Capiolo 6 Le polizze rivaluabili 6.1 Inroduzione Le polizze via rivaluabili sono sae inrodoe nel mercao ialiano negli anni di ala inflazione e oggi, con l eccezione delle polizze TCM, hanno compleamene sosiuio le polizze via non rivaluabili. Le polizze rivaluabili prevedono la rivaluazione annuale delle presazioni e, a vole, anche dei premi in base al rendimeno di un fondo gesio dall assicuraore separaamene dal reso delle sue aivià, dove sono invesie le riserve delle polizze. Per queso moivo il fondo è chiamao gesione separaa ed ha quindi il duplice scopo di soosane per la rivaluazione e di coneniore degli aivi a coperura delle riserve. Le gesioni separae delle compagnie ialiane sono compose da aivi prevalenemene obbligazionari con poco rischio di credio (vincolo normaivo). Gli aivi vengono conabilizzai al coso sorico (e non al valore di mercao) e il rendimeno di gesione è calcolao in senso conabile: è il rapporo ra i reddii incassai nel periodo di riferimeno (cedole, plus/minusvalenze realizzae,...) e la consisenza media del fondo nello sesso periodo. Il meccanismo di rivaluazione è specifico della ipologia di polizza. È conceualmene analogo ad una indicizzazione ma con minimo garanio, come vedremo meglio nell analisi di deaglio. È basao sull idea di rerocedere agli assicurai una pare dell evenuale uile finanziario che sussise qualora il rendimeno di gesione risuli maggiore del asso ecnico, come abbiamo viso nel capiolo 5. Anche prima dell avveno delle polizze rivaluabili erano previse forme di parecipazione agli uili da pare degli assicurai, soprauo nelle compagnie di assicurazione di ipo muualisico, spesso con modalià fissae ogni anno in modo discrezionale dall assicuraore. Nelle polizze rivaluabic C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 75
li, invece, la parecipazione agli uili finanziari è conraualizzaa in modo preciso e impegnaivo nella regola conrauale di rivaluazione. 6.2 La formalizzazione della regola di rivaluazione In queso paragrafo formalizzeremo la regola di rivaluazione come è applicaa nella praica assciruraiva ialiana. Si consideri fissaa una polizza generica, con asso ecnico i ed eà alla sipula dell assicurao x, le cui riserve siano invesie in una gesione separaa. Si indicherà con I il rendimeno di gesione nell anno ( 1,]. 6.2.1 Uile rerocesso e uile raenuo Usando l equazione di Foure, alla ricorrenza anniversaria, la riserva maemaica della polizza in essere a quella daa può essere scria nella forma V x = 1 p x+ 1 [ 1V + x C m q x+ 1 v C vp p x+ 1 v ] (), (6.1) che la esprime ricorsivamene come monane al asso ecnico della riserva di bilancio di inizio anno, diminuia del valore delle presazioni di fine anno (caso more e caso via posicipaa), appena pagae. Il faore 1+i esprime la capializzazione della riserva per l anno ( 1, ] secondo la base ecnica finanziaria del I ordine. Tuavia, nella realà, gli aivi a coperura sono capializzai al rendimeno di gesione I. Dunque, a fine anno, dopo avere pagao le presazioni, la disponibilià finanziaria il valore degli aivi sarà D = 1 p x+ 1 [ 1V + x Cm q x+ 1 v C vp p x+ 1 v ] (1 + I ). (6.2) Confronando la (6.1) con la (6.2) si oiene che e quindi che La differenza V x = D 1 + I ( 1 + I D = V x = V x 1 + I ) i = D V x = V x I i. (6.3) c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 76
è il surplus (in senso algebrico) di valore degli aivi rispeo alla riserva che l assicuraore deve coprire. Il segno di è quello della differenza I i: il surplus è posiivo se il rendimeno degli aivi ha bauo il asso ecnico, negaivo se hanno reso meno del asso ecnico. Si raa perano di un uile (in senso algebrico) di ipo finanziario. Osservazione 6.1. Il surplus (6.3) è una misura dell uile finanziario leggermene diversa dalla componene finanziaria della scomposizione di Homans dall uile visa nel paragrafo 5.3. La differenza è pricipalmene dovua al fao che la (6.3) esprime l uile cero in di una polizza in essere al empo ; l uile finanziario in nel senso della scomposizione di Homans è oenuo invece per un conrao in essere al empo 1 ed è aleaorio (come nella (5.4)) o aeso (come nella (5.6)). Si assuma che l assicuraore voglia rerocedere all assicurao una pare del surplus (6.3), in modo da far parecipare l assicurao all uile. Poiché il surplus deriva dal rendimeno di gesione I, l idea è di fissare conraualmene un aliquoa di rerocessione (aliquoa di parecipazione) β (0, 1] e di riparire il rendimeno degli aivi in base a ques aliquoa: I = βi + (1 β)i. (6.4) La componene βi è il rendimeno rerocesso all assicurao, menre (1 β)i è il rendimeno raenuo. La scomposizione del rendimeno induce una scomposizione del surplus: l uile rerocesso rer si oiene calcolando la (6.3) per il solo rendimeno rerocesso, ciò che rimane del surplus è l uile raenuo dall assicuraore ra. In formule rer ra = V x βi i = rer, (6.5) = V x (1 β)i Ques idea non può essere (e nella praica non viene) applicaa in queso modo. Infai, se I < i/β, l uile da rerocedere sarebbe negaivo, con problemi di ipo giuridico e anche commerciale. Per queso moivo viene aggiuna la condizione che l assicurao parecipi sì all uile, ma non al disuile; viene auaa aggiugendo il vincolo che il risulao della (6.5) sia non negaivo. Le formule divenano quindi rer ( βi i = max V x ), 0 c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 77,.
