Appunti di Calcolo finanziario Mauro Pagliacci c Draft date 26 febbraio 2015
Premessa In questo fascicolo sono riportati gli appunti dalle lezioni del corso di Elaborazioni automatica dei dati per le applicazioni economiche e finanziarie tenute per il corso di laurea in Economia e gestione dei servizi turistici (prima parte: Calcolo finanziario) negli anni accaddemici 2007-2008 e 2008-2009. Per la comprensione completa di questi appunti, bisogna usare il file Excel CalcoloFinanziario.xls, disponibile nel sito del corso http://www.ec.unipg.it/defs/ead.html nella sezione File di lavoro, File Excel per il Calcolo finanziario 2007-2008. L obiettivo è quello di fornire gli strumenti necessari per comprendere i fondamenti teorici e risolvere concretamente i problemi che si presentano nella gestione di una azienda legati alle più semplici operazioni finanziarie. L approccio al calcolo finanziario è sostanzialmente di tipo operativo, partendo da esempi concreti e sviluppando la teoria in modo da avere a disposizione lo strumento necessario per risolvere il problema. Un ringraziamento particolare al prof. Walter Betori che, collaborando alla stesura di questi appunti, ne ha resa possibile la realizzazione. i
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Indice Premessa i 1 Le grandezze fondamentali del calcolo finanziario 1 1.1 Esempio introduttivo........................... 1 1.2 Le grandezze fondamentali........................ 2 1.3 Dal mercato alle convenzioni....................... 5 1.4 La legge degli interessi semplici (legge lineare)............. 7 1.5 Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare............... 10 1.6 La legge degli interessi composti (legge esponenziale)......... 12 1.7 Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale............ 16 1.8 Osservazioni sui fattori di sconto..................... 18 1.9 L intensità istantanea di interesse.................... 19 1.10 Tassi nominali............................... 22 1.11 Esercizi proposti............................. 24 2 Le operazioni finanziarie 27 2.1 Generalità................................. 27 2.2 Valore di una operazione finanziaria................... 29 2.3 Operazioni finanziarie eque........................ 36 2.4 Valutazione rispetto ad una struttura per scadenza.......... 37 2.5 Esercizi proposti............................. 38 3 Il tasso interno di rendimento 41 i
3.1 L equazione del tasso interno di rendimento.............. 41 3.2 Le funzioni di Excel TIR.COST e TIR.X................. 46 3.3 Esercizi proposti............................. 47 4 Le rendite 51 4.1 Generalità................................. 51 4.2 Rendita immedita, posticipata, temporanea e a rata costante..... 52 4.3 Rendita perpetua posticipata...................... 55 4.4 Rendita anticipata............................ 56 4.5 Rendita perpetua anticipata....................... 57 4.6 Rendita differita di m periodi...................... 58 4.7 Rendite frazionate............................ 60 4.8 Problemi inversi.............................. 60 4.9 Piani di ammortamento......................... 63 4.10 Esercizi proposti............................. 66
Capitolo 1 Le grandezze fondamentali del calcolo finanziario 1.1 Esempio introduttivo Tra i titoli più diffusi nel mercato obbligazionario italiano ci sono i Buoni ordinari del tesoro (BOT), che rappresentano un esempio di titolo a cedola nulla (TCN), detti anche, con terminologia anglosassone, zero coupon bond (ZCB). Tali titoli, prevedono il pagamento di una somma P (prezzo di emissione) al momento dell acquisto (t 0 ), essendo predeterminato il valore di rimborso R alla scadenza s. La quotazione dei BOT è data giornalmente, relativamente alle varie scadenze e rispetto ad un valore di rimborso assegnato R = 100. Consideriamo la quotazione che si trova nei quotidiani del 20 febbraio 2008 relativa ai BOT, riportata nella fig. 1.1 e, tra i titoli presenti, scegliamo quelli con scadenza, rispettivamente, 31.3.08, 30.5.08, 15.8.08 e 16.2.09. I dati relativi ai suddetti titoli si trovano nel file CalcoloFinanziario.xls (cartella BOT). Qui riporteremo soltanto i dati relativi al BOT con scadenza 30.5.08. Il giorno di valutazione dei titoli, trattati il 19.2.08, è di due giorni successivi a questa data; pertanto la valutazione deve essere fatta il 21.2.08. Per semplicità di notazione indichiamo t 0 = 0 l istante di valutazione, lasciando denotata con s la scadenza del titolo. La quotazione dei titoli presenti nel mercato obbligazionario italiano il 20.2.08, rappresenta, di fatto, una equivalenza tra importi monetari esigibili in tempi diversi. Per esempio, il BOT con scadenza 30.5.08, stabilisce che 100e esigibili il 30.5.08, sono equivalenti a 98,98e il 21.2.08. 1
2CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Figura 1.1: Quotazioni BOT del 20.2.08 Lo scopo di questa prima parte del corso è di introdurre le grandezze che servono per controllare l operazione finanziaria che consiste, per esempio, nell investire 98,98e con valuta il 21.2.08, per avere 100e il 30.5.08. Ovviamente la stessa operazione, dal punto di vista dell emittente (lo stato italiano) consiste nell indebitarsi per 98,98e il 21.2.08 per restituire 100e il 30.5.08. Indichiamo con W (t, s) il valore in t di un titolo che vale W (s, s) in s. Nel nostro esempio, ponendo t = 0, istante di acquisto del titolo e s = 99, tempo (in giorni) di rimborso, abbiamo: W (0, 99) = 98, 98 e W (99, 99) = 100. Quando non c è possibilità di confusione, se 0 t s, possiamo scrivere W (t, s) = W (t). Pertanto, nell esempio abbiamo W (0) = 98, 98 e W (99) = 100. Osserviamo che i valori di W (t) sono importi monetari e che W (t), al variare di t tra 0 e s, rappresenta come varia il valore del titolo dall acquisto alla scadenza. A posteriori è possibile descrivere esattamente tutti i valori assunti da W (t), in ogni istante di valutazione (per esempio ogni giorno). Tuttavia è comodo considerare W (t) come una funzione, definita nell intervallo [0, s], continua e monotona crescente. 1.2 Le grandezze fondamentali Si chiama interesse maturato tra 0 e s, e si indica con I(0, s), l incremento assoluto della funzione W (t) nell intervallo [0, s]; in altri termini: I(0, s) = W (s) W (0). Osserviamo che l interesse, essendo una differenza tra importi monetari, è un importo monetario.
