Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 1 Analisi di segnali ampionati 1 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza I prinipali metodi di analisi dei segnali di misura possono essere riassunti nei onetti di analisi nel dominio del tempo e analisi nel dominio della frequenza. E importante osservare he questi due modi di affrontare un problema sono tra loro interambiabili, nel senso he, sotto opportune ondizioni, nessuna informazione viene persa nel passare da un dominio all altro. Il vantaggio he deriva dall introduzione dei due domini è la possibilità di ambiare la prospettiva on la quale si osserva un dato fenomeno. In questo modo un problema he appare di diffiile soluzione in un dominio può risultare molto più semplie nell altro. Lo strumento matematio he onsente di trasferire lo studio dei segnali e dei sistemi dal dominio del tempo al dominio della frequenza è la trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier X(f) di una funzione ontinua nel tempo x( è data dalla relazione: X π = e - j2 ft d t ( f ) x( Si osservi he l unità di misura di X(f) oinide on quella di x( diviso la frequenza (espressa in hertz). La trasformata di Fourier onsente quindi di rappresentare un segnale ontinuo ome somma di infiniti esponenziali periodii pesati da X(f)df. Poihé in generale la X(f) è omplessa, essa può essere desritta mediante gli spettri di ampiezza e fase. La relazione he definise la trasformata di Fourier non è direttamente implementabile mediante un elaboratore digitale di segnale, sia perhé essa rihiede l analisi di segnali ontinui, x( e X(f), sia perhé l integrale si estende all infinito e rihiederebbe dunque un numero infinito di dati da elaborare. Per poter effettuare tale trasformazione on un sistema digitale sono dunque neessarie tre operazioni fondamentali: il ampionamento, il tronamento del segnale e la disretizzazione dell asse delle frequenze. Ciasuna di queste operazioni può influenzare signifiativamente l attendibilità del risultato dell analisi. Lo sopo delle onsiderazioni he seguono in questo apitolo è pertanto quello di studiare gli effetti di tali operazioni per omprendere ome l analisi di Fourier possa essere implementata in modo effiae ed attendibile in un elaboratore digitale del segnale. 2 - Il teorema del ampionamento Campionamento ideale Il ampionamento (sampling) di un segnale analogio s( onsiste nel prenderne solo i valori s(it ) in orrispondenza a istanti ben preisi (it ) detti istanti di ampionamento. Per esaminare le proprietà fondamentali è utile riferirsi al aso ideale in ui il ampionamento 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 2 è effettuato impiegando un treno di impulsi matematii. In tale ipotesi, sia s( un generio segnale on spettro S(f) limitato in banda fino alla frequenza f M (Fig.2.1). Fig.2.1 - Segnale a banda limitata. Sia inoltre ( il treno di impulsi matematii di area unitaria (Fig.2.2), equispaziati dell intervallo di ampionamento T (e quindi on frequenza f =1/T ). Lo spettro C(f) risulta anora un treno di impulsi, di ampiezza f ed equispaziati della stessa frequenza f. Fig.2.2 - Impulsi matematii di ampionamento. In definitiva esiste la seguente orrispondenza fra tempo e frequenza: s( S( f ) ( = i= δ( t it ) C( f ) = f k= δ( f kf ) (2.1) Il ampionamento ideale onsiste nel moltipliare il segnale s( per il treno di impulsi (: i= s ( = s( ( = s( δ( t it ) = s( it ) δ( t it ) ( 2.2) s( ( S( f ) C( f ) k= i= Per determinare lo spettro del segnale ampionato è suffiiente riordare he al prodotto algebrio nel tempo orrisponde il prodotto di onvoluzione in frequenza: Pertanto la trasformata di Fourier del segnale ampionato risulta: S ( f ) = S( f ) f δ( f kf ) = f S( f kf ) ( 2.4) k= (2.3) Quindi lo spettro del segnale ampionato (Fig.2.3) è formato dalle replihe dello spettro del segnale originario S(f), traslate su frequenze multiple della frequenza di ampionamento f. Inoltre le ordinate di tali replihe risultano tutte moltipliate per un fattore di sala pari a f. 