C... ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)),

1 urve Si ϕ un funzione continu definit in un intervllo I di R e vlori in R 3 : ϕ : I R R 3 t I ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), cioè tle che le componenti x(t), y(t) e z(t) sino funzioni continue dell vribile t. Tlvolt identificheremo il punto ϕ(t) R 3 con il vettore r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k che unisce l origine O ϕ(t). Il sottinsieme dello spzio R 3 descritto di punti ϕ(t), l vrire di t I, cioè = {ϕ(t), t I} = ϕ(i), è detto curv, mentre l funzione vettorile ϕ è dett rppresentzione prmetric (o prmetrizzzione) dell curv. Scriveremo nche o o... ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)),... r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,... x = x(t) y = y(t) z = z(t) Similmente si definiscono le curve in R n, n 2. Esempio 1.1. Un stess curv può essere individut d prmetrizzzioni diverse. ome esempio, considerimo le seguenti prmetrizzzioni dell circonferenz di centro l origine e rggio 1 nel pino. { x = cos(t) 1) y = sin(t) { x = cos(t) t [0, 2π]; 2) y = sin(t) t [0, nπ], n = 3, 4,...; { x = cos(2t) 3) y = sin(2t) { x = cos(t) t [0, π]; 4) y = sin(t) t [0, 2π]. 1

E evidente d questo esempio che l rppresentzione prmetric fornisce molte più informzioni rispetto ll curv che individu. In prticolre, se t rppresent il tempo e ϕ(t) l legge orri del moto di un prticell o del bricentro di un corpo, llor l rppresentzione prmetric ϕ(t) fornisce informzioni su come viene percors l curv (qunte volte, in che verso, con qule velocità...). Se I = [, b], i punti P = ϕ() e Q = ϕ(b) sono detti rispettivmente punto inizile e punto finle dell curv (estremi dell curv). Definizione 1.2. Un curv si dice chius se esiste un rppresentzione prmetric di in un intervllo chiuso e limitto I = [, b] tle che ϕ() = ϕ(b), cioè tle che i due estremi coincidno. Esempio 1.3. L circonferenz è un curv chius. Tr le prmetrizzzioni dell circonferenz fornite nell esempio 1.1, tovre quelle che non verificno l condizione ϕ() = ϕ(b). Definizione 1.4. Un prmetrizzzione ϕ(t) si dice semplice se vlori distinti di t corrispondono punti distinti, esclusi l più gli estremi e b dell intervllo I che possono vere per immgine lo stesso punto. Un curv è dett semplice se esiste un su prmetrizzzione semplice. Si osservi che un curv semplice può essere chius, m non può utointersecrsi. Se è un curv con estremi P e Q distinti, è evidente che le sue prmetrizzzioni si possono riprtire in due clssi, un contenente quelle per le quli P è punto inizile e Q è punto finle e l ltr contenente quelle per le quli Q è punto inizile e P è punto finle. Se è un curv chius semplice, le sue prmetrizzzioni semplici possono riprtirsi in due clssi, second che veng percors nel verso orrio o ntiorrio, l crescere del prmetro t. In entrmbi i csi, ognun di tli clssi determin un verso di percorrenz (orientmento) di. L curv si dice orientt se si è scelto su di ess un orientmento, il qule srà detto orientmento positivo. Tlvolt l curv orientt positivmente srà indict con +, mentre l curv vente orientmento opposto srà indict con. Qundo ϕ rppresent un moto è nturle considerre il vettore velocità medi in un certo intervllo temporle [t, t + t] v m (t) = r(t + t) r(t) = t = x(t + t) x(t) i + t y(t + t) y(t) j + t z(t + t) z(t) k. t 2