ra = rer. Inroducendo il asso di rivaluazione ( ) βi i ρ = max, 0 = max(βi, i) i = 1 + max(βi, i) e ricordando che la riserva V x è non negaiva, si oiene che rer = V x ρ, 1 (6.6) cioè che l uile da rerocedere è l ineresse sulla riserva maemaica al empo, calcolao al asso ρ. Nella (6.6) il asso di rivaluazione ρ è il risulao di una formula, le cui componeni è opporuno inerpreare. Dal rendimeno rerocesso βi viene anziuo sorao il asso ecnico i perché queso è comunque dovuo all assicurao: secondo la base ecnica del I ordine, che è un impegno conrauale, l assicuraore deve remunerare a quel asso il differimeno emporale fra l incasso dei premi e il pagameno delle presazioni. La riserva, quindi, che è il debio residuo (neo) dell assicuraore, deve crescere (almeno) a quel asso e il asso di rivaluazione è una misura dell exra-rendimeno rispeo a quel asso. L exra-rendimeno βi i viene diviso per perché il asso ρ è cosruio per essere applicao alla riserva di fine anno e non a quella di inizio anno. Occorre quindi serilizzare in V x il faore prima di calcolare l uile rerocesso al asso di exra-rendimeno βi i. Il conrollo finale di non-negaivià del asso di rivaluazione è già sao discusso. L uile raenuo ra = rer si può invece esprimere nella forma ( ) I i = V x ρ ra = V x I max(βi, i) oppure, ricordando le proprieà degli operaori max e min 1, nella forma ra min[(1 β)i, I i] = V x. 1 Gli operaori max e min godono delle proprieà: max( a, b) = min(a, b) per ogni a, b, c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 78
Quindi, sempre a meno del faore 1/(1+i), l assicuraore si iene (in senso algebrico) il minore fra il rendimeno raenuo e lo spread fra il rendimeno I e il asso ecnico. Nella figura 6.1 sono mosrae alcune delle grandezze coinvole nella I max(βi, i) I i i min[(1 β)i, I i] 1 β β i (1 β)i 0 i i/β I βi I Figura 6.1. Grandezze coinvole nella cosruzione dell uile rerocesso e raenuo cosruzione dell uile rerocesso e raenuo, in funzione del rendimeno I. In riferimeno a quella figura, è immediao osservare che: Se I < i l assicuraore non è riuscio a rivaluare gli aivi in maniera min( a, b) = max(a, b) per ogni a, b, max(a, b) + c = max(a + c, b + c) per ogni a, b, c, min(a, b) + c = min(a + c, b + c) per ogni a, b, c, c max(a, b) = max(c a, c b) per ogni a, b, c con c 0, c min(a, b) = min(c a, c b) per ogni a, b, c con c 0. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 79
sufficiene e il surplus è negaivo: = V x I i < 0. Poiché β > 0, si ha che βi i < I i < 0 e quindi il asso di rivaluazione è nullo ( ) βi i ρ = max, 0 = 0, l uile rerocesso è nullo rer = V x ρ = 0 e l uile raenuo è negaivo, coincide con il surplus ed è, in valore assoluo, l enià dell inegrazione che l assicuraore deve operare per coprire la riserva in : ra = = V x I i < 0. Se i I < I/β la siuazione è migliore ma non rosea: il surplus è non negaivo e gli aivi sono sufficieni a coprire la riserva. Il rendimeno di gesione ha bauo il asso ecnico, ma di poco : essendo I < i/β si ha che βi < i. Quindi il asso di rivaluazione è nullo, non vi è uile rerocesso e, poiché 0 min[(1 β)i, I i] = I i < (1 β)i l uile raenuo è non negaivo ma minore di quello che si oerrebbe poendo uilizzare il rendimeno raenuo (1 β)i. Se infine I i/β, il surplus è posiivo, il asso di rivaluazione è ( ) βi i ρ = max, 0 = βi i 0 e il asso che deermina l uile raenuo è min[(1 β)i, I i] = (1 β)i 1 β β i 0. Esempio numerico 6.1. Si consideri una polizza con i = 4% e β = 80%. Il asso ecnico è al livello ipicamene praicao fino alla fine degli anni 90, menre l aliquoa di rerocessione è uora sandard per polizze rivaluabili a premio annuo. I livelli criici del rendimeno di gesione sono quindi I = i = 4% e I = i/β = 5%. L analisi dei re casi precedeni fornisce: c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 80
