Stabilità delle opere di sostegno Esercizio 1 Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura.

ESERCIZI DA ESAMI (1996-006) Stabilità delle opere di sostegno Esercizio 1 Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura. H A B α β dati: H = 5.00 m A = 1.60 m B =.50 m β = 15 terrapieno e terreno di fondazione: γ = 19.5 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 38 muro: γ m = 4 kn/m 3 δ = 6 (ang. d'attrito terreno muro) Soluzione Peso del muro: A x H x γ m = 19 kn/m A/ = 0.8 m (B-A) x (H/) x γ m = 54 kn/m A + (B-A)/3 = 1.90 m P m = 46 kn/m peso del muro X m = 1.04 m ascissa di applicazione del peso del muro dallo spigolo esterno Coefficiente di spinta attiva (secondo Coulomb): α = π -arctan[h/(b-a)] = 1.749 rad = 100. β = 15 = 0.6 rad φ' = 38 = 0.663 rad δ = 6 = 0.454 rad λ = α - π/ = 0.178 rad = 10. K A = cos λ cos ( λ + δ ) cos 1 + ( φ' λ) sen( δ + φ' ) sen( φ' β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) Spinta attiva: P A = (1/) K A γ H = 88.47 kn/m quota di applicazione di P A : H (P A ) = H/3 = 1.67 m ascissa di applicazione di P A : X (P A ) = A+(B-A) /3 =.0 m angolo di inclinazione di P A rispetto all'orizzontale: ε = λ + δ = 0.63 rad = 36.0397 componente verticale di P A : P AH = P A cosε = 71.39 kn/m componente orizzontale di P A : P AV = P A senε = 5.6 kn/m Verifica al ribaltamento: Momento stabilizzante rispetto allo spigolo esterno: M S = P m X m + P AV X(P A ) = 371.16 Momento ribaltante rispetto allo spigolo esterno: K A = 0.363 1

M R = P AH H(P A ) = 118.98 knm/m FS (ribaltamento) = M S / M R = 3.1 Verifica allo slittamento: Forza orizzontale massima resistente: T F = (P m + P AV ) tanδ = 145.47 kn/m Forza orizzontale spingente: T = P AH = 71.39 kn/m FS (slittamento) = T F / T =.04 Azioni risultanti trasmesse in fondazione: Q V = P m + P AV = 98.6 kn/m Q H = P AH = 71.39 kn/m e = B/ - (M S - M R )/Q V = 0.40 m La risultante è interna al nocciolo centrale d'inerzia. Q V Q H e p max = (Q V / B) (1+ 6e/B) = p min = (Q V / B) (1-6e/B) = 35.1 kpa 3.5 kpa p max B p min Verifica di capacità portante: B' = B - e = N N q γ = e = π tgϕ tg (45 + ( N 1) tg ϕ q ϕ ) 1.69 m N q = 48.9 N γ = 74.9 i γ = (1 - Q H /Q V ) 3 = 0.440 q lim = 0,5 γ B' N γ i γ = 543.5 kpa si trascura l'effetto stabilizzante del peso del terrapieno FS (capacità portante) = q lim B' / Q V = 3.08

Esercizio Viene costruito un rilevato di sabbia sostenuto da un muro a gravità. Il terreno di fondazione è argilla. I dati geometrici sono indicati in figura. A a sabbia di riporto: γ d = 16 kn/m 3 φ' = 36 sabbia argilla s c argilla satura: h valori riferiti al centro dello strato γ = 19 kn/m 3 γ s = 7 kn/m 3 B E C c = 0.38 d C s = 0.04 C D c v =.9E-07 m /s b σ' c = 37.5 kpa q u = 10 kpa s (m) = 3 a rottura in prova TxCID c (m) = 6 σ' 3 = 40 kpa a (m) = 1 σ' 1 = 140 kpa h (m) = 4 a rottura in prova TxCIU b (m) = σ 3 = 40 kpa d (m) = 1 σ 1 = 560 kpa u = 80 kpa sabbia muro: γ = 5 kn/m 3 acqua: γ w = 10 kn/m 3 a) determinare per lo strato di argilla satura: - l'indice dei vuoti - i parametri di resistenza al taglio a breve e a lungo termine b) nell'ipotesi che il riporto di sabbia trasmetta allo strato di argilla una pressione verticale uniforme dovuta al peso proprio, determinare: - lo stato di consolidazione dell'argilla alla messa in opera del riporto - il cedimento finale dello strato di argilla - il cedimento dopo un anno dalla messa in opera del riporto c) verificare la stabilità del muro a breve e a lungo termine rispetto a - capacità portante della fondazione - slittamento - ribaltamento (calcolare le spinte con il metodo di Rankine trascurando la spinta passiva sulla parete ED) d) calcolare il cedimento finale del muro nell'ipotesi che le sovrapressioni verticali dovute al peso del muro nello strato di argilla siano costanti e pari a quelle trasmesse dalla base CD dati: σ (µ) = 3.00 argilla satura: sabbia di riporto: c (m) = 6 valori riferiti al centro dello strato gd = 16 kn/m3 α (µ) = 1.00 g = 19 kn/m3 f' = 36 η (µ) = 4.00 gs = 7 kn/m3 b (m) =.00 Cc = 0.38 muro: d (m) = 1.000 Cs = 0.04 g = 5 kn/m3 cv =.9E-07 m/s acqua: 3

