UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme di operazioni espresse da due variabili (; ) e possa essere rappresentata anche graficamente. Da questo punto in poi ci occuperemo di alcune particolari funzioni che, se rappresentate sul piano degli assi cartesiani, formano delle particolari figure geometriche piane dotate di regolarità che possono essere poi utilizzate per la risoluzione di problemi di geometria piana. La prima funzione di cui ci occupiamo e della quale rappresenteremo e studieremo il diagramma è la retta. Enunciamo innanzitutto il seguente teorema. Teorema: ogni equazione intera di primo grado, nelle due variabili e, rappresenta una retta nel piano degli assi cartesiani. Vi sono due modi in cui esprimere una funzione di primo grado in due incognite: in modo implicito e in modo esplicito. Equazione implicita della retta: a + b +c=0 Le funzioni L equazione a + b + c = 0 dove e sono le due variabili di primo grado e a, b e c sono dei numeri rappresenta una retta. Esempi di funzioni che rappresentano rette possono essere: 6 5 10 = 0 3 + 5 +1 = 0 + = 0 + 5 = 0 31
Non rappresenta invece una retta la seguenti funzioni: = a + b + 5 6 = 0 perché una variabile è di secondo grado che, come vedremo, rappresenterà una parabola Equazione esplicita della retta L equazione esplicita della retta si può ottenere attraverso facili passaggi algebrici, dall equazione implicita della retta, ponendo la al membro di sinistra e tutto il resto a quello destra. La forma esplicita è più utile perché permette di riconoscere subito sue degli elementi fondamentali della retta: il coefficiente angolare (a) il termine noto (c) Naturalmente, prima di dire se una funzione rappresenta una retta bisogna ridurla a forma normale. Esercizio: data la funzione 6 3 + 10 = 6 6 + 1 si dica se essa rappresenta una retta e in tal caso se ne ricavi l equazione esplicita. Prima di tutto trasportando tutti i termini al primo membro e riducendo a forma normale si ottiene l equazione 6 3 + 9 = 0 che rappresenta una retta. Se poi intendo ottenere l equazione esplicita di questa retta basta risolvere equazione rispetto alla e si ottiene: + = + + 3 In questa equazione si può vedere coefficiente della ( + 5 3 ), che prende il nome di coefficiente angolare e il termine noto (+ 3 ).che prende il nome di ordinata dall origine Rappresentazione di rette Proviamo ora a rappresentare graficamente una retta sul piano degli assi cartesiani. Consideriamo la retta dell esercizio precedente nella sua forma esplicita: + = + + 3. Per disegnare sul seguente grafico la funzione basta dare dei valori alla e vedere cosa accade alla. 3
In questo modo si ottiene delle coppie di valori che riportate sul grafico cartesiano forniscono il diagramma della funzione. 1 5 + = ++ 3 7 0 3 6 4-1 0 4 6 Posso scegliere a piacimento il numero di punti da disegnare, ma sapendo che per due punti passa una e una sola retta sono sufficienti due punti qualsiasi per poterla disegnare. Da notare che se assegno alla il valore zero mi rimane solo il termine noto e questo determina il punto dove la retta interseca l asse delle ordinate, vale a dire, l ordinata dall origine. Proviamo ora a rappresentare nel seguente grafico la retta. Formata da una equazione che differisce dalla precedente. Solo per il valore del termine noto: + = + + 5. Dando alcuni valori alla si ottiene alcuni punti necessari. Per disegnare la retta: 1 7 0 5 Si nota come il termine note fornisca la posizione della retta nel piano, in particolare fornisce proprio il punto di intersezione con l asse delle 33
ordinate cioè il valore della quando la =0 per questo motivo il termine noto viene detto ordinata dall origine. + = ++ 5 + = ++ 3 6 4 0 4 Proviamo ora a disegnare la retta formata da una equazione differente dalla precedente solo per il coefficiente angolare. In particolare consideriamo l equazione + = 3 + 5. Disegnando, come al solito, due punti che ci permettano di tracciare la retta ci accorgiamo che ciò che è cambiato è l inclinazione della retta. Mentre prima la retta era inclinata verso destra ora è inclinata nel senso opposto. Si parla nel primo caso di una retta inclinata positivamente, nel secondo caso di una retta inclinata negativamente. 34
Ecco perché il coefficiente della prende il nome di coefficiente angolare e indica l inclinazione della retta rispetto all asse delle ascisse. + = ++ 5 + = 3 + 5 Condizione di parallelismo e di perpendicolarità Dopo aver compreso come una equazione del tipo = a + b rappresenti una retta la cui inclinazione dipende dal coefficiente della e la cui posizione dipende dal termine noto, possiamo fare alcune considerazioni su alcune particolari rette e le relazioni che vi intercorrono. Rette parallele Dalla geometria sappiamo che due rette sono parallele quando non si incontrano mai. Perché ciò accada e immediato osservare che, per essere parallele, le rette debbono avere la stessa inclinazione. 35
Algebricamente questa condizione corrisponde all uguaglianza del cefficiente angolare (che rappresenta, per l appunto, l inclinazione di una retta). = a + b 1 = a + b = a + b 3 La condizione di parallelismo tra (due) rette, quindi, impone alle rette di avere il medesimo coefficiente angolare. Quando le due rette, invece, presentano coefficienti angolari diversi si incrociano in qualche punto del piano e si parta, in questo caso, di rette incidenti. Se oltre ad avere lo stesso coefficiente angolare due rette hanno anche lo stesso termine noto significa che sono due rette che, se disegnate, appaiono una sopra l altra, cioè sono la stessa retta. Si parla in questo caso di rette coincidenti. Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari quando si incrociano formando angoli retti. Questo accade sul piano degli assi cartesiani quando si hanno due rette che rispettano una determinata condizione. In particolare, condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano fra loro contrari e di segno opposto. 36