Se l assicuraore non riesce a rivaluare gli aivi di almeno il 4%, la siuazione è pessima: non solo non può rerocedere uile, ma deve coprire con capiale proprio il disuile che si crea per l insufficienza di rendimeno degli aivi. Se 4% I < 5% la siuazione è migliore ma non oimale. Non si è creao disuile, ma l uile generao è scarso: non è sufficiene a rerocederne una pare all assicurao e l uile raenuo è meno del prevenivao 20% del rendimeno di gesione. Il caso I 5% è quello ideale: l assicuraore può raenere esaamene il 20% del rendimeno e, se I > 5%, rimane anche qualcosa da rerocedere all assicurao. Esempio numerico 6.2. Le condizioni conrauali ipiche delle polizze rivaluabili a premio annuo commercializzae alla fine del 2007 prevedono i = 1.5% e β = 85%. I livelli criici del rendimeno di gesione sono quindi I = i = 1.5% e I = i/β 1.76%. Osservazione 6.2. Il caso limie β = 0 corrisponde al caso di polizza non rivaluabile: essendo βi i = i < 0, il asso di rivaluazione è ρ = 0 e l inero surplus è raenuo dall assicuraore. All alro esremo si ha il caso β = 1, dove vi è rerocessione inegrale dell uile, se posiivo. In queso caso, infai, se I i/β = i risula rer I < i risula rer = 0 e = ra < 0. = 0 e ra = 0, menre se Una vola ripario il surplus, vi possono essere varie forme di auazione della rerocessione. Nei paragrafi che seguono verranno analizzae le più diffuse: rerocessione soo forma di cedola, come incremeno (rivaluazione) delle presazioni, come rivaluazione sia delle presazioni che dei premi. 6.2.2 Rerocessione soo forma di cedole Il conrao può sabilire che l uile rerocesso venga liquidao all assicurao al empo. Queso caso è presene nella praica assicuraiva ialiana solo in alcune polizze commercializzae nei canali bancassicuraivi, con lo scopo di fare compeere il prodoo con prodoi finanziari che prevedono cedole. Esempio 6.3. Si consideri una polizza misa a premio unico, con duraa n anni, capiale assicurao C, asso ecnico i = 0, rerocessione dell uile soo forma di cedole annuali con aliquoa di rerocessione β = 90%. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 81
In quesa ipologia conrauale, diffussa nella praica bancassicuraiva, la riserva maemaica coincide in ogni isane con il capiale assicurao C (cfr. l osservazione 3.4): V x = C ( n E x+ + n A x+ ) = C. Fissao il rendimeno di gesione I, il asso di rivaluazione è ρ = max(βi, 0) e l uile rerocesso, la cedola annuale, è quindi rer = V x ρ = C max(βi, 0). La polizza è facilmene confronabile con un obbligazione di nominale C, con cedole annuali indicizzae al 90% del rendimeno di gesione. 6.2.3 Rerocessione soo forma di rivaluazione delle presazioni Nei casi più frequeni l uile rerocesso non viene liquidao all assicurao al empo, ma viene rasformao in un incremeno (rivaluazione) delle presazioni della polizza. Il procedimeno è quello di usare l uile da rerocedere per acquisare per cono dell assicurao una polizza (aggiuniva) dello sesso ipo e con la sessa scadenza di quella originale (polizza base) ma a premio unico. In queso modo alle presazioni della polizza base vengono sommae quelle previse dalla polizza aggiuniva e si prosegue come se la polizza fosse saa originariamene sipulaa per le presazioni risulani. Quesa procedura viene auaa ad ogni ricorrenza anniversaria e le presazioni conrauali vengono quindi incremenae di anno in anno. La polizza aggiuniva che l assicuraore vende ogni anno ha un coso uguale all uile da rerocedere per quell anno e può essere a premio unico puro o a premio unico di invenario. Nel primo caso l assicuraore non applica caricameni alla polizza aggiuniva: il relaivo premio unico puro coincide con il premio unico di ariffa ed enrambi sono uguali all uile rerocesso. Nel secondo caso, invece, l assicuraore applica un caricameno e quindi il premio unico puro è minore del premio unico di ariffa, che coincide con l uile rerocesso. La erminologia premio unico di invenario, che significa premio unico gravao della sola componene di caricameno per spese di gesione, allude alla scomposizione radizionale del caricameno: poiché non vi sono spese di acquisizione (il cliene è già acquisio) né di c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 82
incasso (si raa di un incasso viruale ) l unico caricameno da applicare è quello per spese di gesione. 