s'c = 37.5 kpa gw = 10 kn/m3 qu = 10 kpa a rottura in prova TxCIU a rottura in prova TxCID s3 = 40 kpa s'3 = 40 kpa s1 = 560 kpa s'1 = 140 kpa u = 80 kpa soluzione: a) e = 0.889 indice dei vuoti c u = 60 kpa resistenza al taglio a breve termine a rottura in termini di tensioni efficaci (kpa): σ' 3 σ' 1 u σ 3 σ 1 TxCID 40 140 0 40 140 TxCIU 160 480 80 40 560 da cui: Ka = 0.35941 φ' (rad) = 0.498673 = φ' ( ) = 8.57 resistenza al taglio a lungo termine c' (kpa) = 7.9 b) tensione verticale efficace a metà dello strato di argilla prima della messa in opera del riporto: σ' o = 7 kpa OCR = 1.39 grado di sovraconsolidazione σ = 48 kpa incremento di tensione dovuta al peso del riporto c (fin.) = 0.381 m cedimento finale dello strato di argilla Tv = 1.016 fattore tempo a 1 anno U (%) = 93 grado di consolidazione a 1 anno c (1 a) = 0.355 m cedimento dello strato di argilla a 1 anno c) tensioni orizzontali e spinte attive sul muro nella sabbia a breve e a lungo termine: Ka = 0.60 σ' h (A) = 0 kpa σ' h (B) = 1.46 kpa F 1 = 18.69 kn/m spinta attiva dovuta al riporto sabbioso d 1 =.00 m altezza di applicazione di F 1 rispetto alla base del muro nell'argilla a breve termine: σ h (B) = -7.00 kpa tensioni negative (di trazione), non se ne tiene conto nel calcolo σ h (C) = -53.00 kpa delle spinte sul muro nell'argilla a lungo termine: σ' h (B) = 7.53 kpa F = 7.53 kn/m σ' h (C) = 10.71 kpa d = 0.5 m F + F 3 = 9.1 kn/m F 3 = 1.59 kn/m d (F +F 3 ) = 0.471 m d 3 = 0.33 m Spinta attiva sul muro a breve termine: F = 18.69 kn/m Quota di applicazione rispetto alla base: d (F) =.00 m Spinta attiva sul muro a lungo termine: F = 7.81 kn/m Quota di applicazione rispetto alla base: d (F) = 1.50 m Peso del muro e ascissa di applicazione verso sinistra rispetto al punto D W = 16.5 kn/m W 1 = 100 kn/m x = 1.15 m x 1 = 1.5 m 4

e = 0.15 m W = 5 kn/m x = 0.5 m W 3 = 37.5 kn/m x 3 = 0.67 m Sottospinta idraulica (per il calcolo in termini di tensioni efficaci): U = -0 kn/m Risultanti delle azioni alla base del muro per le verifiche di stabilità: V H M e δ δ (kn/m) (kn/m) (knxm/m) (m) (rad) ( ) A breve termine 16.500 18.69 1.385 0.076 0.115 6.56 A lungo termine 14.500 7.810 16.679 0.117 0.193 11.043 verifica della capacità portante a breve termine B = 1.848 m q lim = 370 kpa c u = 60 kpa Q lim = 683 kn/m N c = 5.14 FS = 4. coefficiente di sicurezza s 0 c = 1 d 0 c = 1.17 i 0 c = 0.934 b 0 c = 1 g 0 c = 1 q = 19 kpa verifica della capacità portante a lungo termine B = 1.766 m q lim = 319 kpa c' = 7.9 kpa Q lim = 563 kn/m φ' = 0.499 rad FS = 4.0 coefficiente di sicurezza tan φ' = 0.545 Kp =.833 γ' = 9 kn/m 3 q' = 9 kpa N c = 6.954 N q = 15.679 N γ = 18.166 s c,q,γ = 1 i c = 0.553 i q = 0.581 i γ = 0.581 b c,q,γ = 1 g c,q,γ = 1 d c = 1.179 d q = 1.168 Verifica allo slittamento: H V tan φ c b T max FS (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) a breve termine 18.69 16.500 0 10 10 6.4 a lungo termine 7.810 14.500 0.545 15.84 93.45 3.36 5

Verifica al ribaltamento: M resist M ribalt FS (knxm/m) (knxm/m) a breve termine 187.5 37.38 5.0 a lungo termine 167.5 41.68 4.0 d) calcolo del cedimento del muro σ' = 6.5 kpa H = 5 m C c = 0.38 C s = 0.04 σ' c = 37.5 kpa e = 0.889 σ' o = 31.5 kpa H = 0.408 m Esercizio 3 In figura è rappresentata la sezione di un muro di sostegno a gravità. Il peso specifico del materiale costituente il muro è: γ cls = 3.5 kn/m 3 Il peso di volume del terreno di fondazione e a tergo del muro è: γ = 19 kn/m 3 I valori di progetto dei parametri di resistenza al taglio sono: c' = 0 kpa φ' = 36 L'angolo di attrito fra il muro e il terreno è: δ = 5 Verificare la stabilità del muro. a b c d e β = 0 B = 4 m β H = 7.5 m s = 1 m s1 = 0.5 m s = 0.5 m H a = 0.8 m b = 0.7 m c = 0.5 m s s1 Soluzione B s α = arctan[h / (d + e)] = β = δ = φ' = d = e = 1.310 rad 0.3491 rad 0.4363 rad 0.683 rad 1.75 m 0.5 m Pv Ka (Coulomb) = 0.4986 Pa Pa = 0.5 γ H Ka= 66.47 kn/m Ph = Pa cos(π/ - α + δ) = 04.33 kn/m Ph Pv = Pa sen(π/ - α + δ) = 171.04 kn/m 5 3 1 4 O α Si considerano i momenti rispetto allo spigolo anteriore della fondazione del muro, O: 6

