CAPITOLO 3 INTRODUZIONE ALLE TURBOMACCHINE

CAPITOLO 3 INTRODUZIONE ALLE TURBOMACCHINE 3.. Inoduzion In quso capiolo analizziamo nl daglio il funzionamno dll ubomaccin, pando dalla dscizion dll asfomazioni c in ss anno luogo. Si passà poi alla dscizion di com nlla paica ali asfomazioni vngono alizza, inoducndo quindi il conco di lavoo Euliano, di sadio, di iangoli dll vlocià di gado di azion. Qusa aazion và dappima condoa considando un fluido compimibil, qual aia o vapo. Si passà infin a aa il caso dll maccin idaulic. 3.. Tasfomazioni nll maccin a fluido compimibil Nl paagafo. si sono icava l lazioni ncssai al calcolo dl lavoo scambiao da un sisma apo con l sno. In paicola, si sono icava l lazioni (.9) (.0) c spimono il pincipio di consvazion dll ngia p un sisma apo al flusso di massa, si è viso com la pima sia indipndn dal ipo di asfomazion, mn la sconda, p ss uilizzaa, ncssii dlla conoscnza dl ipo di asfomazion. Nl capiolo pcdn è sao poi inodoo il conco di sao oal, d è saa fonia, a l al, la dfinizion di nalpia oal. Inoducndo al dfinizion nll quazion di consvazion dll ngia p i sismi api (quazion (.9)) si icava: V V L + Q + (3.) ( ) ( ) Quindi, in gnal, il lavoo è dao dalla vaiazion di nalpia oal, più il calo vnualmn scambiao con l sno. Inol, spsso è possibil ascua la vaiazion di vlocià a ingsso uscia di una maccina. E smp possibil infai pnsa di dimnsiona i condoi di adduzion scaico in modo al c al iposi isuli vificaa. In quso caso, nalpia oal d nalpia saica coincidono, la lazion pcdn divna: ( ) L + Q (3.) Si icoda c, p convnzion, si a assuno posiivo il lavoo s fao sul sisma, il calo posiivo s nan nl sisma. Tuavia è più comodo opa smp con lavoi posiivi, quindi vanno cambiai i sgni in mania al da on smp L > 0. Quindi, la lazion (3.) divna: ( ) Q > 0 ( ) + Q 0 L p maccin opaici (Q > 0) (3.3) > L p maccin moici (Q < 0) (3.4) Analogamn p la lazion (.0): L vdp + L p p maccin opaici (L p > 0) (3.5) L vdp L p p maccin moici (L p > 0) (3.6) Appliciamo quano viso dappima al caso di una maccina opaic (compsso), quindi di una maccina moic (ubina). 8

P P N P M T cos T P P v v Figua 3.: compssion idal a Tmpaua cosan. s 3... Compsso Considiamo il caso di una maccina opaic opan su fluido compimibil (gas pfo). Ci cidiamo c ipo di asfomazion subisca il fluido nll aavsamno dlla maccina. Pima ancoa pò vdiamo qual è la asfomazion c ci pmbb di compi il minimo lavoo possibil. Tal asfomazion è la asfomazion isoma (figua 3.). Considiamo un gas pfo una asfomazion idal (L p 0). L du fom dll quazion dll ngia foniscono: L (3.7) Q RT p L vdp dp RT ln (3.8) p p Tali lavoi sono appsnai dall a sos dall asfomazioni: l aa (NM) aggiaa nl piano (p,v) l aa aggiaa nl piano (,s) in figua 3. Tal asfomazion isula pò ializzabil nlla paica. L asfomazioni nll maccin dinamic (coninu) sono infai smamn vloci. Non c è mpo né supfici di scambio mico sufficini pcé il fluido, nll aavsamno dlla maccina, isca a cd (o icv) calo. E alloa possibil consida smp l asfomazioni nll maccin dinamic adiabaic, smplifica uliomn l quazion dll ngia: L ( ) ( ) (3.9) con l usual iposi di ascua la vaiazion di vlocià a cavallo dlla maccina. Da ali considazioni isula quindi c la asfomazion idal con cui confonasi non è ano qulla isoma vsibil, quano qulla adiabaica vsibil, cioè la asfomazion isnopica. Con ifimno alla figua 3., considando un gas pfo, si icava: ( L ) C ( T ) is (3.0) s p s T c, nl piano (T,s), è appsnao dall aa A0 s B. Ricodando c, p una asfomazion adiabaica isnopica di un gas pfo val pv γ cos c val la lazion di May R C p C v, si icava: γ γ ( ) γ L is RT β (3.) γ ssndo β p p il appoo di compssion. Nl piano (p,v) il lavoo scambiao isnopicamn è appsnao dall aa M s N. Una foma idnica la si oin anc a pai dalla (3.5), imponndo L p 0. 9

a) P P N P M s s cos T 0 L is s P P v v A B s s P L is P b) s T L CR P P P N P M s L CR 0 L is s L p P v v A B C s s L L is P P s Figua 3.: compssion adiabaica idal a) al b). 0