1.2. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI 3 Esempio Relativamente al BOT di cui si è parlato nel paragrafo precedente, risulta che I(0, 99) = W (99) W (0) = 1, 02e. Allo stesso BOT faremo riferimento anche negli altri esempi di questo paragrafo. Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT si trova il valore di I(0, s) anche per gli altri titoli, insieme alle altre grandezze fondamentali di cui parleremo tra poco. L incremento assoluto della funzione W (t) non è però molto significativo. E interessante considerare l incremento relativo della funzione W (t) nell intervallo [0, s], che si chiama tasso d interesse (nell intervallo [0, s]) e che si indica con j(0, s). Risulta pertanto: j(0, s) = W (s) W (0) W (0) = I(0, s) W (0). E importante osservare che il tasso d interesse, essendo un rapporto tra due grandezze omogenee (importi monetari) è un numero, di solito espresso in forma percentuale. Esempio j(0, 99) = I(0,99) W (0) = 1,02 98,98 = 0, 01031 (1,031%). Analogamente al tasso di interesse, nell intervallo [0, s] si introduce il tasso di sconto d(0, s) come rapporto tra l interesse e il valore alla scadenza W (s), cioè: d(0, s) = W (s) W (0) W (s) = I(0, s) W (s). Anche il tasso di sconto, dal punto di vista dimensionale, è un numero Esempio d(0, 99) = I(0,99) = 1,02 W (99) 100 = 0, 0102 (1,02%). Molto importanti e significativi sono il fattore di sconto v(0, s) e il fattore montante m(0, s) definiti come: v(0, s) = W (0) W (s) ; W (s) m(0, s) = W (0). Esempio Relativamente al BOT con scadenza 30.5.08, possiamo scrivere v(0, s) = 98,98 100 = 0, 9898, m(0, s) = = 1, 0131. 100 98,98 Osserviamo che v(0, s) può essere considerato come il prezzo, al tempo 0, di un titolo a cedola nulla che vale 1e in s (titolo a cedola nulla unitario). Analogamente m(0, s) può essere considerato il prezzo in s di un titolo a cedola nulla che vale 1e in 0. Dalla definizione segue subito che:
4CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO v(0, s) = 1 1 ; m(0, s) = m(0, s) v(0, s). Le possibili relazioni tra le varie grandezze fondamentali fino ad ora considerate si possono sintetizzare nella seguente tabella, nella quale, all incrocio tra ogni riga e ogni colonna, si trova la relazione che esprime la grandezza indicata nella riga in funzione di quella indicata nella colonna. Per semplicità nella tabella sono stati omessi gli argomenti (0, s) di tutte le grandezze (j) (m) (d) (v) d j = j m 1 1 d 1 m = 1 + j m j 1+j d = 1 v = 1+j m 1 1 d 1 v v 1 v m d 1 v 1 m 1 d v Dimostriamo ora alcune delle relazioni sopra scritte. W (s) W (0) j(0, s) = W (0) j(0, s) = m(0, s) 1 = 1 W (s) W (0) d(0, s) = W (s) m(0, s) = 1 + j(0, s). 1 v(0, s) = 1 + j(0, s). v(0, s) = 1 d(0, s). 1 m(0, s) = 1 d(0, s). 1 v(0, s) j(0, s) = = v(0, s) 1 d(0, s) = 1 m(0, s) = W (s) 1 = m(0, s) 1. W (0) v(0, s) = 1 W (0) W (s) d(0, s) 1 d(0, s). = m(0, s) 1 m(0, s) 1 v(0, s) 1 =. v(0, s) = = 1 v(0, s). j(0, s) 1 + j(0, s). Le grandezze considerate fino ad ora non tengono conto della durata dell operazione finanziaria, quindi è difficile confrontarle fra di loro. Si definisce intensità di interesse γ(0, s) nell intervallo[0, s], il rapporto tra il tasso d interesse e l ampiezza dell intervallo, cioè:
1.3. DAL MERCATO ALLE CONVENZIONI 5 γ(0, s) = j(0, s) s (s al denominatore è l ampiezza dell intervallo [0, s]). Dal punto di vista dimensionale, poiché j(0, s) è un numero e al denominatore c è un tempo, l intensità di interesse è [tempo] 1. Analogamente si definisce l intensità di sconto β(0, s), tra 0 ed s, come il rapporto tra il tasso di sconto e l ampiezza dell intervallo temporale, β(0, s) = d(0, s). s Ovviamente anche β(0, s), dal punto di vista dimensionale è [tempo] 1. Esempio Relativamente al BOT con scadenza 30-5-2008, abbiamo: γ(0, 99) = β(0, 99) = j(0, 99) 99 d(0, 99) 99 = 0, 0001041gg 1, = 0, 0001030gg 1. Poichè γ(0, s) e β(0, s), dal punto di vista dimensionale, sono [tempo] 1, non possono essere espresse in forma percentuale e vengono rappresentate in [unità di misura del tempo] 1, quindi nell esempio in [giorni] 1. Osservazione Nel file di calcolo CalcoloFinanziario.xls le grandezze di γ(0, s) relative ai quattro BOT sono fra loro confrontabili. Stessa situazione per β(0, s) 1.3 Dal mercato alle convenzioni Nei due paragrafi precedenti abbiamo individuato le grandezze fondamentali del calcolo finanziario partendo da un esempio concreto (titoli del debito pubblico italiano). Quindi sostanzialmente abbiamo visto come alcune grandezze si possono leggere direttamente dal mercato. La situazione più in generale consiste nel vedere la funzione W (t), di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente, come la funzione che rappresenta il cambiamento di valore di un importo al variare del tempo, che stabilisce una legge di equivalenza intertemporale tra importi esigibili in tempi diversi.
6CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Considerando, ad esempio, il BOT con scadenza 30-5-2008, possiamo immaginare di costruire il grafico della funzione che rappresenta l evoluzione del prezzo del titolo al passare del tempo, indicando con W (t i ) il valore di mercato del titolo nel giorno t i, con i = 0, 1,..., n. A posteriori, quindi, potremmo rappresentare i valori della funzione : W (t 0 ), W (t 1 ),..., W (t n ). Ovviamente W (t 0 ) = 98, 98 e se t 0 = 0 è il prezzo di acquisto del titolo il 21-2-2008 e W (t n ) = 100 e è il valore di rimborso del titolo in data 30-5-2008. 98,98 100 t 0 n t Figura 1.2: BOT scad. 30.5.08 Tale ricostruzione a posteriori, effettivamente non serve a niente, ma fa capire la necessità di fare delle ipotesi sulla funzione W (t). Tali ipotesi permettono di confrontare operazioni finanziarie con scadenze diverse. Naturalmente, scrivere una possibile forma funzionale per la funzione W (t) deve essere motivato da una ben determinata convenzione contrattuale. Nella pratica due sono i tipi di contratto in uso: 1) La legge degli interessi semplici 2) La legge degli interessi composti Vedremo che applicare la prima convenzione significa ipotizzare che la funzione W (t) sia lineare, mentre applicare la seconda significa ipotizzare che la funzione W (t) sia esponenziale.