Forza (kn/m) Braccio (m) Momento (kn m/m) 1 0,5 γ cls d (H - s) = 133.66 x.58 = 345.3 γ cls c (H - s) = 76.38 x 1.75 = 133.7 3 0,5 γ cls b (H - s) = 53.46 x 1.7 = 67.7 4 γ cls B s = 94.00 x.00 = 188.0 5-0,5 γ cls a s = -9.40 x 0.7 = -.5 Pv 171.0 x 3.33 = 570.1 Rv = 519.13 Mv = 130.7 Ph = Rh = 04.33.50 Mh = 510.8 ΣM = 791.45 Distanza della risultante da O: ΣM / Rv = 1.5 m Eccentricità della risultante: e = B/ - ΣM / Rv = 0.48 m Pressioni agli spigoli della base (metodo del trapezio): p max = Rv/B (1 + 6e/B) = kpa p min = Rv/B (1-6e/B) = 37 kpa Verifica al ribaltamento: FS = Mv / Mh =.549 Verifica alla traslazione: FS = Rv tanδ / Rh = 1.185 Verifica di capacità portante della fondazione con carico eccentrico ed inclinato: Q ult = B' (cn c i c + γdn q i q + 0,5 γ B' N γ i γ ) c = D = 0 B' = B - e = 3.05 m N q = tan (π/4 + φ'/) exp(π tanφ') = 37.75 N γ = (N q + 1) tanφ' = 56.311 inclinazione della risultante rispetto alla verticale: θ = arctan(rh/rv) = 0.375 rad i γ = (1 - θ/φ') = 0.163 Q ult = 0.5 γ B' N γ i γ = 808.57 kn/m FS = Q ult /R v = 1.558 Esercizio 4 Determinare la profondità di infissione corrispondente ad un fattore di sicurezza FS= applicato al coefficiente di spinta passiva, e la forza nei tiranti di ancoraggio del diaframma in c.a. rappresentato in figura. Il livello dell'acqua libera a valle coincide con il livello di falda a monte. H w acqua a tirante H terreno di riporto dati geometrici: H = 8 m a = 1.5 m i =.5 m i = interasse fra i tiranti H w = 3m d terreno naturale di fondazione dati geotecnici: terreno naturale di fondazione γ sat = 1 kn/m 3 c' = 10 kpa φ' = 7 terreno di riporto γ sat = 0 kn/m 3 sopra falda γ = 17 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 35 7

FS = Soluzione per il terreno di riporto: φ' = 35 = 0.6109 rad K A = 0.71 γ' = 10.19 kn/m 3 per il terreno naturale di fondazione: φ' = 7 = 0.471 rad K A = 0.376 K P =.663 γ' = 11.19 kn/m 3 Lo schema della distribuzione delle pressioni esercitate dal terreno è mostrato in figura. Le spinte dell'acqua si bilanciano (condizione idrostatica). a T 1 H H w 3 7 8 d 6 4 5 Forze (F), bracci (b) e momenti (M) rispetto al punto di ancoraggio, a metro lineare di struttura: 1 F1 = 0,5 x 0,71 x 17 x (8-3) = 57.585 kn/m b1 = (8-3) x /3-1,5 = 1.83 m M1 = F1 x b1 = 105.573 kn m/m F = 0,71 x 17 x (8-3) x 3 = 69.10 kn/m b = (8-3) x 3/ - 1,5 = 5 m M = F x b = 345.51 kn m/m 3 F3 = 0,5 x 0,71 x 10,19 x 3 = 1.430 kn/m b3 = 8-3/3-1,5 = 5.5 m M3 = F3 x b3 = 68.364 kn m/m 4 F4 = 0,376 x [17 x (8-3) + 10,19 x 3] x d = 43.403 d kn/m b4 = 8-1,5 + 0,5 x d = 6.5 + 0,5d m M4 = F4 x b4 = 8.118 d + 1.701 d kn m/m 5 F5 = 0,5 x 0,376 x 11,19 x d =.10 d kn/m b5 = 8-1,5 + /3 d = 6.5 + 0,667d m M5 = F5 x b5 = 13.661 d + 1.401 d 3 kn m/m 6 8

F6 = - x 10 x 0,376 0,5 x d = -1.560 d kn/m b6 = 8-1,5 + 0,5 d = 6.5 + 0,5d m M6 = F6 x b6 = -79.664 d -6.18 d kn m/m 7 F7 = -0,5 x 11,19 x (,663/) x d = -7.45 d kn/m b7 = 8-1,5 + /3 d = 6.5 + 0,667d m M7 = F7 x b7 = -48.435 d - -4.968 d 3 kn m/m 8 F8 = - x 10 x (,663/) 0,5 d = -3.078 d kn/m b8 = 8-1,5 + 0,5d = 6.5 + 0,5 d m M8 = F8 x b8 = -150.0061 d -11.539 d kn m/m Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio: ΣM = -3.567 d 3-30.740 d + 5.448 d + 519.450 = 0 da cui: d = 4.0 m F1 = 57.59 kn/m F = 69.10 kn/m F3 = 1.43 kn/m F4 = 174.69 kn/m F5 = 34.05 kn/m F6 = -49.33 kn/m F7 = -10.7 kn/m F8 = -9.89 kn/m ΣF = 88.95 kn/m Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣF + T = 0 da cui T = -88.95 kn/m La forza nei tiranti di ancoraggio vale: t = - T i =.38 kn Si prevede una profondità di infissione D = 1, d = 4.8 m Esercizio 5 Con riferimento al diaframma con un ordine di tiranti rappresentato in figura, utilizzando il metodo del supporto libero, determinare: a) la profondità minima di infissione D min, b) la forza F H a b F dati: Sabbia densa e ghiaia omogenea φ' = 37 γ = 19.6 kn/m 3 γ' = 9.68 kn/m 3 H w a = b = H w = 3 m 1 m 6m D FS = 1.5 da applicare a K p 9