Con ifimno all asfomazioni accia ni piani (p,v), (T,s) d (,s) ipoa in figua 3.a, si ossva com il lavoo compiuo sul fluido sia maggio ispo al caso isomo. Si icoda inol c l a aggia nl piano (p,v) in qullo (T,s) appsnano il lavoo scambiao, ssndo la asfomazion adiabaica vsibil. Nlla alà, la asfomazion saà al da fa sì c il fluido si ovi all uscia dl compsso ancoa allo ssso livllo di pssion p, ma con un nopia maggio ispo al caso isnopico, com mosao dal puno in figua 3.b. In quso caso, il lavoo scambiao con l sno val: L Aa( A0C) (3.) c, nl piano (T,s), consis nll aa A0C. Il pcoso sguio dal fluido p passa dal puno al puno può ss qualunqu. E possibil appossima la asfomazion al con una asfomazion poliopica vsibil, in cui si suppon c il calo (c nlla alà è lgao all ivsibilià) vnga scambiao vsibilmn: n n ( ) n L RT β (3.3) p, n oppu, pando dalla (3.3): Q (3.4) ( L ) p ( ) ( ), p, Cciamo di individua ni divsi piani l aa c appsna la diffnza a il lavoo al qullo idal. Il lavoo al nl piano (p,v) consis nll aa MN. Smp nl piano (p,v) si a quindi: s s ( L ) ( L ) vdp L al is + p vdp vdp vdp + Lp (3.5) Nl piano (p,v) non si vd ciaamn uo il lavoo scambiao; l aa s appsna la diffnza a i du ingali, mn non è bn idnificabil il lavoo pso p aio; è mglio consida il piano (T,s): L L L + Q L L L Q (3.6) [ p is ] ( ), p, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) al is p, p, is + Tal diffnza è appsnaa dall aa B s C nl piano (T,s). Si icoda c (Q ) p, > 0 in quano nan nl sisma. Quso calo nlla alà è lgao all pdi, ssndo la asfomazion adiabaica. Esso è dao da: ( Q ) L p p Tds (3.7), d è quindi appsnao, nl piano (T,s), dall aa sosa dalla asfomazion -. N sgu c il lavoo pso coincid con l aa BC, infio alla diffnza a lavoo al lavoo idal ( s ), mn l aa s appsna qullo c vin ciamao lavoo di cono-cupo. N isula quindi c, p compim il fluido dall condizioni all condizioni, il lavoo spso è maggio ispo alla somma a lavoo idal lavoo pso. La quoa pa di lavoo c è ncssaio foni al fluido è il lavoo di cono-cupo, dovuo al fao c, mn si compim, il fluido si iscalda di più ispo al caso idal. Il fnomno dl cono-cupo è alloa un ffo modinamico lgao alla vaiazion di volum spcifico duan la compssion. S infai si pnsa di appossima la compssion con una si di compssioni infinisim p j, così com scmaizzao in figua 3.3, il lavoo complssivamn spso può ss così appossimao: N vdp + Lp j L v p + L j j p (3.8) ssndo v j il volum spcifico mdio sul singolo invallo di compssion. E vidn c, col pocd dlla compssion, il volum spcifico aumna ispo al caso idal, a causa dlla gnazion di calo causaa dall pdi. Ogni incmno ulio di pssion icid quindi un lavoo maggio ispo allo sp pcdn. L nià dl cono-cupo è quindi funzion dl

appoo di compssion. Quano più il appoo di compssion è lvao, ano maggio saà il lavoo di cono-cupo. Esso uavia non è una pdia, nl snso c non dipnd dalla bonà con cui si alizza la maccina, ma è insio nlla asfomazion. P valua l psazioni di un compsso, si dfinisc il ndimno dl compsso com il appoo a lavoo idal lavoo al: Lis s η c, ad (3.9) L Figua 3.3: Il fnomno dl cono-cupo. Figua 3.4:Compssion in-figaa. 3... Compssion in-figaa Si è viso com il minimo lavoo di compssion sia onibil ami una asfomazion isoma. Si è inol ossvao com al asfomazion non sia paicabil nlla alà, l

maccin alizzando asfomazioni adiabaic. Ci si cid alloa s, ami oppoun soluzioni impianisic, sia comunqu possibil individua una o più asfomazioni c pmano di idu il lavoo di compssion. La isposa è la compssion in - figaa, c consis nl suddivid la compssion in una si di compssioni lmnai, incala da affddamni dll aia, così com mosao in figua 3.4, limiaamn al caso di una asfomazion idal. L aia, aspiaa dall ambin, vin dappima compssa fino all condizioni ; na quindi in uno scambiao di calo dov vin affddaa fino alla mpaua T. Subisc quindi una sconda compssion fino all condizioni 3, così di sguio. Si noa inol c in figua 3.4 sono ascua vnuali pdi di caico ngli scambiaoi, p cui i pocssi di scambio mico isulano ss a pssion cosan. E vidn c il lavoo di compssion oal saà infio ispo al caso snza infigazion, a paià di appoo di compssion oal β; la smplic divgnza dll isoba spiga infai com convnga compim a mpau infioi. P agioni di cosi di limiazioni sulla complicazion impianisica, nlla alà si alizza una, o al massimo du infigazioni. Ci cidiamo oa s sisa un livllo di pssion oimo a cui suddivid la compssion. P fa ciò ci limiiamo al caso di una sola in-figazion, p cui in figua 3.4 ci fmiamo al puno 3. Siano β p /p β p 3 /p i appoi di compssion di du sadi di compssion. La dfinizion dl livllo di pssion oimo p, quival a scgli il valo di β c minimizza il lavoo di compssion. Il lavoo di compssion idal è dao da: γ γ γ γ I II γ ( L ) + L + L R T β T ' β (3.0) is γ sapndo c β β β, con β p 3 /p pai al appoo di compssion global, imponndo c sia nulla la divaa dl lavoo ispo a β, si icava: ( L ) T ( ) γ γ is ' 0 β β β (3.) T Si fa noa c, s lo scambiao di calo ipoa l aia in ingsso al scondo sadio di compssion alla sssa mpaua c avva in ingsso al pimo (T T ), così com avvin in figua 3.4, alloa la lazion (3.) si iduc a: β β (3.) 3..3. Tubina Quano do p il compsso, val ovviamn anc p la ubina. Quindi la asfomazion c avvin in ubina è adiabaica, p cui val: L ( ) ( ) (3.3) Con ifimno all asfomazioni accia in figua 3.5, considiamo dappima il caso isnopico. In mania dl uo analoga a quano fao p il compsso, si oin c: C T T (3.4) ( ) ( ) L is s p s Inoducndo la lazion valida p l asfomazioni isnopic si icava, avndo ciamao il appoo di spansion β p /p : ( L ) γ γ γ RT (3.5) is γ β 3