Si definisce vettore velocità istntne, o semplicemente velocità, l tempo t (qundo esiste), il limite dell velocità medi l tendere di t 0, cioè r(t + t) r(t) v(t) = lim t 0 t = dr dt = r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Ovvimente tle limite esiste se e soltnto se le funzioni componenti x(t), y(t) e z(t) sono derivbili in t e, in tl cso, si dice nche che l funzione ϕ è differenzibile e, in notzione crtesin, scriveremo ϕ (t) = (x (t), y (t), z (t)). Il vettore v(t), qundo non nullo, è tngente ll curv nel punto ϕ(t), dto che l su direzione e il suo verso si ottengono come limite di quelli delle secnti ll curv. Il modulo del vettore velocità, detto nche velocità sclre, è v(t) = v(t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2. Similmente, si definiscono l ccelerzione medi e l ccelerzione (istntne) (t): (t) = dv dt = d2 r dt 2 = r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k, l qule esiste se e soltnto se le funzioni componenti x(t), y(t) e z(t) sono derivbili due volte in t. Tli definizioni si generlizzno i csi in cui ϕ(t) non rppresenti l legge orri di un moto. Esercizio 1.5. Determinre i vettori velocità e ccelerzione reltivi lle prmetrizzzioni dell esempio precedente. Definizione 1.6. Un rppresentzione prmetric ϕ(t) è dett regolre se il vettore velocità è definito su I, ed ivi continuo e mi nullo, ovvero se esistono e sono continue in I le derivte prime delle funzioni componenti ed inoltre v(t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 > 0 per ogni t I. Esempio 1.7. onsiderimo le seguenti prmetrizzzioni dell prbol di equzione y = x 2 : { { x = t x = t 3 1) y = t 2 t R; 2) y = t 6 t R. L prim rppresentzzione è regolre, l second no. 3

Definizione 1.8. Un rppresentzione prmetric ϕ(t) di un curv è dett regolre trtti se ϕ è continu su I e se l intervllo I si può suddividere in un numero finito di sottointervlli I k, k = 1,..., K, tli che l restrizione di ϕ ciscun I k è regolre. Indict con k l curv ϕ(i k ), per k = 1,,, K, si h che = K k=1 k. In tl cso il vettore velocità potrebbe non essere definito per i vlori di t coincidenti con gli estremi dei sottointervlli, quindi nei corrispondenti punti dell curv (estremi delle curve k ) potrebbe non esistere l rett tngente. Ad esempio, le linee spezzte sono curve venti rppresentzione regolre trtti. Prmetrizzzione di segmenti. Dti due punti P 1 (x 1, y 1, z 1 ) e P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) di R 3, un prmetrizzzione regolre semplice stndrd dell curv orientt consistente nel segmento vente punto inizile P 1 e punto finle P 2 è l seguente: ϕ(t) = P 1 + t(p 2 P 1 ), per t [0, 1], ovvero, in form estes, x = x 1 + t(x 2 x 1 ) y = y 1 + t(y 2 y 1 ) z = z 1 + t(z 2 z 1 ) Esempio 1.9. Si f : I R un funzione dott di derivt continu su un intervllo I. Il suo grfico gr(f) = {(x, f(x)), x I} è un curv, dett curv pin crtesin, vente l seguente prmetrizzzione stndrd ϕ(x) = (x, f(x)), x I, ovvero { x = t y = f(t) t I, che è regolre. Inftti ϕ (x) = (1, f (x)), ϕ (x) = 1 + (f (x)) 2 > 0, per ogni x I. Esercizio 1.10. Prmetrizzre l curv intersezione delle superfici di equzione x 2 + y 2 = 9 e z = x + y. Lunghezz di un curv. onsiderimo un curv vente prmetrizzzione regolre semplice ϕ(t), per t I = [, b]. i ponimo il problem di dre un definizione di lunghezz di e di clcolrl. L ide è quell di pprossimre con delle 4

linee spezzte. onsidert un suddivisione di I dt d = t 0 < t 1 <... < t n = b, si Σ l spezzt formt di segmenti [ϕ(t i 1 ), ϕ(t i )], per i = 1,..., n. L lunghezz di Σ è dt d lungh(σ) = n r(t i ) r(t i 1 ) = i=1 n i=1 r(t i ) r(t i 1 ) t i t i 1 (t i t i 1 ) = n r i t i t i, dove t i = t i t i 1, r i = r(t i ) r(t i 1 ). L spezzt Σ pprossim l curv con un miglior grdo di precisione l diminuire dell mpiezz t i di ciscun sottointervllo. In effetti si può verificre che, nelle nostre ipotesi, esiste finito b lim lungh(σ) = dr b mx i t i 0 dt dt = v(t)dt = b = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt. Si può nche verificre che tle limite è indipendente dll scelt dell prmetrizzzione regolre semplice di, rgion per cui si può definire senz mbiguità lungh() = b v(t)dt. Osservzione 1.11. Se h un rppresentzione prmetric semplice regolre trtti, si definisce i=1 lungh() = K lungh( k ). k=1 Esercizio 1.12. lcolre l lunghezz dell circonferenz di rggio R. Indichimo con s(t) l lunghezz dell rco di immgine dell intervllo [, t], cioè s(t) = Rimne llor definit un funzione t v(τ)dτ. s : [, b] [0, lungh()] Osservimo che t [, b] s(t) = t v(τ)dτ. s (t) = v(t) > 0, t [, b]. 5