2 Poiché il premio unico puro della polizza aggiuniva coincide con la riserva presazioni della sessa, nella rivaluazione a premio unico puro, per effeo della rivaluazione, la riserva della polizza cresce esaamene dell uile rerocesso: indicando con V x la riserva maemaica in, calcolaa sulla base delle presazioni non ancora rivaluae, e con Vx riv la riserva calcolaa con le presazioni rivaluae, risula V riv x = V x + rer. (6.7) Nella rivaluazione a premio unico di invenario, invece, nel membro sinisro della formula precedene occorre sorarre il caricameno G applicao: V riv x = V x + rer G. (6.8) La descrizione appena esposa della regola di rivaluazione delle presazioni appare macchinosa e complicaa da illusrare al cliene; può uavia essere radoa in regole di rivaluazione delle presazioni. Anzi, normalmene, nei conrai non si parla di uile rerocesso, né di rivaluazione a premio unico puro, ma si descrive la regola annuale di rivaluazione delle presazioni in modo ricorrene, a parire dal livello raggiuno l anno prima e dal asso di rivaluazione per l anno in quesione. Esempio 6.4. Un esempio ipico di formalizzazione conrauale della regola di rivaluazione per una polizza di capiale differio a premio unico con β = 85% e i = 1.5% è: Il capiale assicurao viene rivaluao ad ogni ricorrenza anniversaria. La misura annua della rivaluazione è l 85% del rendimeno cerificao della gesione separaa, diminuio di 1.5%, diviso per 1.015. La misura annua di rivaluazione non può risulare negaiva. Come si vedrà nell esempio 6.5, è la rascrizione a parole della regola ricorrene di rivaluazione del capiale assicurao nel caso di rivaluazione a premio unico puro. La raduzione della regola di rivaluazione, che sia a premio unico puro o di invenario, in regola di rivaluazione delle presazioni dipende dalla 2 Nella modalià di rivaluazione a premio unico puro il conrao dovrebbe essere progeao in modo che le spese di gesione delle polizze aggiunive siano copere dai caricameni della polizza base. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 83
ipologia del conrao. Si raa di imporre la condizione (6.7) o (6.8) e ricavare le presazioni rivaluae a parire da quelle non rivaluae. Esempio 6.5. Si consideri una polizza di capiale differio a premio unico, sipulaa da un assicurao di eà x per la duraa di n anni. Si assuma che sia conraualmene sabilia la rivaluazione annuale del capiale assicurao a premio unico puro. Sia C 1 il capiale assicurao come rivaluao fino alla ricorrenza anniversaria 1. Se si indica con C agg k l incremeno di presazione aggiuno alla ricorrenza anniversaria k-esima, risula nauralmene che 1 C = C 0 + k=1 C agg k, essendo C 0 il capiale inizialmene assicurao. Al empo, subio prima della rivaluazione, la riserva maemaica della polizza è xv = C 1 n E x+. Sia ρ il asso di rivaluazione per l anno ( 1,]; l uile da rerocedere alla polizza è rer = x V ρ = C 1 n E x+ ρ. Il asso di premio unico puro della polizza aggiuniva n u x+, cioè il premio unico puro per unià di capiale assicurao della polizza di capiale differio per n anni è n u x+ = n E x+. Si osservi che il asso di premio unico puro coincide con il asso di riserva presazioni: in enrambi i casi è il valore auale auariale, secondo la base ecnica del I ordine, delle presazioni residue della polizza. Il capiale assicurao della polizza aggiuniva, cioè il capiale aggiunivo C agg, si deermina imponendo la condizione che il premio della polizza aggiuniva sia uguale all uile da rerocedere: da cui si oiene che C agg = rer = n u x+ C agg n u x+ = rer, x V ρ = C 1 n u x+ ρ = C 1 ρ. n u x+ n u x+ La riserva della polizza aggiuniva è uguale al premio unico puro e quindi V agg x = rer. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 84
L effeo della rivaluazione è quello di incremenare il capiale assicurao secondo la regola C = C 1 + C agg = C 1 (1 + ρ ). La riserva della polizza dopo la rivaluazione è V riv x = V x + V agg x = V x + rer e la rivaluazione rasforma quindi l uile rerocesso in incremeno di riserva della polizza. Osservazione 6.3. La regola di rivaluaazione del capiale assicurao visa nell esempio 6.5 è di ipo ricorrene C = C 1 (1 + ρ ) (6.9) e si chiama regola di rivaluazione piena. Indicando con C 0 il livello iniziale del capiale assicurao, sabilio conraualmene alla sipula, la regola di rivaluazione piena ammee la soluzione in forma chiusa C = C 0 (1 + ρ ). (6.10) k=1 Esempio 6.6. Si consideri il caso dell esempio 6.5, ma con regola conrauale di rivaluazione a premio unico di invenario. Sia n g x+ il asso di caricameno per spese di gesione (per unià di premio di ariffa, come usuale per i assi di caricameno) del premio unico della polizza aggiuniva che realizza la rivaluazione alla ricorrenza anniversaria. Si noi che, in linea di principio, il asso di caricameno può dipendere da per ramie dell eà raggiuna x + e della duraa residua n, che è la duraa della polizza aggiuniva. Il asso di premio unico di invenario (per unià di capiale aggiunivo) è allora n x+ = n u x+ = n E x+. 1 n g x+ 1 n g x+ Ripeendo il ragionameno dell esempio 6.5, parendo dalla condizione che il premio di ariffa della polizza aggiuniva sia uguale all uile raenuo: C agg n x+ = rer, c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 85