Anc in quso caso, è possibil individua gaficamn i lavoi scambiai aavso l a sos dall asfomazioni: l aa M s N nl piano (p,v) l aa A0B nl piano (T,s), namb aggia in figua 3.5. Nl caso al, il lavoo divna: L (3.6) c coispond all aa C0 B nl piano (T,s). Appossimando ancoa la asfomazion al con una poliopica vsibil di sponn n, si oin: P P N L R P M s v T L L R P 0 0 s P L is L L p P P s A C B D s s Figua 3.5: spansion adiabaica. ( ) n L RT p n (3.7), n n β c, nl piano (p,v), è appsnao dall aa MN. Oppu: C T T Q (3.8) ( L ) p p ( ) + ( ), p, Anc in quso caso, il calo scambiao vsibilmn con l sno in alà è gnao innamn a causa dll dissipazioni. Esso quindi val, ssndo la asfomazion nlla alà adiabaica: ( Q ) L p p Tds (3.9), d è appsnao dall aa BD nl piano (T,s). Cciamo anc p la ubina di individua ni divsi piani l aa c appsna la diffnza a il lavoo al qullo idal. Nl piano (p,v) si a: 4

s s ( L ) ( L ) vdp vdp L is al + + p vdp vdp + Lp (3.30) Com si è do in pcdnza, il lavoo pso non è ciaamn individuabil nl piano (p,v), mn la diffnza a gli ingali a pansi coincid con l aa s. Considiamo alloa il piano (T,s), sapndo c, in quso piano, il lavoo al scambiao coispond all aa C0 B: L L L L + Q L L Q (3.3) [ is p ] ( ), p, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) is al is p, p, + ssndo Q < 0 in quano uscn dal sisma. La diffnza a i du lavoi, al idal, consis nll aa A00 C c, in pima appossimazion, può ss inua ugual all aa B s D. Tal aa può ss inpaa com la diffnza a l aa BD, c sappiamo coispond al lavoo pso, l aa s. N sgu c il lavoo pso è maggio dlla diffnza a lavoo idal lavoo al ( s ), qusa diffnza è l aa s c appsna qullo c vin ciamao lavoo di cupo. Quso lavoo di cupo, com qullo di cono-cupo nl caso dlla compssion, è dovuo al fao c, mn spand, il volum spcifico dl fluido aumna in mania maggio ispo al caso idal, quindi fonisc più lavoo. S si pnsa infai, in analogia a quano fao p il compsso, di suddivid l spansion in ani sp succssivi, ogni ulio spansion avvin con un fluido caaizzao da un volum spcifico maggio ispo al caso idal, c quindi compià un lavoo maggio. Si dfinisc il ndimno dlla ubina com il appoo a il lavoo al il lavoo idal: L η T, ad (3.3) Lis s 3.3. Efflusso ni condoi L appoccio fin qui uilizzao è consisio nll anda a valua il lavoo scambiao dalla maccina, opaic o moic, opan con fluido compimibil, snza poccupasi dl modo in cui quso scambio di lavoo vin alizzao all inno dlla maccina sssa. Il psn paagafo fonisc una dscizion di mccanismi aavso i quali qus asfomazioni vngono ffivamn alizza nll maccin a fluido. Andando a vd cosa succd dno la maccina, l iposi di ascua l vaiazioni di vlocià non è più gnalmn applicabil, mn sano valid l al iposi. La foma dll quazion dll ngia da uilizza in quso caso è quindi: L p maccina opaic (3.33) L ( ) ( ) p maccina moic (3.34) dov i pdici indicano ispivamn l ingsso l uscia dl oo. Ogni maccina è infai composa da una pa fissa (sao o disibuo) d una mobil (oo o gian). Nll maccin moici, la pa fissa pcd qulla mobil, vicvsa nll maccin opaici. L insim sao oo cosiuisc uno sadio. Pndiamo ad smpio una ubina; lo sao a il compio di asfoma l ngia dl flusso c icv in ingsso in una foma c sia facilmn convibil, cioè da ngia di pssion ad ngia cinica; quindi al suo inno il fluido subià un acclazion non scambia lavoo. La pa mobil a invc il compio di asfoma l ngia cinica di pssion dl flusso in ngia mccanica c accogli all albo dlla maccina. Vicvsa succd in un compsso: qui il oo asfoma l ngia mccanica disponibil all ass dlla maccina in ngia cinica dl flusso. Lo sao avà poi il compio di asfoma l ngia cinica icvua dal oo in ngia di pssion. I mccanismi aavso i quali avvngono qusi scambi di ngia sono pincipalmn di du ipi: Acclazion o dclazion dl flusso Dflssion dl flusso 5