Quindi l funzione s(t) è strettmente crescente in [, b] e quindi invertibile. Si t : [0, lungh()] [, b] l su invers e si ψ : s [0, lungh()] t(s) [0, lungh()] R n s [0, lungh()] ψ(s) = ϕ(t(s)). Allor ψ(s) è un nuov rppresentzione prmetric di nel prmetro s, detto sciss curviline o lunghezz d rco. L sciss curviline s rppresent l lunghezz dell rco di dl punto inizile ψ(0) ψ(s); in ltre prole ψ(s) è quel punto di tle che l rco compreso tr ψ(0) ψ(s) h lunghezz s. L prmetrizzzione ψ(s) è dunque intrinsec ll curv orientt (su cui cioè si stto scelto uno dei due orientmenti) ed è dett prmetrizzzione dell lunghezz d rco. lcolimo t (s) = 1 s (t(s) = 1 v(t(s)), ψ (s) = ϕ (t(s))t (s) = v(t(s)) v(t(s)), ψ (s) = 1, d cui si deduce che un curv prmetrizzt in termini dell lunghezz d rco è percors con velocità unitri. Si noti che gli indictori chilometrici posti lungo le utostrde indicno l lunghezz d rco (sciss curviline) clcolt prtire d un fissto punto inizile. Formlmente, si h ds = v(t) e si definisce elemento di lunghezz dt d rco: ds = v(t)dt = dr dt dt. Tle terminologi è motivt dl ftto che l lunghezz dell rco di curv corrispondente d un intervllo [t, t+ t] è pprossimt d r = r t e, t per t piccolo, usndo l notzione degli infinitesimi ( t = dt, r = dr), si h dr = v(t)dt = ds. Per questo motivo si indic nche ds = b v(t)dt = lungh(). 6

In prticolre, se si us l prmetrizzzione dell lunghezz dell rco, si h ds = lungh() 0 ds = lungh(). Se è un curv pin crtesin grfico dell funzione y = f(x), per x [, b], si h ds = 1 + (f (x)) 2 dx lungh() = b 1 + (f (x)) 2 dx Se è un curv pin espress in coordinte polri d { ρ = ρ(t) t [, b], ϑ = ϑ(t) si h d cui { x = ρ(t) cos(ϑ(t)) y = ρ(t) sin(ϑ(t)) t [, b], ds = (ρ (t)) 2 + (ρ(t)) 2 (ϑ (t)) 2 dt Se è un curv pin polre, cioè descritt d ρ = ρ(ϑ), l vrire di ϑ in un intervllo [α, β], ponendo t = ϑ e riconducendosi l cso precedente si h ds = (ρ (ϑ)) 2 + (ρ(ϑ)) 2 dϑ Integrli di line o di prim specie. Dt un funzione f : B R n R, f continu su B, e dt un curv contenut in B vente prmetrizzzione regolre semplice ϕ(t), t [, b], si definisce integrle di line di f lungo : b fds = f(ϕ(t))v(t)dt. Si può verificre che il vlore di tle integrle non dipende dll prmetrizzzione (regolre semplice) di. Osservzione 1.13. Se h un rppresentzione prmetric semplice regolre trtti, si definisce fds = K k=1 7 k fds.

Gli integrli di line vengono nche detti integrli curvilinei di prim specie. Appliczioni. ) Dto un filo mterile vente densità di mss δ(x, y, z), l su mss è dt d m() = δds, il suo bricentro (x, y, z ) h coordinte: x = 1 xδ(x, y, z)ds, m() y = 1 yδ(x, y, z)ds, m() z = 1 zδ(x, y, z)ds, m() i suoi momenti d inerzi rispetto gli ssi coordinti x, y, z sono rispettivmente I x = (y 2 + z 2 )δ(x, y, z)ds, I y = (x 2 + z 2 )δ(x, y, z)ds, I z = (x 2 + y 2 )δ(x, y, z)ds, e similmente per curve pine. b) Si un curv pin e si f un funzione continu definit su, tle che f 0. Si Σ l superficie sottogrfico di f, cioè Σ = {(x, y, z) R 3 (x, y), 0 z f(x, y)}. L re dell superficie Σ è dt d re(σ) = fds. Esercizio 1.14. lcolre l lunghezz ed il bricentro dell rco di elic circolre r(t) = cos(t)i + sin(t)j + btk, compreso tr P (, 0, 0) e Q(, 0, 2πb). Esercizio 1.15. lcolre il momento d inerzi rispetto ll sse x dell semicirconferenz di centro O e rggio contenut nel semipino {y 0}. 8

