Funzione di trasferimento

Funzione ditrasferimento - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Funzione di trasferimento DEIS-Università di Bologna Tel. 51 2932 Email: crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Definizione funzione di trasferimento Funzione ditrasferimento - 2 Modello del sistema (lineare e tempo invariante) nel dominio temporale L evoluzione temporale dello stato e dell uscita è dato dal contributo dell evoluzione forzata (effetto dell ingresso) e dell evoluzione libera (effetto dello stato iniziale) Considerando come segnali temporali possiamo procedere a trasformare la relazione sopra nel dominio di Laplace Funzione ditrasferimento - 3 Dalla proprietà delle derivate si ha che e quindi, trasformando entrambe i membri dell equazione di stato e utilizzando la proprietà di linearità, ovvero, considerando la trasformazione dell uscita, 1

Funzione ditrasferimento - 4 Evoluzione del sistema nel dominio di Laplace (soluzione del sistema di equazioni differenziali): Evoluzione forzata Evoluzione libera La trasformata di Laplace consente di trasformare una equazione differenziale in una equazione algebrica di immediata soluzione Funzione ditrasferimento - 5 Problema Oggetto Soluzione Oggetto Problema Immagine Soluzione Immagine Funzione ditrasferimento - 6 (funzione di trasferimento) La funzione di trasferimento risulta essere una funzione razionale fratta (rapporto di polinomi in ) in cui l ordine del polinomio al denominatore è (ordine del sistema) mentre quello al numeratore è. Infatti matrice di polinomi ordine vettore reale polinomio ordine vettore 2

Funzione ditrasferimento - 7 L ordine del numeratore risulta essere uguale a quello del denominatore nel caso (collegamento algebrico ingresso-uscita) grado relativo: differenza tra l ordine del polinomio a denominatore e quello a numeratore (numero sempre >=) La funzione di trasferimento si dice propria se il grado relativ o è zero, strettamente propria altrimenti. L effetto della risposta libera risulta essere una funzione razionale fratta con l ordine del polinomio a numeratore < di quello a denominatore matrice di polinomi ordine vettore N.B.: Stesso polinomio a denominatore di polinomio ordine vettore Funzione ditrasferimento - 8 Nel caso lo stato iniziale sia zero la funzione di trasferimento descrive completamente il comportamento dinamico di un sistema lineare tempo invariante (permette di calcolare l andamento dell uscita a fronte di un qualunque ingresso). Rappresentazione a blocchi: Le radici del polinomio si dicono zeri della f.d.t. Le radici del polinomio si dicono poli della f.d.t. Funzione ditrasferimento - 9 forma fattorizzata forma alternativa costante di trasferimento, guadagno tipo pulsazioni naturali coefficienti di smorzamento costanti di tempo 3

Pendolo inverso: Funzione ditrasferimento - 1 Esempi calcolo funzione di trasferimento Modello del sistema linearizzato: Uscita: Altoparlante magnetico Modello del sistema: Funzione ditrasferimento - 11 N S N Uscita: Aeroplano Modello linearizzato: Funzione ditrasferimento - 12 Ingressi: Uscite: 4

Funzione ditrasferimento - 13 Problema: data la soluzione della equazione differenziale nel dominio di Laplace calcolare l andamento nel dominio del tempo in funzione dell ingresso e dello stato iniziale (evoluzione temporale dell uscita) funzioni razionali fratte Nel caso (sempre vero nel nostro corso) in cui la trasformata di Laplace dell ingresso sia anch essa una funzione razione fratta allora il problema diviene quello di antitrasformare il rapporto di due polinomi in Grazie alla proprietà di linearità dell operatore anti-trasformata di Laplace la risposta libera e quella forzata possono essere calcolati separatamente e con il medesimo carico computazionale (anti-trasformata di rapporti di polinomi) Funzione ditrasferimento - 14 Dalla teoria appena sviluppata si ha che la risposta di un sistema dinamico a fronte di un ingresso e sempre scomponibile nella somma di tre contributi: (1) (2) (3) 1) Contributo dinamiche proprie del sistema (il cui andamento e strutturalmente governato dai poli della funzione di trasferimento) 2) Contributo ingresso (il cui andamento e strutturalmente governato dalle radici del denominatore di ) 3) Contributo condizioni iniziali (il cui andamento e strutturalment governato dai poli della funzione di trasferimento) Funzione ditrasferimento - 15 I contributi (1) e (3) mettono in rilievo dinamiche proprie del sistema. Si parla in genere di modi del sistema dinamico per individuare gli andamenti temporali elementari associati ai poli della fdt. I modi sono quindi dinamiche proprie del sistema indipendenti dal particolare ingresso. La risposta libera di un sistema dinamico ad un qualunque stato iniziale e sempre scomponibile nella somma di modi elementari La risposta forzata di un sistema dinamico ad un ingresso impulsivo ( ) e sempre scomponibile nella somma di modi elementari 5

3 2 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1.5.5 -.5 1-1 -3 x 1 5 4 5 4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 5.15.1.5 -.5 -.1 -.15 15 1 5.25.15.5.4.35.3.2.1 Impulse Response ImpulseResponse 1 2 3 4 5 6 7 ImpulseResponse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ImpulseResponse 1 2 3 4 5 6 7 8 Time 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 1 15 (sec) Impulse Response Impulse Response Modi del sistema associati ai poli di Funzione ditrasferimento - 16 Funzione ditrasferimento - 17 Dalla precedente teoria si ha inoltre che la risposta forzata di un sistema lineare si ottiene combinando linearmente le risposte forzate dei sottosistemi elementari del primo e secondo ordine.. Lo studio delle risposte forzate di sistemi elementari (primo e secondo ordine) acquista importanza Effetto degli ingressi nella risposta forzata Funzione ditrasferimento - 18 Nello sviluppo in fratti semplici l effetto dell ingresso contribuisce con dei termini additivi (modi dell ingresso) che si aggiungono ai modi naturali del sistema. Ci sono dei casi particolari, molto significativi, in cui la presenza dell ingresso non si manifesta semplicemente con termini aggiuntivi ma Modifica le proprietà strutturali della risposta Risonanza Non produce effetti sull uscita Proprietà bloccante degli zeri 6

Risonanza Funzione ditrasferimento - 19 1 caso: Modi naturali Effetto forzamento Funzione ditrasferimento - 2 2 caso: Poli cc a molteplicità 2 Nel caso di corrispondenza tra modi del forzamento e modi del sistema la risposta forzata cambia strutturalmente (poli a molteplicità multipla). Nell esempio appena presentato a fronte di un ingresso limitato l uscita e addirittura illimitata. Proprietà bloccante degli zeri Funzione ditrasferimento - 21 1 caso: Modo naturali Effetto forzamento 2 caso: Modi forzanti che sono coincidenti con zeri della fdt, non hanno effetto sull andamento asintotico dell uscita 7

Composizione schemi a blocchi Funzione ditrasferimento - 22 Serie Parallelo..composizione schemi a blocchi Funzione ditrasferimento - 23 Retroazione negativa Retroazione positiva 8