1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE) 7 1.4 La legge degli interessi semplici (legge lineare) Accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi semplici significa che, alla fine del primo periodo vengono calcolati gli interessi sul capitale iniziale, e così alla fine di ogni periodo successivo, senza calcolare gli interessi maturati nei periodi precedenti. Questa la situazione che il codice civile chiama calcolo degli interssi senza anatocismo. Vediamo ora come accettare un contratto di questo tipo sia equivalente ad ipotizzare che la funzione W (t) sia lineare, cioè espressa da un polinomio di primo grado in t. Supponiamo di disporre, al tempo 0, di un capitale iniziale W (0) e di stipulare un contratto che preveda la crescita del capitale iniziale secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo di interesse i. Osserviamo che l ipotesi ora fatta significa scegliere come unità di misura del tempo l anno. Alla fine del primo anno avremo a disposizione un importo Alla fine del secondo anno: W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i). W (2) = W (0) (1 + i) + i W (0) = W (0) + 2i W (0) = W (0) (1 + 2i). Alla fine dell n-esimo anno : W (n) = W (0) (1 + n i). Evidentemente la funzione W (t) così scritta è lineare rispetto a n. Se supponiamo che la variabile t sia continua, con t [0, m] (m quindi è la durata del contratto), la funzione W (t) = W (0)(1 + it), lineare rispetto a t, rappresenta come varia l importo W (t), al variare di t. Esempio Se W (0) = 100 e, i=2% e m= 6 anni, allora W (6) = 100(1 + 0, 02 6) = 112, 44 e. Osservazione La legge lineare ci consente di calcolare anche la somma maturata (montante) in frazioni di anno. Infatti se W (0) = 100 e, i=2%, m = 3 anni e 5 mesi, m = 3 + 5 = 41, pertanto W ( ) ( 41 12 12 12 = 100 1 + 0, 02 41 12) = 106, 83e. Nella legge lineare (1) W (t) = W (0)(1 + i t)
8CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO W(t) W(m) W(0) 0 m t sono presenti le grandezze: 1) W (0) : capitale iniziale; 2) i : tasso annuo di interesse; 3) t: durata del contratto; 4) W (t) : capitale maturato al tempo t. Figura 1.3: Capitalizzazione lineare Noi sappiamo determinare W (t) note le altre grandezze W (0), i e t. Tuttavia, in generale, dalla legge lineare è molto facile, note tre delle quattro grandezze W (0), i, t e W (t), determinare il valore della quarta. Infatti possiamo scrivere W (0) = W (t) 1 + it i = 1 t t = 1 i ( ) W (t) W (0) 1 ( ) W (t) W (0) 1 Esempi 1. Determinare W (0) sapendo che W (t) = 120e, i = 2%, t = 3 anni. Osserviamo che questo equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo impiegare oggi, secondo la legge degli interessi semplici al tasso del 2% annuo, per avere 120 e tra tre anni. W (0) = W (t) 1 + it = 120 1 + 0, 02 3 = 113, 2075e. 2. Determinare il tasso annuo i, noti W (0) = 100e, W (t) = 104, 25e, t = 2 anni e 3 mesi
1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE) 9 Questo significa trovare a quale tasso di interesse della legge lineare, investendo 100e per 2 anni e 3 mesi, si ottiene un montante di 104,25e, i = 1 t ( ) W (t) W (0) 1 = 12 ( ) 104, 25 1 = 0, 0188 (1, 88%). 27 100 3. Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e, i = 3, 2% e W (0) = 102e. In altri termini si tratta di determinare in quanto tempo un capitale di 102e disponibile in data odierna, se investito secondo un contratto che prevede la remunerazione degli interessi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo del 3, 2%, fornisce un montante di 106,3235e, t = 1 i ( ) W (t) W (0) 1 = 1 ( ) 106, 32 1 = 1, 3235 anni. 0, 032 102 Osservazione Il tempo è espresso in frazioni decimali di anno. esprimere la parte decimale in mesi e giorni dobbiamo scrivere 0, 3235 = 3235 mesi e 26 giorni. = x 10000 360 Se vogliamo, x = 116, 46, x = 3 mesi e 26 giorni. Quindi t = 1 anno, 3 Nota Ovviamente il modo più semplice per ottenere i risultati degli esempi 1.,2.,3. è il calcolo diretto come è stato appena svolto. Tuttavia gli esempi appena visti forniscono lo spunto per utilizzare per la prima volta il risolutore di Excel, applicandolo alla risoluzione di una equazione di primo grado. L idea di base del risolutore consiste nello scrivere una formula che contiene dati nel foglio elettronico. Poi cambiare i dati, come necessario dal problema e chiedere di modificare una casella (l obiettivo, cioè la soluzione da trovare), attribuendo un valore assegnato ad un altra variabile (quella data dalla formula). Supponiamo di voler risolvere gli esempi 1, 2 e 3 con tale procedura. In tutti i casi aprire il foglio LeggeLineare.xls nel file CalcoloFinanziario.xls. Il primo esempio del foglio contiene, nella casella B8, la formula di valutazione di (1). Per risolvere gli esempi 1.,2. e 3. con Excel, selezionare le celle (A-B-C,5-6-7-8) e ricopiarli. Esempio 1 Cambiare la durata t = 3 anni (il tasso d interesse è lo stesso). Nel menu strumenti selezionare Ricerca Obiettivo e nelle finestre che compaiono fare la seguente selezione: Imposta la cella cliccare sulla cella in cui riportato il valore W (t); Al valore mettere il valore di W (t) che si ha nel problema (120e );
10CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Cambiando la cella cliccare sulla cella in cui riportato il valore di W (0) Cliccare su Ok. Allora la cella in cui è scritto il valore di W (0) riporta la soluzione dell esempio 1: 113,2075e. Esempio 2 Riportare i valori di W (0) (100e ) e di t (2 anni e 3 mesi, cioè = 2 + 3 = 2, 25); 12 Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti; Imposta la cella Selezionare la cella valore di W (t); Al valore mettere il valore 104,25e ; Cambiando la cella selezionare cella valore di i; Cliccare su Ok. Si trova così il valore i = 0, 01888.... Esempio 3 Riportare i valori di W (0) (102e ) e di i (0,032); Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti; Imposta la cella Selezionare la cella valore di W (t); Al valore mettere il valore 106,32e ; Cambiando la cella selezionare cella valore di t; Cliccare su Ok. Si trova così il valore t = 1, 323529 anni. 1.5 Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare Supponiamo di avere 1e al tempo 0 e di impiegarlo secondo la legge lineare al tasso di interesse annuo i. Dopo un anno il montante sarà 1 + ie. Supponiamo di dividere l anno in n frazioni di anno di ampiezza pari a 1 -esimo di n anno. Sia ora i (n) il tasso di interesse della legge lineare su 1 -esimo di anno. Per esempio, n i (2) è tasso di interesse su 1 di anno, cioè un semestre, i 2 (12) è il tasso di interesse su 1 12 di anno, cioè un mese, etc. Disponendo sempre di un capitale iniziale unitario (1 e ), avremo questa situazione rispetto al montante maturato:
1.5. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE LINEARE 11 1 1+i (n) 1+2 i(n) 1+n i(n) 1+i 0 1 anno 0 1/n 2/n 3/n....... n/n frazioni di anno Figura 1.4: Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare tempo montante dopo 1 -esmo di n anno 1 + i (n) dopo 2 -esmi di anno 1 + 2 i n (n)...... dopo n-esmi di n anno (1 anno) 1 + n i (n) Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i (n) sono equivalenti, cioè producono lo stesso montante dopo un anno, se risulta 1 + i = 1 + n i (n). Tale uguaglianza fornisce le due semplici relazioni tra i e i (n) : i = n i (n), i (n) = i n. Esempio Il tasso annuo d interesse i del 6% è equivalente, se usiamo la convenzione lineare, al tasso semestrale i (2) = 3%, a quello bimestrale i (6) = 1%, a quello mensile i (12) = 0, 5%. Osservazione Importante. Se consideriamo il BOT con scadenza 30-5-2008, sappiamo che j(0, s) = 0, 01031 il tasso di interesse su 99 giorni, cioè su 99-365 esimi di anno. Pertanto possiamo determinare il tasso annuo i(0, s), equivalente, in capitalizzazione lineare, al tasso j(0, s). Risulta che:
12CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO i(0, s) = 1 99 365 j(0, s) = 365 99 0, 01031 = 0, 03799 (3, 8%). Il tasso i(0, s) si chiama tasso di interesse a pronti, su base annua, ipotizzando una sottostante legge lineare. Nel calcolo che abbiamo svolto abbiamo preso in considerazione l anno solare (365gg). Un altra possibile convenzione consiste nel prendere in esame l anno commerciale (360 gg). Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio GrandezzeFondamentali, troviamo calcolati, con entrambe le convenzioni, i tassi i(0, s), al variare di s, dove s una delle scadenze dei titoli esaminati. In generale l insieme {i(0, s) : s è una scadenza} si chiama struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti) in vigore al tempo s. La struttura per scadenza dei tassi di interesse fornisce una importantissima informazione sui mercati dei capitali. Nel nostro esempio introduttivo riusciamo a scrivere la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore il 19-2-2008 per scadenze entro l anno. Con informazioni più accurate è possibile determinare la struttura per scadenza dei tassi in vigore in un certo istante di valutazione fino a scadenze di 30 anni. 1.6 La legge degli interessi composti (legge esponenziale) In un contratto stipulato secondo la legge degli interessi composti, l interesse è calcolato, alla fine di ogni periodo, sulla somma tra il capitale e l interesse già maturato alla fine del periodo precedente. Nella terminologia giuridica è l interesse con anatocismo. Vedremo che accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi composti equivale ad ipotizzare che il denaro cresca secondo una funzione W (t), esponenziale rispetto a t. Sia W (0) il capitale iniziale, i il tasso annuo di interesse, m la durata del contratto, misurata in anni. La dinamica di evoluzione del capitale è la seguente.