Dato a il coefficiente angolare di una certa retta tutte le rette ad essa perpendicolari avranno un coefficiente angolare a 1 = 1 a = 1 a + b = a + b Esempio: data la retta rappresentata dall equazione = 3 + 10 tutte le rette ad essa parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè (+3) e tutte le rette ad essa perpendicolari hanno un coefficiente angolare pari al reciproco cambiato di segno. Da queste considerazioni intuiamo che se per due punti passa una e una sola retta per un punto solo passano infinite rette, visto che infiniti sono i possibili coefficienti angolari che possono avere. Si parla in questo caso di un fascio di rette. Retta passante per due punti Considerato che per due punti passa una sola retta saremo ora in grado di determinare l equazione di tale retta, date le coordinate dei due punti. Indichiamo, per esempio, due punti generici del piano come P ; ) e 1( 1 1 P ( ; ). La formula che permette di calcolare l equazione della retta passante per questi due punti è la seguente: 1 = 1 1 1 37
Con questa formula è possibile determinare l equazione di una retta che passa per i punti P ; ) e P ; ). 1( 1 1 ( Esempio: scrivere l equazione della retta passante per i punti: P (3;5 1 ) e P (;7). 5 3 In base alla formula precedente possiamo scrivere che: =. 7 5 3 Cioè, dopo alcuni semplici calcoli: = + 11 come rappresentata nella figura. Nell applicare la formula bisogna fare attenzione ai segni, Per esempio, l equazione della retta passante per i punti P ( 3; 5) e P (; 7). Si ottiene da: + 5 + 3 =. 7 + 5 + 3 1 Retta passante per un punto Sappiamo che per un punto passa un fascio di rette. Se si vuole determinare l equazione che passa per un punto bisogna conoscere il suo coefficiente angolare. 38
1( 1 1 Dato un punto P ; ) la formula che determina l equazione della retta che passa per quel punto e di generico coefficiente angolare m è la seguente: 1 = m( 1 ) Per esempio dato il punto P ( 4;3) l equazione di una retta che passa 1 per quel punto e di coefficiente angolare m = +3 è la seguente: 3 = 3( + 4) Ovvero, dopo facili spostamenti: = 3 + 15. È agevole considerare che questa formula è utilissima per determinare l equazioni di rette parallele o perpendicolare alla retta data. Vediamo due esempi considerando la retta appena vista = 5 + 15. Esempio: determinare la retta perpendicolare e di quella parallela alla retta = 3 + 15 e passante per il punto P (;3 1 ). Conoscendo la condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra rette sappiamo che se il coefficiente della retta data è +3 allora il coefficiente di una qualsiasi retta parallela sarà uguale a +3 e quello di una retta 1 perpendicolare sarà m = perciò, l equazione della retta parallela 3 sarà: 1. 3 = 3( ) ; 1. quella della retta perpendicolare sarà 3 = ( ). 3 39
Distanza di un punto da una retta Supponiamo ora di voler calcolare quanto dista un determinato punto 1( 1 1 P ; ) del piano cartesiano da una retta di cui conosciamo l equazione implicita a + b + c = 0. R P 1 Per fare ciò ci serviremo di una formula che ha per numeratore il valore assoluto 1 del valore che assume l equazione implicita della retta nel punto considerato e al denominatore la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della e della nella suddetta retta. Senza soffermarsi sulla descrizione della formula diamone subito una rappresentazione e proviamo ad applicarla: P 1 R = a 1 + b 1 + c a + b Esempio: data una retta 3 + 4-4 = 0 e dato il punto P (3; 1 ) determinare quanto dista il punto dalla retta. Dato che la retta è già in forma implicita possiamo applicare subito la formula sostituendo la retta, i suo coefficienti e i valori della e della del punto. In questo modo otteniamo: P 3 3 + 4 4 9 + 4 4 = 3 + 4 5 R = = 1 9 5 1 Per valore assoluto di un numero si indica il numero col segno positivo sia che il esso sia positivo sia che esso sia negativo. Il modulo si indica con due barre verticali poste lateralmente al numero. Esempio: + 3 = + 3 ; 3 = + 3. La ragione per cui si pone questo vincolo è che non avrebbe senso parlare di una misura negativa, perciò, qualora risultasse tale risultato, se ne cambia il segno. 40
Punto di intersezione tra rette Supponiamo ora di voler determinare il punto di intersezione tra due rette, cosa che è possibile solo tra due rette che sono tra loro incidenti. Date le due rette, ciò che sappiamo è che nel punto di intersezione entrambe le rette presentano la stessa ordinata e la stessa ascissa. Per determinare le coordinate di questo punto è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni. 1 1 Operativamente è facile trovare il punto di intersezione tra le due rette agendo nel modo seguente. Dopo aver trasformato in forma esplicita entrambe le rette, in modo da avere = a + b per la prima retta e = a1 + b1 si pone uguali le due e cioè a + b = a1 + b1. Questa non è altro che una equazione di primo grado che risolta fornisce il valore della, ovvero, la coordinata delle ascisse del punto di intersezione. Per trovare l altra coordinata è sufficiente sostituire questo valore in una qualsiasi delle due rette. Esempio: determinare il punto di intersezione tra le seguenti rette: = 3 e = + 8. Per il ragionamento fatto se è uguale sia a 3 e anche a + 8, posso scrivere che: 3 = + 8 che non è altro che una equazione di primo grado che mi fornisce il valore di, cioè = 6. Poi basta sostituire il valore trovato in una qualsiasi delle due rette e cioè: = 3 6 = 10 41
Perciò il punto di intersezione delle due rette è il punto (6; 10). 4