Esercizio 1.16. lcolre l re dell superficie Σ = {(x, y, z) R 3 (x, y), 0 z x + y 3 }, con il segmento d O(0, 0) d A(1, 1). (Si trtt dell porzione del pino y = x compres tr il grfico di z(x, y) = x + y 3, il pino z = 0 e l rett verticle pssnte per B(1, 1, 0)). mpi sclri e cmpi vettorili. Definizione 1.17. Si n = 2 o n = 3. Un funzione f : D R n R si dice cmpo sclre. Sono esempi di cmpi sclri l tempertur T (x, y, z) e l densità di un corpo mterile δ(x, y, z). Definizione 1.18. Si n = 2 o n = 3. Un funzione F : D R n R n si dice cmpo vettorile. Indict con F i l i-esim componente di F, scriveremo F = (F 1,..., F n ). Sono esempi di cmpi vettorili: il cmpo grvitzionle generto d un corpo (cioè l forz grvitzionle esercitt dl corpo su un punto mterile di mss unitri posto nel generico punto P (x, y, z)); il cmpo elettrosttico generto d un conduttore elettrico (cioè l forz elettrosttic esercitt d un conduttore elettrico su un cric elettric unitri post nel generico punto P (x, y, z)); il cmpo delle velocità di un fluido (ssegn d ogni punto il vettore velocità v(x, y, z) di un prticell post in P (x, y, z)). Definizione 1.19. Un cmpo vettorile si dice continuo in D se lo sono le sue componenti F i ; si dice differenzibile in D se lo sono le sue componenti F i. Osservzione 1.20. Se f : D R n R è un cmpo sclre differenzibile llor F = f è un cmpo vettorile. Tle cmpo vettorile ssegn d ogni punto di D il vettore l cui direzione e verso sono quelli di mssim rpidità di crescit di f e il cui modulo è l rpidità di crescit di f. Si prl d esempio di grdiente di tempertur, grdiente di pressione. Dto che il grdiente di un cmpo sclre è un cmpo vettorile, è nturle chiedersi se ogni cmpo vettorile si il grdiente di un cmpo sclre. Più precismente, dto un cmpo vettorile definito e continuo in un perto D R 3, F(x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)), ci si chiede se esist un cmpo sclre Φ(x, y, z) differenzibile con continuità su D tle che Φ(x, y, z) = F(x, y, z), ovvero tle che Φ x = F 1, Φ y = F 2, 9 Φ z = F 3.

Osservimo che in un dimensione, cioè per cmpi sclri, ciò è vero, inftti se F è un funzione continu di un vribile rele esiste un funzione derivbile con continuità Φ tle che Φ = F. Vedimo con un controesempio che in generle questo non vle per i cmpi vettorili. Si F : R 2 R 2 definit d F(x, y) = ( y, x). Le sue componenti F 1 = y e F 2 = x sono differenzibili con continuità, per cui se esistesse un cmpo sclre Φ : R 2 R tle che Φ = F, per il teorem di Schwrz si vrebbe Φ xy = Φ yx, mentre invece è Φ xy = 1, Φ yx = 1, d cui si h un contrddizione. E perciò significtivo dre l seguente definizione Definizione 1.21. Un cmpo vettorile continuo F : D R n R n si dice conservtivo in D se esiste un cmpo sclre differenzibile Φ : D R tle che F = Φ in D. Un cmpo sclre Φ verificnte tle condizione è detto potenzile di F. Ad esempio, il cmpo grvitzionle dell Terr è F = GM r, dove il r 2 r bricentro dell Terr è posizionto nell origine, r = xi + yj + zk, M è l mss dell Terr e G è l costnte di grvitzione universle. Le componenti di F sono F 1 = GMx, F (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 = GMy, F 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 3 = GMz. 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 Il cmpo grvitzionle F è un cmpo conservtivo, inftti il cmpo sclre Φ(x, y, z) = = GM verific Φ = F ed è detto potenzile GM r grvitzionle. (x 2 +y 2 +z 2 ) 1 2 Osservzione 1.22. Se Φ è un potenzile di F, llor nche Φ + c lo è, l vrire di c R, dto che (Φ + c) = Φ = F. Quindi il potenzile di un cmpo vettorile su un sottinsieme perto e connesso D di R n è determinto meno di un costnte dditiv. Possimo utilizzre il teorem di Schwrz per dre le seguenti condizioni necessrie ffinchè un cmpo differenzibile F : D R n R n si conservtivo. Se n = 2 e F è conservtivo llor F 1 y = F 2 x. Se n = 3 e F è conservtivo llor F 1 = F 2, F 1 = F 3, F 2 = F 3. y x z x z y Integrli curvilinei di second specie. Per introdurli, prendimo in considerzione un esempio importnte che ci viene dll meccnic. onsiderimo un corpo mterile che compie uno spostmento s mentre su di esso gisce un forz F che non vri l vrire dell posizione. Il lvoro W che l forz F compie durnte lo spostmento s del corpo è definito come il prodotto sclre F s = ( F s s ) s. E 10