si oiene che C agg V agg x V riv x = rer = C 1 (1 n g x+ ) ρ, n x+ = C agg n u x+ = rer n u x+ n x+ = rer (1 n g x+ ), C = C 1 + C agg = C 1 [1 + (1 n g x+ )ρ ], = V x + V agg x = V x + rer rer n g x+. Quindi, rispeo al caso di rivaluazione a premio puro, essendo n g x+ > 0 e quindi (1 n g x+ ) ρ ρ, la rivaluazione del capiale assicurao è meno che piena, perché frenaa dal asso di caricameno. Equivalenemene, non uo l uile da rerocedere viene rasformao in incremeno di riserva della polizza perché viene applicao il caricameno G = rer n g x+. Esempio 6.7. In una polizza misa a premio unico la siuazione è formalmene analoga a quella della capiale differio, sia nel caso di rivaluazione a premio unico puro che in quello di rivaluazione a premio unico di invenario. L unica cosa che cambia è l espressione del asso di premio unico puro della polizza aggiuniva, che coincide con il asso di riserva presazioni. Nel caso della misa è n u x+ = n E x+ + n A x+. Ripeendo il calcolo, infai, si oengono le sesse espressioni già oenue per la capiale differio perché, come in quel caso, il asso di premio unico puro si semplifica. Esempio 6.8. Si consideri una polizza di capiale differio a premio annuo cosane, con rivaluazione del capiale assicurao a premio unico puro. Sia n la duraa conrauale, C 0 il capiale assicurao iniziale, definio alla sipula del conrao, C 1 il capiale assicurao come rivaluao fino alla ricorrenza anniversaria 1, P il premio annuo puro e x l eà dell assicurao alla sipula del conrao. Nauralmene si ha P = C 0 ne x ä n x = C 0 n u x nä x, (6.11) dove n u x è il asso di premio unico puro, che coincide con il asso di riserva presazioni ed è lo sesso della versione a premio unico del conrao, c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 86
raaa nell esempio 6.5. Al empo, subio prima della rivaluazione, la riserva maemaica della polizza è V x = C 1 n E x+ P n ä x+ = C 1 n u x+ P n ä x+. Fissao il asso di rivaluazione ρ, e quindi l uile da rerocedere rer = V x ρ, il capiale aggiunivo è dao da C agg = rer = C 1 n u x+ P n ä x+ n u x+ n u x+ ρ = C 1 ρ P n ä x+ n u x+ ρ. Rispeo alla versione a premio unico si oiene quindi un ermine correivo a sorarre. Ricordando la (6.11), il ermine correivo può essere scrio nella forma P n ä x+ nu x n ä x+ ρ = C 0 ρ n u x+ n u x+ n ä x e quindi C agg = C 1 ρ C 0 nu x n ä x+ n u x+ ä n x ρ. Essendo la regola di rivaluazione a premio unico puro, la riserva maemaica della polizza aggiuniva coincide con l uile rerocesso e quindi la riserva maemaica complessiva cresce esaamene dell uile rerocesso. La regola di rivaluazione del capiale assicurao è C = C 1 + C agg = C 1 (1 + ρ ) C 0 nu x n ä x+ n u x+ ä n x ρ. Osservazione 6.4. Si può dimosrare che, nei casi di rilevanza praica, il coefficiene auariale del ermine correivo che compare nella regola di rivaluazione a premio unico puro della polizza di capiale differio a premio annuo dell esempio 6.8 può essere approssimao efficacemene con nu x n ä x+ = n E x n ä x+ n n u x+ n ä x n E x+ n ä x n Acceando quesa approssimazione la regola di rivaluazione del capiale assicurao divena C = C 1 (1 + ρ ) C 0 n n ρ. (6.12) Se ne può oenere un inerpreazione significaiva riscrivendola nella forma C agg = C C 1 = (C 1 C 0 )ρ + n C 0 ρ, che mosra come il capiale aggiunivo derivane dalla rivaluazione al empo sia la somma di due componeni:. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 87