P alizza qusi scambi, sia la pa fissa c qulla mobil sono cosui in mania al da alizza al popio inno di condoi l cui szioni di passaggio vaino in mania al da accla (o dcla) dfl oppounamn il flusso. Vdiamo alloa nl daglio com qusi condoi dvono ss confomai. 3.3.. Condoi fissi Com si è accnnao in pcdnza, ni condoi fissi non c è scambio di lavoo a fluido maccina (L 0). Considiamo un flusso pmann, isnopico, in cui u l vaiabili siano unicamn funzion dlla sola coodinaa x, com mosao in figua 3.6 (moo quasi D); ciò significa c, szion p szion, u l gandzz possono ss consida unifomi sulla szion. Diffnziando l quazion di consvazion dlla poaa spssa dalla (.3) si icava: dρ dv da + + 0 (3.35) ρ V A considando V oinaa ppndicolamn alla szion di passaggio. L quazion di consvazion dll ngia (.8), p flusso pmann, D, isnopico (Q L p 0), in assnza di scambi di lavoo, non ssndoci ogani in movimno (L 0), con vaiazioni di quoa ascuabili (dz 0), si iduc alla sgun lazion: V V vdp + 0 (3.36) c diffnziaa fonisc: dp VdV (3.37) ρ Combinando la lgg di consvazion dlla poaa con qulla di consvazion dll ngia, icodando la dfinizion dlla vlocià dl suono p gas pfi (.5) dl numo di Mac (.6), si icava: da dv ( M ) (3.38) A V Dall quazion appna icavaa si vd c la lazion a vaiazioni di szion vaiazioni di vlocià dipnd dal gim di flusso, subsonico o supsonico. In paicola: M < o S si vuol compim (p > p ), la lazion (3.37) dic c si dv dcla (V <V ); la lazion (3.38) dic quindi c la szion di passaggio dv aumna, alizzando quindi un diffuso o S si vuol spand (p > p ), la lazion (3.37) dic c si dv accla (V <V ); la lazion (3.38) dic quindi c la szion di passaggio dv diminui, alizzando quindi un ugllo convgn. M > o Non vaia il lgam a pssion vlocià mn cambia qullo a vlocià szioni. Alloa, s si vuol spand si dv ancoa accla, ma p accla si dv oa alizza un condoo divgn vicvsa. Si vd inol c un fluido può ss considao incompimibil (dρ/ρ ascuabil) quando M 0.3 0.4. Man mano c il numo di Mac sal, l vaiazioni di dnsià consguni ad acclazioni o dclazioni dl flusso divnano smp più impoani, fino a icid vaiazioni di szion da/a smp maggioi. 6

Si fa infin noa c, p passa da un gim all alo, l unica possibilià è uilizza un condoo convgn-divgn, com mosao in figua 3.6c. Appliciamo la consvazion dll ngia spssa dalla (3.) a uno di condoi di figua 3.6, sapndo c il pocsso è adiabaico snza scambio di lavoo: (3.39) N diva c, qualunqu sia la asfomazion (al o isnopica), l nalpia oal si consva a ingsso uscia di un condoo fisso. a) b) c) Figua 3.6: confomazion di condoi. Figua 3.7:Andamno dllo sao limi su supfici di condoi divgni. Figua 3.8:Spaazion dl flusso in un canal alamn divgn. 7

E oppouno noa c i condoi divgni in psnza di flusso subsonico non dvono psna angoli di apua ccssivi, al fin di via possibili spaazioni dl flusso, c compobbo l insog di novoli pdi. Com infai mosa la figua 3.7, in psnza di dclazion dl flusso, s la cuvaua dlla pa è ccssiva, lo sao limi può spaasi (al puno D in figua 3.7), cando una zona ad lva pdi. Il flusso c aavsa il condoo vdà a cscni in misua infio a quano imposo dall pai fisic dl condoo ssso, a causa dlla psnza dlla zona spaaa (figua 3.8). Il flusso quindi uscià dal condoo doao di una pssion infio ispo a qulla p cui il condoo a sao pogao. Qusa fnomnologia si psna u l vol c si vuol dcla il flusso, vdmo c è l aspo c più limia l psazioni di compssoi. Figua 3.9: Sadio di Compsso cnifugo a pal adiali con diffuso palao. 3.3.. Condoi mobili Abbiamo viso com una maccina a fluido sia composa da una pa oan, da oo o gian, da una pa fissa, da sao. I ooi dll maccin a fluido compiono un moo oaoio inono all ass dlla maccina. Supponndo c funzioni a gim, si può in c l pai mobili si muovano alla vlocià U, da vlocià pifica o di ascinamno: πdn U ω R (3.40) 60 ssndo ω la vlocià angola (ad/sc), R il aggio, n il numo di gii (gii/min) D il diamo. L insim di du, oo sao, foma qullo c va soo il nom di sadio. In figua 3.9 vin scmaicamn appsnao uno sadio di compsso cnifugo. Un ossvao fisso vd l supfici dl oo muovsi alla vlocià U il fluido c na nlla maccina doao di una vlocià assolua V. Un ossvao poso nl sisma di ifimno laivo solidal al oo, vd l pai dlla maccina (oo) fm il fluido in ingsso al oo doao dlla vlocià W, da vlocià laiva. L vlocià sono a loo lga dalla lazion voial: V U + W (3.4) 8