cioè il prodotto dell componente tngenzile dell forz per il modulo dello spostmento. onsiderimo or un forz F = F(x, y, z) che dipende dll posizione e che gisce su un corpo durnte il suo spostmento lungo un curv orientt. Si vuole clcolre il lvoro W compiuto d F. All luce del semplice cso ppen discusso, definimo W = F Tds, dove T è il vettore tngente unitrio ll curv orientt. Se ϕ(t), t [, b] è un prmetrizzzione regolre dell curv orientt si h d cui b F Tds = b T = ϕ (t) ϕ (t) = v(t) v(t), F(ϕ(t)) v(t) v(t) v(t)dt = = b b F(ϕ(t)) v(t)dt = [F 1 (ϕ(t))x (t) + F 2 (ϕ(t))y (t) + F 3 (ϕ(t))z (t)] dt. Un ltro pproccio consiste nel suddividere l intervllo [, b] in sottointervlli [t i 1, t i ], i = 1,..., m, dove = t 0 < t 1 <... < t m = b, e nell pprossimre il lvoro W con l somm dei lvori elementri W i compiuti durnte gli spostmenti r i = r(t i ) r(t i 1 ) = x i i + y i j + z i k, per i = 1,..., m: m W i = i=1 m F(ϕ(t i )) r i = i=1 = m F 1 (ϕ(t i )) x i + F 2 (ϕ(t i )) y i + F 3 (ϕ(t i )) z i = i=1 = m i=1 con t i [t i 1, t i ]. Al limite, per t 0, si ottiene b ( F 1 (ϕ(t i )) x i t + F 2(ϕ(t i )) y i t + F 3(ϕ(t i )) z ) i t t [ F1 (ϕ(t))x (t) + F 2 (ϕ(t))y (t) + F 3 (ϕ(t))z (t) ] dt = = b F(ϕ(t)) v(t)dt = b F(ϕ(t)) v(t) v(t) v(t)dt = b F Tds. 11

Usndo l notzione dei differenzili si h formlmente che x (t)dt = dx, y (t)dt = dy, z (t)dt = dz, dr = dxi + dyj + dzk, per cui l integrle di sopr viene indicto: F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz o nche F dr e viene detto integrle di line dell componente tngenzile di F lungo l curv orientt. Si osservi che il vlore dell integrle non vri se si vri l prmetrizzzione conservndo il verso di percorrenz, mentre se si considerno prmetrizzzioni venti l orientmento opposto si ottiene il risultto opposto, dto che cmbi il segno dell componente tngenzile dell forz. Se è un curv chius F dr è detto circolzione (o circuitzione) di F lungo ed il ftto che l curv si chius viene tlvolt ricordto disegnndo un cerchietto sull integrle: F dr. L definizione, qui motivt prtire d un esempio, viene estes qulunque cmpo vettorile F definito e continuo su un sottinsieme D di R n, e qulunque curv orientt vente rppresentzione regolre trtti. Tli integrli vengono nche detti integrli cuvilinei di second specie. Definizione 1.23. Un espressione del tipo F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, dove F i sono funzioni continue su un sottinsieme perto A di R 3, è dett form differenzile linere. Le funzioni F i sono dette coefficienti dell form differenzile linere. Si un curv contenut in A vente rppresentzione prmetric regolre ϕ(t), t [, b]. Definimo integrle esteso dell form differenzile linere F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz: F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = b = [F 1 (ϕ(t))x (t) + F 2 (ϕ(t))y (t) + F 3 (ϕ(t))z (t)]dt = 12 F dr,

