) 1 1 = ( 1.5 ) +... + ( 6.5) 6 6 =.91667 In manera pù veloce è possble calcolare la varanza d X1 e X usando quanto noto sulla dstrbuzone unforme: n 1 σ X = σ 1 X = =.91667 1 Calcolo della varanza per la varable casuale Y=X1+X σ = E Y µ Y ( y µ ) p( y ) 1 1 1 1 = ( 7) + ( 7 ) +... + ( 11 7) + ( 1 7) 6 18 18 6 = 5.8 Essendo le due varabl casual ndpendent la varanza della varable casuale somma delle due varabl può essere calcolata come somma delle varanze: σ = E Y µ = σ + σ = 5.8 Y X1 X 8
Calcolo della varanza per la varable casuale Z=X1-X σ = E Z µ z ( z µ ) p( z ) 1 1 1 1 = ( 5 ) + ( 4 ) +... + ( 4 ) + ( 5 ) 6 18 18 6 = 5.8 Essendo le due varabl casual ndpendent la varanza della varable casuale dfferenza delle due varabl può essere calcolata anche n questo caso come somma delle varanze: σ = E Z µ = σ + σ = 5.8 Z X1 X 9
ESERCIZIO.4 Una compagna asscuratva ha presentato una nuova polzza asscuratva per la copertura d rscho d ncdent sul lavoro per la categora d opera metalmeccanc. La polzza ha le seguent caratterstche: premo annuo da corrspondere 9 e rsarcmento n caso d ncdente par a 1'. L anals de dat storc mostra che la probabltà d ncdent sul lavoro per tale categora d lavorator è par a.. Qual è l guadagno atteso n termn monetar che la compagna asscuratva s attende da un tale tpo d polzza? SVOLGIMENTO La dstrbuzone d probabltà può essere specfcato come d seguto: X P(X) 9.98-971. L asscurazone rceve nfatt un premo par a 9 e paga un premo par a 1 (da cu s deve detrarre l premo pagato). Il guadagno atteso relatvo alla polzza corrsponde al valore atteso della varable casuale sopra rportato ed è par a: E X = x p x = = 9.98 971. 9 1