c pnd il nom di iangolo dll vlocià, d è appsnao in figua 3.9 in basso. All uscia dl oo, il fluido è doao di una vlocià laiva W, dia com la angn al bodo d uscia dlla pala. In paicola, nl caso di figua 3.9, ssa è dia scondo la dizion adial. P un ossvao fisso, c vd il oo uoa alla vlocià pifica, il fluido lascia il oo doao di una vlocià V, c si oin componndo voialmn la vlocià laiva con qulla pifica U, così com spsso dalla (3.4). Lo sao vd alloa in ingsso un flusso doao di una vlocià V c, all uscia, si saà idoa al valo V 3. Si fa noa com il iangolo di vlocià all uscia dl oo non giaccia nllo ssso piano in cui è sao acciao qullo in ingsso al oo ssso. Infai, il flusso in ingsso al oo si muov nl piano assial angnzial, mn all uscia giac nl piano adial angnzial. Figua 3.0:Sismi di ifimno assoluo laivo. P un ossvao poso nl sisma di ifimno laivo, il flusso è quindi pmann, non c è lavoo scambiao a fluido maccina, pcé l pai dlla maccina sono fm, mn compa un min di ngia ponzial associao al campo di foz cnifug, c sono foz di volum c dipndono dalla non inzialià dl sisma di ifimno. Quando si consida un ifimno in moo laivo ispo all ossvao inzial (figua 3.0), l acclazion c compa nll ingal di volum a pimo mmbo dll quazion di consvazion dlla quanià di moo (.5) divna: dv dw d d ω + + R + ω ( ω R) + ω W (3.4) d d d d dw d dov è l acclazion laiva, è l acclazion dl sisma di ifimno non d d d ω inzial (acclazion lina), R è l acclazion angnzial, ω ( ω R ) è d l acclazion cnipa W ω è da acclazion di Coiolis. Inol, appsna la disanza dall oigin dl sisma inzial, ω la vlocià angola ispo al sisma inzial, mn R è il vo posizion ispo all oigin dl sisma non inzial. Si fa noa c R ω non è alo c la vlocià di ascinamno U. Nll iposi c il sisma di ifimno o è fmo o uoa con vlocià angola ω cosan nl mpo, la (3.4) divna: dv dw + ω ( ω ) + ω W (3.43) d d dov gli ulimi du mini appsnano ispivamn la foza cnifuga la foza di Coiolis. Tali foz sono vis dall ossvao non inzial. Sono du foz di volum c pima non c ano. Oa la F ma, scia p un ossvao non inzial, l compnd. 9

30 Passando dall foz all ngi, il min W ω non cona p l ossvao non inzial, ssndo dio oogonalmn a W, quindi non compi lavoo. La foza cnifuga invc scambia lavoo, ad ssa può ss associao un ponzial cnifugo U E p. L ngia ponzial cnifuga si annulla all infinio, cioè quando ci si ova ad una disanza dall ass di oazion. Nll quazion di consvazion dll ngia nl sisma laivo p flusso mono - dimnsional compa quindi un nuovo min lgao al campo cnifugo: ( ) U U W W Q L + + (3.44) Ricodando c, nl sisma laivo l pai sono fm quindi non c è scambio di lavoo, c comunqu il flusso è adiabaico, si icava: U W U W + + (3.45) dov oa i pdici si ifiscono all szioni di ingsso uscia dal oo. Si dfinisc nalpia oal laiva o oalpia il inomio: U W + (3.46) Nl oo quindi si consva l nalpia oal laiva:,, (3.47) Sosiundo la lazion (3.45) nll quazion di consvazion dll ngia p il sisma di ifimno fisso (3.33), nuo cono dlla (3.39) c posula la consvazion dll nalpia oal nllo sao, p una maccina opaic si icava: ) ( 3 U U W W V V V V L + + + (3.48) avndo indicao con il pdic 3 la szion di uscia dallo sao, quindi dallo sadio dalla maccina. Analogamn, p una maccina moic si oin: ) ( 0 U U W W V V V V L + + + (3.49) dov con 0 si è qusa vola indicaa la szion di ingsso allo sao, quindi alla maccina. Figua 3. w ax

L lazioni appna icava sono dl uo gnic, nl snso c valgono qualunqu sia la dizion dl flusso all inno dlla maccina, assial, miso o adial. L ulimo min, lgao all azion dlla foza cnifuga, è divso da zo u l vol c i diami in ingsso d uscia dalla maccina, o dallo sadio, sono divsi a loo (D D ). S si consida una maccina opaic a flusso miso o adial, pcé il campo di foz cnifugo conibuisca alla compssion, è oppouno c U > U, quindi c D > D cioè c la maccina sia cnifuga. Vicvsa p una maccina moic, c in al caso si dic cnipa. Quando D D quindi anc U U, l ulimo min si annulla si dic c la maccina (moic o opaic) è a flusso assial. Il sisma di ifimno nomalmn uilizzao nll maccin è un sisma di ifimno casiano (figua 3.) in cui i assi anno l sguni dizioni: dizion assial, coincidn con l ass di oazion dlla maccina, adial angnzial, oinao nlla dizion dlla vlocià pifica. Si individuano quindi l sguni componni dlla vlocià: Assial: V a Wa Radial: V W Tangnzial: V W + U Sosiundo qus lazioni nll quazioni (3.48) (3.49) si icava: U V U V maccina opaic (3.50) LEulo LEulo UV UV maccina moic (3.5) In qusa spssion, c va soo il nom di Lavoo di Eulo, l componni angnziali dlla vlocià anno sgno posiivo s sono di com la vlocià pifica U. Si icoda infin c il Lavoo di Eulo è il lavoo al scambiao dal fluido con la maccina. 3.4. Foz scambia a fluido maccina Lavoo Euliano Il Lavoo di Eulo può ss calcolao anc a pai dall quazion di consvazion dlla quanià di moo. Si vuol calcola il lavoo scambiao a fluido maccina, isulan dall azion mccanica sciaa dal fluido sull pai mobili dlla maccina. Considiamo il caso di una maccina moic, c valgano l iposi sguni: Moo pmann Supfici assialsimmic Azion dl pso ascuabil ( G 0 ) Considiamo il volum di conollo appsnao in figua 3., c appsna un condoo c uoa inono a un ass di oazion ad una vlocià angola cosan ω. La supfici c dlimia il volum di conollo è una supfici oinaa, p cui ssa è individuaa dal vso angn alla supfici dal vso nomal alla supfici n, posiivo s uscn dal sisma. Tal supfici può ss scomposa a supfici mobili S (la supfici pala), supfici di infaccia, l szioni di ingsso d uscia S S in figua 3.. Esso invc non conin supfici fiss. In accodo con l quazion (.6), l foz agni sul volum di conollo, con l iposi fa, consisono nll azioni dl campo di pssion dgli sfozi di aglio sull sol supfici mobili dlla maccina: F npds + τ ds (3.5) S S dov il vo dgli sfozi viscosi τ è dio paalllamn alla supfici: τ τ (3.53) 3