Soluzione a b F A 1 Coefficienti di spinta: K a = 0.5 K p / FS =.68 H H w d p A d a R a D R p A 4 A 3 Metodo del supporto libero Risultanti del diagramma di pressione: A 1 = γ K a (a + b) / = 39.01768 A = γ K a (a + b) (H w + D) = 117.0531 + 19.50884 D A 3 = γ' K a (H w + D) / = 43.3131 + 14.43774 D + 1.03 D R a = A 1 + A + A 3 = 199.3839 + 33.94658 D + 1.03 D R p = A 4 = -γ' K p D / = -1.9801 D Quote di applicazione rispetto al punto di ancoraggio: d 1 = (b - a) / 3 = -0.33 d = b + (H w + D) / = 4 + 0.5 D d 3 = b + (H w + D) / 3 = 5 + 0.67 D d 4 = d p = b + H w + D / 3 = 7 + 0.67 D Momenti rispetto al punto di ancoraggio: A 1 d 1 = -13.00589 A d = 468.1 + 136.5619 D + 9.75441 D A 3 d 3 = 16.566 + 101.064 D + 15.64 D + 0.80 D 3 A 4 d 4 = -90.86144 D -8.653471 D 3 Σ(A i d i ) = 671.774 + 37.661 D + -65.47 D + -7.85 D 3 Σ(A i d i ) = 0 da cui: D min = 4.11 m R a = 359.07 kn / m R p = -18.87 kn / m F = 140.19 kn / m Esercizio 6 Eseguire le verifiche di stabilità al ribaltamento, allo slittamento e di capacità portante a breve termine in condizioni statiche e sismiche (con il metodo pseudostatico di normativa) del muro di sostegno a gravità indicato schematicamente in figura. Per la verifica allo slittamento si assuma che la resistenza al taglio tra fondazione e terreno sia dovuta solo ad aderenza e che c a = c u. Per il fattore di inclinazione del carico si assuma: i c = (1 - α/π) essendo α l'angolo di inclinazione del carico rispetto alla verticale (in radianti). Determinare la distribuzione delle tensioni normali alla base della fondazione nell'ipotesi di linearità (sezione non reagente a trazione). 10

y B x H sabbia di argilla satura muro: H = 3.5 m B = 1. m b = 1 m γχλσ = 4 kn/m3 sabbia di riporto: γ = 19.6 kn/m3 359.86 φ = 35 δ = (/3) φ (αττριτο µυρο τερρενο) argilla satura: cu = 100 kpa Coefficiente di intensità sismica: C = (S - ) / 100 = 0.07 grado di sismicità: S = 9 peso del muro: W = γ cls (B+b) H/ = 9.4 kn/m forza sismica d'inerzia: F i = C W = 6.468 kn/m posizione del baricentro: A (m ) x (m) y (m) Ax (m 3 ) Ay (m 3 ) triangolo: 0.350 0.133 1.167 0.047 0.408 rettangolo: 3.500 0.700 1.750.450 6.15 totale 3.850 0.648 1.697.497 6.533 = x w = y w b φ' = 0.6109 rad δ = (/3) φ' 0.407 rad y F i W x F P A = H θ = arctanc 0.0699 rad β = 0 rad i = 0 rad A = 0.9976 β' = β + θ = 0.0699 rad i' = i + θ = 0.0699 rad B Coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche: K A 0.44409 Coefficiente di spinta attiva in condizioni sismiche: K AE 0.86804 γ H / = 10.05 kn/m F' = 34.431 kn/m Spinta (kn/m) Quota di applicazione (m) condizioni statiche: P A = F = 9.341 H/3 = 1.167 condizioni sismiche: P AE = F s = 34.347 incremento sismico: F = 5.005 H/3 =.333 componente orizzontale di F: F h = F cos δ 6.94 kn/m componente verticale di F: F v = F sen δ 11.6 kn/m componente orizzontale di F: F h = F cos δ 4.596 kn/m componente verticale di F: F v = F sen δ 1.983 kn/m 11