1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)13 t = 0, W (0), t = 1, W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i), t = 2, W (2) = W (0)(1 + i) + i W (0)(1 + i) = W (0) (1 + i) 2, t = 3, W (3) = W (0)(1 + i) 2 + i W (0)(1 + i) 2 = W (0) (1 + i) 3,... t = k, W (k) = W (0)(1 + i) k 1 + i W (0)(1 + i) k 1 = W (0) (1 + i) k,... t = m, W (m) = W (0) (1 + i) m. Analogamente a quanto visto nel caso della legge degli interessi semplici, se supponiamo che la variabile t [0, m] sia continua, la funzione (2) W (t) = W (0) (1 + i) t, esponenziale rispetto a t, rappresenta come varia l importo W (t), al variare di t. Poichè i > 0, 1 + i > 1, la funzione esponenziale con base 1 + i è strettamente monotona crescente. W(t) W(2) W(1) W(0) 0 1 2 t Figura 1.5: Legge degli interessi in capitalizzazione composta Esempio Prendendo gli stessi valori già usati nel caso della legge lineare, W (0) = 100e, i = 0, 02 (tasso annuo), m = 6 anni, abbiamo: W (6) = W (0) (1 + i) 6 = 100 (1 + 0, 02) 6 = 112, 616e.
14CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Analogamente alla legge lineare, anche nel caso della legge esponenziale è facile, dalla relazione (2), ricavare - W (0) in funzione di W (t), i e t, - i in funzione di W (t), W (0) e t, - t in funzione di W (t), i e W (0). Infatti da (2) segue subito che W (0) = che fornisce W (0) in funzione di W (t), i e t. Inoltre, sempre da (2) è immediato scrivere: da cui: W (t) (1 + i) t, (3) (1 + i) t = W (t) W (0), cioè: (1 + i) = ( ) 1 W (t) t, W (0) i = ( ) 1 W (t) t W (0) 1, che fornisce i in funzione di W (t), W (0) e t. Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri della (3) otteniamo da cui Poiché da ciò segue che: ln(1 + i) t = ln W (t) W (0), t ln(1 + i) = ln W (t) W (0).
1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)15 t = ln W (t) W (0) ln(1 + i), è risolto anche il problema di determinare t in funzione di W (t), i e W (0). Esempi Riproponiamo gli stessi esempi del paragrafo 4., ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 1. Determinare W (0), sapendo che: W (t) = 120e, i = 0, 02, t = 3 anni. Questo equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo impiegare oggi, secondo la legge degli interessi composti al 2% annuo, per avere 120e tra 3 anni. W (0) = W (t) (1 + i) = 120 = 113, 0784e. 3 (1 + 0, 02) 3 2. Determinare i, sapendo che: W (t) = 104, 25e, W (0) = 100e, t = 2 anni e 3 mesi. i = ( ) 1 W (t) t W (0) ( 104, 25 1 = 100 ) 12 27 1 = 0, 01867 (annuo) (1, 867%). 3. Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e, W (0) = 102e, i = 3, 2%. Si tratta di calcolare in quanto tempo un capitale di 102 e, disponibile in data odierna, se investito secondo un contratto che prevede la legge degli interessi composti al tasso annuo del 3, 2%, fornisce un montante di 106,32e. t = ln W (t) W (0) ln(1 + i) 106,32 ln 102 = ln(1, 032 = 1, 3169 anni. Esprimendo il tempo in frazione di anno, poichè 0.3169 anni corrispondono a 114 giorni, cioè a 3 mesi e 24 giorni risulta che t è uguale a 1 anno, 3 mesi e 24 giorni. Nota La stessa procedura utilizzata con RicercaObiettivo di Excel per trovare le grandezze nel caso della legge lineare, può essere usata anche nel caso della legge esponenziale. Ovviamente la formula da usare è (2) al posto di (1). Si veda il file CalcoloFinanziario.xls, foglio LeggeEsponenziale.
16CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO 1.7 Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale Utilizzando lo stesso procedimento del paragrafo 5, supponiamo di disporre di 1e al tempo 0 e di impiegarlo, secondo la legge esponenziale, al tasso annuo di interesse i. Dopo 1 anno il montante di 1e è 1 + i e. Sia i (n) il tasso di interesse della legge esponenziale su 1 -esimo di anno. n Disponendo di 1 e, al variare del tempo, avremo la seguente situazione rispetto al montante maturato: tempo montante dopo 1 -esmo di n anno 1 + i (n) dopo 2 -esmi di anno (1 + i n (n)) 2...... dopo n-esmi di n anno (1 anno) (1 + i (n)) n 2 1 1+i(n) (1+i(n)) n 1+i (1+ i(n)) 0 1 anni 0 1/n 2/n n/n frazioni di anno Figura 1.6: Tassi equivalenti in capitalizzazione composta Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i (n) sono equivalenti, cioè producono lo stesso montante dopo un anno se Dalla (4) segue che : (4) (1 + i) = (1 + i (n) ) n. (5) i = (1 + i (n) ) n 1.