Figua 3.: Szion assial di un volum di conollo assialsimmico. P calcola la ponza cdua dal fluido alla maccina, è ncssaio valua il momno sciao dal fluido ispo all ass di oazion. La coppia all albo C a vin calcolaa applicando l opao oo alla (3.5): C a n pds + τds (3.54) S S Il calcolo di foz momni ami l applicazion dia dll quazioni (3.5) (3.54) è alquano difficoloso, in quano psuppon la conoscnza dll andamno di u l gandzz fluidodinamic modinamic lungo u l supfici mobili dlla maccina. E pò possibil calcolali in mania india, com funzion dll gandzz mo-fluidodinamic nll sol szioni di ingsso uscia, pando dall quazion di consvazion dlla quanià di moo. Considiamo ancoa il volum appsnao in figua 3., appliciamo il pincipio di consvazion dlla quanià di moo con l iposi pcdni. La lazion (.7) fonisc: ρv ( V n) ds npds + τds (3.55) S S S Suddividndo gli ingali a supfici fiss, mobili supfici di infaccia, nndo cono dlla (3.53) si icava la foza c scambiano l supfici mobili dlla maccina con il fluido: F V dm V dm + p n ds + p n ds + τ ds + τ ds (3.56) S S S S S S S S ssndo dm S ρ V nds la poaa infinisima c aavsa la szion lmna ds. Si noa com la (3.56) pma oa il calcolo dlla isulan dll foz scambia a fluido ogani mobili dlla maccina conoscndo lo sao mo-fluidodinamico dl fluido nll sol szioni di ingsso uscia. S ali szioni sono sufficinmn lonan dall pal, la disibuzion di vlocià su ali szioni può ss considaa sufficinmn unifom da po ascua l azion dgli sfozi viscosi. In quso caso la lazion pcdn divna: F V dm V dm + p n ds + p n ds (3.57) S S S S S S 3

S infin si consida il flusso nll szioni di ingsso uscia mono - dimnsional, l quazion ingal (3.57) c fonisc la isulan dll foz scambia a fluido maccina si iduc a una smplic quazion voial: F m& ( V V ) pns pns (3.58) dov il pimo min appsna la vaiazion di quanià di moo dl fluido a ingsso d uscia dlla palaua, gli ali mini sono l foz dovu al campo di pssion agn sull supfici di ingsso d uscia. L lazioni (3.57) (3.58) vngono comunmn usa p il calcolo dlla spina sciaa dal fluido sull pal, ncssaia in fas di pogo vifica mccanica suual. Si icoda c la (3.57) è saa icavaa imponndo la consvazion dlla quanià di moo a un sisma fluido c soddisfi l sguni iposi: Moo pmann Supfici assialsimmic Effi dll azion dl pso ascuabili Azioni viscos sull supfici di ingsso S uscia S ascuabili. La lazion (3.58) è invc valida s, all pcdni, vin aggiuna l iposi di flusso monodimnsional (D). In mania dl uo analoga si calcola la coppia sciaa ispo all ass dlla maccina C a. Applicando il oo all quazion di consvazion dlla quanià di moo, uilizzando l iposi pcdni si icava: Ca VdmS V dms (3.59) S S ssndo la coppia sciaa dalla pssion sull supfici S S nulla, p l iposi di assialsimmia. S si aggiung l iposi di monodimnsionalià, la lazion pcdn divna: m& V V (3.60) ( ) Ca m, m, dov m è il aggio mdio dlla szion. In condizioni di gim, l supfici bagna uoano alla vlocià cosan ω. La ponza scambiaa dal fluido con la maccina, con l iposi fa val: P Caω m& ( UV UV ) (3.6) d infin, il lavoo scambiao a fluido palaua divna: P L UV UV (3.6) m & dl uo idnica all spssion dl Lavoo di Eulo fonia dalla (3.5). Si icoda c ssa pm di calcola il lavoo al scambiao a fluido palaua. In mania dl uo analoga si pocd nl caso di maccina opaic. L lazioni vis sono sa onu imponndo alcun iposi smplificaiv, a cui la più siiva è saa qulla di consida il flusso mono- dimnsional. A vall di una scia infai il flusso è bn lungi dall ss unifom, a causa dlla psnza dll sci dll pal, com mosa il gafico di figua 3.3 dov vin scmaicamn ipoao l andamno dlla vlocià a divs disanz dalla szion di uscia dlla scia. Com mosao in figua, il flusso nd ad unifomasi pocdndo vso vall. All inno dlla maccina l assunzion di flusso unifom è alloa bn lungi dall ss vificaa, a causa dl limiao spazio sisn a oo sao, a sadi succssivi, nl caso di maccin mulisadio. Tuavia, com appoccio di pimo naivo può foni uili infomazioni sugli scambi di lavoo c avvngono all inno dlla maccina, fonndo uno sumno di smplic immdiao uilizzo. 33