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 3 Fig.2.3 - Segnale ampionato e suo spettro. Affinhé non esistano sovrapposizioni fra le replihe, risulta evidente he il periodo di ripetizione in frequenza deve essere maggiore o al più uguale a 2f M : 1 f = 2 fm (2.5) T La ondizione (2.5) riassume il ben noto teorema del ampionamento. Il filtro di riostruzione Se la frequenza di ampionamento f è maggiore almeno del doppio della massima frequenza f M ontenuta nel segnale, eseguendo il filtraggio della sequenza di impulsi on un filtro passabasso H R (f) he abbia una risposta piatta da 0 a f M e risposta nulla per f >(f - f M ), si riottiene in usita il segnale originario s(, in quanto se ne isola lo spettro S(f) in banda base (Fig.2.4). Fig.2.4 - Il filtro di riostruzione. Per il orretto ripristino delle ampiezze, il guadagno del filtro di riostruzione entro la banda piatta (0 f M ) deve essere ostante e pari a H 0 = 1/f. Aliasing Se vieversa f < 2f M, ossia i ampioni sono troppo radi, non è possibile riottenere il segnale originario in alun modo, a ausa della sovrapposizione delle replihe he rea un disturbo da spettro adiaente. Tale fenomeno è detto aliasing (Fig.2.5A). Nel aso limite in ui f =2f M (Fig.2.5B) la riostruzione è possibile solo on un filtro passabasso ideale senza alterazione dello spettro originario in banda base (0 f M ). 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 4 Fig.2.5 - A) Distorsione di aliasing; B) Riostruzione on filtro passa-basso ideale. 3 - Tronamento del segnale Dispersione spettrale (leakage) Si è già visto he l analisi di Fourier si applia formalmente a segnali di durata infinitamente estesa e pertanto anhe la sequenza dei ampioni he rappresenta il segnale in forma disreta dovrà essere teoriamente di lunghezza infinita. Tale ipotesi non è ovviamente realizzabile nella pratia. In generale, on riferimento a un proesso di ampionamento reale, la sequenza dei ampioni avrà neessariamente un inizio e una fine, e pertanto il numero dei ampioni a disposizione sarà un numero finito. Per esaminare il problema è utile onsiderare il segnale di durata limitata ome una porzione del segnale generio s(, prelevata attraverso una opportuna finestra temporale w( (window), detta anhe finestra di tronamento o di osservazione. L effetto del tronamento sul segnale si può rappresentare nel seguente modo: s w ( = s( w( (3.1) La trasformata di Fourier del segnale tronato risulta dalla onvoluzione degli spettri: Sw ( f ) = S( f ) W ( f ) (3.2) La onvoluzione della trasformata S(f) del segnale on la trasformata W(f) della finestra di tronamento introdue un nuovo tipo di distorsione, detta di dispersione (leakage). In pratia se lo spettro del segnale originario S(f) ontiene delle transizioni nette, ad esempio omponenti armonihe impulsive ome nel aso di un segnale periodio nel tempo, tali transizioni vengono smussate e lo spettro del segnale periodio tronato si disperde in frequenza, tanto più quanto più è stretta la finestra di tronamento. Si onsideri, per fissare le idee, un segnale sinusoidale s( di frequenza f 0 he presenta uno spettro ostituito da due impulsi a frequenza ±f 0. In presenza di tronamento on una finestra rettangolare w( di durata T w, la onvoluzione degli impulsi in frequenza on la funzione W(f), he è del tipo sin(x)/x, produe l effetto rappresentato in Fig.3.1. L entità della dispersione in frequenza dipende dalla durata T w della finestra di osservazione e dal suo andamento temporale. In partiolare l andamento nel tempo della finestra di tronamento determina l ampiezza dei lobi laterali della dispersione e risulta quindi direttamente responsabile della auratezza on ui viene stimato lo spettro del segnale tronato. Sotto questo aspetto, onreti vantaggi possono essere ottenuti ampliando, entro limiti aettabili dal punto di vista pratio, la durata T w o utilizzando finestre temporali non rettangolari, ma on transizione più graduale delle estremità (smoothing windows). Tali finestre infatti sono aratterizzate da spettri on lobi laterali meno pronuniati. 