1. l ineresse al asso ρ sulla rivaluazione inervenua dalla daa di sipula fino alla ricorrenza anniversaria precedene, cioè sui capiali aggiunivi corrisposi in anni precedeni; 2. l ineresse al asso ρ sulla frazione del capiale inizialmene assicurao che corrisponde ai premi versai fino alla daa correne, rapporai agli n conraualmene previsi. L inerpreazione è la seguene: la presazione è saa pagaa per /n e quindi il capiale aggiunivo (che è un ineresse) viene calcolao sui /n del capiale inizialmene assicurao, cui si aggiunge l ineresse composo, cioè la rivaluazione delle rivaluazioni concesse in anni precedeni, che spea per inero. Si noi che la (6.12), che va soo il nome di regola degli ennesimi ed è naa come un approssimazione della regola meodologicamene correa, è ormai acceaa anche a livello conrauale. È infai più rasparene e semplice da spiegare alla clienela e meno complessa da gesire per l assicuraore. Osservazione 6.5. La regola di rivaluazione della presazione per l ulimo anno della polizza dell esempio 6.8 è C n = C n 1 (1 + ρ n ) C 0 nu x 0 ä x+n 0u x+n n ä x ρ n. Poiché 0 ä x+n = 0, il ermine correivo si annulla e si ha C n = C n 1 (1 + ρ n ), cioè nell ulimo anno di polizza la rivaluazione è piena. Lo sesso accade anche per l approssimazione agli ennesimi, essendo C n = C n 1 (1 + ρ n ) C 0 n n n ρ n = C n 1 (1 + ρ n ), corenemene con l inerpreazione del ermine correivo faa nell osservazione 6.4: al empo n ui i premi conraualmene previsi sono sai pagai. Esempio 6.9. In riferimeno all esempio 6.8, se la presazione previsa è di ipo miso anziché di capiale differio, il risulao che si oiene è formalmene analogo. L unica differenza è nell espresione del asso di premio unico puro (che è ovviamene la sessa della misa a premio unico). Anche in queso caso la regola di rivaluazione può essere efficacemene approssimaa con la regola degli ennesimi. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 88
Esempio 6.10. In una polizza di capiale differio o misa a premio annuo cosane, con rivaluazione delle presazioni a premio unico di invenario, si può ripeere il procedimeno dell esempio 6.8, adaandolo alla presenza del asso di caricameno non nullo n g x+. L espressione che si oiene è C = C 1 [1 + (1 n g x+ )ρ ] C 0 nu x n ä x+ n u x+ n ä x (1 n g x+ )ρ, dove nauralmene il asso di premio unico puro n u x+ è quello della polizza specifica (misa o capiale differio). Come nel caso delle polizze corrispondeni a premio unico, la rivaluazione è minore di quella del caso a premio unico puro, per la presenza del ermine (1 n g x+ ) < 1. Esempio 6.11. Nel caso di una polizza di rendia vializia, immediaa o posicipaa, emporanea o meno, anicipaa o posicipaa, i risulai che si oengono sono analoghi a quelli della polizza di capiale differio. L analogia dipende dal fao che nella polizza di capiale differio la riserva presazioni e il premio unico puro sono proporzionali al capiale assicurao, menre nella polizza di rendia la proporzionalià è rispeo alla raa della rendia assicuraa. Se la polizza è a premio annuo, uavia, nel rasformare la regola di rivaluazione in formula ricorrene di rivaluazione della raa della rendia occorre disinguere fra il periodo pagameno premi, che nel caso differio soliamene coincide con il periodo di differimeno, e il periodo successivo. Nel primo periodo, infai, sviluppando la (6.7) (o la (6.8), se la rivaluazione è a premio unico d invenario) si oiene che la rivaluazione della raa della rendia è frenaa dalla presenza del premio annuo, menre nel secondo periodo, essendo saai pagai ui i premi previsi, la rivaluazione è piena (evenualmene correa con il asso di caricameno applicao). 6.2.4 Rerocessione soo forma di rivaluazione di premi e presazioni Come viso nell analisi delle regole di rivaluazione delle polizze a premio annuo, la rivaluazione delle presazioni è frenaa, rispeo alla rivaluazione piena, dal fao che non ui i premi sono sai pagai. Non è infai possibile rivaluare le presazioni in modo pieno perché si romperebbe l equilibrio della polizza: per finanziare l incremeno di riserva sarebbe necessario un imporo maggiore dell uile da rerocedere. Una soluzione per ovviare a queso problema è di rivaluare anche il premio annuo che c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 89
l assicurao corrisponde; la rivaluazione riguarda nauralmene solo i premi ancora da versare. Illusriamo queso procedimeno per il caso di una polizza misa a premio annuo rivaluabile. Esempio 6.12. In una polizza misa a premio annuo rivaluabile, con capiale assicurao rivaluabile, duraa n anni, eà dell assicurao alla sipula x, sia il capiale assicurao che il premio annuo rivaluano in modo pieno. Se i livelli iniziali del capiale assicurao e del premio annuo puro sono rispeivamene C 0 e P 0, la regola conrauale è In forma chiusa si oiene che C = C 0 C = C 1 (1 + ρ ), P = P 1 (1 + ρ ). (1 + ρ k ), P = P 0 (1 + ρ k ). k=1 La regola di rivaluazione è meodologicamene correa. Infai l uile da rerocedere al empo è rer k=1 = V x ρ = (C 1 n u x+ P 1 n ä x+ ) ρ e la riserva dopo la rivaluazione risula xv riv = C n u x+ P n ä x+ = C 1 (1 + ρ ) n u x+ P 1 (1 + ρ ) n ä x+ = (C 1 n u x+ P 1 n ä x+ ) (1 + ρ ) = V x (1 + ρ ) = V x + rer, che mosra come la rivaluazione piena del capiale assicurao e del premio corrisponda all aribuzione alla riserva della polizza dell uile da rerocedere. 6.3 Le opzioni implicie nella rivaluazione La condizione che l assicurao parecipi all uile ma non al disuile, che viene implemenaa aggiungendo nella (6.6) un floor a zero per il asso di c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 90