Figua 3.3. Rappsnazion scmaica dllo sviluppo dllo sao limi sull supfici palai dll sci in una scia piana. 3.5. Analisi monodimnsional di uno sadio Ni paagafi pcdni si è inodoo il conco di sadio, composo da una palaua fissa, da sao o disibuo, da una mobil, da oo o gian. Nll maccin idaulic, spsso la singola maccina, pompa o ubina, è composa da un unico sadio. Vicvsa, nll ubin a vapo a gas, così com ni compssoi, spsso si anno più sadi in si c vanno a cosiui l aciua dlla maccina. Figua 3.4. 34

Figua 3.5. Supfici di flusso assialsimmica. Figua 3.6. Tasfomazion di una supfici di flusso assialsimmica in una scia La gomia dll maccin a fluido è alamn idimnsional, così com il flusso c in ss volv. E uavia spsso applicabil, in pima appossimazion, un appoccio mono - dimnsional, in mania dl uo analoga a quano è sao fao p dmina il Lavoo Euliano. Considiamo quindi c siano valid l assunzioni fa in pcdnza qui di sguio ipoa: Moo pmann Supfici assialsimmic Effi dll azion dl pso ascuabili Azioni viscos sull supfici di ingsso uscia ascuabili. 35

Vdiamo mglio com nlla alà può ss scmaizzaa la gomia di una gnica palaua, p po sosiui l iposi di supfici assial - simmic con qulla di moo mono - dimnsional. Con ifimno alla figua 3.4, supponiamo di ffua una szion dlla maccina lungo la supfici S. Qusa supfici si snd in dizion angnzial su ui i 360 : AB, CD EF sono l acc dlla sua inszion con l pal. Ciò c si oin, nl caso di maccina a flusso miso, è la supfici di ivoluzion di figua 3.5, c considiamo assial - simmica. Nl caso paicola di maccina assial, S è una supfici cilindica, così com ipoao in figua 3.6. Comunqu sia, ogni puno appann alla supfici S disa dall ass di oazion di R m, dfinio com: Ra + Rb Rm (3.63) do aggio mdio, dov R a è il coispondn aggio all apic dlla pala (il puno L in figua 3.4) R b qullo alla bas (il puno K in figua 3.4). E poi possibil dfini, nl caso di maccina a flusso miso (figua 3.5), una coodinaa cuvilina il cui vso sia angn in ogni puno alla supfici S. Qusa coodinaa individua la dizion midiana. Nl caso di una maccina assial, la coodinaa midiana coincid con la dizion assial. Nl caso di maccina assial (figua 3.6), è poi possibil aglia qusa supfici cilindica soolala su un piano. Il isulao di al opazion è do piano inapala o blad o blad, d è ipoao anc sso in figua 3.6. Sono ciaamn individuabili i canali c il fluido dv pco, dlimiai dall supfici dll pal. P smplicià, solo poc pal sono ipoa nl disgno. Lo ssso pocdimno può ss ffuao sia p il oo, sia p lo sao, indipndnmn dal ipo di maccina, moic o opaic. E infin possibil individua un ala supfici, smplicmn andando a aglia la maccina scondo un piano (R,z), ssndo R il aggio z la dizion assial. Il piano così individuao è do piano midiano. Un smpio è la supfici di figua 3.7, c fa ifimno ad una ubina assial muli-sadio. Figua 3.7. Tubina assial muli sadio: piano midiano. 36

