PROBLEMI DI TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE 3 A cura di : Prof. Astarita Vittorio ing. Giofrè Vincenzo Pasquale Argomenti: Distribuzione di Poisson 26
3.1 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Il numero medio di telefonate ad un centralino è di 10 telefonate all ora. Calcolare la probabilità che in 15 minuti vi sia almeno una telefonata. 3.2 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Le telefonate ad un centralino arrivano al ritmo di una ogni 5 minuti (1/12 ora). Calcolare la probabilità che in 15 minuti vi sia almeno una telefonata. 27
3.3 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Le telefonate ad un centralino arrivano al ritmo di una ogni 10 minuti (1/6 ora). Calcolare la probabilità che in 10 minuti non vi sia nessuna telefonata. 3.4 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Il tempo medio di durata di una ruota di auto è pari a 5 anni. Calcolare la probabilità di dover cambiare una ruota ad un auto nel primo anno. La probabilità che non si guasti una ruota è: La probabilità che non se ne guastino quattro è: Che se ne guasti una è: 28
3.5 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Le telefonate ad un centralino arrivano al ritmo di una ogni 10 minuti (1/6 ora). Calcolare la probabilità che in 10 minuti vi siano più di due telefonate. La probabilità che non arrivino telefonate si calcola con Poisson: La probabilità che ne arrivi 1 e 2: La probabilità che ne arrivino più di 2: 3.6 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale negativa Le telefonate ad un centralino arrivano al ritmo di una ogni 10 minuti (1/6 ora). Calcolare la probabilità che in 5 minuti vi siano meno di tre telefonate. La probabilità che non arrivino telefonate o che ne arrivi 1 e 2, si calcolano con Poisson: La probabilità che ne arrivino meno di tre è uguale a quella da 0 a 2: 29
3.7 PROBLEMA Distribuzione Normale ed esponenziale negativa Sia X il tempo di partenza in minuti dopo le 11 nel quale un autobus lascia la fermata. Assumendo che la distribuzione del tempo di partenza sia approssimativamente una normale con media 15 e deviazione standard 4 minuti. a. se una persona arriva alla fermata alle ore 11.10, qual è la probabilità di aver perso l autobus? Utilizzando Microsoft Excel il risultato si ottiene come (esattamente= 0,10565) b. se una persona è disponibile a rischiare non più del 20% di probabilità di perdere l autobus qual è il tempo massimo di arrivo alla fermata? Utilizzando Microsoft Excel il risultato si ottiene come (esattamente= 11,63351) c. quando dovrebbe presentarsi alla stazione una persona per avere una probabilità del 50% di prendere l autobus? 30
Ricalcolare le risposte alle domande A,B e C per una distribuzione del tempo di partenza approssimativamente esponenziale negativa con media 15 minuti. a. se una persona arriva alla fermata alle ore 11.10, qual è la probabilità di aver perso l autobus? (esattamente=0,486582881) b. se una persona è disponibile a rischiare non più del 20% di probabilità di perdere l autobus qual è il tempo massimo di arrivo alla fermata? LOGn e λt ( ) = LOGn( 0,8) LOGn λt = LOGn( 0,8 ) > t = λ t = 15LOGn 0,8 = 3,34 ( ) (Cioè al tempo 11,00 + 3,34 minuti) ( 0,8) c. quando dovrebbe presentarsi alla stazione una persona per avere una probabilità del 50% di prendere l autobus? 31
LOGn e λt ( ) = LOGn( 0,5) LOGn λt = LOGn( 0,5 ) > t = λ t = 15LOGn 0,5 = 10,39 ( ) (Cioè al tempo 11,00 + 10,39 minuti) ( 0,5) 3.8 PROBLEMA esponenziale negativa (paradosso del bus) Un utente arriva alla fermata dell autobus ad un istante casuale nel tempo. Gli autobus arrivano alla fermata secondo un processo di Poisson e l intervallo medio fra due autobus è di 10 minuti. Qual è il tempo medio di attesa per il prossimo autobus? La risposta è 10 minuti. Supponendo di avere una rulet composta da celle di larghezza variabile che segue un processo di Poisson. Considerando la somma degli spazi S = e la larghezza media pari a E(x) = 2 cm, se lanciamo una pallina, sarà più probabile che cada in una cella grande che in una cella piccola, perché lo spazio è maggiore. 32
Cadendo nella cella, lo spazio fra la palla è il bordo della cella, sia da un lato che dall altro sarà 2 cm Perché se consideriamo la funzione con cui la palla attraversa gli spazi, essa sarà formata da tanti triangoli quante sono le celle. Con media Quindi si note che le celle più grandi contribuiscono di più di quelle piccole e al crescere di S -> si ha che: Quindi Per la distribuzione esponenziale si ha 33
Ottenendo quindi La cella è quindi grande il doppio della media delle celle, ovvero 4 cm. Oppure possiamo considerare che la probabilità che venga scelto un intervallo sia: Dove la funzione f(t) è la funzione esponenziale negativa e: Per ricavare la costante c integriamo: Presentandoci quindi a caso alla fermata del bus la funzione di distribuzione degli intervalli, per t > 0, sarà: La media del singolo intervallo è quindi: Mentre degli intervalli, ovvero di g(t) sarà: 34
Che si risolve per parti come: 35