rivaluazione, conferisce alla regola di rivaluazione una componene opzionale. Usando le proprieà dell operaore max, possiamo infai scomporre il asso di rivaluazione per l anno in due componeni: ρ = ρ base + ρ pu. (6.13) La prima, ρ base, è il asso di rivaluazione base; è il asso di rivaluazione privao del floor: ρ base = βi i. La seconda, ρ pu ρ pu = ρ ρ base, è la differenza ( ) βi i = max, 0 βi ( i = max 0, i βi ). La scomposizione (6.13) è la scomposizione pu del asso di rivaluazione; lo esprime come somma della componene base con la componene pu, che è un opzione che proegge il minimo garanio nullo. La scomposizione pu mosra come la rivaluazione consisa nel rerocedere ρ base pu che proegge l assicurao e scaa quando ρ base di rivaluazione al livello minimo garanio ρ gar può anche essere scria nella forma ρ pu ( = max ρ gar βi ) i, 0 più un opzione < 0, riporando il asso = 0. La componene pu che è in un cero senso ridondane (perchè ρ gar = 0), ma la rende più riconoscibile come opzione pu. Un alro modo ineressane di vedere il fenomeno è la scomposizione call del asso di rivaluazione: con ρ call = ρ ρ gar ρ = ρ gar, + ρ call, (6.14) ( ) βi i = max ρ gar, 0 che mosra come il asso di rivaluazione possa essere viso come il suo livello minimo garanio più un opzione call che rerocede l evenuale sovrarivaluazione olre quella minima garania., c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 91
Osservazione 6.6. Si noi che il asso di rivaluazione minimo garanio ρ gar = 0 corrisponde ad un minimo per il rendimeno di gesione di i. Come viso nel paragrafo 6.2.1, infai, l assicuraore si impegna conraualmene a rivaluare gli aivi di almeno il asso ecnico i, che rappresena quindi il rendimeno minimo garanio del conrao. Il livello i/β i è invece il livello del rendimeno di gesione, al di soo del quale l assicuraore non riesce a raenere la frazione 1 β del rendimeno; è quindi un obieivo di secondo livello per la gesione, essendo il asso ecnico quello di primo livello. Tralasciando il caso di rerocessione della rivaluazione soo forma di cedole, nei casi più frequeni la regola di rivaluazione delle presazioni è di ipo ricorrene. La componene opzionale della rivaluazione (pu o call, a seconda del puno di visa) si applica ai livelli delle presazioni risulai dalle rivaluazioni degli anni precedeni, nei quali le corrispondeni componeni opzionali porebbero essere a loro vola scaae. Le componeni opzionali della rivaluazione di ogni anno vanno quindi a comporsi con quelle degli anni precedeni; sono perano opzioni clique (o rache), nelle quali la rivaluazione di ogni anno consolida. In paricolare, non si possono compensare anni caivi, con rendimeno di gesione insufficiene, con anni buoni. Esempio numerico 6.13. Si consideri il caso di una polizza con β = 80%, i = 4% e duraa n = 2 anni. Si consideri il caso di I 1 = 8% e I 2 = 3%. Come viso nell analisi dell esempio numerico 6.1, nel primo anno il rendimeno di gesione è oimale: ( ) 80% 8% 4% ρ 1 = max, 0 = 2.4% 1 + 4% 1.04 2.31%. Dal puno di visa della scomposizione pu si ha perano ρ base 1 = ρ 1 2.31%, e ρ pu 1 = ρ 1 ρ base 1 = 0. La l opzione pu proeiva non scaa (non c è nulla da proeggere) e la componene base coincide con il asso di rivaluazione. Dal puno di visa della scomposizione call, risula ρ gar 1 = 0, e ρ call 1 = ρ 1 ρ gar 1 = ρ 1 2.31%. La componene call coincide con il asso di rivaluazione, che è uo sovrarivaluazione rispeo al minimo ρ gar 1 = 0. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 92