1.7. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE 17 Inoltre, elevando a 1 n entrambi i membri di (4), si ha (1 + i) 1 n = 1 + i(n), da cui (6) i (n) = (1 + i) 1 n 1. La (5) fornisce il tasso annuo, noto quello periodale e, viceversa, la (6) fornisce quello periodale, noto quello annuo. Osserviamo che le relazioni (5) e (6) sono diverse dalla relazioni tra i e i (n) trovate nel paragrafo 5. Esempi Negli esempi che seguono troveremo il tasso equivalente a quello assegnato ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 1. Trovare il tasso annuo equivalente al tasso mensile i (12) = 0, 2%. Applicando la (5), con n = 12, otteniamo: i = (1 + i (12) ) 12 1 = (1 + 0, 002) 12 1 = 0, 024266 (2, 43%). Osserviamo che se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare avremmo ottenuto, i lin = 12 0, 002 = 0, 024 (2, 4%). 2. Trovare il tasso trimestrale i (4) equivalente al tasso annuo i = 4%. Applicando la (6), con n = 4, otteniamo: i (4) = (1 + i) 1 4 1 = (1 + 0, 04) 1 4 1 = 0, 009853 (0, 9853%). Se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare, sarebbe stato i (4) lin = i 4 = 0, 04 4 = 0, 01 (1%). 3. Consideriamo il BOT con scadenza 30-5-2008. Siamo interessati a trovare il tasso annuo equivalente al tasso periodale j(0, 99) = 0, 010314 su 99 giorni, ipotizzando una sottostante legge esponenziale. Osserviamo che j(0, 99) è il tasso su 99 -esimi di anno (facendo riferimento all anno 365 solare), pertanto possiamo scrivere che il tasso i(0, 99) su base annua che stiamo cercando è :
18CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO i(0, 99) = (1 + j(0, 99)) 365 99 1 = (1 + 0, 1031) 365 99 1 = 0, 038541165 (3, 85%). Ripetendo la stessa procedura per gli altri BOT visti nel paragrafo 1, troviamo la struttura per scadenza dei tassi (a pronti) ipotizzando una sottostante legge esponenziale: {i(0, s) : s {39, 99, 179, 361}}, che è riportata nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT. 1.8 Osservazioni sui fattori di sconto Il caso della legge esponenziale Abbiamo visto che il valore al tempo t di un importo W (t) disponibile al tempo 0, se ipotizziamo una sottostante legge esponenziale, è dato da W (t) = W (0) (1 + i) t, (0 t s). Pertanto, Ricordando che risulta: W (t) W (0) = (1 + i)t. W (t) W (0) = m(0, t), m(0, t) = (1 + i) t e v(0, t) = 1 m(0, t) = (1 + i) t. Quindi la relazione già vista nel paragrafo 1.6 (Problemi inversi) i = ( ) 1 W (t) t 1, W (0) fornisce il tasso di interesse su base annua (se il tempo è misurato in anni), noto il fattore montante (oppure il fattore di sconto). Risulta infatti:
1.9. L INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE 19 i = i(0, t) = m(0, t) 1 t 1 = v(0, t) 1 t 1. Notiamo che i(0, t) fornisce, al variare di t, la struttura per scadenza dei tassi di interesse, su base annua, ipotizzando una sottostante legge esponenziale. Esempio Considerando il BOT con scadenza 30-5-2008, Pertanto v(0, 99) = 98, 98 100 99 = 0, 9898, t = 99 gg = -esimi di anno. 365 i(0, 99) = v(0, 99) 1 99 365 1 = (0, 9898) 365 99 1 = 0, 03852 (3, 85%). Il caso della legge lineare Nel caso di una sottostante legge lineare, sappiamo che W (t) = W (0) (1 + i t), da cui: e W (t) W (0) = 1 + i t = m(0, t) Possiamo pertanto scrivere v(0, t) = 1 m(0, t) = (1 + i t) 1. i t = m(0, t) 1 = 1 v(0, t) 1, da cui i = 1 t (m(0, t) 1) = 1 t 1 v(0, t). v(0, t) 1.9 L intensità istantanea di interesse Abbiamo definito l intensità di interesse γ(0, s) tra 0 ed s come
20CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO γ(0, s) = W (s) W (0). s W (0) Il problema che ci poniamo ora è quello di vedere che cosa succede a γ(0, s), quando l ampiezza dell intervallo [0, s] tende a zero; vogliamo cioè calcolare il lim s 0 γ(0, s). Osserviamo che l analogo problema riferito al tasso di interesse j(0, s) tra 0 ed s fornisce come risultato 0. Infatti W (s) W (0) lim j(0, s) = lim s 0 s 0 W (0) = 0, se supponiamo, come è ragionevole, che la funzione W (t) sia continua. Calcoliamo allora il W (s) W (0) lim γ(0, s) = lim s 0 s 0 s W (0) Se la funzione W (t) è derivabile in 0, abbiamo che e quindi W (s) W (0) lim s 0 s = W (0) lim γ(0, s) = W (0) s 0 W (0). L ultima relazione caratterizza l intensità istantanea di interesse nel punto 0. Più in generale, consideriamo ora una operazione finanziaria che avviene nell intervallo temporale [t, t + τ], dove t è l istante di valutazione (fino ad ora abbiamo considerato t = 0) e τ è un incremento temporale positivo (fino ad ora, τ = s). Analogamente a quanto definito nei paragrafi precedenti, possiamo considerare j(t, t + τ) = W (t + τ) W (t) W (t), γ(t, t + τ) = W (t + τ) W (t). τ W (t) In modo simile possiamo anche definire d(t, t + τ), β(t, t + τ), etc. Se W (t) è derivabile, allora l intensità istantanea di interesse δ(t) è definita come
1.9. L INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE 21 δ(t) = lim τ 0 γ(t, t + τ) = lim τ 0 W (t + τ) W (t) τ W (t) Osserviamo che δ(t) = W (t) W (t) = d ln W (t). dt Quindi, in generale, δ(t) è una funzione di t. = 1 W (t) lim W (t + τ) W (t) τ 0 τ = W (t) W (t). Nel caso della legge esponenziale è facile provare che la funzione δ(t) è costante. Infatti si ha: δ(t) = W (t) W (t) = W (0) (1 + i)t ln(1 + i) W (0) (1 + i) t Poichè (1 + i) non dipende da t, = ln(1 + i). cioè δ è costante. δ(t) = δ = ln(1 + i), Esempio Se i = 0, 03 (3%) è su base annua, allora l intensità istantanea di interesse δ è: δ = ln(1 + i) = ln(1, 03) = 0, 0299588 anni 1 Osserviamo che poiché δ = ln(1 + i), si può scrivere e δ = 1 + i. Pertanto la legge esponenziale si può esprimere anche attraverso l intensità istantanea di interesse δ nel seguente modo W (t) = W (0) (1 + i) t = W (0) ( e δ) t = W (0) e δ t. Vediamo ora una semplice relazione riguardante le intensità equivalenti su basi periodali diverse.
22CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Sappiamo che se i (n) è il tasso periodale (su 1 - esimo di anno) equivalente al tasso n annuo i, ipotizzando una sottostante legge esponenziale, vale la relazione 1 + i = (1 + i (n) ) n. Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri, possiamo scrivere: ln(1 + i) = ln(1 + i (n) ) n = n ln(1 + i (n) ). Indicando con δ (n) l intensità istantanea di interesse (della legge esponenziale) su -esimo di anno, abbiamo provato che 1 n e quindi δ = n δ (n) δ (n) = δ n. Esempio Se δ = 0, 02 anni 1, allora δ (2) = δ 2 = 0, 01 anni 1. 1.10 Tassi nominali Si chiama tasso nominale rinnovabile n volte all anno, j nom (n), il prodotto tra il tasso periodale i (n) su 1 -esimo di anno ed n. n Quindi: j nom (n) = n i (n). Esempi 1. Se i (12) = 0, 005 (0, 5%), il tasso nominale annuo corrispondente al tasso mensile dello 0, 5% è dato da: j nom (12) = n i (12) = 12 0, 005 = 0, 06 (6%). 2. Il tasso nominale annuo corrispondente al tasso trimestrale dell 1% è j nom (4) = n i (4) = 4 0, 01 = 0, 04 (4%).