Si indici con 0 la szion in ingsso allo sao, con la szion di uscia dallo sao di ingsso nl oo con la szion di uscia dal oo. In figua 3.6 sono ipoai i iangoli di vlocià in qus szioni. Nlla szion di ingsso allo sao, s quso è il pimo sao all ingsso dlla maccina, alloa la vlocià assolua V 0 è dia lungo la dizion assial. S invc è uno sadio inmdio, la sua dizion saà imposa dagli sadi pcdni. In paicola, all uscia dllo sao, il fluido è doao di una vlocià assolua V dia com la angn al bodo d uscia dlla pala. P calcola la vlocià di al fluido nl sisma laivo W, basa compo la vlocià assolua con qulla pifica U. E inol possibil individua du angoli: l angolo α a il vo vlocià assolua la dizion dlla vlocià pifica l angolo β a il vo vlocià laiva ancoa la vlocià pifica. Analogamn, all uscia dl oo, il fluido sgu pfamn la pala. Esso quindi uscià dal oo doao di una vlocià laiva W dia scondo la angn al bodo d uscia dlla pala dl oo. Componndo al vo con la vlocià di ascinamno, si icava il vo vlocià assolua V. Tal vlocià saà la vlocià di scaico dalla maccina, s si aa di una maccina monosadio o s lo sadio in oggo è l ulimo; saà invc la vlocià in ingsso allo sadio succssivo nl caso di sadio inmdio. In quso caso, la pala dllo sao dovà ss confomaa in mania al da av il naso (bodo d aacco) oinao scondo la dizion dl vo vlocià assolua. Anc in qusa szion è poi possibil dfini un angolo dl flusso laivo β un angolo dl flusso assoluo α, in mania dl uo idnica a quano fao nlla szion di uscia dallo sao. Appliciamo oa l quazion di consvazion dlla poaa alla gnica palaua, supponndo valid l iposi iciama in pcdnza: ρ V m,a ρvm,a (3.64) avndo indicao con il pdic m la componn di vlocià nomal alla szion di passaggio, da componn midiana dlla vlocià. P una maccina assial, com qulla appsnaa in figua 3.7, il snso di aavsamno dlla maccina coincid con la dizion assial, p cui la componn di vlocià sponsabil dl aspoo di massa è la componn assial. In una maccina adial invc, la componn dlla vlocià sponsabil dl aspoo di massa aavso la maccina coincid con la componn adial dlla vlocià. Si fa noa com, gazi all iposi fa, l quazion dlla consvazion dlla poaa sia complamn disaccoppiaa dall quazion di Eulo; ciò implica c ciò c avvin nl piano inapala è dl uo indipndn da ciò c avvin nl piano midiano. In al paol, il piano midiano è inssao al aspoo di massa, mn il piano inapala è inssao dagli scambi di ngia. Infai, nll quazion di Eulo compa solo la componn angnzial dlla vlocià, ol alla vlocià pifica, mn nll quazion di consvazion dlla poaa compa unicamn la componn midiana. 3.6. Pomp ubin idaulic I du casi pcdni si ifiscono a maccin c opano su fluido compimibil. Vdiamo oa c cosa succd nl caso di fluido incompimibil, qual ad smpio acqua. Innanziuo si fa noa com, a diffnza dll maccin mic, c cioè laboano fluidi compimibili, l maccin idaulic psnano bass ngi p unià di massa. Ciò è dovuo alla ncssià di limia gli sfozi agni sull supfici dlla maccina; basi pnsa all nom diffnza di dnsià a acqua (000 kg/m 3 ) aia (cica. kg/m 3 ). Tuo ciò fa sì c, ispo all maccin mic, nll maccin idaulic si abbiano bass vlocià bassi gimi di oazion, ma in psnza di gandi poa in massa. Inol, l maccin idaulic sono spsso maccin mono sadio. 37

Quando il fluido è incompimibil, si è viso c l quazion dll ngia assum la foma daa dalla (.), c va soo il nom di Equazion di Bnoulli: p p V V L Lp + + g( z z ) (3.65) ρ Si dfinisc Pvalnza gh l incmno di ngia mccanica c subisc il fluido p kg di massa nll aavsa la maccina: p p V V gh + + g( z z ) ( L ) L p (3.66) ρ E alloa l ngia c il fluido icv nll aavsa la maccina, spssa in [J/kg], appsna il lavoo idal. Si è inol ovao c, smp p fluido incompimibil, la pssion oal è dfinia dalla lazion (.3) c, sosiuia nlla (3.66) fonisc: p p gh (3.67) ρ Spsso si uilizza, al poso dlla pvalnza gh spssa in [J/kg], la pvalnza H, da anc salo, spssa in [m]: p ( ) p V V p V p V H + + z z + + z + + z (3.68) ρg g ρg g ρg g dov il min a pansi a dsa dl scondo sgno di uguaglianza va soo il nom di inomio di Bnoulli. In analogia a quano fao p i compssoi, anc nl caso di maccin idaulic si dfinisc il ndimno idaulico com appoo a lavoo idal lavoo al: Lid gh η id (3.69) L gh + L p Dl uo spcula isula la aazion p l ubin idaulic, di cui si ipoano solo i isulai: p ( ) p V V p V p V H + + z z + + z + + z (3.70) ρg g ρg g ρg g L gh + L p η id (3.7) Lid gh Quano viso in pcdnza iguado all aciua dlla maccina, in paicola alla dfinizion dl piano inapala di iangoli dll vlocià, sa dl uo idnico. Ciò c invc cambia è la gomia dlla maccina nl piano midiano, dov la szion di passaggio non dv più ss vaiaa p compnsa l vaiazioni di dnsià dl fluido. P una pompa alloa l spssion dlla consvazion dlla poaa divna: Vm, A Vm,3A3 (3.7) c in paica posula la consvazion dlla poaa volumica. 3.7. Gado di azion Si è do com il lavoo vnga accolo dal solo oo, ma si è anc do com in alà ciò avvnga aavso du mccanismi di asfimno di ngia nl fluido: aavso vaiazioni di ngia cinica vaiazioni di pssion. Ci si cid a quso puno qual sia il conibuo laivo di qusi du mccanismi all ffivo scambio di lavoo a fluido maccina. A al scopo si dfinisc Gado di Razion: 38

V V L χ (ubina) (3.73) L dov al numao vi è qulla pa di lavoo c non diva dalla vaiazion di vlocià assolua a cavallo dl oo, ma lgaa al campo di pssion (si icodino l du spssioni dll quazion di consvazion dll ngia (.8) (3.5), in cui si è ascuaa la vaiazion di quoa si è ipoizzaa una asfomazion isnopica). Qus ulimo min può ss ciamao lavoo di azion. La dfinizion di gado di azion fonia dalla (3.73) val p maccin moici a fluido compimibil. Nl caso di compssoi, ssa divna: V V L χ (compsso) (3.74) L 39