Nel secondo anno la siuazione è invece pessima: ( ) 80% 3% 4% ρ 2 = max, 0 = 0, 1 + 4% l uile rerocesso è nullo e, essendo I 2 < i, l uile raenuo è negaivo: l assicuraore deve inegrare la riserva con il capiale proprio. Dal puno di visa della scomposizione pu si ha ρ base 80% 3% 4% 2 = = 1.6% 1 + 4% 1.04 1.54%, ρ pu 2 = ρ 2 ρ base 2 = 1.6% 1.04 1.54%. Senza proezione la rivaluazione sarebbe saa negaiva, ma la pu proeiva inegra la rivaluazione al livello minimo garanio. La scomposizione call risula ρ gar 2 = 0, e ρ call 2 = ρ 2 ρ gar 2 = ρ 2 = 0. Poiché I 2 è risulao insufficiene, non vi è sovrarivaluazione rispeo al minimo (anzi, c è soorivaluazione, compensaa però dalla pu proeiva). Si osservi che, in queso esempio, l assicuraore ha subio una perdia il secondo anno, nonosane il primo anno il rendimeno della gesione separaa sia risulao più che sufficiene. Avendo però rerocesso la sovrarivaluazione all assicurao, non ha pouo uilizzarla per compensare il defici del secondo anno. L esempio numerico 6.13 mosra come le opzioni di minimo garanio implicie nel meccanismo di rivaluazione, rappresenino un rischio finanziario non rascurabile per l assicuraore. Nella praica, le compagnie ialiane soriche hanno ancora in essere mole polizze con rendimeni minimi garanii al 4% o più. Quese polizze sono sae vendue in anni in cui i rendimeni del mercao obbligazionario erano sufficienemene ali, ma pongono grossi problemi in queso periodo, in cui realizzare il 4% all anno con una gesione prevalenemene obbligazionaria è molo difficile, se non impossibile. Proprio per limiare il rischio finanziario delle opzioni implicie le compagnie ialiane sanno sempre più orienandosi alla commercializzione di polizze con rendimeno minimo a scadenza, dove il meccanismo di rivaluazione viene modificao in modo da consenire la compensazione, almeno parziale, fra anni buoni e anni caivi. L idea, che non svilupperemo in c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 93
quesa sede, è quella di rimuovere il minimo dalla rivaluazione annuale, salvo poi effeuare un conrollo al momeno del pagameno della presazione, per inegrarla al minimo se necessario. Effeuando il conrollo solo a scadenza, sulla rivaluazione globale, e non anno per anno, si ha la possibilià di compensazione ra anni diversi. 6.4 Esensioni Olre allo schema di rivaluazione presenao in queso capiolo, nella preaica assicuraiva ne sono preseni alri, che possono essere descrii come variani di queso. In queso paragrafo verranno descrie alcune di quese variani, basae su una diversa caraerizzazione conrauale del asso di rivaluazione. Tui i risulai presenai possono essere facilmene esesi a quese variani. 6.4.1 Rendimeno aribuio e rendimeno raenuo Spesso viene conraualmene sabilia una riparizione del rendimeno di gesione ra compagnia e assicurao diversa dalla (6.4). Se si indica con J la pare di rendimeno di gesione aribuia all assicurao per l anno, quesa viene poi usaa nella (6.6) al poso di βi per definire il asso di rivaluazione. Le pricipali regole conrauali in uso per definire il rendimeno aribuio, olre alla già discussa (6.4), sono J = I I r, dove I r è il rendimeno annuo raenuo, ed è conraualmene sabilio cosane, diversamene da quano accade nella scomposizione (6.4), dove il rendimeno raenuo è (1 β)i e dipende dal rendimeno di gesione; J = min(βi, I I r ), dove I r rappresena il rendimeno annuo minimo raenuo fissao conraualmene: all assicurao viene rerocesso βi, a pao che il il rendimeno raenuo dalla compagnia risuli (1 β)i I r ; se invece viene rerocesso I I r. (1 β)i < I r, cioè se I I r < βi, Si osservi che comunque il rendimeno raenuo, fisso o variabile, con o senza minimo, è calcolao prima di inserire J nella (6.6) ed è quindi subordinao alla concessione minimo garanio. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 94
6.4.2 Minimi garanii posiivi Nella (6.6) il minimo garanio è poso al livello ρ gar = 0, ma può essere conraualmene sabilio che sia ρ gar > 0 e il asso di rivaluazione, in generale, assume la forma ( ) J i ρ = max, ρgar (6.15) = max [J i, ρ gar ()] = 1 + max[j, i + ρ gar ()] 1. (6.16) Come si vede nella (6.16), il minimo complessivo per la compagnia è i + ρ gar () i + ρ gar e la presenza di un minimo garanio posiivo rappresena quindi un impegno uleririore per l assicuraore che, spesso, abbassa di conseguenza il asso ecnico. In quesi anni, soprauo nei canali bancassicuraivi, i conrai vengono proposi spesso con i = 0 e ρ gar > 0. c C. Pacai 2005, 2006, 2007, Appuni IMAAV, capiolo 6 (v. 27/11/2007) pag. 95