1.10. TASSI NOMINALI 23 Osserviamo che il tasso annuo nominale, rinnovabile n volte l anno, è il tasso annuo equivalente al tasso periodale i (n), ipotizzando una sottostante legge lineare. Sappiamo che: j nom (n) = n i (n). Se scriviamo i (n) in funzione del tasso annuo della legge esponenziale i ad esso equivalente, otteniamo : j nom (n) = n i (n) = n [(1 + i) 1 n 1]. Poniamoci ora il problema di vedere che cosa succede a j nom (n), quando n diventa grande, noto il tasso di interesse su base annua della legge esponenziale. Questo significa prendere in esame il tasso nominale corrispondente ad un assegnato tasso su base annua i della legge esponenziale, suddividendo l anno in n parti e poi fare crescere n. Dal punto di vista numerico è molto importante seguire le linee del calcolo. Nel file CalcoloFinanziario.xls foglio TassiNominali, è riportato il calcolo di tassi nominali, rinnovabili, rispettivamente 2, 4, 12, 52, 365, 720, 2500, 25000 volte, corrispondenti al tasso annuo del 6%. Dal punto di vista analitico, si tratta di calcolare il lim j nom(n) = lim n i (n) = lim n [(1 + i) 1 n 1]. n n n Calcoliamo il limite, applicando il teorema de L Hospital alla funzione Si ha che: f(x) = x [(1 + i) 1 x 1]. lim x [(1 + i) 1 [(1 + i) 1 x 1] x 1] = lim x + x + 1 x perchè = ln(1 + i) lim x + (1 + i) 1 x (1 + i) 1 x ln(i + i) ( 1 ) x = lim 2 x + 1 = x 2 = ln(1 + i), lim (1 + i) 1 x = 1. x +
24CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Risulta pertanto che: lim j nom(n) = lim n [(1 + i) 1 n 1] = ln(1 + i) = δ, n n cioè lim n j nom (n) coincide proprio con l intensità istantanea di interesse δ. 1.11 Esercizi proposti 1. Nel mercato obbligazionario italiano del 20 aprile 2009 è presente un buono ordinaro del Tesoro (BOT) con le seguenti caratteristiche: prezzo di emissione 99,31e, durata 237 giorni, valore a scadenza 100e. Calcolare: 1a. l interesse; 1b. il tasso d interesse; 1c. il tasso di sconto; 1d. l intensità di interesse (in giorni 1 ); 1e. l intensità di sconto (in giorni 1 ). Ipotizzando una sottostante legge lineare e considerando l anno solare (365 gg), determinare: 1f. il tasso annuo d interesse; 1g. il tasso quadrimestrale d interesse; 1h. il tasso biennale d interesse. Ipotizzando una sottostante legge esponenziale e considerando l anno solare (365 gg), determinare: 1i. il tasso annuo d interesse; 1j. il tasso semestrale d interesse; 1k. il tasso quadrimestrale d interesse; 1l. il tasso triennale d interesse;
1.11. ESERCIZI PROPOSTI 25 1m. l intensità istantanea di interesse su base annua; 1n. l intensità istantanea di interesse su base semestrale. 2. Trovare in quanto tempo (espresso in anni, mesi, giorni) un capitale di 1000e fornisce un montante di 1095e se: 2a. impiegato secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo del 3%; 2b. impiegato secondo la legge degli interessi composti al tasso annuo del 3%. 3. Un capitale di 1000e fornisce in 3 anni un montante di 1060e. Determinare il tasso annuo di interesse: 3a. ipotizzando una sottostante legge lineare; 3b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 4. Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare il montante di un capitale di 1500e impiegato per 5 anni, 10 mesi e 27 giorni al tasso annuo d interesse del 2,4%. 5. Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare quale è il capitale che, impiegato per 175 giorni al tasso del 1,9%, fornisce un montante di 1234,26e. 6. Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare in quanto tempo 1500e forniscono il montante di 1621e, se impiegati al tasso del 4,3% annuo. 7. Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, calcolare il tasso di interesse su base annua rispetto al quale un capitale di 1000e fornisce un montante di 1095,32e in 3 anni. 8. Svolgere gli esercizi 4., 5., 6. e 7., ipotizzando che sia valida la legge degli interessi composti, invece che quella degli interessi semplici. 9. Determinare il tasso trimestrale di interesse e il tasso mensile di interesse equivalenti al tasso annuo del 4,3%: 9.a. ipotizzando una sottostante legge lineare;
26CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO 9.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 10. Determinare il tasso biennale di interesse equivalente al tasso annuo del 4,3%: 10.a. ipotizzando una sottostante legge lineare; 10.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 11. Determinare il tasso di interesse su 55/365 di anno equivalente al tasso annuo del 4,3%: 11.a. ipotizzando una sottostante legge lineare; 11.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 12. Determinare il valore W (0) in t = 0 di un contratto che in t = 120 giorni garantisce 100e in modo che il tasso di interesse relativo al periodo [0, 120] sia l 1,34%. Dopo aver determinato W (0), calcolare le quantità richieste nei punti da a. a n. dell esercizio 1. (salvo quanto è già noto in questo caso). 13. Determinare il pagamento W (150) che si deve prevedere in t = 150 giorni per un contratto finanziario che vale oggi (t = 0) 100e, in modo che il tasso di interesse relativo al periodo [0, 150] sia del 2,1%. Dopo aver determinato W (150), calcolare le quantità richieste nei punti da a. a n. dell esercizio 1. (salvo quanto è già noto in questo caso). 14. Calcolare in quanto tempo un capitale di 200e raddoppia se investito al tasso annuo d interesse del 9% in regime di capitalizzazione lineare. 15. Calcolare in quanto tempo un capitale di 200e raddoppia se investito al tasso annuo d interesse del 9% in regime di capitalizzazione esponenziale.