Verifiche di stabilità 1a. Verifica al ribaltamento in condizioni statiche: Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W x w = 59.90 kn m/m Momento ribaltante della spinta attiva: Mr = F h H/3 - F v B = 17.486 kn m/m Coefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = 3.47 1b. Verifica al ribaltamento in condizioni sismiche: Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W x w = 59.90 kn m/m Momento ribaltante a) della forza d'inerzia del muro: Fi y w = 10.976 kn m/m b) della spinta attiva: F h H/3 - F v B = 17.486 kn m/m c) dell'incremento sismico della spint F h H/3 - F v B = 8.345 kn m/m complessivamente Mr 36.807 kn m/m Coefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = 1.68 a. Verifica allo slittamento in condizioni statiche: Forza resistente alla base del muro: c a B = c u B = 10 kn/m Forza instabilizzante (comp. orizz. spinta attivf h = 6.94 kn/m Coefficiente di sicurezza: FS = c u B / F h = 4.454 b. Verifica allo slittamento in condizioni sismiche: Forza resistente alla base del muro: c a B = c u B = 10 kn/m Forza instabilizzante forza d'inerzia del muro: Fi = 6.468 kn/m comp. orizz. della spinta attiva: F h = 6.94 kn/m comp. orizz. dell'incr. di spinta: F h = 4.596 kn/m complessivamente 38.006 kn/m Coefficiente di sicurezza: FS = c u B / ΣF h = 3.157 Azioni trasmesse in fondazione (carico inclinato ed eccentrico): e N R T B a) in condizioni statiche: Forza verticale: N = W + F v = 104.0 kn/m Forza orizzontale: T = F h = 6.94 kn/m Risultante: R = (N + T ) 0.5 = 107.454 kn/m Angolo di incl. di R rispetto alla verticale: α = arctan(t/n) = 0.53 rad Momento rispetto al centro della fondazione: M = W (x w - B/) + F v B/ - F h H/3 = -19.979 knm/m Eccentricità e = -M/N = 0.19 m b) in condizioni sismiche: Forza verticale: N = W + F v + F v = 106.004 kn/m Forza orizzontale: T = F i + F h + F h = 38.006 kn/m Risultante: R = (N + T ) 0.5 = 11.611 kn/m Angolo di incl. di R rispetto alla verticale: α = arctan(t/n) = 0.344 rad Momento rispetto al centro della fondazione: W (x w - B/) - F i y w + (F v + F v ) B/ - F h H/3 - F h H/3 = -40.48963 knm/m Eccentricità e = -M/N = 0.38 m 1

3. Verifiche di capacità portante a breve termine (condizioni non drenate) q lim = c u N c (1 - α/π) c u = 100 kpa B' = B - e N c = 5.14 Q lim = q lim B' B = 1. m FS = Q lim / N B/6 = 0. m 3a) cond. statiche 3b) cond. sismiche α (rad) 0.53 0.344 i c 0.703 0.610 N (kn/m) 104.0 106.0 e (m) 0.19 0.38 B' (m) 0.816 0.436 q lim (kpa) 361.6 313.5 Q lim (kn/m) 95.0 136.7 FS.836 1.90 4. Tensioni normali alla base della fondazione per e < B/6 sezione interamente compressa per e > B/6 sezione parzializzata σ max = N/B (1 + 6e/B) σ max = 4N/[3 (B - e)] σ min = N/B (1-6e/B) d = 3e - B/ N N e σ m B σ min σ max B d 4a) cond. statiche 4b) cond. sismiche B (m) 1. 1. N (kn/m) 104.0 106.0 e (m) 0.19 0.38 sez. parzializzata sez. parzializzata σ max (kpa) 170 34 σ min (kpa) 3 0 d (m) 0 0.546 Esercizio 7 Determinare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione. H β i dati: H = 6 m β = 0 i = 15 terreno sostenuto: γ = 18 kn/m 3 φ' = 30 δ = /3 φ' coefficienti sismici: k H = 0.1 k V = 0 13

Soluzione: θ = arctan(k H / (1 - k V )) = 0.0997 rad i = 0.618 rad φ' = 0.536 rad δ = /3 φ' = 0.3491 rad β = 0.3491 rad K A = 0.691 E A = 0,5 γ H K A = 03.81 kn/m Spinta attiva in condizioni statiche H A = H / 3 =.00 m Quota di applicazione di E A K AE = 0.800 E AE = 0,5 γ H (1-k V ) K AE = 59.84 kn/m Spinta attiva in condizioni sismiche E E = E AE - E A = 56.0 kn/m Incremento sismico della spinta H E = H / 3 = 4.00 m Quota di applicazione di E E H AE = (E A H A + E E H E ) / E AE =.43 m Quota di applicazione di E AE Esercizio 8 Verificare la stabilità del muro di sostegno indicato in figura. La falda freatica è a grande profondità. Nelle verifiche al ribaltamento e di capacità portante non si tenga conto della spinta passiva anteriore Nella verifica alla traslazione orizzontale si tenga conto della spinta passiva anteriore, e si assuma: aderenza base del muro - terreno: c a = (/3) c angolo d'attrito base del muro - terreno: δ = (/3) φ dati a = 0.7 m b = 0.7 m c =.6 m d = 1.5 m e = 0.5 m H 1 = 0.458 m = c tanβ H = 6 H 3 = 0.7 m β = 10 β = 0.175 rad γ 1 = 18 kn/m 3 φ 1 = 30 φ 1 = 0.54 rad c 1 = 0 kpa γ = 19 kn/m 3 φ = 0 φ = 0.349 rad c = 40 kpa γ cls = 4 kn/m 3 Soluzione H' = H 1 + H + H 3 = 7.158 m P a = 0,5 γ 1 H' K a K a cos β = cos β cos β + cos cos β cos β cos ϕ ϕ soluzione di Rankine 14