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 5 Fig.3.1 - Dispersione dello spettro per un segnale sinusoidale tronato. Segnale ampionato e tronato Si onsideri ora il ampionamento di un segnale tronato, osservato attraverso la finestra rettangolare w( di durata T w =NT, essendo N il numero di impulsi onsiderati e T l intervallo di ampionamento. In tale ipotesi il segnale ampionato e tronato sarà individuato dai ampioni: s( it ) ( i = 0,1, 2,..., ) (3.3) e può essere analitiamente rappresentato nella forma (vedi Fig.3.2): s, w( = s( it ) δ( t it ) i= 0 S (3.4) La trasformata di Fourier della sequenza di ampioni risulta, appliando la proprietà di traslazione nel tempo: j2π f it ( f ) = s( it ) e, w (3.5) i=0 Questa espressione ostituise un altro modo di rappresentare lo spettro a replihe di un segnale ampionato. Tale spettro può essere inteso ome una serie di funzioni esponenziali, nel dominio della frequenza, pesate on le ampiezze dei vari ampioni. Fig.3.2 - Segnale ampionato e tronato. Si osserva he lo spettro del segnale ampionato e tronato risulta anora una funzione ontinua nella frequenza (Fig.3.2), formata da replihe dello spettro in banda base. Tuttavia a ausa del tronamento del segnale nel tempo, sarà in generale presente nello spettro 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 6 in banda base una distorsione più o meno pronuniata di leakage. In onseguenza di questo fatto naserà anhe una distorsione di aliasing nel repliare lo spettro. Si vedano in Fig.3.2 le ode delle replihe in S,w (f). 4 - Trasformata disreta di Fourier (DFT) Dal punto di vista della onosenza dell informazione sullo spettro di un segnale ampionato e tronato (quindi aratterizzato da N numeri) sarebbe strettamente suffiiente onosere l andamento dello spettro solo nell intervallo di ripetizione in frequenza (0 f ). La trasformata disreta di Fourier (Disrete Fourier Transform, DFT) onsente di valutare il ontenuto armonio in tale intervallo mediante un numero N di omponenti disrete. Il passaggio a una rappresentazione disreta dello spettro risulta onettualmente semplie, osservando he la sequenza finita di N ampioni nel tempo può essere onsiderata appartenente a una suessione di sequenze di periodo T w =NT he si ripetono indefinitamente dando luogo a un segnale periodio s,p ( on frequenza f w =1/T w (Fig.4.1). Lo spettro S,p (f) della sequenza di ampioni repliata nel tempo on periodo T w, risulta allora uno spettro a righe, spaziate di f w =1/T w. Il valore f w ostituise quindi la risoluzione in frequenza della DFT. La ripetizione dello spettro in frequenza dipende dal ampionamento nel tempo, osì ome il ampionamento in frequenza è dovuto alla periodiità del segnale nel tempo. Il legame di trasformazione fra i ampioni nel tempo s i =s(it ) e i ampioni in frequenza S k =S(kf w ) è dato dalla trasformata disreta diretta e inversa di Fourier. Poihé le trasformazioni disrete di Fourier (diretta e inversa) oinvolgono solo ampioni (sia nel dominio del tempo he della frequenza) vengono definite in forma normalizzata rispetto a variabili indipendenti di tipo adimensionale: pertanto la variabile tempo diventa l indie i, mentre la variabile frequenza diventa l indie k. Fig.4.1 - Corrispondenza fra sequenze nel tempo e nella frequenza. 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 7 La definizione delle omponenti armonihe a frequenze multiple di f w, ioè multiple di f /N, è la seguente: 2π j k i j2π k f f w it N Sk = s( it ) e = s( it ) e on fw = (4.1) i= 0 i= 0 N In pratia, di tutte le possibili armonihe di ordine k, solo le prime N/2 sono signifiative e portano informazione (le suessive N/2 risultano speulari rispetto alla frequenza di folding f /2 e oniugate). Spesso si definise, per omodità, l operatore: W = 2π j N e Quindi la trasformata disreta di Fourier (DFT) risulta, in forma ompatta: k i Sk = si W ( k = 0,1, 2,... ) i= 0 In modo analogo viene definita la trasformata inversa (IDFT): (3.2) (3.3) N 1 1 N k =0 ( i = 0,1, 2,... 