Capitolo 2 Le operazioni finanziarie 2.1 Generalità Una operazione finanziaria è una coppia di vettori (x, t), dove il vettore x = (x 1, x 2,..., x m ) rappresenta il flusso degli importi e t = (t 1, t 2,..., t m ) (con t 1 t 2 t m ) rappresenta i tempi t k di esigibilità, rispettivamente, degli importi x k (1 k m ). Gli importi x k possono essere positivi, nel caso che siano incassi per una delle parti tra cui avviene l operazione finanziaria, o negativi se invece rappresentano pagamenti. Ovviamente per la controparte gli importi sono di segno opposto. Esempio 1. L acquisto del BOT con scadenza 30-5-2008 può essere visto, dal punto di vista di chi acquista il titolo, come l operazione finanziaria (x, t) con x = ( 98.98, 100)e, t = (0, 99) giorni. Ovviamente, dal punto di vista della controparte, l operazione diventa: x = (98.98, 100)e, t = (0, 99) giorni. L operazione finanziaria è rappresentata nella Figura 2.1. Esempio 2. Possiamo considerare l operazione finanziaria (x, t) con x = ( 100, 2, 2, 2, 2, 2,..., 2, 102)e, t = (0, 1, 2, 3..., 9, 10) semestri, che può essere rappresentata come illustrato nella Figura 2.2. 27
28 CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE 100 0 99-98,98 Figura 2.1: BOT scad. 30-5-2008 102 2 2 2 2..... 0 1 2 3..... 9 10 sem -100 Figura 2.2:
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA. 29 Tale operazione finanziaria rappresenta l acquisto di un titolo obbligazionario, detto a cedola fissa (TCF), un esempio del quale, nel mercato obbligazionario italiano è il Buono Poliennale del Tesoro (BpT). In questo caso il titolo è emesso alla pari, perché il prezzo di acquisto (100e) è uguale a quello di rimborso (100e). Tra poco prenderemo in considerazione anche titoli emessi sotto la pari (prezzo di emissione minore di 100e) o sopra la pari (prezzo di emissione maggiore di 100e). Nel nostro caso la cedola semestrale è di 2e, quindi il tasso cedolare è del 2%, mentre il tasso annuo nominale è del 4% (2 0, 02 = 0, 04). 2.2 Valore di una operazione finanziaria. Il problema che ci poniamo ora è quello di valutare l opportunità di scambio tra l importo investito al tempo 0 ed il flusso residuo, dal tempo 1 in poi. Per capire bene la situazione, consideriamo il seguente esempio, cercando di valutare una operazione finanziaria rispetto ad una assegnata legge esponenziale. Esempio 1.Consideriamo l operazione finanziaria (x, t), con rappresentata nel seguente modo: x = (10, 12, 106)e, t = (1, 2, 3) anni, 106 10 12 0 1 2 3 Figura 2.3: Valutiamo (x, t) rispetto alla legge esponenziale con un tasso annuo d interesse i del 3%.
30 CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE Il valore in 0 si ottiene scontando ciascun importo per il tempo corrispondente e sommando i valori ottenuti. In particolare: - Il valore in 0 di 10 disponibili in t = 1 è 10 (1.03) 1 ; - Il valore in 0 di 12 disponibili in t = 2 è 12 (1.03) 2 ; - Il valore in 0 di 106 disponibili in t = 3 è 106 (1.03) 3. Pertanto, il valore in 0 dell operazione finanziaria è: 10 (1.03) 1 + 12 (1.03) 2 + 106 (1.03) 3 = 118, 02049e. Risulta pertanto equo scambiare 118,02049e oggi con il flusso residuo (10, 12, 106) e sullo scadenziario (1, 2, 3) anni, rispetto alla legge esponenziale con tasso annuo d interesse i del 3%. Consideriamo l operazione finanziaria (x, t ) con: x = ( 118.02, 10, 12, 106)e, t = (0, 1, 2, 3) anni Poichè il valore in 0 di (x, t) è 118, 02e il valore in 0 di (x, t ) è 0. Risulta pertanto equo, rispetto alla legge esponenziale con i = 0, 03, scambiare 118, 02 e in 0 con il flusso residuo. In generale, data l operazione finanziaria (x, t), con: x = (x 1, x 2,..., x m ), t = (t 1, t 2,..., t m ) tale che 0 t 1 t 2..., t m, chiamiamo valore al tempo 0 dell operazione finanziaria (x, t), rispetto ad una assegnata legge esponenziale con tasso di interesse i, il numero W (0, x) data da : W (0, x) = x 1 (1 + i) t 1 + x 2 (1 + i) t 2 + + x m (1 + i) tm = m x k (1 + i) t k. k=1 Osserviamo che ci deve essere coerenza tra la base temporale in cui si assegna il tasso e l unità di misura del tempi (per esempio, se il tempo è misurato in anni, il tasso i deve essere espresso su base annua, se il tempo è misurato in semestri, il tasso deve essere su base semestrale, etc.) Indicando con v il fattore di sconto, poichè v = (1 + i) 1, risulta che: W (0, x) = m x k v t k. k=1
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA. 31 Ricordiamo che, dati due vettori in R m, a = a 1 a 2 a 3... a m, b = si chiama prodotto interno (o prodotto scalare) tra i vettori a e b il numero: b 1 b 2 b 3... b m a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n = m a k b k. k=1 Da come abbiamo definito il valore W (0, x) in 0 dell operazione finanziaria (x, t), segue subito che W (0, x) può essere considerato come il prodotto scalare tra il vettore x degli importi e quello v dei fattori di sconto : x = x 1 x 2 x 3... x m, v = Esempio 2. Consideriamo l operazione finanziaria (x, t), rappresentata nella Figura 2.4, con: v t 1 v t 2 v t 3... v tm. x = (10, 15, 12, 107)e, t = (1, 2, 3, 4) anni Osserviamo che l operazione finanziaria (x, t) consiste nell incassare 10e tra 1 anno, 12e tra 3 anni e 107e tra 4 anni e nel pagare 15e tra due anni. Vogliamo valutare (x, t) al tempo 0, rispetto alla legge esponenziale con tasso semestrale di interesse del 2%. Poichè il tasso è su base semestrale ed il tempo è misurato in anni, abbiamo due possibilità : (a) Calcolare il tasso annuo i equivalente, in capitalizzazione esponenziale, al tasso semestrale i = 2% e valutare l operazione finanziaria rispetto a i. (b) Misurare il tempo in semestri e valutare l operazione finanziaria rispetto ad i. Procedendo alla valutazione, abbiamo : (a) Il tasso i è:
32 CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE 107 10 12 0 1 2 3 4-15 Figura 2.4: Quindi: i = (1 + i) 2 1 = (1.02) 2 1 = 0, 0404 (4, 04%). W (0, x) = 10 (1, 0404) 1 15 (1, 0404) 2 +12 (1, 0404) 3 +107 (1, 0404) 4 = 97, 737e. (b) Valutiamo rispetto ad i e misurando il tempo in semestri lo scadenziario diventa: quindi: (2, 4, 6, 8), W (0, x) = 10 (1, 02) 2 15 (1, 02) 4 + 12 (1, 02) 6 + 107 (1, 02) 8 = 97, 737e Applicando l osservazione già vista relativa al fatto che W (0, x) è il prodotto scalare tra il vettore x degli importi e quello v dei fattori di sconto, nel caso dell esempio precedente possiamo usare la funzione MATRICE.SOMMA.PRODOTTO di Excel che ci consente di calcolare il prodotto scalare tra vettori. Nel caso del nostro esempio si tratta di calcolare, nel caso (a), il prodotto scalare tra i vettori :
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA. 33 x = 10 15 12 107, v = 1, 0404) 1 (1, 0404) 2 (1, 0404) 3 (1, 0404) 4 Il calcolo svolto nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio OperazioniFinanziarie, Esempio 1. Esempio 3. Consideriamo un Buono poliennale del Tesoro (BTP), emesso alla pari, con cedola semestrale del 2%, valore nominale 100, (poichè la cedola è semestrale, il tasso annuo nominale del 4%). La durata del titolo è 5 anni. Il flusso delle cedole, con rimborso del valore nominale alla scadenza è rappresentato dalla operazione finanziaria: x = (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 102)e, t = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) semestri. Il valore al tempo 0 del titolo è W (0, x), prodotto scalare di: x = che fornisce W (0, x) = 100 e. 2 2... 2 102, v = Vedere il foglio OperazioniFinanziarie, Esempio 2. (1, 02) 1 (1, 02) 2... (1, 02) 9 (1, 02) 10 Fino ad ora abbiamo valutato una operazione finanziaria al tempo 0, rispetto ad una assegnata legge esponenziale. Vogliano valutare una operazione finanziaria in un qualsiasi istante. Sia (x, t) l operazione finanziaria x = (x 1, x 2,..., x m ), t = (t 1, t 2,..., t m ) e sia t un qualunque istante maggiore o uguale a 0. Per trovare il valore dell operazione finanziaria al tempo t, che indicheremo con W (t, x), dobbiamo : - Capitalizzare tra t j e t gli importi esigibili prima di t; - Scontare tra t e t j gli importi esigibili dopo di t.