dove F = (F 1, F 2, F 3 ). Si h che prmetrizzzioni con lo stesso orientmento dnno luogo llo stesso vlore dell integrle, prmetrizzzioni con orientmenti opposti dnno luogo vlori opposti. Definizione 1.24. Un form differenzile linere F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz si dice estt in A se il cmpo vettorile d ess ssocito F = (F 1, F 2, F 3 ) è conservtivo in A, cioè se esiste un cmpo sclre Φ definito e differenzibile in A tle che F = Φ in A (F 1 = Φ x, F 2 = Φ y, F 3 = Φ z ). Il cmpo sclre Φ è detto primitiv dell form differenzile. Definizione 1.25. Un form differenzile linere F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz si dice chius in A se i suoi coefficienti F i sono differenzibili e se il cmpo vettorile d ess ssocito F = (F 1, F 2, F 3 ) verific in A le condizioni necessrie per l conservtività, cioè F 1 = F 2, F 1 = F 3, F 2 = F 3. y x z x z y E evidente che se F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz è un form differenzile linere coefficienti differenzibili estt in A ess è nche chius in A. Vedremo più vnti (esempio 1.33) che non vle il vicevers, cioè che un form differenzile chius non è necessrimente estt. Anloghe definizioni vengono dte in R 2. Esercizio 1.26. lcolre d O(0, 0) A(1, 1) lungo ) il segmento che unisce i due punti; y 2 dx + 2xydy b) l rco di prbol di equzione y = x 2 ; c) l spezzt costituit di segmenti che uniscono rispettivmente O con B(0, 1) e B con A. In tutti e tre i csi si ottiene lo stesso risultto: 1. Sorge il dubbio che sino rilevnti solo i punti inizile e finle e non il percorso seguito. Esercizio 1.27. lcolre d A(1, 0) B(0, 1) lungo ) il segmento che unisce i due punti; ydx xdy b) l rco circonferenz di rggio 1 e centro O percors in senso ntiorrio. 13

Nel primo cso si ottiene 1, nel secondo cso si ottiene 3 2 π. erchimo di individure in cos differiscono i due esempi precedenti. Si può notre che l form differenzile del primo esempio è chius (nzi è estt, con prinitiv Φ(x, y) = xy 2, mentre nel secondo esempio l form differenzile non è chius, quindi non è nemmeno estt. Vedremo or che ciò non è csule. Definizione 1.28. Un perto A R n si dice connesso se per ogni coppi di punti P, Q di A esiste un curv conttenut in A vente per estremi P e Q. Definizione 1.29. Un perto connesso A R n si dice semplicemente connesso se ogni curv chius contenut in A può essere deformt con continuità in A fino d essere ridott un punto. Esempio 1.30. Ad esempio, sono perti connessi m non semplicemente connessi in R 2 : le corone circolri, i dischi privti di un punto. Si noti che l equivlente in R 3 dell coron circolre è l nello (differenz di due plle concentriche di rggi diversi), m che tle insieme è semplicemente connesso! Ad esempio, sono perti connessi m non semplicemente connessi in R 3 : l insieme perto delimitto d due cilindri cossili (limitti o illimitti) venti rggi diversi, il toro (cimbell). Teorem 1.31. Si D un perto connesso di R n e si F un cmpo vettorile continuo su D (equivntemente si F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz un form differenzile linere). Le seguenti proprietà sono equivlenti: i) F è conservtivo in D (cioè F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz è estt in D); ii) Per ogni coppi di punti P e Q pprtenenti D, l integrle F dr ( F 1dx + F 2 dy + F 3 dz) ssume lo stesso vlore per tutte le curve orientte contenute in D di punto inizile P e punto finle Q, che mmettono rppresentzione regolre trtti. Inoltre, se i) o, equivlentemente, ii), è soddisftt, e se Φ è un potenzile di F (cioè un primitiv di F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz) si h F dr = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = Φ(Q) Φ(P ). (1.1) In prticolre, se P = Q si h che F dr = 0. Si noti l somiglinz con il teorem fondmentle del clcolo, d cui l scelt del termine primitiv per Φ. 14