cos β = 0.985 cos φ 1 = 0.866 K a = 0.350 P a = 161. kn/m P v = P a sin β = 8.0 kn/m P h = P a cos β = 158.7 kn/m Verifica al ribaltamento (rispetto al punto C) zona area peso braccio momento n. (m ) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 3 7.00 1.15 8.80 0.6 14.40 0.83 1.00 3.8 67.0.00 134.40 4 15.6 80.80.70 758.16 5 0.596 10.73 3.13 33.61 P v = 8.0 4 111.97 ΣV = 473.1 ΣM = 113.94 = M S (momento stabilizzante) momento ribaltante: M R = P h H' / 3 = 378.79 kn m/m Fattore di sicurezza al ribaltamento: FS rib =.99 Verifica allo scorrimento c a = 6.7 kpa B = a + b + c = 4 m δ = 13.3 tan δ = 0.37 K p =.040 P p = 0,5 K p γ d + c K 0,5 p d = 15.0 kn/m Fattore di sicurezza allo scorrimento: FS sc = (ΣV tan δ + c a B + P p ) / P h =.73 Verifica di capacità portante eccentricità della risultante: E = B/ - (M S - M R ) / ΣV = 0.406 m la risultante cade entro il terzo medio, essendo 0.406 < B / 6 = 0.667 Le pressioni alle estremità della fondazione in campo elastico alla Winkler risultano: σ max = (ΣV / B) (1 + 6E / B) = 190.3 kpa σ min = (ΣV / B) (1-6E / B) = 46. kpa Fondazione superficiale con carico eccentrico ed inclinato: q LIM = 0,5 γ B' N γ i γ + c N c d c i c + q N q d q i q γ = γ = 19 kn/m 3 φ = φ = 0.349 rad c = c = 40 kpa B' = B - E = 3.19 m q = γ d = 8.5 kpa tan α = P h / ΣV = 0.336 α = 0.34 rad N γ = 5.386 soluzione di Vesic i γ = 0.005 N c = 14.835 i c = 0.630 d c = 1.188 N q = 6.399 i q = 0.630 d q = 1.148 q LIM = 577.3 kpa Q LIM = q LIM B' = 1840 kn / m Fattore di sicurezza per capacità portante: FS = Q LIM / ΣV = 3.89 Esercizio 9 In figura è rappresentato un tirante di ancoraggio di un opera di sostegno. Il terreno di fondazione è una ghiaia sabbiosa, avente φ' crit ( ) = 35 Si assuma che: - la rottura possa avvenire per scorrimento fra il bulbo di ancoraggio e il terreno circostante, - l'angolo di attrito fra bulbo e terreno sia pari all'angolo di resistenza al taglio critico del terreno, - la tensione efficace in ogni punto del terreno sia la stessa in tutte le direzioni. 15

Stimare la forza di trazione che produce la rottura per sfilamento dell'ancoraggio nelle ipotesi: a) di terreno secco avente γ d = 18 kn/m 3 b) di terreno saturo avente γ sat = 0 kn/m 3 e falda freatica a profondità z w = m a b L z w L a = m b = 3.5 m L = 8 m d = 0.15 m b d Soluzione: Superficie laterale del bulbo di ancoraggio: A = π d L = 3.77 m Profondità media del bulbo di ancoraggio: z = a + b + b/ = 7.5 m Coefficiente d'attrito bulbo-terreno f = tan φ' crit. = 0.700 a) Pressione efficace alla profondità media z σ' = γ d z = 130.5 kpa Tensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 91.4 kpa Forza di trazione che produce la rottura T = τ A = 344.5 kn b) Pressione efficace alla profondità media z σ' = γ sat z w + γ' (z-z w ) = 93.5 kpa Tensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 65.5 kpa Forza di trazione che produce la rottura T = τ A = 46.8 kn Esercizio 10 Con riferimento allo schema di figura determinare la profondità di infissione della paratia D 0. (Utilizzare il metodo semplificato all'equilibrio limite dividendo per F il coefficiente di spinta passiva e calcolare la profondità di infissione aumentando del 0% il valore minimo teorico). dati: h = 3 m z w = 4.5 m h F = coeff. di sicurezza z terreno omogeneo sabbia, con: γ = 17 kn/m 3 sopra falda D γ sat = 0 kn/m 3 0 sotto falda φ' = 36 Soluzione φ' = 36 = 0.68 rad K A = 0.60 K P / F = 1.96 γ' = γ sat - γ w = 10.193 kn/m 3 d = h + D 0 - z w incognita z w - h 4 1 z w triangolo 1 base = b 1 = γ z w K A = 19.861 d 6 5 3 R 16

altezza = h 1 = z w = 4.5 area = A 1 = b 1 h 1 / = 44.686 braccio = br 1 = d + h 1 / 3 = d + 1.5 1.500 rettangolo base = b = b 1 = 19.861 altezza = h = d / = 1 d = 0.000 area = A = b h 19.861 d = 0.000 braccio = br = d / = 0.5 d = 0.000 triangolo 3 base = b 3 = γ' d K A =.646 d = 0.000 altezza = h 3 = 1 d = 0.000 area = A 3 = b 3 h 3 / = 1.33 d = 0.000 braccio = br 3 = d / 3 = 0.333 d = 0.000 triangolo 4 base = b 4 = - γ (z w - h) K P / F = -49.11096 altezza = h 4 = z w - h = 1.5 area = A 4 = b 4 h 4 / = -36.833 braccio = br 4 = d + (z w - h) / 3 = d + 0.5 0.500 rettangolo 5 base = b 5 = b 4 = -49.11096 altezza = h 5 = d = 1 d = 0.000 area = A 5 = b 5 h 5-49.11096 d = 0.000 braccio = br 5 = d / = 0.5 d = 0.000 triangolo 6 base = b 6 = - γ' d K P / F = -19.631 d = 0.000 altezza = h 6 = 1 d = 0.000 area = A 6 = b 6 h 6 / = -9.815 d = 0.000 braccio = br 6 = d / 3 = 0.333 d = 0.000 Equazione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di estremità inferiore: ΣM i = ΣA i br i = 0 -.831 d 3-14.65 d + 7.853 d + 48.613 = 0 da cui risolvendo si ottiene: ΣM i = 0.000 per d = 1.784 m Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣA i + R = 0 da cui si ottiene: R = 71.360 kn/m Profondità di infissione: D 0 = 1, (z w - h + d) = 3.941 m Esercizio 11 Utilizzando il metodo del supporto libero, verificare la stabilità della palancola con un ordine di tiranti, schematicamente indicata in figura. Il livello della falda a valle è alla profondità dello scavo. dati q sabbia satura (anche sopra falda) γ = γ sat = 0 kn/m 3 H D t T Z w Z φ' = 38 Z w = 3m q = 0 kpa H = 5 m t = m D = 3.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 17