34 CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE Quindi se, ad esempio, come nella Fig. 2.5, t 2 < t < t 3 e i è il tasso d interesse della legge esponenziale, W (t, x) = x 1 (1+i) t t 1 +x 2 (1+i) t t 2 +x 3 (1+i) (t 3 t) + +x m 1 (1+i) (t m 1 t) +x m (1+i) (tm t). x 1 x 2 x3 xm 0 t t t t... t t 1 2 3 m-1 m Figura 2.5: x m-1 Osserviamo che se t j < t, il fattore montante (1 + i) t t j può essere scritto come (1 + i) t t j = (1 + i) (t j t). Pertanto, indipendentemente dalla posizione di t rispetto agli istanti dello scadenziario, possiamo scrivere W (t, x) = x 1 (1+i) (t 1 t) +x 2 (1+i) (t 2 t) +x 3 (1+i) (t 3 t) + +x m (1+i) (tm t) = = m x k (1 + i) (tk t). k=1 Nella relazione scritta, gli esponenti (t j t) sono negativi se t j > t e positivi se t j < t. Osserviamo che W (t, x) è il prodotto scalare tra i vettori x 1 x 2 x 3... x m, (1 + i) (t 1 t) (1 + i) (t 2 t) (1 + i) (t 3 t)... (1 + i) (tm t).
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA. 35 Poniamoci ora il problema di trovare, per una operazione finanziaria (x, t) rispetto ad una assegnata legge esponenziale con tasso di interesse i, una relazione tra i valori W (0, x) e W (t, x). Sappiamo che, usando le stesse notazioni introdotte: W (t, x) = m x k (1 + i) (t k t), W (0, x) = m x k (1 + i) t k. k=1 k=1 Pertanto possiamo scrivere: W (t, x) = m x k (1 + i) tk+t = k=1 m m x k (1 + i) t k (1 + i) t = (1+i) t x k (1 + i) t k = k=1 k=1 Quindi la relazione cercata è = (1 + i) t W (0, x). W (t, x) = (1 + i) t W (0, x), da cui ovviamente W (0, x) = (1 + i) t W (t, x). Quanto ora scritto è rappresentato nella figura 2.6. W(0,x) W(t,x) (1+i) t 0 t (1+i) -t Figura 2.6:
36 CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE Le relazioni ora scritte ci consentono di dire che il valore W (t, x) al tempo t si ottiene dal valore W (0, x) al tempo 0 capitalizzandolo tra 0 e t e viceversa, il valore al tempo 0 si trova scontando quello al tempo t, tra 0 e t. 2.3 Operazioni finanziarie eque Una operazione finanziaria (x, t), con x = (x 0, x 1, x 2,..., x m ) importi, t = (0, t 1, t 2,..., t m ) tempi, si dice equa al tempo 0, rispetto ad una assegnata legge esponenziale, se W (0, x) = 0. Più in generale, la stessa operazione finanziaria si dice equa al tempo t, rispetto ad una assegnata legge esponenziale, se W (t, x) = 0. Osserviamo che, se W (0, x) = 0, cioè se l operazione finanziaria è equa al tempo 0, rispetto ad una assegnata legge esponenziale, lo è anche in qualunque istante t ( con t > 0), sempre rispetto alla stessa legge esponenziale. Infatti se W (0, x) = 0, W (t, x) = (1 + i) t W (0, x) = (1 + i) t 0 = 0. Esempio 1. Considerando l esempio 2. del paragrafo precedente, possiamo dire che l operazione finanziaria (x, t ) con x = ( 97.737, 10, 15.12, 107)e, t = (0, 1, 2, 3.4) anni, risulta equa al tempo 0, rispetto alla legge esponenziale con tasso di interesse su base annua del 4, 04%. Infatti il valore, al tempo 0 dell operazione finanziaria (x, t), come è stato calcolato nel paragrafo precedente è di 97, 737 e quindi, aggiungendo al tempo 0 l importo -97,737 ( cioè pagando 97,737e ), l operazione finanziaria (x, t ) è equa in 0, infatti W (0, x ) = 97, 737 + 97, 737 = 0. Poichè l operazione finanziaria (x, t ) è equa in 0, rispetto alla assegnata legge esponenziale, è equa in qualsiasi altro istante.
2.4. VALUTAZIONE RISPETTO AD UNA STRUTTURA PER SCADENZA 37 2.4 Valutazione rispetto ad una struttura per scadenza Consideriamo una operazione finanziaria (x, t) così definita con t 1 t 2..., t m. x = (x 1, x 2,..., x m ) importi, t = (t 1, t 2,..., t m ) tempi, Supponiamo di conoscere la struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti) in vigore nel mercato al tempo 0: i(0, t 1 ), i(0, t 2 ),, i(0, t 3 ),..., i(0, t m ). Ciò equivale a conoscere, come abbiamo visto nel capitolo 1, i prezzi dei titoli a cedola nulla unitari, valutati al tempo 0 e con scadenza t j (j = 1, 2, 3,..., k). Tali prezzi possono essere considerati anche come i fattori di sconto tra 0 e t j (j = 1, 2, 3,..., k). Indichiamo tali grandezze con v(0, t 1 ), v(0, t 2 ),, v(0, t 3 ),..., v(0, t m ). Nel paragrafo 1.8 abbiamo visto che la relazione tra i(0, t k ) e v(0, t k ),(k = 1, 2, 3,..., m) è la seguente: i(0, t k ) = v(0, t k ) 1 t k 1, v(0, t k ) = (1 + i(0, t k )) t k. E molto importante poter valutare l operazione finanziaria (x, t) rispetto alla struttura per scadenza in vigore al tempo 0. Questo equivale a valutare l operazione finanziaria rispetto al mercato. Per valutare l operazione finanziaria rispetto al mercato, dobbiamo valutare l importo esigibile al tempo t k rispetto al tasso i(0, t k ) (con k = 1, 2, 3,..., m). Indichiamo con V (0, x) il valore dell operazione finanziaria (x, t) rispetto alla struttura per scadenza. Abbiamo che: V (0, x) = x 1 (1 + i(0, t 1 )) t 1 + x 2 (1 + i(0, t 2 )) t 2 + + x m (1 + i(0, t m )) tm = = x 1 v(0, t 1 ) + x 2 v(0, t 2 ) + + x m v(0, t m ). Usando il simbolo di sommatoria: m V (0, x) = x k (1 + i(0, t k )) t k = k=1 m x k v(0, t k ). k=1