1) = s S W k i i k N (3.4) Si osservi infine he taluni Autori adottano altre definizioni per la trasformazione diretta e inversa, per esempio sambiando il segno meno all esponente di W oppure sambiando in fattore 1/N, fra le due definizioni. Ciò non ambia il senso della trasformazione. Utilizzando la tipia struttura di queste relazioni sono stati messi a punto algoritmi effiienti per il alolo veloe delle diverse omponenti armonihe. Qualora il numero di ampioni risulti una potenza di due, gli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform) risultano partiolarmente utili e sono ormai onsolidati nell analisi armonia dei segnali tramite elaboratore o miroproessori dediati. DFT di segnali periodii I segnali periodii sono di partiolare interesse pratio. In tali asi, l analisi armonia mediante DFT rihiede una erta autela, soprattutto in relazione alla selta della finestra di tronamento e al fatto he la frequenza di ampionamento sia o meno sinronizzata on la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Per omprendere tali aspetti, si onsideri, ome esempio, un segnale sinusoidale di frequenza f 0 e si supponga he venga ampionato alla frequenza f suffiiente a garantire il rispetto del teorema del ampionamento. Riferendosi alla Fig.4.2, si possono sottolineare le seguenti relazioni generali: la finestra di osservazione T w ontiene un numero m di periodi T 0 del segnale da analizzare: T w = mt 0 (dove m può essere intero o frazionario); detto N il numero totale di ampioni he adono in tale finestra, la frequenza di ampionamento risulta f = Nf w = Nf 0 /m. Per il aso partiolare rappresentato nella Fig.4.2 si verifia failmente he: m=6 è intero e pertanto T w = 6T 0 ; N=24 e pertanto f = 24f w = 4f 0. In tal aso, ripetere la finestra di osservazione T w indefinitamente nel tempo, signifia riprodurre in forma esatta la funzione periodia. 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 8 Fig.4.2 - Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6T 0 e T 0 = 4T. E infatti il alolo della DFT per le diverse omponenti kf w fornise omponenti tutte nulle tranne proprio l unia omponente armonia effettivamente presente alla frequenza f 0 = 6f w, ome rappresentato nello spettro di Fig.4.2. Si onsideri ora un seondo esempio, rappresentato in Fig.4.3, dove la finestra di osservazione T w non risulta un multiplo intero m del periodo T 0 e sia T w = 6,5T 0, quindi f 0 = 6,5f w. Fig.4.3 - Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6,5T 0 e T 0 = (24/6,5)T. Per agevolare il onfronto dei due esempi, la durata di osservazione T w è stata assunta uguale nei due asi, pertanto risultano anhe uguali gli step f w nel dominio della frequenza. Supponiamo inoltre he nel tempo T w si prelevino anora N=24 ampioni, allora la frequenza di ampionamento risulta: f = 24f w = (24/6,5)f 0 = 3,692f 0. In pratia, on le ipotesi fatte, la frequenza di ampionamento f è uguale a quella del aso preedente, ma è ambiato il suo rapporto on la frequenza f 0 del segnale sinusoidale. In questo aso, la ripetizione nel tempo del segnale ampionato e tronato non riprodurrà esattamente la funzione periodia originaria, on una onseguente distorsione nello spettro. Questo fatto trova risontro nella DFT, he evidenzierà, in tal aso, omponenti armonihe non presenti nello spettro del segnale periodio originario, ome si vede in Fig.4.3. Per onludere l analisi di questo esempio, si onsideri ora la Fig.4.4. La finestra di osservazione ha anora durata T w mentre vengono prelevati N=26 ampioni. In tal aso, la frequenza di ampionamento è f = 26f w = (26/6,5)f 0 = 4f 0 ma le ose non ambiano, on riferimento alla dispersione delle righe spettrali, ome si osserva nella Fig.3.4. Dall esame dei semplii asi riportati, si onlude he, per una orretta analisi armonia di segnali periodii mediante DFT, riveste partiolare importanza la selta della finestra di 2007 Misure Elettronihe
Analisi nel dominio della frequenza Analisi di segnali ampionati - 9 tronamento e il fatto he la frequenza di ampionamento sia sinronizzata on la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Fig.4.4 - Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6,5T 0 e T 0 = (26/6,5)T. Qualora non si riesa a rendere la finestra di osservazione esattamente multipla del periodo del segnale, un modo per limitare l inonveniente può essere, ome detto, quello di impiegare finestre molto ampie rispetto al periodo della fondamentale e soprattutto del tipo on transizione graduale delle estremità (smoothing windows). 2007 Misure Elettronihe