Soluzione φ' (rad) = 0.663 coefficiente di spinta passiva: K A = 0.38 coefficiente di spinta attiva: K P = 4.04 gradiente idraulico: i = h/ l = (H - Zw) / (D + H - Z w ) = 0. pressione neutra a contatto con la palancola: a monte (filtrazione discendente) a valle (filtrazione ascendente) prof. Z (m) u (kpa) prof. Z (m) u (kpa) 0 0 0 H 5 0 Zw 3 0 H + D 8.5 41.97 H + D 8.5 41.97 pressione verticale totale ed efficace a monte a valle prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) 0 0 0 0 H 5 0 0 Zw 3 80 80 H + D 8.5 70 8.04 H + D 8.5 190 148.04 pressione orizzontale efficace limite a monte (attiva) a valle (passiva) prof. Z (m) σ' ha (kpa) prof. Z (m) σ' hp (kpa) 0 0 4.76 H 5 0 Zw 3 19.03 H + D 8.5 117.85 H + D 8.5 35. Spinte e profondità di applicazione Spinta dell'acqua a monte: Spinta dell'acqua a valle: S w,m = 115.40 kn/m S w,v = 73.44 kn/m Z (S w,m ) = 6.67 m Z (S w,v ) = 7.33 m Spinta attiva a monte: Spinta passiva a monte: 1. dovuta al sovraccarico q S p = 06.4 S a,1 = 40.44 kn/m Z(S p ) = 7.33 Z(S a,1 ) = 4.5 m. dovuta al terreno sopra falda S a, = 1.41 kn/m Z(S a, ) = m 3. dovuta al terreno sotto falda (rettangolo) S a,3 = 78.50 kn/m Z(S a,3 ) = 5.75 m 4. dovuta al terreno sotto falda (triangolo) S a,4 = 44.51 kn/m Z(S a,4 ) = 6.67 m Momento, rispetto al punto di applicazione del tirante: - della spinta dovuta all'acqua a monte: M w,m = 538.55 knm/m - della spinta dovuta all'acqua a valle: M w,v = -391.67 knm/m - della spinta attiva a monte: 1. M 1 = 90.99 knm/m. M = 0.00 knm/m 3. M 3 = 94.38 knm/m 4. M 4 = 07.70 knm/m Somma ΣM = 739.95 knm/m - della spinta passiva a valle, interamente mobilitata: M p = -1099.95 knm/m 18

La stabilità è verificata con un coefficiente di sicurezza, applicato alla spinta passiva: FS = -M p / ΣM = 1.49 M p / FS = -739.95 knm/m La forza T nel tirante vale: 88.08 kn/m p h (kpa) -150-100 -50 0 50 100 0 1 3 Z (m) 4 5 6 7 8 9 Esercizio 1 Utilizzando lo schema di calcolo con estremo libero valutare la profondità di infissione, d, e il tiro nell'ancoraggio, T, per una palancola che sostiene H (m) = 7 di terreno incoerente asciutto aven φ ( ) = 30 γ (kn/m 3 ) = 18 L'ancoraggio è posto a 1 m da p.c. Si calcolino le spinte con il metodo di Rankine e si applichi un coefficiente di sicurezza = alla spinta passiva. dati: H (m) = 7 t (m) = 1 φ ( ) = 30 = rad. 0.53599 Ka = 0.333333 γ (kn/m 3 ) =18 Kp/F = 1.5 F = si risolvono le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione nelle incognite d e T d (m) T (kn/m) Sa (kn/m) Sp/F f(d) 4.81 106.091 418.483 31.3374 0.411313 Esercizio 13 E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 10 kn/m 3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C, D. Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresenta da una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, dete b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico, d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma. 19