Teorem 1.32. Si D un perto semplicemente connesso di R n e si F 1 dx+ F 2 dy + F 3 dz un form differenzile linere differenzibile in D. Allor F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz è estt in D se e solo se è chius in D. All luce dei teoremi precedenti, possimo or introdurre un controesempio per verificre che l chiusur di un form differenzile non ne implic l esttezz. Esempio 1.33. L form differenzile dx + x dy è chius in D = x 2 +y 2 x 2 +y 2 R 2 \ {O}, m non estt, in qunto y dx + x dy = 2π 0, dove x 2 +y 2 x 2 +y 2 è l circonferenz di centro l origine e rggio 1. Si noti che D non è semplicemente connesso. E nche interessnte riprendere l esercizio 1.26, osservndo che y2 dx + 2xydy = Φ(A) Φ(O) = 1, per ogni curv orientt d A O, essendo Φ(x, y) = xy 2 un primitiv dell form differenzile. In generle, se si deve clcolre l integrle di un form differenzile chius in un perto semplicemente connesso D lungo un curv orientt contenut in D di punto inizile P e punto finle Q, si può clcolre l integrle curvilineo lungo un curv orientt più elementre vente gli stessi punti inizile e finle e contenut in D. Se poi si riesce clcolre un primitiv Φ di F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, llor conviene utilizzre l formul (1.1). Formule di Guss-Green. Si D un perto connesso limitto di R 2 l cui frontier FD si costituit d un numero finito di curve chiuse semplici regolri trtti. Definimo orientzione positiv o verso positivo di FD quell per cui D si trov ll sinistr di un osservtore che l percorr nel verso positivo. Ne segue che l frontier estern è orientt secondo il verso ntiorrio e le eventuli frontiere interne secondo il verso orrio. L frontier di D così orientt viene indict con +FD. Teorem 1.34 (Teorem di Guss-Green). Nelle ipotesi sopr elencte, sino A = A(x, y) e B = B(x, y) due funzioni differenzibili con continuità in un perto contenente D FD. Si h ( B Adx + Bdy = x A ) dxdy (1.2) y +FD L formul (1.2) permette di ricondurre il clcolo di un integrle doppio quello di un integrle curvilineo di second specie e vicevers. Dimostrzione. Supponimo dpprim che D si contempornemente x-semplice e y-semplice, cioè D = {(x, y) R 2 < x < b, h(x) < y < g(x)} = {(x, y) R 2 c < y < d, ϕ(y) < x < ψ(y)} 15 D y

Essendo A continu sull insieme chiuso e limitto D FD, ess è ivi integrbile e si h inoltre che A è integrbile su D e y che D y A y dxdy = D FD A y dxdy. Applicndo il teorem di Fubini si h llor che A b g(x) D y dxdy = A b dx (x, y)dy = A(x, g(x)) A(x, h(x))dx. h(x) y (1.3) D ltr prte +FD = 1 2 3 4, con { { x = x x = x 1... x [, b], 2... x [, b], y = h(x) { x = 3... y = y { x = b y [h(), g()], 4... y = y y = g(x) y [h(b), g(b)], dove con 2, 3 si sono indicte le curve venti verso opposto quello di 2 e 3 rispettivmente. Si osservi che 3 e 4 sono segmenti verticli, eventulmente ridotti un punto e che quindi un o entrmbe le curve 3, 4 potrebbero non comprire nell rppresentzione di +FD. In ogni cso, si verific subito che Adx = 3 Adx = 0. 4 Dunque, ricordndo l (1.3), si h b Adx = Adx Adx = A(x, h(x)) A(x, g(x))dx = +FD 1 2 A = dxdy. (1.4) y Similmente, usndo il ftto che D è x-semplice, si dimostr che B Bdy = dxdy, (1.5) x +FD e, sommndo (1.4) e (1.5), si ottiene l formul (1.2). Nel cso generle, si possono trovre un numero finito di perti connessi D i, i = 1,..., m, due due disgiunti, che sono si x-semplici che y-semplici e tli che m i=1(d i FD i ) = D FD. Per il cso precedente si h llor D B x A m y dxdy = B D i x A m y dxdy = i=1 16 D i=1 D +FD i Adx + Bdy.

Si verific fcilmente che le prti dell frontier dei D i che sono comuni due regioni dicenti vengono percorse in versi opposti per cui, nell sommtori, i contributi dovuti trtti di frontiere interni D si cncellno e rimne quindi soltnto Adx + Bdy. +FD orollrio 1.35. Si D un perto connesso limitto di R 2 l cui frontier FD si costituit d un numero finito di curve chiuse semplici regolri trtti. Si h re(d) = xdy = ydx = 1 xdy ydx. (1.6) +FD +FD 2 +FD Dimostrzione. Bst scegliere in (1.2) rispettivmente A(x, y) 0 e B(x, y) = x, oppure A(x, y) = y e B(x, y) 0, oppure A(x, y) = y e B(x, y) = x. Osservzione 1.36. Si ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)) un rppresentzione prmetric regolre di +FD. Il vettore tngente unitrio T nel punto ϕ(t) è dto d T = v(t) ( ) x v(t) = (t) v(t), y (t), (1.7) v(t) con v(t) = (x (t) 2 + y (t) 2. Ruotndo il vettore T pplicto in ϕ(t) in senso orrio di un ngolo retto si ottiene un vettore ortogonle T che punt verso l esterno di D e di modulo unitrio Tle vettore è indicto con n ed è detto normle estern D in ϕ(t). In coordinte crtesine si h ( ) y (t) n = v(t), x (t), (1.8) v(t) come si può fcilmente verificre, d esempio, identificndo R 2 moltiplicndo T per i. con e L precedente osservzione è motivt dl ftto che voglimo or riformulre il teorem di Guss-Green usndo l notzione vettorile. Si F = (F 1, F 2 ) un cmpo vettorile pino definito e differenzibile con continuità in un perto A contenente D FD, Ponimo nel teorem di Guss-Green A = F 2, B = F 1, ottenendo +FD F 2 dx + F 1 dy = D ( F1 x + F ) 2 dxdy (1.9) y 17

Indict con ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [, b], un prmetrizzzione regolre trtti di +FD, si h +FD = F 2 dx + F 1 dy = b D (1.9) e (1.10) si h b [ F 2 (ϕ(t))x (t) + F 1 (ϕ(t))y (t)]dt = [ ] F 1 (ϕ(t)) y (t) v(t) + F 2(ϕ(t)) x (t) v(t)dt = F n ds (1.10) v(t) FD D ( F1 x + F ) 2 dxdy = F n ds (1.11) y FD Si noti che l scelt dell orientmento di FD nell integrle di second specie in (1.2) si riflette nell scelt dell normle estern nell integrle di prim specie (1.11). Definizione 1.37. Si F un cmpo vettorile differenzibile su un perto A di R 2. Si definisce divergenz di F div(f) = F 1 x + F 2 y (1.12) Teorem 1.38 (Teorem dell divergenz). Si D un perto connesso limitto di R 2 l cui frontier FD si costituit d un numero finito di curve chiuse semplici regolri trtti. Si F un cmpo vettorile differenzibile su un perto A contenente D FD. Vle l seguente formul div(f)dxdy = F n ds, (1.13) dove n è l normle estern D. D Si noti che F n ds rppresent il flusso del cmpo F uscente dll FD frontier di D. Il teorem dell energi cinetic. Si F un cmpo di forze continuo su un perto A di R 3 e si un curv orientt di punto inizile P e punto finle Q contenut in A, vente prmtrizzzione regolre r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k, t [, b], con funzioni componenti di clsse 2 ([, b]). Dll second legge dell dinmic si h F = mr e perciò il lvoro compiuto dl cmpo di forze su un prticell di FD 18

mss m che percorre l curv orientt è dto d W = = b F dr = m 2 = b b mr (t) r (t)dt = [mx (t)x (t) + my (t)y (t) + mz (t)z (t)]dt = d dt [(x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 ]dt = 1 2 mv2 (b) 1 2 mv2 (). (1.14) Essendo E c (t) = 1 2 mv2 (t) l energi cinetic dell prticell si è ottenuto che il lvoro W è ugule ll vrizione dell energi cinetic dell prticell nel pssre d P Q lungo il percorso. Se, inoltre, il cmpo di forze F è conservtivo, si h che il lvoro W non dipende dl percorso ed è dto d W = Φ(Q) Φ(P ) (1.15) dove Φ è un potenzile di F. In tl cso si definisce V = Φ energi potenzile e d (1.14) e (1.15) si h E c (b) + V (r(b)) = E c () + V (r()), (1.16) cioè l somm dell energi cinetic e potenzile, dett energi totle, si conserv. Abbimo quindi ottenuto l legge di conservzione dell energi: E T = E c + V = cost. (1.17) D qui l scelt del nome conservtivo per un cmpo dotto di potenzile. 19