H D D s A B z w a q sabbia fine limo sabbioso dati: H (m) = 5 D (m) = 7 s (m) = 0.8 q (kpa) = 10 zw (m) = a (m) = 4 δ = φ / angolo d'attrito terra-m strato 1) sabbia fine: γ1 (κν/µ3) = 19 φ 1 ( ) = 38 k1 (m/s) = 0.004 C C1 strato ) limo sabbioso: γ (κν/µ3) = 0 φ ( ) = 34 coefficiente di permeabilità in direzione verticale kv (m/s) = 5.00E-06 coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale kh (m/s) = 1.50E-05 Soluzione a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C, D. coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) h i (m) 1 A-B 4.0E-03 500 0.000 B-C1 8 5.0E-06 1600000 1.57 3 C1-C 0.8 1.5E-05 53333.33 0.05 4 C-D 7 5.0E-06 1400000 1.375 Σ i = 17.8 3053833 3 k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-06 carico idraulico in A: h A (m) = 10 h i = v d i /k i carico idraulico in D: h D (m) = 7 perdita di carico tra A e D: h = (h A - h D ) = 3m lunghezza di filtrazione tra A e D: L = Σd i = 17.8 m gradiente idraulico tra A e D: i = h/l = 0.168539 velocità di filtrazione tra A e D: v = k m i = 9.8E-07 m/s h = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kpa) h = carico idraulico A 10 10.000 0.000 0.00 z = altezza geometrica B 8 10.000.000 0.00 u/γ w = altezza di pressione C1 0 8.48 8.48 84.8 C 0 8.375 8.375 83.75 D 7 7.000 0.000 0.00 b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u φ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' v strato 1 0.663 0.33 0.17 9.639 a monte K = K A strato 0.593 0.97 0.56 6.767 a valle K = K P / F 0

punto z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ' hp (kpa) O 1 10 0.00 10.00.17 A 10 48 0.00 48.00 10.4 B (str. 1) 8 86 0.00 66.00 14.33 B (str. ) 8 86 0.00 66.00 16.93 C1 0 46 84.8 161.7 41.47 C 0 140 83.75 56.5 380.65 D 7 0 0.00 0.00 0.00 O A B z w a H 1 5 6 7 8 D C C1 D 3 4 pressioni neutre z 9 10 11 pressioni orizzontali efficaci R Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 triang. 0.00 0.00 8.67 173.9 rettang. 0.00 8 159.96 4.00 639.84 3 triang. 64.8 8 57.13.67 685.68 4 triang. -83.75 7-93.14.33-683.98 5 rettang..17 1 6.06 6.00 156.36 6 triang. 8.5 8.5 10.67 88.03 7 rettang. 8.5 16.51 9.00 148.55 8 triang. 3.91 3.91 8.67 33.89 9 rettang. 14.75 8 118.04 4.00 47.14 10 triang. 4.55 8 98.18.67 61.8 11 triang. -380.65/F 7-133.6/F.33-3108.61/F -380.65-133.6 Forza R R 0-3108.607 Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: 1975.61-3108.61/F =0 da cui: F = 1.57 11 triang. -41.91 7-846.69.33-1975.61 ΣM = Equilibrio alla traslazione orizzontale: -431.7967 + R = 0 0 da cui: R = 431.80 kn/m ΣH = 0 c) le pressioni orizzontali sul diaframma punto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kpa) t (kn/m) m (knm/m) O 1 0.00 0.00 0.00.17.17 0.00 A 10 0.00 0.00 0.00 10.4 10.4 1.60 B (str. 1) 8 0.00 0.00 0.00 14.33 34.33 57.35 B (str. ) 8 0.00 0.00 0.00 16.93 36.9 57.35 D 7 0.00 8.03 0.00 19.99 48.0 99.8 C 0-83.75 84.8-41.91 41.47-199.9-431.80 1

z (m) 1 10 8 6 4 d) i valori massimi di taglio e momento flettente. il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero: 1) in prossimità del piede del diaframma: z (m) = 0 t = R (kn/m) = -431.80 ) nel tratto infisso C-D alla quota: z (m) = 5.64 t (kn/m) = 13.38 il momento massimo è alla sezione di taglio zero: z si determina risolvendo l'equazione: a z + b z + c = 0 a = 199.9 b = -56.708 c = da cui: 4874.4 z (m) =.91 t (kn/m) = 0 p h (kpa) = -96.84 m = 555.55 knm/m 0-300 -00-100 0 100 p h (kpa) Esercizio 14 Determinare con metodo all'equilibrio limite semplificato la profondità di infissione della palancola a sbalzo in terreno limo - sabbioso sopra falda indicata in figura. q dati h D 0 γ, φ' Z q = 10 kpa h = 5 m γ = 0 kn/m 3 φ' = 35 F = F = fattore di sicurezza da applicare al coefficiente di spinta passiva Soluzione φ' = 35 = 0.6109 rad con la teoria di Rankine: Ka = 0.71 Kp = 3.690 Kp,r = Kp / F = 1.845 pressione attiva a monte: p a,m = (q + γ Z) Ka = q Ka + γ Ka Z =.710 + 5.40 Z kpa pressione passiva ridotta a valle: p pr,v = γ (Z - h) Kp,r = - γ h Kp,r + γ Kp,r Z = -184.509 + 36.90 Z kpa

Schema di calcolo h 1 Z d 3 R d.710 d area 1 forma: rettang. base:.710 altezza: 5 + d = 11.1 area: 13.550 +.710 d = 30.1378 momento: 33.874 + 13.550 d + 1.355 d = 167.5309 area forma: triang. base: 7.099 + 5.40 d = 60.6556 altezza: 5 + d = 11.1 area: 67.748 + 7.099 + = 335.0619 momento: 11.913 + 67.748 d + 13.550 d + + 0.903 d 3 = 141.908 area 3 forma: triang. base: -36.9017 d = -5.806 altezza: d = 6.1 area: -18.45086 d = -690.9563 momento: -6.15087 d 3 = -1409.439 Equilibrio alla rotazione alla profondità di R ΣM = 146.786 + 81.97 d + 14.904 d + -5.47 d 3 = 0 ΣM = 0.00 per d = 6.1 m Equilibrio alla traslazione ΣH = -35.8 + R = 0 R = 35.8 kn/m Profondità di infissione: D 0 = 1. d = 7.3 m 3